universite de paris dauphine
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UNIVERSITE DE PARIS DAUPHINE Année 2009/2010 Première année de Master : Maîtrise d’Economie Appliquée Equipe pédagogique : • Julien Chevallier : [email protected] • Emilie Muzereau : [email protected] • Marie Aude Laguna : [email protected] • Régis Bourbonnais (A 519) : [email protected] ECONOMETRIE II 1. 1.1. 1.2. 1.3. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.5. 1 - PROCESSUS ALÉATOIRES STATIONNAIRES ET PROCESSUS ARMA Les processus stationnaires Définition d’un processus stationnaire au sens strict : la stationnarité forte La stationnarité d’ordre deux des processus : la stationnarité faible. Le processus Bruit Blanc (White Noise) La classe des processus aléatoires ARMA linéaires et stationnaires Le théorème de décomposition de Wold Propriétés de l’opérateur retard Définition des processus ARMA Les processus MA et AR Les processus ARMA La stationnarité et l’inversibilité des processus Conditions de stationnarité et d’inversibilité Recherche des conditions de stationnarité et d’inversibilité des processus ARMA. Les processus ARMA saisonniers 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 4. 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.2. 4.2.1. 4.2.2. 4.3. 5. 5.1. 5.2. 2 - LES PROCESSUS ALÉATOIRES NON STATIONNAIRES Description des processus TS et DS. Les processus TS Les processus DS Conséquences d’une mauvaise stationnarisation du processus Conséquence sur un processus TS Conséquence sur un processus DS Tests de racines unitaires non saisonnières Les tests de Dickey-Fuller simples Les modèles de base Principe du test de Dickey-Fuller Les tests d’hypothèses jointes Les tests de Dickey et Fuller Augmentés Transformations des modèles de base Principes du test DFA et tests d’hypothèses jointes Les prolongements des tests de Dickey-Fuller : Phillips-Perron et KPSS Les processus ARIMA. Les processus ARIMA non saisonniers Les processus ARIMA purement saisonniers (modèles SARIMA) 6. 6.1. 3 - L’IDENTIFICATION DES PROCESSUS ARMA La fonction d’autocorrélation et la fonction d’autocorrélation partielle La fonction d’autocorrélation (AC) 1 6.2. 7. La fonction d’autocorrélation partielle (PAC) Les caractéristiques des processus AR(p) 8. Les caractéristiques des processus MA(q) 9. Les caractéristiques des processus ARMA(p, q) 10. 10.1. 10.2. 11. Simulations et exercices Limite à l’utilisation des fonctions d’autocorrélation Exercices La pratique de l’identification des processus 12. 4 - L’ESTIMATION, LES TESTS DE VALIDATION ET LA PRÉVISION DES PROCESSUS ARMA Le problème de l’estimation 13. Les tests statistiques de validation 13.1. Le test de redondance 13.2. Le test de Student des paramètres. 13.3. Les tests de bruit blanc normal 13.3.1. Tests de recherche d’autocorrélation 13.3.2. Tests d’homoscédasticité 13.3.3. Tests de normalité 13.4. Les critères de comparaison de modèles 14. La prévision 15. 15.1. 15.2. 15.3. 16. 16.1. 16.2. 16.3. 17. 17.1. 17.2. 17.3. 18. 18.1. 18.2. 5 - LA MODELISATION VAR Représentation d’un modèle VAR Exemple introductif La représentation générale La représentation ARMAX Estimation des paramètres Méthode d’estimation Détermination du nombre de retards Prévision Dynamique d’un modèle VAR Représentation VMA d’un processus VAR Analyse des “ chocs ” Décomposition de la variance La causalité Causalité au sens de Granger Causalité au sens de Sims 19. 6 - LA COINTÉGRATION ET LE MODÈLE À CORRECTION D’ERREUR Exemples introductifs 20. 20.1. 20.2. 20.3. 21. Le concept de cointégration Propriétés de l’ordre d’intégration d’une série Conditions de cointégration Le modèle à correction d’erreur (ECM) Cointégration entre deux variables 2 21.1. 21.2. 22. 22.1. 22.2. 