Propriétés de certains carrés magiques

Propriétés de certains carrés magiques
Bernard Ronk
7 juin 2012
Résumé
On s’intéresse ici aux curieuses propriétés de certains carrés magiques, peu souvent évoquées, et qui mériterait probablement de plus
amples développements.
Ces propriétés sont présentées soit sous forme numérique 1 , soit sous
forme de relation formelle à charge au lecteur d’en vérifier la véracité
s’il le souhaite.
Table des matières
1 Sur le carré magique d’ordre 3
1.1 Sommes de carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Extension aux carrés d’ordre supérieur
2.1 Carré magique d’ordre 5 . . . . . . . .
2.2 Carré magique d’ordre 7 . . . . . . . .
2.3 Carré magique d’ordre 9 . . . . . . . .
2.4 Justification d’un résultat . . . . . . .
.
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.
.
2
2
6
7
. 7
. 12
. 15
. 16
3 Obtention d’équations multidegrés idéales
18
4 Conclusion
20
1. Signalons déjà ici, ainsi qu’il est rappelé en page 2, que le point est systématiquement
utilisé comme symbole de la multiplication, aucune confusion avec le point décimal n’étant
possible puisque seuls des entiers sont exprimés.
1
1
Sur le carré magique d’ordre 3
Chacun connait le carré magique d’ordre 3. C’est le plus petit des carrés
magiques et il est unique, aux rotations et permutations près :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Etant magique, les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et de
chaque diagonale. sont égales entre elles.
Et on vérifie effectivement que :
4+9+2 = 3+5+7 = 8+1+6 = 4+3+8 = 9+5+1 = 2+7+6 = 4+5+6 = 8+5+2 = 15
Il se pourrait toutefois que, sous sa très grande simplicité, ce carré réserve
malgré tout quelques surprises.
1.1
Sommes de carrés
• Considérons chaque ligne du carré comme un nombre de 3 chiffres 2 lu
en base 10 et calculons la somme carrés de ces 3 nombres.
De façon plus précise, effectuons ce calcul en lisant ces nombres dans un
sens, puis dans l’autre. On obtient :
4922
=
242064
2942
=
86436
2
357
=
127449
2
753
=
567009
8162
=
665856
6182
=
381924
1035369
total
total
1035369
De manière inattendue, le total obtenu est indépendant du sens de lecture.
Effectuons le même calcul avec les colonnes :
4382
=
191844
8342
=
695556
9512
=
904401
1592
=
25281
2762
=
76176
6722
=
451584
total
=
1172421
total
=
1172421
2. Le mot chiffre doit être compris ici et dans la suite du texte comme une composante
dans une base b. Sa représentation décimale, dans une base plus grande que 10, peut
demander plusieurs chiffres.
2
Le résultat est encore indépendant du sens de lecture.
Cherchons alors les raisons de ce résultats et considérons pour cela la
représentation d’un nombre de 3 chiffres 0 ABC 0 exprimé dans une base b
quelconque 3 :
0
ABC 0 = A.b2 + B.b + C
soit, en prenant le carré :
0
ABC 02 = A2 .b4 + B 2 .b2 + C 2 + 2.A.B.b3 + 2.A.C.b2 + 2.B.C.b
Exprimé sous cette forme, les sommes précédentes de 3 carrés relatifs aux
lignes peuvent s’écrire :
4922
=
42 .b4
+
92 .b2
+
22
+ 2.4.9.b3
+ 2.4.2.b2
+
2.9.2b
3572
=
32 .b4
+
52 .b2
+
72
+
2.3.5.b3
+ 2.3.7.b2
+
2.5.7.b
2
2
+
2
6
+
3
2
+ 2.8.6.b
+
2.1.6.b
+
P
+
+
2.R.b2
+
2.S.b
816
=
4
+
1 .b
total
= M.b4
+
N.b2
2
8 .b
2
2.8.1.b
2.Q.b3
Une condition suffisante mais non nécessaire pour que les précédentes égalités entre sommes de 3 carrés soient vérifiées indépendamment de la base b
est que M = P et Q = S.
