Notion d`une variable aléatoire

Notion d’une variable aléatoire
Une variable aléatoire X est une fonction qui assigne des valeurs aux résultats d’une expérience.
L’ensemble des résultats distincts de l’expérience est l’espace fondamental, S. L’ensemble de
toutes les valeurs possibles de la variable X est l’espace de la variable, SX.
Exemple
L’expérience consiste à tirer à pile ou face deux fois. Définissons X comme le nombre de fois en
deux tirs que le résultat est « face » (F).
L’espace fondamental est S = {r1 = (P,P), r2 = (F,P), r3 = (P,F) et r4 = (F,F)}. Si le résultat est r1,
X = 0. Si le résultat est r2 ou r3, X = 1 et si le résultat est r4, X = 2. Alors, l’espace de la variable
est SX = {0, 1, 2}.
Nous pouvons définir des événements comme des fonctions de X. Par exemple, on dit que
l’événement A arrive si a < X ≤ b. Dans notre exemple, si on est intéressé à l’événement que nous
obtenons « pile » deux fois, on peut définir cet événement par l’événement où X = 0.
Fonction de répartition
La fonction de répartition de la variable X est FX(x). Elle est définie comme :
F X ( x) = P[ X ≤ x], − ∞ < x < ∞
(1)
Dans l’exemple ci-dessus, la fonction de répartition est démontrée à la Figure 1.
FX(x)
1
¾
¼
1
2
x
Figure 1 : Fonction de répartition de l’exemple ci-dessus
De notre exemple, on sait que P[X ≤ 0]=P[X = 0] = ¼. Et on sait que P[X < 0]=0. Alors, P[X ≤
a] = FX(a+) et P[X < a] = FX(a-).
Propriétés de la fonction de répartition
(1) 0 ≤ FX(x) ≤ 1 (parce que FX(x) est une probabilité).
(2) lim F X ( x) = 1 (la probabilité que -∞ ≤ X ≤ ∞ doit être 1).
x →∞
(3) lim F X ( x) = 0 (X<-∞ est le complément de -∞ ≤ X ≤ ∞).
x →−∞
(4) FX(x) est une fonction croissante, c'est-à-dire que pour a < b, FX(a) ≤ FX(b).
(L’événement A est arrive quand -∞ < X ≤ a est un sous événement de l’événement B qui
arrive quand ∞ < X ≤ b. Alors P[A] ≤ P[B] quand A ⊂ B ).
(5) FX(x) est une fonction continue de la droite. C'est-à-dire que FX(b) = P[X ≤ b] = FX(b+).
(Parce que l’événement X = b est inclut dans la valeur de FX(b)).
L’événement X ≤ a est un sous événement de l’événement X ≤ b pour a < b. Alors les
événements (X < a) U (a ≤ X ≤ b) = (X ≤ b). Alors P[X < a] + P[a ≤ X ≤ b] = P[X ≤ b] ou P[a ≤ X
≤ b] = P[X ≤ b] – P[X<a]. Alors :
P[a ≤ X ≤ b] = F X (b + ) − F X (a − )
(2)
De la même façon, on peut démontrer que
P[a < X ≤ b] = F X (b + ) − F X (a + )
(3)
P[a ≤ X < b] = F X (b − ) − F X (a − )
(4)
−
+
P[a < X < b] = F X (b ) − F X (a )
(5)
Si la fonction de répartition est continue à x = a et x = b, (2), (3), (4) et (5) sont équivalentes. La
probabilité que X = b est :
P[ X = b] = F X (b + ) − F X (b − )
(6)
Si la fonction de répartition est continue à x = b, FX(b+) = FX(b-) et P[X=b] = 0.
Exemple 2
Une variable aléatoire exponentielle a une fonction de répartition FX(x) = (1-e-λx )u(x). Le temps
d’attente est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle. Quand on attend un autobus, le
temps d’attente est aléatoire et λ est la fréquence moyenne des arrivées des autobus. Par
exemple, si la cédule des autobus disent qu’il a y un autobus à toutes les cinq minutes, λ = 1/5
min-1. Alors, si on arrive à l’arrêt d’autobus et λ = 1/5 min-1, trouvez
(a) La probabilité que son temps d’attente est inférieur à 2 minutes.
(b) La probabilité que son temps d’attente est au moins 5 minutes.
(c) La probabilité que son temps d’attente est entre 3 minutes et 8 minutes.
Solution
(a) P[X≤2] = FX(2) = 1-e-2/5 = 0.33.
(b) P[X>5] = 1-P[X≤5] = e-1 = 0.368
(c) P[3≤X≤8] = (1-e-8/5)-(1-e-3/5) = e-3/5-e-8/5 = 0.347.
Trois types de variables aléatoires
1) Variable aléatoire discrète
L’ensemble de la variable est nombrable. Alors, FX(x) prends la forme :
F X ( x ) = ∑ p ( x k )u ( x − x k )
(7)
k
où p(xk) = P[X=xk].
2) Variable aléatoire continue
L’ensemble de la variable est dénombrable. La valeur de la variable se retrouve sur une ou
plusieurs gammes. Par exemple SX = {x :a < x < b} ou SY = {y : a < y < b ou c <y < d}.
FX(x) est une fonction continue. Alors FX(x+) = FX(x-) et P[X =x] = 0 pour -∞ < x < ∞.
3) Variable aléatoire mixte
Parfois la valeur de la variable vient d’un ensemble dénombrable et parfois sa valeur vient d’un
ensemble nombrable. Par exemple, SX = {x : 0 < x < 2 ou x = 3}.
La fonction de densité de probabilité
La probabilité P[x < X ≤ x+Δx] est donné par :
P[ x < X ≤ x + Δx] = F X ( x + Δx) − F X ( x)
F X ( x + Δx ) − F X ( x )
=
Δx
Δx
(8)
F X ( x + Δx ) − F X ( x )
décrit la probabilité que X se trouve dans la région x < X ≤ x+Δx par unité de
Δx
x. Alors c’est une densité de probabilité. Si la densité est haute, la probabilité que la valeur de la
variable se trouve dans cet intervalle est haute.
Dans la limite où Δx tend vers 0, la fonction de densité de probabilité, fX(x), devient
f X ( x) = lim P[ x < X ≤ x + Δx] =
Δx → 0
dF X ( x)
dx
La fonction de densité de probabilité a les propriétés suivantes :
1) fX(x) ≥ 0 (parce que FX(x) est une fonction croissante).
2)
b
P[a ≤ X ≤ b] = ∫ f X ( x)dx
a
(9)
3)
F X ( x) =
x
∫ f X ( x' )dx'
−∞
4)
x
∫ f X ( x' )dx' = 1 (parce que FX(∞) = 1).
−∞
Exemple
Une variable uniformément distribuée
⎧K
f X ( x) = ⎨
⎩0
a≤ x≤b
ailleurs
La valeur de K se trouve de la propriété (4).
b
∫ Kdx
=
= 1
a
b
= Kx a
= 1
= K (b − a) = 1
Alors K = 1/(b-a). La fonction de densité de la variable uniformément distribuée entre a et b est :
⎧ 1
⎪
f X ( x) = ⎨ b − a
⎪⎩ 0
a≤ x≤b
ailleurs