22.3. 22.4. 22.5. Test de cointégration entre deux variables Estimation du modèle à correction d’erreur Cointégration entre k variables La cointégration entre k variables Estimation du modèle à correction d’erreur Dynamique et modèle à correction d’erreur vectoriel Test de relation de cointégration Synthèse de la procédure d’estimation 23. 7 - INTRODUCTION AUX MODÈLES ARCH Présentation générale et problématique 24. 24.1. 24.2. 25. Modèle de régression de type ARCH Spécification du modèle Propriétés d’un modèle ARCH(1) Test d’un modèle de type ARCH 26. Procédure d’estimation et prévision 27. 27.1. 27.2. 28. 28.1. 28.2. Processus de type GARCH. Spécification Test et estimation de modèle de type GARCH Autres processus : variantes des processus ARCH Processus de type ARCH-M et GARCH-M. Processus de type GARCH-DM, GARCH-DLM et TARCH BIBLIOGRAPHIE Bourbonnais R., Terraza M., Analyse des séries temporelles : Applications à l’économie et à la gestion, Dunod, 2ème édition, 2008. Bourbonnais R., Econométrie : cours et exercices corrigés, Dunod, 7 éd., 2009. Enders W., Applied Econometric time series, John Wiley, 1995. Hamilton J. D., Time series analysis, Princeton University Press, 1994. Mills T. C., The econometric modelling of financial time series, Cambridge University Pres , 1999. 3 INFORMATIONS GENERALES CONCERNANT LE COURS Le contrôle continu est la résultante d’une note portant sur un projet individuel effectué sur le logiciel Eviews. Le dossier demandé consiste en une application des techniques étudiées en cours sur une problématique économique et des données au libre choix. Seule la partie méthodologique est imposée. L’étude doit être fondée sur une série temporelle économique de référence : cours boursier, série macro-économique (PIB, chômage, ..), série de ventes, etc. Cette série doit être récente et disponible sur un minimum de 30 observations. A partir de cette série l’étudiant doit réaliser les étapes méthodologiques suivantes. Partie I : 10 points. Date de remise fixée par votre professeur. Remise du projet exclusivement sous format papier et des données sous format Eviews. Le fichier de vos données (format Eviews) doit être envoyé, pour la même date, à votre professeur (cf. adresse courriel en première page). Le nom du fichier Eviews est composé de 4 premières lettres de votre nom de famille et des 2 premières lettres de votre prénom. 1) Etude graphique et tests de stationnarité : Test de Dickey-Fuller et/ou Dickey Fuller Augmenté, Phillips-Perron, KPSS et stratégie de test. 2) Détermination du processus dans la classe des modèles ARIMA(p, I, q), Tests de validation, prévision Partie II : 10 points. Date de remise fixée par votre professeur. Remise du projet exclusivement sous format papier et des données sous format Eviews (même nom). 1) Modélisation VAR : Il faut considérer un ensemble de minimum 4 variables pertinentes pour la construction du VAR (justification économique, choix de l’écriture, détermination de l’ordre, ..). Tests de causalité, analyse des fonctions de réponses impulsionnelles et de la décomposition de la variance. 2) Test de l’hypothèse de cointégration, estimation du VECM et prévision Les projets pourront faire l’objet d’une soutenance orale. Les travaux sont rendus directement à l’enseignant lors du cours ou à Régis Kiffer (bureauD406). Tout travail rendu en retard ne sera pas corrigé et se verra donc attribué la note de 0. 