Or, on peut effectivement verifier que :
42 + 32 + 82 = 22 + 72 + 62 = 89
⇒
4.9 + 3.5 + 8.1 = 9.2 + 5.7 + 1.6 = 59
M =P
⇒
Q=S
(1)
(2)
La même explication prévaut pour la lecture des colonnes puisque :
42 + 92 + 22 = 82 + 12 + 62 = 101
(3)
4.3 + 9.5 + 2.7 = 3.8 + 5.1 + 7.6 = 71
(4)
D’où :
Propriété 1 La somme des carrés des lignes, lorsque celles-ci sont lues
comme des nombre de 3 chiffres, est indépendante du sens de la lecture et,
ceci, quelle que soit la base choisie.
Il en est de même pour les colonnes.
3. Dans tout ce qui suit la multiplication sera symbolisée par un point, ceci dans le but
d’alléger les expressions, . Tous les nombres étant entiers, il n’y a aucun risque de confusion
avec le point décimal.
3
On remarquera toutefois que les relations (1) et (2) autorisent un ensemble
bien plus grand d’égalités entre sommes de 3 carrés en utilisant l’algorithme
suivant :
Algorithme : Considérons une liste quelconque de nombres compris entre
0 et 3 inclus, par exemple {1, 1, 0, 3}. On peut construire le nombre de 4
chiffres correspondant, constitué successivement par la valeur contenue dans
la 1èrecolonne répétée une fois, puis zéro et enfin, la valeur contenue dans la
3ème colonne.
On obtient ainsi 4402 pour la 1ère ligne, puis 3307 et 8806 pour les deux
suivantes, ce qui constitue le premier triplet.
Pour obtenir le second triplet, il suffit d’utiliser les valeurs des colonnes
symétriques, lues en sens inverse. Ici, respectivement 2204, 7703 et 6608.
Et on obtient effectivement :
44022 + 33072 + 88062 = 22042 + 77032 + 66082 = 107 859 489
Ainsi :
Propriété 2 La propriété 1 s’étend à tous les ensembles de deux triplets de
n chiffres chacun, construits au moyen de l’algorithme ci-dessus.
• Outre les lignes et les colonnes, on peut, de plus, vérifier que les propriétés qui viennent d’être établies s’‘étendent aux diagonales brisées.
Réécrivons à cet effet le carré magique en le complétant par la réécriture,
dans la partie inférieure, des deux rangées supérieures selon :
4 9 2
3 5 7
8 1 6
4 9 2
3 5 7
Les 3 premières diagonales brisées se lisent 456, 312 et 897 et on vérifie que :
4562
=
207936
6542
=
427716
3122
=
97344
2132
=
45369
2
897
=
804609
2
798
=
636804
total
=
1109889
total
=
1109889
4
et, de la même manière pour les secondes diagonales brisées :
8522
=
725904
2582
=
66564
4172
=
173889
7142
=
509796
2
396
=
156816
2
693
=
480249
total
=
1056609
total
=
1056609
Ces égalités résultent, comme précédemment, à la fois de (1) et de :
4.5 + 3.1 + 8.9 = 9.7 + 5.6 + 1.2 = 95
(5)
3.9 + 8.5 + 4.1 = 5.2 + 1.7 + 9.6 = 71
(6)
Cependant, au lieu de compléter verticalement le tableau, on aurait pu le
compléter latéralement, soit :
4 9 2 4 9
3 5 7 3 5
8 1 6 8 1
d’où les nouvelles sommes de diagonales brisées :
4562
=
207936
6542
=
427716
2
=
956484
2
=
772641
2
231
=
53361
2
132
=
17424
total
=
1217781
total
=
1217781
8522
=
725904
2582
=
66564
2
174
=
30276
2
471
=
221841
6392
=
408321
9362
=
876096
total
=
1164501
total
=
1164501
978
879
et
Ces égalités résultent maintenant à la fois de (3) et de :
4.5 + 9.7 + 2.3 = 3.1 + 5.6 + 7.8 = 89
(7)
8.5 + 1.7 + 6.3 = 3.9 + 5.2 + 7.4 = 65
(8)
Soit, finalement :
5
Propriété 3 Les résultats définis par les propriétés 1 et 2 s’appliquent également aux diagonales brisées.
Et finalement, compte-tenu des propriétés de l’algorithme pécédemment
défini, on peut écrire :
Propriété 4 Les égalités proposées initialement et reliant 6 carrés de 3 chiffres,
valables aussi bien pour les lignes, les colonnes et les diagonales brisées ne
représentent finalementque des cas particuliers d’égalités bien plus générales
et en nombre infini que l’on peut construire à l’aide de l’algorithme défini
page 4.
