Université Paris 7 31U4MI36 Série no 2 Exo no 1 : ( Preuve par

Université Paris 7
31U4MI36
S érie no 2
Exo no 1 : ( Preuve par induction sur les formules )
Soit P un ensemble de variables propositionnelles et F l’ensemble des formules propositionnelles
construites sur P . Soit P une propriété sur les formules propositionnelles.
Supposons que :
1. Toutes les variables propositionnelles de P vérifient la propriété P.
2. Si les formules propositionnelles F et G vérifient la propriété P, alors les formules propositionnelles ¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F ⇒ G) et (F ⇔ G) vérifient la propriété P.
Montrer qu’alors, toutes les formules propositionnelles vérifient la propriété P.
Exo no 2 : Montrer (sans utiliser le Théorème de lecture unique) que toutes formules G, H
satisfont aux inégalités suivantes :
1. h[G] < lg[G] ;
2. h[(GαH)] ≤ max{h[G], h[H]} + 1 (α étant un connecteur binaire arbitraire).
Exo no 3 : Montrer la partie (f) du Théorème 2.3, à savoir que aucun s.i.p. d’une formule n’est
une formule.
Exo
1.
2.
3.
no 4 : Montrer que toutes formules G, H satisfont aux propriétés suivantes :
h[¬G] = h[G] + 1 ;
h[(GαH)] = max{h[G], h[H]} + 1 (α étant un connecteur binaire arbitraire).
h[G] = 0 si et seulement si G ∈ P .
Exo no 5 : Déterminer si les sous-ensembles suivants de M(A) sont des séparateurs :
– X1 := {m ∈ M(A) | si m commence par “(“, il se termine par “)“}
– X2 := {m ∈ M(A) | si m commence par “)“, il se termine par “(“}
– X3 := {m ∈ M(A) | si m se termine par “)“, il commence par “(“}
– X4 := {m ∈ M(A) | si m se termine par “(“, il commence par “)“}
– X5 := {m ∈ M(A) | si m0 = (( est un sous-mot de m, alors m1 =)) aussi }
Exo no 6 : On considère un ensemble P de variables propositionnelles. Identifions {0, 1} au
corps < Z/2Z, +, ×, 0, 1 >.
a. Montrer que pour tout x dans Z/2Z, on a : x + x = 0 et x2 = x.
b. Exprimer les connecteurs usuels à l’aide des opérations + et ×.
c. Exprimer les opérations + et × à l’aide des connecteurs usuels.
d. Montrer qu’à toute formule propositionnelle F [A1 , A2 , . . . , An ], on peut associer un polynôme à n indéterminées PF ∈ Z/2Z[X1 , X2 , . . . , Xn ] tel que, pour toute distribution de
valeur de vérité δ ∈ {0, 1}P , on ait :
δ(F ) = P̃F (δ(A1 ), δ(A2 ), . . . , δ(An )),
expression dans laquelle P̃F désigne la fonction polynôme ( application de {0, 1}n dans {0, 1}
) associée au polynôme PF .
Y a-t-il unicité de PF , pour une formule F donnée ?
e. Déduire de ce qui précède une méthode pour déterminer si deux formules sont équivalentes,
ou si une formule est une tautologie.
Exo no 7 : Dans le calcul propositionnel construit sur l’ensemble P = {pn ; n ∈ N} de variables
propositionnelles, on définit une suite de formules (Fn )n∈N∗ par récurrence :
F1 = p 1
Fn+1 = (Fn ⇔ pn+1 ) , pour tout n ∈ N∗ .
a. Mettre F3 sous forme normale disjonctive.
2
b. Soit δ une distribution de valeur de vérité sur P . Montrer que δ(Fn ) = 1 si et seulement si
le nombre de variables propositionnelles pi ( 1 ≤ i ≤ n ) telles que δ(pi ) = 1 a la même parité
que n.
c. Combien y a-t-il de distributions sur P satisfaisant toutes les formules Fn ? toutes les formules
Fn pour n ≥ 2 ? pour n ≥ k ( k étant un entier fixé ≥ 1 ) ?
d. Pour chaque n, on choisit l’une des deux formules Fn , ¬Fn qu’on désigne par Gn .