4 EXERCICES Exercice C3EX1: Recherche des conditions de stationnarité et d’inversibilité des processus. • MA(1) : xt = at + 0.8 at-1 • MA(1) : xt = at - 0.8 at-1 • MA(2) : xt = at + 0.6 at-1 - 0.3 at-2 • AR(1) : xt = 0.9 xt-1 + at • AR(1) : xt = - 0.9 xt-1 + at • AR(2) : xt = 0.9 xt-1 - 0.7 xt-2 + at • AR(2) : xt = xt-1 - 0.1 xt-2 + at • MA(2) : xt = + at - 05 at-1 + 0.1 at-2 • ARMA(1, 1) : xt = 0.8 xt-1 + at - 0.7 at-1 • ARMA(3, 2) : xt = 2.5 xt-1 - 0.5 xt-2 - xt-3 + at + at-1 + 2 at-2 - 1) Ecrire le processus sous forme de polynôme d’opérateurs - 2) Le processus est-il stationnaire ? - 3) Ce processus est-il inversible ? • ARMA(0, 1) × ARMA4,0(1, 0) : xt = 0.8 xt-4 + at + 0.8 at-1 Exercice C3EX2 : Exemples de génération de processus ARMA à l’aide d’Eviews Soit les processus suivants : MA(1) : xt = at + 0 .8 at −1 . MA(2) : xt = at + 0.6 at-1 - 0.3 at-2 AR(1) : xt = 0.9 xt −1 + at AR(2) = xt = 0.9 xt-1 - 0.7 xt-2 + at ARMA(1, 1) : xt = 0.9 xt −1 + at + 0.8 at −1 ARMA(0, 1) × ARMA4, 0(1, 0) : ( 1 −0.8 B 4 ) xt = ( 1 +0.8 B ) at (at est un bruit blanc gaussien de variance 4). On demande de les générer (sur 500 observations) à partir du logiciel Eviews-TSP. Exercice C3EX3 : Calculs des caractéristiques de différents processus et études des propriétés d’inversibilité et de stationnarité Calculer l’espérance, la variance et la covariance des processus suivants et conclure sur leur stationnarité et inversibilité. ε t → n.i.d.(0, σ ε2 ) a) xt = ε t - ε t-1 b) xt = b ε t + c ε t-1 c) xt = ε t ε t-1 d) xt = xt-1 + ε t avec x0 = 0 Etudier les conditions de stationnarité et d’inversibilité des processus suivants filtrés par leurs différences premières. e) xt = xt-1 + ε t f) xt = - xt-1 + ε t g) xt = a t + b + ε t Etudier les conditions de stationnarité et d’inversibilité du processus suivant filtré par leurs différences secondes. h) xt = a t2 + b t + c + ε t 5 Exercice C5EX1 : Conséquence d’une mauvaise stationnarisation d’un processus Dans cet exercice on demande de générer, sur 200 observations, un processus aléatoire de type bruit blanc gaussien de variance 25, puis de : - générer une tendance déterministe de paramètres a0 = 1 et a1 = 5, - générer une tendance stochastique avec dérive de terme constant 5, - stationnariser ces deux processus selon les deux méthodes adaptées et non adaptées. Exercice C5EX2 : Exemple d’application des tests DF aux dépenses de santé On demande d’appliquer la stratégie des tests DF aux dépenses de santé (CVS) en produits pharmaceutiques en France de janvier 1981 à décembre 1994. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER Exercice C5EX3 : Exemple d’application des tests DF et DFA au CAC40 On demande d’appliquer la stratégie des tests DF et DFA à l’indice CAC40 (indice représentatif de l’évolution des cours de bourse) sur une période allant du 30 juin 1989 au 9 décembre 1993. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER Exercice C6EX1 : Génération de processus AR et analyse des corrélogrammes Afin de se familiariser avec les FAC et FAP des processus AR, on demande de générer à l’aide de TSP sur 200 périodes les processus suivants et d'en étudier les FAC et les FAP. 1) AR(1) : (1 - 0.8 B) xt = at 2) AR(1) : (1 + 0.8 B) xt = at 3) AR(2) : (1 - 0.5 B - 0.4 B²) xt = at 4) AR(2) : (1 + 0.5 B + 0.4 B²) xt = at 5) AR6(1) : (1 - 0.6 B6) xt = at 6) AR6(1) : (1 + 0.6 B6) xt = at 7) AR6(1) × AR(1) : (1 + 0.2 B6) (1 - 0.8 B) xt = at 8) AR6(1) × AR(1) : (1 + 0.2 B6) (1 + 0.8 B) xt = at Exercice C6EX2 : Génération de processus MA et analyse des corrélogrammes Afin de se familiariser avec les FAC et les FAP des processus MA, on demande de générer à l’aide de TSP sur 200 périodes les processus suivants et d'en étudier les FAC et les FAP. 1) MA(1) : xt = (1 + 0.8 B) at 2) MA(1) : xt = (1 - 0.8 B) at 3) MA(2) : xt = (1 + 0.5 B + 0.4 B²) at 4) MA(2) :xt = (1 - 0.5 B - 0.4 B²) at 5) MA6(1) : xt = (1 + 0.6 B6) at 6) MA6(1) : xt = (1 - 0.6 B6) at 7) MA6(1) × MA(1) : xt = (1 + 0.3 B6) (1 + 0.9 B) at 8) MA6(1) × MA(1) : xt = (1 + 0.3 B6) (1 - 0.9 B) at Exercice C6EX3 : Génération de processus ARMA et analyse des corrélogrammes On demande de générer à l’aide de TSP-Eviews sur 156 périodes les processus suivants et d'en étudier les propriétés. 