1.2
Autres propriétés
Somme des termes Ai,j tels que i + j est pair
On écrit Ai,j le terme situé sur la ième ligne et la jème colonne.
X
Aji = 4 + 2 + 5 + 8 + 6 = 25 = 52
i+j pair
Somme des produits de 3 termes Calculons la somme des produits des
termes de chaque ligne ainsi que la somme des produits des termes de chaque
colonne selon :
4.9.2 + 3.5.7 + 8.1.6 = 4.3.8 + 9.5.1 + 2.7.6 = 225 = 152
(9)
On constate que ces deux résultats sont égaux. Ainsi :
Propriété 5 La somme des produits des termes de chaque ligne est égale à
la somme des produits des termes de chaque colonne.
Relations du 4ème degré On peut également vérifier que les relations (2)
et (4) restent vraies si on considère le carré de chaque facteur, soit :
42 .92 + 32 .52 + 82 .12 = 92 .22 + 52 .72 + 12 .62 = 1585
(10)
42 .32 + 92 .52 + 22 .72 = 32 .82 + 52 .12 + 72 .62 = 2365
(11)
6
2
2.1
Extension aux carrés d’ordre supérieur
Carré magique d’ordre 5
Dans cette section, nous allons chercher dans quelle mesure les résultas
obtenus pour le carré d’ordre 3 peuvent se retrouver dans des carrés d’ordre
supérieur.
De manière plus précise, nous allons nous intéresser à des carrés particuliers résultant d’un mode de construction précis, réservé aux carrés d’ordre
impair.
La construction définie ci-après pour le carré d’ordre 5 s’extrapole sans
difficulté à tous les carrés impairs :
On part du carré 5x5 et on ajoute à l’extérieur de chacun des 4 côtés une
pyramide décroissante de base 5 - 2 = 3. On obtient ainsi un nouveau carré
de 41 cases posé sur la pointe.
On remplit alors les 5 diagonales de 5 cases avec les nombres de 1 à 25
pour obtenir la figure suivante :
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
20
25
Il suffit alors de remarquer que chaque groupe de 3 nombres extérieurs
à un côté possède en contre-partie un ensemble de 3 cases vides disposées
identiquement du côté opposé, mais à l’intérieur du carré 5x5.
Il suffit de déplacer ces 3 nombres dans ces nouvelles cases, puis de répéter
cette opération pour chacun des 4 groupes de 3 cases.
Ainsi, les 3 valeurs supérieures, 1, 6 et 2, écrites en bleu prennent place
dans les 3 cases inférieures repérées par un carré bleu.
Après avoir réalisé cette opération sur les 4 côtés, on obtient alors le carré
magique d’ordre 5 suivant :
7
11 24
7
20
3
4
12 25
8
16
17
5
13 21
9
10 18
1
14 22
23
19
2
6
15
Sommes de carrés Nous pouvons maintenant vérifier si les relations précédentes s’étendent à ce carré d’ordre 5.
Notons Ai,j l’élément situé à ième ligne et à la j ème colonne, avec 0 < i, j < 6).
