DS4 version 2

Correction DS 4 – Version 2
Exercice 1 :
On lance un dé non truqué à 6 faces numérotées 1,2,3,4,5,6. On s’intéresse aux évènements suivants :
A : « Obtenir le numéro 3 » ; B : « Obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » ; C : « Obtenir un nombre impair »
1°) Calculer les probabilités de chacun de ces évènements.
A = {3} donc P(A) = 1/6
B = {5 ;6} donc P(B) = 2/6 = 1/3
C = {1 ;3 ;5] donc P(B) = 3/6 = 1/2
2°) Quel est l’évènement B∩C ?
B∩C correspond à B et C soit « Obtenir un nombre impair strictement supérieur à 4 » donc B∩C ={5}
3°) Quel est l’évènement B∪C ?
B∪C correspond à B ou C soit « Obtenir un nombre impair ou un nombre strictement supérieur à 4 » donc
B∪C ={1 ;3 ;5 ;6}
4°) Quelle relation existe entre les probabilités des évènements B∩C et B∪C ?
On a P(B∪C )=P(B)+P(C) – P (B∩C )
5°) Déduire des réponses aux questions 3 et 4 deux manières de calculer la probabilité de B∪C .
P(B∩C ) = 1/6 d’après la question 2. Donc P(B∪C )=P(B)+P(C) – P (B∩C )=1/3+1/2-1/6=4/6. C’est bien ce que donne le
calcul direct en utilisant la réponse à la question 3°).
Exercice 2 :
Dans une classe de 32 élèves on constate que 16 élèves pratiquent la natation, 11 le volley-ball et 15 ni l’un ni
l’autre. On désigne au hasard un élève de la classe.
1°) Représenter la situation par un diagramme.
Natation en rouge(N) , Volley en vert(V), Classe en noir
N
V
N∩V
2°) Quelle est la probabilité que l’élève choisi pratique au moins un sport ?
Si l’élève pratique au moins un sport il ne fait pas partie des 15 qui ne font rien. L’évènement « pratique au moins un
sport » est l’évènement contraire de « ne pratique aucun sport » . Puisque P(« ne pratique aucun sport ») = 15/32 on
a P(« pratique au moins un sport »)=17/32.
Ainsi P(N∪V)=17/32
3°) Quelle est la probabilité que l’élève choisi pratique les deux sports ?
On cherche maintenant P(N∩V). On a P(N∩V) = P(N) + P(V) – P(N∪V) = 16/32+11/32-17/32=10/32
Il y a donc 10 élèves qui pratiquent les deux sports.
Exercice 3 :
Soient f et g deux fonctions affines définies sur ℝ telles que :
= −5 − 2 =6 +4
1°) Donner le sens de variations de ces deux fonction en le justifiant.
Le coefficient directeur de f(x) est négatif donc f est strictement décroissante sur ℝ.
Le coefficient directeur de g(x) est positif donc g est strictement croissante sur ℝ.
Autre façon :
Soient a et b deux réels tels que a<b alors 6a<6b et 6a+4<6b+4 donc g(a)<g(b) ce qui montre que g est croissante sur
ℝ.
Même démarche pour f mais attention à l’inversion de < en > après multiplication par -5.
2°) Tracer le tableau de signe de ces deux fonctions en le justifiant.
g s’annule en x vérifiant 6x+4=0 soit x=-4/6=-2/3. La fonction g étant croissante, elle est donc négative pour x<-2/3 et
positive pour x>-2/3
f s’annule en x vérifiant -5x-2=0 soit x=-2/5. La fonction f étant décroissante, elle est donc positive pour x<-2/5 et
négative pour x>-2/5
D’où les tableau de signe suivant :
x
Signe de
g(x)
-∞
–
-2/3
0
+∞
x
Signe de
f(x)
+
-∞
+
-2/5
0
+∞
–
3°) Tracer les représentations graphiques de ces fonctions.
y
Cf
Cg 2
1
-1
0
1
x
-1
-2
-3
4°) Résoudre graphiquement f(x) = g(x) ; f(x) > -1 ; g(x) ≤ 1 ; f(x) < g(x)
La valeur de x pour laquelle f(x) = g(x) est l’abscisse du point d’intersection des deux droites soit x=-0,55
environ. Pour x>-0,55 on a f(x)<g(x).
On lit sur le graphique que pour x<-0,2 on a f(x)>-1 ; pour x ≤ -0,5 on a g(x) ≤ 1
Par le calcul :
f(x)=g(x) ssi − 5 − 2 = 6 + 4 ssi −6 = 11 ssi
f(x)>-1 ssi − 5 − 2 > −1 ssi −1 > 5 ssi
g(x) ≤ 1 ssi 6 + 4 ≤ 1 ssi 6 ≤ −3 ssi
9
= − :: (valeur très proche de -0,55)
:
< − ; ce qui correspond bien à -0,2.
>
≤ −9
>
:
Or − 9 = − ? ce qui correspond bien à -0,5
5°) On considère la fonction h définie sur ℝ par ℎ( ) = ( ) × ( ).
a°) Résoudre l’équation h(x) = 0.
On doit résoudre (6x+4)(-5x-2)=0. Un produit est nul ssi un des facteurs est nul. Les solutions sont donc les
valeurs de x qui annulent 6x+4 ou -5x-2. Les solutions sont donc -2/3 et -2/5. On le savait déjà d’après le
tableau de signe des fonctions f et g.
b°) Résoudre l’inéquation h(x) > 0.
En utilisant les tableaux de signe on a :
x
-∞
-2/3
- 2/5
Signe de
+
0
–
f(x)
Signe de
–
0
+
g(x)
Signe de
0
+
0
h(x)
Ainsi, h(x)>0 ssi
?
+∞
?
∈] − > ; − ; [
Exercice 4 :
Une entreprise de confection de vêtement propose à ses couturières deux types de contrats :
Contrat A : salaire mensuel fixe de 320 € auquel s’ajoute26 € par vêtement réalisés.
Contrat B : salaire mensuel fixe de 686 € auquel s’ajoute8 € par vêtement réalisés.
Temps de travail : 35 h/semaine.
Temps moyen pour la réalisation d’un vêtement : 4 h.
Quel est le contrat le plus avantageux ? Argumentez votre réponse.
Soit f la fonction qui donne le salaire par le contrat A en fonction du nombre de vêtements produits noté x.
On a f(x) = 320 + 26 x. Soit g définie de même pour le contrat B ; on a g(x) = 686 + 8 x.
Les fonctions f et g sont affines et croissantes. On constate que g(0) = 686 et f(0) = 320. On peut donc conjecturer
que pour peu de vêtements fabriqués le contrat B est préférable. On peut introduire une nouvelle fonction h qui
donne l’écart de salaire entre B et A suivant x : h(x) = g(x) – f(x)= 366 – 18x. h est une fonction affine décroissante.
Elle s’annule pour x=366/18≈20,3.
Ainsi le contrat B est préférable pour un nombre de vêtement inférieur à 20 et A devient valable au delà. Il reste à
vérifier que cet objectif de 20 vêtements est possible en un mois. Le nombre de vêtements réalisable est de
35×4 :4=35. Le contrat doit donc être choisi et il permettra d’obtenir un salaire d’environ 1230 €.