1) MA(1) : xt = 2 + (1 + 0.8 B) at 6 2) AR(1) : (1 - 0.9 B) xt = 2 + at 3) MA(2) : xt = 2 + (1 + 0.6 B - 0.3 B²) at 4) AR(2) : (1 - 0.9 B + 0.7 B²) xt = 2 + at 5) ARMA(1, 1) : (1 - 0.9 B) xt = 2 + (1 + 0.8 B) at Avec at → N(0, 1) Exercice C7EX1 : Tests de bruit blanc et de normalité sur l’indice CAC40 On demande de vérifier l’hypothèse de normalité de la distribution de l’indice CAC40 des valeurs boursières sur 2265 observations journalières (du 7/9/1987 au 10/5/1996 par jour). Les données sont rendues stationnaires par le passage aux différences premières de la série des logarithmes népériens. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER Exercice C7EX4 : Prévision par la méthodologie de Box et Jenkins du nombre des immatriculations en France On demande de prévoir à partir de la méthodologie de Box et Jenkins le nombre des immatriculations des voitures particulières en France pour les huit premiers mois de 1995 en utilisant le filtre aux différences saisonnières d’ordre 1 et de période 12. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER Exercice C10EX1 - Recherche des conditions de stationnarité d’un modèle VAR Soit le processus : y1 ,t 3 0 ,2 0 ,7 y1 ,t −1 e1 ,t y = 1 + 0 ,3 0 ,4 y + e 2 ,t −1 2 ,t 2 ,t On demande d’étudier les conditions de stationnarité. Exercice C10EX2 : Spécification, estimation et prévision d’un modèle VAR Nous cherchons à modéliser sous la forme VAR, la demande (y1,t) et les prix (y2,t) d’une matière première. Nous disposons des données trimestrielles CVS et en différences premières de 1978 à 1995. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO On demande : a) de rechercher l’ordre du modèle VAR, b) d’estimer les paramètres du modèle, c) de calculer une prévision pour l’année 1996 avec son intervalle de confiance à 95%. Exercice C10EX3 - Analyse d’une fonction de réponse impulsionnelle et décomposition de la variance A partir de la représentation VAR(1) estimé à l’exercice n°2, on demande de calculer et d’interpréter les fonctions de réponses impulsionnelle et la décomposition d’analyse de la variance. Exercice C10EX4 - Tests de causalité de Granger et de Sims On demande, à partir de la représentation VAR(1) estimée lors de l’exercice n°2, de procéder aux tests de Granger et de Sims. 7 Exercice C11EX1 : Test de cointégration et estimation d’un modèle à correction d’erreur Soit deux séries statistiques yt et xt. On demande d’estimer la relation entre ces deux variables (yt = â0 + â1 xt + et) en testant une éventuelle cointégration (dans ce cas estimer le modèle à correction d’erreur). Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO Exercice C11EX2 : Test de cointégration et estimation d’un modèle vectoriel à correction d’erreur Soit trois variables xt, yt et zt observées sur 30 périodes. On demande de tester une éventuelle cointégration et d’estimer un modèle vectoriel à correction d’erreur. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOECO Exercice C8EX2 : Étude d’un processus ARCH Soit un processus yt, on demande d’en étudier les propriétés et d’estimer les paramètres du modèle par une méthode adéquate. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER Exercice C8EX3 : Étude d’un processus GARCH Soit un processus yt On demande d’en étudier les propriétés et d’estimer les paramètres du modèle par une méthode adéquate. Données dans répertoire : P:\HOME\PROF\BOURBON\ETUD\EXOSER 8 UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE Janvier 2008 Première année de master : Economie Appliquée ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Seules les calculatrices sans mémoire sont autorisées Les trois exercices sont indépendants. Exercice I (10 pts) Soit le processus VAR estimé à partir de 70 observations : y1,t 3 0,2 0,7 y1,t −1 e1,t y = 1 + 0,3 0,4 y + e 2 ,t −1 2 ,t 2 ,t 1) Ce processus est il stationnaire ? (1 pt) 2) Nous procédons aux tests de causalité de Granger (2 pts) Les résultats sont les suivants : Pairwise Granger Causality Tests Lags: 2 Null Hypothesis: Obs F-Statistic Y2 does not Granger Cause Y1 70 9.04616 Y1 does not Granger Cause Y2 1.17152 Probability 0.00034 0.31635 Explicitez parfaitement la construction de ce test (hypothèses, loi de probabilité, règle de décision, conclusions) et commentez les résultats. 3) Calcul de la fonction de réponse impulsionnelle (4 pts) La matrice des variances covariances des résidus d’estimation est donnée par : ∑ e 16 = − 5 9 Calculer le coefficient de corrélation entre les résidus, est-il significativement différent de 0? Au vu des résultats précédents calculer les deux premiers termes d’une fonction de réponse impulsionnelle en privilégiant, en le justifiant un seul ordre, de décomposition. On simule un choc initial égal à un écart type des résidus (orthogonalisé ou non suivant le cas). 4) Prévision et intervalle de confiance (3 pts) Soit un extrait des données : obs Y1 Y2 1 19.2 1.8 2 -2.4 19.8 … … … 70 50.4 3.6 A partir des éléments fournis, on demande de calculer une prévision, avec son intervalle de confiance à 95%, pour un horizon de deux périodes. On rappelle que la variance de l’erreur de prévision est donnée par la formule : 9 ∑ ( h) = ∑ e e + M1 ∑e M1' + ... + Mh-1 ∑e M h' −1 où Mi est calculé par la formule de min( p , i ) récurrence suivante : Mi = ∑A j =1 j M i − j i = 1, 2, ...et M0 = I. Exercice II : Calcul des termes de la FAC et de la FAP d’un processus autorégressif théorique (6 pts) On considère le processus aléatoire AR(2) suivant : xt = 0,4 xt-1 – 0,2 xt-2 + at avec at → i.i.d.(0, σa2 =12,8). a) Vérifier que le processus est stationnaire (1 pt) b) Calculer E[xt], commentaire. (1 pt) c) Donner l’équation de Yule-Walker (équation qui relie les coefficients d’autocorrélation) du processus puis calculer la variance et les trois premières valeurs des autocorrélations simples. (2 pts) d) Calculer les deux premières valeurs des autocorrélations partielles. (1 pt) Exercice III (4 pts) : Soit trois séries y1, y2 et y3 connues sur 100 observations Nous pensons que ces séries sont peut-être cointégrées, pour cela on réalise le test de Johansen selon deux spécifications. Test assumption: Linear deterministic trend in the data Series: y1 y2 y3 Lags interval: 1 to 2 Likelihood 5 Percent 1 Percent Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value 0.248225 47.83608 29.68 35.65 0.168545 20.16020 15.41 20.04 0.022990 2.256097 3.76 6.65 Hypothesized No. of CE(s) None ** At most 1 ** At most 2 Test assumption: No deterministic trend in the data Series: y1 y2 y3 Lags interval: 1 to 2 Likelihood 5 Percent Eigenvalue Ratio Critical Value 0.249004 49.10393 34.91 0.172615 21.32749 19.96 0.029929 2.947419 9.24 Hypothesized No. of CE(s) None ** At most 1 * At most 2 1 Percent Critical Value 41.07 24.60 12.97 On demande : - d’écrire précisément les spécifications (équations) des deux tests (1 pt), - de donner dans les deux cas les propriétés stochastiques supposées des 3 séries (TS, DS avec ou sans constante, stationnaire) (2 pts) - de tester l’existence d’une ou plusieurs relations de cointégrations. (1 pt) UNIVERSITE DE PARIS-DAUPHINE Janvier 2009 Première année de master : Economie Appliquée ECONOMETRIE II : EXAMEN TERMINAL (durée 2 h) Seules les calculatrices sans mémoire sont autorisées 10 28.2.1.1.1 Exercice 1 : Prévision par la méthode de Box-Jenkins (5 points, 45 mns) Nous cherchons à prévoir la série Y selon la méthodologie de Box-Jenkins. Soit un extrait de données mensuelles : 1986:04 1986:05 1986:06 1986:07 …. 