Un raisonnement identique au précédent amène à écrire qu’une condition
suffisante mais non nécessaire pour retrouver les propriétés précédentes en ce
qui concerne les lignes serait :
5
X
i=1
Ai,j .Ai,k =
5
X
Ai,6−j .A1,6−k
pour 0 < j, k < 6
(12)
i=1
Or, on peut vérifier qu’il en est bien ainsi. Soit :
pour j = k = 1 :
112 + 42 + 172 + 102 + 232 = 32 + 162 + 92 + 222 + 152 = 1055
pour j = k = 2 :
242 + 122 + 52 + 182 + 62 = 202 + 82 + 212 + 142 + 22 = 1105
i = 1 et k = 2
11.24 + 4.12 + 17.5 + 10.18 + 23.6 = 20.3 + 8.16 + 21.9 + 14.22 + 2.15 = 715
i = 1 et k = 3
11.7 + 4.25 + 17.13 + 10.1 + 23.19 = 7.3 + 25.16 + 13.9 + 1.22 + 19.15 = 845
i = 1 et k = 4
11.20 + 4.8 + 17.21 + 10.14 + 23.2 = 24.3 + 12.16 + 5.9 + 18.22 + 6.15 = 795
i = 2 et k = 3
24.7 + 12.25 + 5.13 + 18.1 + 6.19 = 7.20 + 25.8 + 13.21 + 1.14 + 19.2 = 665
De la même manière, on vérifie pour les colonnes que les expressions
suivantes sont toutes vérifiées :
5
5
X
X
Aj,i .Ak,i =
A6−j,i .A6−k,i pour 0 < j, k < 6
(13)
i=1
i=1
Soit :
112 + 242 + 72 + 202 + 32 = 232 + 62 + 192 + 22 + 152 = 1155
8
42 + 122 + 252 + 82 + 162 = 102 + 182 + 12 + 142 + 222 = 1105
11.4 + 24.12 + 7.25 + 20.8 + 3.16 = 10.23 + 18.6 + 1.19 + 14.2 + 22.15 = 715
11.17 + 24.5 + 7.13 + 20.21 + 3.9 = 17.23 + 5.6 + 13.19 + 21.2 + 9.15 = 845
11.10 + 24.18 + 7.1 + 20.14 + 3.22 = 4.23 + 12.6 + 25.19 + 8.2 + 16.15 = 895
4.17 + 12.5 + 25.13 + 8.21 + 16.9 = 17.10 + 5.18 + 13.1 + 21.14 + 9.22 = 765
Ainsi, toutes les propriétés (12) et (13) sont vérifiées. Par suite, comme
dans le cas du carré d’ordre 3 :
Propriété 6 La somme des carrés des lignes, lorsque celles-ci sont lues
comme des nombre de 5 chiffres dans une base choisie, est indépendante
du sens de la lecture et, ceci, quelle que soit la base.
Il en est de même pour les colonnes.
Enfin, cette égalité entre deux sommes de cinq carrés est généralisable
d’une manière analogue à ce que nous avons vu à l’occasion du carré de rang
3 (cf propriété 2).
A titre d’exemple, on peut faire le calcul 4 sur les lignes :
lecture directe
lecture inverse
11
24
7
20
3
18198819409
2596004401
4
12
25
8
16
2980723216
29112549376
17
5
13
21
9
31158957361
12626342689
10
18
1
14
22
13985900644
54891804100
23
6
19
2
15
56613064225
23710764289
Total
122937464855
122937464855
Qu’en est-il maintenant des diagonales brisées ?
Le lecteur pourra vérifier par lui-même que toutes les égalités analogues
à (12) sont encore vérifiée sur les diagonales brisées. La somme des carrés est
donc encore indépendante du sens de lecture et de la base choisie.
Vérifions-le en base 10 sur la 1ère diagonale et les 4 diagonales brisées qui
lui sont parallèles :
4. La première ligne se lit évidemment en base 10 dans le sens direct :
11.10000 + 24.1000 + 7.100 + 20.10 + 3 = 134903 avec 1349032 = 18198819409
et en sens inverse :
3.10000 + 20.1000 + 7.100 + 24.10 + 11 = 50951 avec 509512 = 2596004401
9
11
12
13
14
15
15241137025
27367415761
4
5
1
2
3
2036085129
1033879716
17
18
19
20
16
36144093456
33159317409
10
6
7
8
9
11403890521
9755512900
23
24
25
21
22
65911319824
59420400169
Total
130736525955
130736525955
Propriété 7 La somme des carrés des diagonales brisées, lorsque celles-ci
sont lues comme des nombre de 5 chiffres dans une base choisie, est indépendante du sens de la lecture et, ceci, quelle que soit la base.