Montrer que l’ensemble {Gn ; n ∈ N∗ } est non contradictoire et déterminer le nombre de
distributions sur P qui le satisfont.
Exo no 8 : On définit une suite de formules (Fn )n∈N∗ par :
F1 = (((p ⇔ q) ⇒ r) ⇒ p)
Fn+1 = (((Fn ⇔ q) ⇒ r) ⇒ p) , pour tout n ∈ N∗ .
∗
Pour quels entiers n ∈ N∗ a-t-on ` (Fn+1 ⇒ Fn ) ?
Exo no 9 : Soit n un entier positif et non nul.
a. Quelles sont les distributions de valeur de vérité sur l’ensemble des variables propositionnelles
{p1 , p2 , . . . , p6 } qui satisfont la formule :
F = ((p1 ⇒ p2 ) ∧ (p3 ⇒ p4 ) ∧ (p5 ⇒ p6 )) ?
b. Combien existe t-il de distributions de valeur de vérité sur l’ensemble des variables propositionnelles {p1 , p2 , . . . , p2n } qui satisfont la formule :
G = ((p1 ⇒ p2 ) ∧ (p3 ⇒ p4 ) ∧ . . . ∧ (p2n−1 ⇒ p2n )) ?
c. Quelles sont les distributions de valeur de vérité sur l’ensemble des variables propositionnelles
{p1 , p2 , . . . , p3n } qui satisfont la formule :
G = ((p1 ⇔ (p2 ⇔ p3 )) ∧ (p2 ⇔ (p3 ⇔ p4 )) ∧ . . . ∧ (p3n−2 ⇔ (p3n−1 ⇔ p3n ))) ?
Exo no 10 : On dit qu’un ensemble A de formules du calcul propositionnel est indépendant
si et seulement si, pour toute formule F ∈ A, F n’est pas conséquence de A − F .
Les ensembles suivants sont-ils indépendants :
{(A ⇒ B) , (B ⇒ C) , (C ⇒ A)} ;
{(A ⇒ B) , (B ⇒ C) , (A ⇒ C)} ;
{(A ∨ B) , (A ⇒ C) , (B ⇒ C) , (¬A ⇒ (B ∨ C))} ;
{A , B , (A ⇒ C) , (C ⇒ B)} ;
{(A ⇒ (B ∨ C)) , (C ⇒ ¬B) , (B ⇒ (A ∨ C)) , ((B ∧ C) ⇔ B) , (A ⇒ C) , (B ⇒ A)} ;
{((A ⇒ B) ⇒ C) , (A ⇒ C) , (B ⇒ C) , (C ⇒ (B ⇒ A)) , ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇔ B))} ?
Exo no 11 : On considère l’ensemble de clauses Γ donné par :
Γ = {(A ∧ B) ⇒ , C ⇒ A , ⇒ C , D ⇒ B , ⇒ B ∨ D , }
a. Peut-on réfuter Γ ?
b. Γ est-il satisfaisable ?
Exo no 12 : A l’aide d’une preuve par coupure, donner une réfutation de chacun des quatres
ensembles de clauses suivants :
a. {(A ∧ B) ⇒ C , ⇒ A , C ⇒ , ⇒ B } ;
b. {(A ∧ B) ⇒ C , A ⇒ B , ⇒ A , C ⇒ } ;
c. {(A ∧ B) ⇒ , C ⇒ A , ⇒ C , D ⇒ B , ⇒ (D ∨ B)} ;
d. {(A∧B) ⇒ (C∨D) , (C∧E∧F ) ⇒ , (A∧D) ⇒ , ⇒ (B∨C) , ⇒ (A∨C) , C ⇒ E , C ⇒ F } ;
Exo no 13 : On considère l’ensemble Γ des quatres clauses suivantes :
C1 = (A ∧ B) ⇒ C ;
C2 = (B ∧ C) ⇒ ;
C3 = A ⇒ B ;
C4 = ⇒ A.
a. Donner une réfutation de Γ à l’aide d’une preuve par coupure.
b. Montrer que des clauses C1 et C3 on peut déduire par coupure et simplification la clause
D = A ⇒ C, mais que l’ensemble {C2 , C4 , D} n’est pas réfutable.