2007:04 2007:05 2007:06 2007:07 2007:08 2007:09 100.00 105.12 100.74 97.77 …. 109.34 108.15 101.19 97.21 99.15 101.48 Après avoir effectué les tests de racine unitaire nous sommes amener à stationnariser la série par le passage aux différences premières. Nous estimons ensuite les deux modèles suivant : Modèle 1 : Dependent Variable: DY Method: Least Squares Included observations: 258 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic AR(1) 0.367673 0.061178 6.009869 AR(2) -0.254281 0.063514 -4.003574 AR(3) -0.214497 0.061453 -3.490397 R-squared 0.351658 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.345789 S.D. dependent var S.E. of regression 3.013150 Akaike info criterion Sum squared resid 2315.164 Schwarz criterion Log likelihood -649.1478 Durbin-Watson stat Inverted AR Roots .38+.64i .38 -.64i -.39 11 Prob. 0.0000 0.0001 0.0006 0.012786 3.469559 5.055409 5.096723 2.010189 Résidu d’estimation 2007:05 -0.78 2007:06 3.7 2007:07 -3.21 2007:08 -0.15 2007:09 1.48 28.2.1.2. Q-Stat du corrélogramme du résidu 1 2 3 4 Dec Q-Stat 0,0094 0,0128 0,3173 0,3221 5 6 7 8 9 10 0,3462 0,9975 2,3158 2,5446 3,1551 3,4168 Statistique de Jarque-Bera du résidu = 1,19 Modèle 2 : Dependent Variable: DY Method: Least Squares Included observations: 258 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic AR(1) 0.937099 0.033061 28.34462 MA(1) -0.862244 0.077775 -11.08639 MA(2) 0.281404 0.077557 3.628363 R-squared 0.314209 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.306372 S.D. dependent var S.E. of regression 8.193808 Akaike info criterion Sum squared resid 11749.23 Schwarz criterion Log likelihood -625.4597 F-statistic Durbin-Watson stat 1.941037 Prob(F-statistic) Inverted AR Roots .94 Inverted MA Roots .43 -.31i .43+.31i Prob. 0.0000 0.0000 0.0004 6.037320 9.838352 7.061345 7.114970 40.08995 0.000000 Résidu d’estimation 2007:05 -1.68 2007:06 -5.7 2007:07 1.45 2007:08 -0.89 2007:09 2.05 28.2.1.3. Dec Q-Stat Q-Stat du corrélogramme du résidu 1 2 3 4 0,3221 5 6 7 8 9 10 0,3462 0,9975 2,3158 2,5446 3,1551 3,4168 Statistique de Jarque-Bera du résidu = 1,80 Question n°1 : (1 pt) En utilisant uniquement les résultats fournis dans les tableaux, sans faire aucun calcul, montrez que le taux de croissance de la série est stationnaire. Question n°2 : (2 pts) Vous justifierez par les tests statistiques usuels le choix du processus générateur du taux de croissance de la série. Question n°3 : (2 pts) Calculez sur la base du modèle retenu une prévision pour la série en niveau à un horizon de 1 à 3 mois. 12 28.3. Exercice II (3 pts, 15 mns) Prenons l’exemple d’un VAR à 4 variables Y1, Y2, Y3 et Y4. Si nous choisissons l’ordre de décomposition de Cholesky suivant : Y3 Y2 Y1 Y4, donner, pour la période 1, l’impact des chocs de chacune des variables sur les autres variables. 28.4. Exercice III (12 pts, 60 mns) : Relation entre l’offre de monnaie et le taux d’intérêt en Allemagne (Source Thomas R.L. « Modern Econometrics », Addison Wesley 1997). Les données sont trimestrielles de 1982 à 1999 soit 72 observations. Soit : LM = Le logarithme de l’offre de monnaie LR = Le logarithme de la variable R (avec R = 1 + i / 100 et i = taux d’intérêt). Question 1 : On estime le modèle VAR(1) suivant à partir duquel on construit les quatre Fonctions de Réponses Impulsionnelles (IRF) suivantes. Donnez deux preuves de la non stationnarité de cette représentation. (2 pts) Sample(adjusted): 1982:2 1999:4 Included observations: 71 after adjusting Standard errors & t-statistics in parentheses LM LR LM(-1) 1.2 0.1 (0.01430) (0.00412) (69.6982) (0.99821) LR(-1) 0.2 (0.15401) (-3.07558) 1.4 (0.04438) (21.3753) C 0.048906 (0.08288) (0.59009) 0.988097 0.987747 0.024179 0.018856 182.7218 -5.062585 -4.966979 5.617686 0.170350 -0.020307 (0.02388) (-0.85030) 0.880223 0.876700 0.002008 0.005434 271.0638 -7.551092 -7.455486 0.046322 0.015474 R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent 13 R es pons e o f LM to One S.D . In nov a tions R es p ons e o f LR to On e S.D . Innov a tions 0.03 0.006 0.02 0.004 0.01 0.002 0.00 0.000 -0.01 -0.002 -0.02 -0.004 1 2 3 4 5 LM 6 7 8 9 10 1 LR 2 3 4 5 LM 6 7 8 9 10 LR Question 2 : On admet que les deux séries LM et LR sont I(1), nous procédons au test de cointégration de Johansen-Jusellius Sample: 1982:1 1999:4 Included observations: 70 Test assumption: Linear deterministic trend in the data Series: LM LR Lags interval: 1 to 1 Likelihood 5 Percent 1 Percent Eigenvalue Ratio Critical Value Critical Value 0.239282 12.14 15.41 20.04 5.15E-07 3.61E-05 3.76 6.65 Les variables sont elles cointégrées ? Ecrivez précisément la spécification utilisée pour effectuer ce test. (2 pts) Question 3 : Nous procédons à la décomposition de la variance, donnez l’ordre de décomposition de Cholesky qui a été choisi. (1 pt) 14 Variance Decomposition of D(LM): Period S.E. D(LM) D(LR) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.017653 0.019276 0.019717 0.019813 0.019831 0.019834 0.019834 0.019834 0.019834 0.019834 100.0000 89.86896 86.28894 85.47880 85.32725 85.30191 85.29796 85.29738 85.29729 85.29728 0.000000 10.13104 13.71106 14.52120 14.67275 14.69809 14.70204 14.70262 14.70271 14.70272 Variance Decomposition of D(LR): Period S.E. D(LM) D(LR) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.004918 0.005423 0.005511 0.005525 0.005527 0.005527 0.005527 0.005527 0.005527 0.005527 7.792237 6.818553 6.627137 6.594017 6.588792 6.588015 6.587904 6.587888 6.587886 6.587886 92.20776 93.18145 93.37286 93.40598 93.41121 93.41198 93.41210 93.41211 93.41211 93.41211 Question 4 : Nous estimons le modèle VAR(1) suivant en différence. Justifiez cette spécification. A partir de ces éléments, on vous demande de calculer une prévision pour D(LM) et D(LR) à l’horizon de deux périodes (2000:1 et 2000:2) assorties d’un intervalle de prévision à 95%. Puis d’en déduire une prévision pour LM et LR. (5 pts) 15 Sample(adjusted): 1982:3 1999:4 Included observations: 70 after adjusting Standard errors & t-statistics in parentheses D(LM) D(LR) D(LM(-1)) 0.166489 0.017514 (0.12115) (0.03375) (1.37425) (0.51893) DATE 1999:1 1999:2 1999:3 1999:4 D(LR(-1)) -1.299241 (0.44534) (-2.91739) 0.478483 (0.12407) (3.85667) C 0.007385 (0.00241) (3.06173) 0.000131 (0.00067) (0.19499) LM 5.960247 5.940575 5.952857 5.981405 LR 0.039221 0.048790 0.048790 0.058269 D(LM) 0.006277 -0.019672 0.012282 0.028547 D(LR) 0.004819 0.009569 0.000000 0.009479 Question 5 : A la lecture des fonctions de réponses impulsionnelles, on vous demande d’analyser précisément les liens dynamiques entre les accroissements de l’offre de monnaie et des taux d’intérêt. Vous insisterez tout particulièrement sur le schéma d’orthogonalisation des chocs retenus pour mener à bien cette analyse et les conséquences qui en découlent. (2 pts) R es p on s e o f D ( LM) to One S.D . Inn o v a tio ns R es p on s e o f D ( LR ) to One S.D . Inn o v a tio ns 0.020 0.006 0.015 0.004 0.010 0.005 0.002 0.000 0.000 -0.005 -0.010 1 2 3 4 5 D(LM) 6 7 8 9 -0.002 10 1 D(LR) 2 3 4 5 D(LM) 16 6 7 D(LR) 8 9 10 R es p on s e of D ( LM) to O ne S.D . Inn o v a tio ns 0.020 R es p on s e o f D ( LR ) to O ne S.D . Inno v a tio ns 0.005 0.015 0.004 0.010 0.003 0.005 0.002 0.000 0.001 -0.005 -0.010 1 2 3 4 5 D (LM) 6 7 8 9 10 0.000 1 D (LR ) 2 3 4 5 D (LM) 17 6 7 D (LR ) 8 9 10