Autres propriétés
• Somme des termes ai,j tels que i + j est pair. On trouve, en utilisant la
notation m mod 2 = reste de la division de m par 2 :
X
Ai,j = 169 = 132
(i+j) pair
• On systématise maintenant les recherches en vérifiant s’il existe des
relations de la forme :
5
X
i=1
Ai,j .Ai,k .Ai,l =
5
X
Ai,6−j .A1,6−k .Ai,6−l
pour 0 < j, k, l < 6
i=1
Et on trouve effectivement :
pour j = 1, k = 2 et l = 3 :
11.24.7. + 4.12.25. + 17.5.13. + 10.18.1. + 23.6.19. = 6955
7.20.3. + 25.8.16. + 13.21.9. + 1.14.22. + 19.2.15. = 6955
et pour j = 1, k = 3 et l = 4 :
11.7.20. + 4.25.8. + 17.13.21. + 10.1.14. + 23.19.2. = 7995
24.7.3. + 12.25.16. + 5.13.9. + 18.1.22. + 6.19.15. = 7995
soit :
et
5
X
Ai,1 .Ai,2 .Ai,3 =
5
X
i=1
i=1
5
X
5
X
Ai,1 .Ai,3 .Ai,4 =
i=1
i=1
10
Ai,3 .A1,4 .Ai,5
Ai,2 .Ai,3 .Ai,5
(14)
Evidemment, on retrouve deux relations strictement équivalentes pour
ce qui concerne les colonnes, soit :
11.4.17 + 24.12.5 + 7.25.13 + 20.8.21 + 3.16.9 = 8255
17.10.23 + 5.18.6 + 13.1.19 + 21.14.2 + 9.22.15 = 8255
et :
11.17.10 + 24.5.18 + 7.13.1 + 20.21.14 + 3.9.22 = 10595
4.17.23 + 12.5.6 + 25.13.19 + 8.21.2 + 16.9.15 = 18595
d’où :
5
X
A1,i .A2,i .A3,i =
5
X
i=1
i=1
5
X
5
X
A3,i .A4,i .A5,i
et
A1,i .A3,i .A4,i =
i=1
A2,i .A3,i .A5,i
i=1
• On étend maintenant la recherche aux quadruples produits en cherchant s’il existe des relations de la forme :
5
X
i=1
Ai,j .Ai,k .Ai,l .Ai,m =
5
X
Ai,6−j .Ai,6−k .Ai,6−l .Ai,6−m
0 < j, k, l, m < 6
i=1
On trouve deux solutions, chacune d’elles ne comportant que des carrés :
5
X
A2i,1 .A2i,3
=
i=1
5
X
A2i,3 .A2i,5
i=1
et
5
X
A2i,2 .A2i,3
=
5
X
A2i,3 .A2i,4
i=1
i=1
et on obtient évidemment des relations équivalentes avec la sommation sur
les colonnes.
• On s’intéresse enfin aux quintuples produits, c’est-à-dire à la seconde
grande propriété, celle qui est relative à la somme des produits des termes
de chaque rangée, il vient :
11
11.24.7.20.3 =
110880
4.12.25.8.16 =
153600
17.5.13.21.9 =
208845
10.18.1.14.22 =
55440
23.6.19.2.15 =
78660
total
=
607425
11.4.17.10.23 =
172040
24.12.5.18.6 =
155520
7.25.13.1.19 =
43225
20.8.21.14.2 =
94080
3.16.9.22.15 =
142560
total
=
607425
On retrouve encore le même résultat que pour le carré magique de rang
3, soit :
Propriété 8 Comme pour le carré d’ordre 3, la somme des produits des
termes de chaque ligne est égale à la somme des produits des termes de chaque
colonne dans ce carré d’ordre 5.
2.2
Carré magique d’ordre 7
On construit le carré d’ordre 7 en utilisant l’algorithme défini précédemment :
22 47 16 41 10 35
4
5 23 48 17 42 11 29
30
6 24 49 18 36 12
13 31
7 25 43 19 37
38 14 32
21 39
1 26 44 20
8 33
46 15 40
2 27 45
9 34
12
3 28
Somme de carrés On note encore ici Ai,j le terme situé à la ligne i et à
la colonne j, avec 0 < i, j < 8, et on peut vérifier directement que :
7
X
Ai,j .Ai,k =
i=1
7
X
Ai,8−j .Ai,8−k
∀ 0 < i, j < 8
A8−j,i .A8−k,i
∀ 0 < i, j < 8
i=1
et de même :
7
X
i=1
Aj,i .Ak,i =
7
X
i=1
et par suite, comme pour les carrés précédents :
Propriété 9 La somme des carrés des lignes, lorsque celles-ci sont lues
comme des nombre de 7 chiffres dans une base choisie, est indépendante
du sens de la lecture et, ceci, quelle que soit la base.
Il en est de même pour les colonnes.
