Démonstration

Loi de Descartes
- ou comment sauver le plus rapidement possible une jeune femme de la noyade -
Superman travaillait tranquillement son dernier devoir de Sciences Physique sur
les circuits RLC, au balcon du dernier étage de la tour Montparnasse, lorsqu'il
entendit un cri aigu d'appel au secours. Une femme. "Au secooouuuuuurs, je me
noiiiiie, venez vite me sauver !". Aussitôt Superman enfila son habit de Super Héros
et décida de voler au secours de la jeune fille.
Mais un grand problème se posa à lui : comment aller du sommet de l'immeuble
jusqu'au fond du lac, sans perdre un seul millionième de seconde ?
Superman décida de réfléchir un peu (eh oui, ça lui arrive !). Le but est de
chercher le chemin pour lequel le temps de parcours de A (Superman) à B (la femme
qui se noie) est minimum.
Superman
Milieu 1 d’indice n1
Milieu 2 d’indice n2
Jeune femme
Schéma valable pour le cas n1 < n2
TPE 2002-2003
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Quelques données intéressantes
AI ² = ( x − x A )² + ( y − y A )²
BI ² = ( x − x B )² + ( y − y B )²
On pose les vitesses de Superman :
ƒ
ƒ
dans l’air : c (Superman vole à la vitesse de la lumière !)
d
dans l’eau : v
avec v =
t
On établit les temps de vol en supposant qu’il suit une géodésique :
BI
c
BI
t2 : temps de parcours dans l’air : t2 =
v
t AB : temps mis par Superman pour aller de A à B : t AB = t1 + t2
t1 : temps de parcours dans l’air : t1 =
AI BI
+
c
v
( x − x A )² + ( y − y A )²
=
+
c
→ t AB =
→ t AB
( x − x B )² + ( y − y B )²
v
Recherche de t AB min
On cherche l’abscisse x à laquelle notre Héros doit rentrer dans l’eau, de telle sorte
que t AB soit minimale. On cherche donc x tel que dt AB = 0
dx
1
1
dt AB 1 1
1 1
−
−
= × (...) 2 + × (...) 2 × 2( x − xB )
dx
c 2
v 2
x − xA
x − xB
1
1
=
+
c ( x − x A )² + ( y − y A )² v ( x − xB )² + ( y − y B )²
( )
1 AM 1 − BN
×
+ ×
c AI
v
BI
1
1
= sin i1 − sin i2
c
v
dt AB
Pour
=0
dx
1
1
On a sin i1 = sin i2
c
v
=
sin i1 = n × sin i2
Superman sait donc ce qu’il lui reste à faire. Mais malheureusement notre
pauvre super héros a mis trop de temps pour faire son calcul : les pompiers de la
ville ont été plus rapides que lui et ont sauvé la jeune femme de la noyade ! Et
c’est pour qui le bouche-à-bouche !
TPE 2002-2003
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