Suites numériques III - Les suites géométriques

Suites numériques
III - Les suites géométriques
1. Définition :
Une suite de terme général u n est une suite géométrique si chaque terme s’obtient en
multipliant le précédent par une constante. Cette constante est alors appelée raison de la suite.
u n +1 = u n × q
avec q constante (raison de la suite)
De même que la suite arithmétique, la suite géométrique est déterminée par la donnée de :
- Son premier terme
- Sa raison
Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut démontrer que le rapport
u n +1
est constant
un
(indépendante de n).
Exemples :
Ecrire quelques uns des premiers termes des suites géométriques suivantes :
1er terme : 1
1
2
4
1er terme : 1
1
-1
1
8
raison : 2
32
64
16
-1
raison : -1
-1
1…
1
raison : −
1er terme : 1
1
−
1
4
1
16
128…
−
1
64
1
256
1
4
−
1
...
1024
2. Expression du terme général d’une suite géométrique :
u0
×q
u1 = u 0 × q
×q
×q
u2 = u0 × q ²
un = u0 × q n
et
×q
u3 = u0 × q 3 …
u n = u i × q n−i
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Exemples :
u10 = u 6 × q 4
u15 = u11 × q 4
u 26 = u12 × q 14 …
1er exercice :
Les suites suivantes sont géométriques. Exprimer u n en fonction de n dans chacun des cas
suivants :
1
1. u 0 = − 2 et la raison est −
2
2. u 0 = − 1 et la raison est − 1
Solution :
 1 
= −2  − 
 2 
1. u n
2.
u n = − 1 (− 1)
un =
(− 1)
n
n
n +1
2ème exercice :
Les suites suivantes, de terme général u n , sont géométriques et de raison b . Déterminer
l’entier i dans chacun des cas suivants :
1
1
1. u 0 = 4 , u i =
,b =
4
2
2
8
4
2. u 1 =
, u5 =
,ui =
3
243
27
1
3. u 3 = − 1 6 , u 7 = − 1, u i =
8
Solution :
 1 
= 4 
 2 
1. u n
 1

 2
1
2i
n
i
1
 1 
donc u i = 4   =
4
 2 
i
1

 =
16

1
1
=
= 4
16
2
donc 2 i = 2 4
donc
i = 4
2. Essayons de déterminer b : u 5 = u 1 × b 4 =
2
8
× b4 =
3
243
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2
8
× b4 =
3
243
Si b =
donc
b
4
 2 
8×3
4
=
=
= 

243 × 2
8 1  3 
4
donc b =
2
2
ou b = −
3
3
2
:
3
2 2 
ui = 

3  3 
 2
donc 
 3 


i −1
=
i −1
4
27
2
9
=
i −1
2
 2
 2

 = 

 3 
 3 
donc i − 1 = 2 donc i = 3
On obtiendrait le même résultat en prenant b = −
2
3
3. u 7 = u 3 × b 4 = − 1 6 × b 4 = − 1
1
1
 1 
donc b =
= 4 =  
16
2
 2 
1
1
On a b =
ou b = −
2
2
i−7
ui = u7 × b
1
= ( − 1) b i − 7
8
4
4
On étudie les 2 cas :
1
1
 1 
Si b =
:
= ( − 1)  
2
8
 2 
1
 1 
− =  
8
 2 
Si b = −
i−7
i−7
 1 
n’a pas de solution car  
 2 
1
1
 1 
:
= ( − 1)  − 
2
8
 2 
3
1
 1 
 1 
− = −  = − 
8
 2 
 2 
i−7
est positif.
i−7
i− 7
Donc i − 7 = 3 soit i = 1 0
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3. Sommes des termes consécutifs d’une suite géométrique :
On cherche :
S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n
Trouvons la formule :
S = u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n = u 0 + u 0 q + u 0 q ² + ... + u 0 q n − 1 + u 0 q n
S = u 0 (1 + q + q ² + ... + q n − 1 + q n )
et q S = u 0 ( q + q ² + q 3 + ... + q n + q n + 1 )
donc S − q S = u 0 (1 − q n + 1 )
S (1 − q ) = u 0 (1 − q n + 1 )
Si q ≠ 1 , on a : S =
u 0 (1 − q n + 1 )
1− q
Formule à retenir :
Si u n est le terme général d’une suite géométrique de raison q ≠ 1 , alors :
u 0 + u 1 + u 2 + ... + u n − 1 + u n = u 0
1 − q n +1
1− q
ou encore :
s o m m e d e s t e r m e s c o n s é c u t if s = 1 e r t e r m e
1 − r a is o n n b d e te r m e s
1 − r a iso n
Exercices :
Calculer :
1. S = 2 + 4 + 8 + ... + 2 5 6
1
1
1
1
2. S =
+ +
+ ... +
2
8
32
128
1
1
1
3. S = 1 +
+
+ ... +
10 100
105
Solutions :
1. S = 2 + 4 + 8 + ... + 2 5 6
S = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 8
C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2. La somme
comporte 8 termes.
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S = 2
1 − 28
1 − 256
= 2
= 510
1− 2
1− 2
2. S =
1
1
1
1
+ +
+ ... +
2
8
32
128
2
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1  1 
1  1 
S =
+ × + ×
+ ... + ×
=
+ × + ×  + × 
2
2 4
2 16
2 64
2
2 4
2  4 
2  4 
C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme
3
1
1
et de raison
. La somme
2
4
comporte 4 termes.
4
S =
1
2
S =
2
3
 1 
1
1−  
1−
1
4
  =
256 = 1 × 4
×
×
1
3
2
2 3
1−
4
4
255
85
×
=
256
128
3. S = 1 +
S = 1+
1 

1 −

256 

1
1
1
+
+ ... +
10 100
105
1
1
1
+
+ ... +
2
10 10
105
C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison
1
. La somme
10
comporte 6 termes.
 1 
1− 

 10 
S = 1×
1
1−
10
S = 1, 1 1 1 1 1
6
=
1 − 0, 000001
0, 999999
=
0, 9
0, 9
4. Sens de variation d’une suite géométrique :
u n + 1 − u n = u 0 q n + 1 − u 0 q n = u 0 q n ( q − 1)
Etudions le signe de u n + 1 − u n :
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Cas où u 0 est positif :
Si q < 0 : q n n’a pas un signe constant, la suite n’est donc pas monotone.
Si q > 0 : q n > 0, le signe de u n + 1 − u n est alors le signe de ( q − 1)
0 < q < 1 ⇒ q − 1 < 0 ⇒ u n +1 − u n < 0
La suite est décroissante
q > 1 ⇒ q − 1 > 0 ⇒ u n +1 − u n > 0
La suite est croissante
q = 1 ⇒ q − 1 = 0 ⇒ u n +1 − u n = 0
La suite est constante
Théorème à retenir :
Une suite géométrique de premier terme positif et de raison positive est :
Croissante si sa raison est strictement supérieure à 1
Décroissante si sa raison est strictement inférieure à 1
Constante si sa raison est égale à 1.
Exemples :
u n = 2 n , suite de premier terme 1 et de raison 2 ⇒ La suite est croissante
n
1
1 
u n =   , suite de premier terme 1 et de raison
⇒ La suite est décroissante
3
3
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