La Sphère π R

La Sphère
I. Définition et représentation
La sphère S de centre O et de rayon R est l’ensemble
des points M tels que OM = R
exemple : balle de ping-pong
Une sphère est « vide »
A
O
La boule B de centre O et de rayon R est l’ensemble
des points M tels que OM ≤ R.
exemple : la Terre
Une boule est « pleine ».
R
grand cercle
[OR] est un rayon de la sphère.
[AB] est un diamètre de la sphère.
X
T
B
Un grand cercle de la sphère est un cercle de même
centre et de même rayon que ceux de la sphère.
A retenir :
• Si un point M appartient à la sphère de centre O et de rayon 3 cm, alors OM = 3 cm.
• Si un point N est tel que ON = 3 cm, alors N appartient à la sphère de centre O et de rayon 3
cm.
remarque : sur la figure précédente si on n’a aucune information sur la distance OT, on ne peut
pas savoir si le point T est ou non un point de la sphère.
remarque 2 : Une sphère est une surface de révolution: en effet, elle peut être engendrée par
un demi-cercle, tournant autour d'un axe.
II. Aire et volume
Rappel : Pour un cercle/disque de rayon R (ou de diamètre D) :
Périmètre : P = 2 π R = π D
Aire d’un cercle : A = π R2
On considère une sphère/boule de rayon R :
L’aire de la sphère (c'est-à-dire l’aire de sa surface) est A = 4 π R
4
3
Le volume de la boule est V = π R
3
Exemple : Sphère de rayon 4,5 cm
L’aire de la sphère est A = 4π × 4,52 = 4π × 20,25 = 101 π cm2 (valeur exacte)
A ≈ 317,3 cm2 (valeur approchée)
4
4
Le volume de la boule est V =
π × 4,53 = π × 91,125 = 121,5π cm3 (valeur exacte)
3
3
V ≈ 381,7 cm3 (valeur approchée)
2
III. Section par un plan
La section d’un sphère apr un plan est un cercle de
rayon inférieur ou égal au rayon R de la sphère.
Cas particuliers :
a) Si le plan passe par le centre de la sphère, alors la section
est un GRAND CERCLE.
b) Si le plan et la sphère n’ont qu’un seul point commun,
le point H, alors on dit que le plan est TANGENT à la
sphère.
Application : Une sphère de rayon 4 cm est coupée par un plan à 3 cm de son centre.
Quelle est la nature de la section ? Préciser ces éléments caractéristiques.
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
On va appeler O le centre de la sphère, H le centre de la section et
M un point sur le cercle de section.
La droite (OH) est perpendiculaire au plan de section. Donc (OH) ⊥ (HM).
Comme le triangle OHM est rectangle en H, on peut utiliser le théorème
de Pythagore :
OM2 = OH2 + HM2
42 = 32 + HM2
car [OM] est un rayon de la sphère donc OM = 4 cm
le plan de la section coupe la sphère à 3 cm du centre donc OH = 3 cm
16 = 9 + HM2
HM2 = 16 – 9 = 7
Donc HM =
7 cm (soit environ 2,6 cm)
IV. Sphère terrestre
Axe de rotation
de la terre
N
Exemple : les coordonnées géographiques
de New York sont :
( 74°W ; 41°N)
Longitude
Méridien
Greenwich
New
York
Latitude
41°
N
Équateur
Parallèle
74°
O
S
Méridien de
Greenwich
La Terre est une sphère (légèrement aplatie aux pôles) dont le rayon est arrondi à
6 400 km.
Le segment formé par les deux pôles est un diamètre de la Terre.
L'équateur est un grand cercle de la Terre ; un parallèle est un petit cercle de la Terre,
déterminé par la section de la Terre par un plan parallèle au plan de l'équateur.
Les parallèles sont repérés par l'angle formé par un point de l'équateur, le centre de la
Terre et un point du parallèle concerné. Cet angle est la latitude. Sur le schéma, la
latitude est l’angle EON = 41° N
La latitude est comprise entre 0° et 90°.
Le méridien de Greenwich, comme tous les méridiens, est aussi un grand cercle de la
Terre passant par les deux pôles.
Les méridiens sont repérés par l'angle formé par un point du méridien de Greenwich, le
centre de la Terre et un point du méridien concerné. Cet angle est la longitude. Sur le
schéma, la longitude est l’angle MON = 74°W.
La longitude d'un méridien est un angle compris entre 0° et 180°