Enfin, cette égalité entre deux sommes de 7 carrés se généralise d’une
manière analogue à ce que nous avons vu à l’occasion du carré de rang 3, en
étendant l’algorithme défini page 4 (cf propriété 2).
A titre, d’exemple, voici cette somme de carrés effectuée sur les lignes
(lues en base 10) de la matrice ci-dessus :
26902354
723736650741316
7643092
58416855320464
7801339
60860890192921
30542035
932815901941225
30891172
954264507533584
15831490
250636075620100
16199527
262424675023729
39356023
1548896546376529
39724060
1578000942883600
24664378
608331542126884
25013515
625675932655225
47754211
2280464668232521
47912458
2295603631601764
28653196
821005641014416
Total
6500567230632139
Total
6500567230632139
Enfin, le lecteur vérifiera 5 que la propriété ci-dessus s’étend là encore aux
diagonales brisées.
5. Il est clair que l’ensemble de ces vérifications supposent l’automatisation des calculs, autant pour éviter les calculs fastidieux que pour minimiser les risques d’erreur.
Toutefois, les valeurs croîssant rapidement avec l’ordre des carrés magiques, la programmation nécessite certaines précautions.
13
Autres relations
• Somme des termes ai,j tels que i + j est pair :
X
Ai,j = 625 = 252
(i+j) pair
• On s’intéresse comme précédemment aux produits multiples et on
trouve les relations suivantes.
•
Concernant les triples produits, on trouve les 5 solutions :
7
X
Ai,1 .Ai,4 .Ai,5 =
i=1
7
X
7
X
i=1
Ai,1 .Ai,4 .Ai,6 =
7
X
i=1
i=1
7
X
7
X
Ai,2 .Ai,3 .Ai,4 =
i=1
7
X
Ai,3 .Ai,4 .Ai,7
Ai,2 .Ai,4 .Ai,7
Ai,4 .Ai,5 .Ai,6
i=1
Ai,2 .Ai,4 .Ai,7 =
7
X
i=1
i=1
7
X
7
X
Ai,3 .Ai,4 .Ai,7 =
i=1
Ai,1 .Ai,4 .Ai,6
Ai,1 .Ai,4 .Ai,5
i=1
• Concernant les quadruples produits, on ne trouve que 3 solutions, ne
comportant encore que des carrés et de forme analogue aux solutions trouvée
dans le cas du carré d’ordre 5, soit :
7
X
A2i,1 .A2i,4
=
i=1
7
X
A2i,4 .A2i,7
i=1
En C++, les types entier long sont limités à 231 − 1 (ou 232 − 1 en unsigned long),
ce qui est souvent insuffisant. On peut alors utiliser les types entier long long (maxi =
264 −1 = 18 446 744 073 709 551 615) si le processeur et le compilateur utilisés l’autorisent.
A défaut on peut travailler avec les nombres réels long double mais il faut être vigilant dans l’emploi de ces types pour manipuler des entiers. En particulier, la recherche
d’un quotient entier suppose l’appel systématique de la fonction floorl() pour éliminer les
décimales
Quoi qu’il en soit, chacun de ces deux derniers types autorise la vérification ci-dessus
sans problème.
Au-delà, il faut utiliser des logiciels capables de calculer en multiprécision, par exemple
bc sous Linux, l’idéal restant toutefois de se construire sa propre bibliothèque de sousprogrammes spécialisés.
14
7
X
A2i,2 .A2i,4
=
i=1
7
X
7
X
A2i,4 .A2i,6
i=1
A2i,3 .A2i,4
=
i=1
7
X
A2i,4 .A2i,5
i=1
• Enfin, il n’y a pas de solution concernant les quintuples et les sextuples produits et la somme du produits des termes de chaque rangée n’est
plus, cette fois, identique selon que l’on considère les lignes ou les colonnes.
On peut vérifier en effet que :
Somme du produit des termes de chaque ligne : 7607481525
Somme du produit des termes de chaque colonne : 7609162225
2.3
Carré magique d’ordre 9
On étend les recherches au carré magique d’ordre 9, plus petite valeur
impaire non première, construit de la même manière que les précédents, soit :
37 78 29 70 21 62 13 54
5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47
7 39 80 31 72 23 55 15
16 48
8 40 81 32 64 24 56
57 17 49
9 41 73 33 65 25
26 58 18 50
1 42 74 34 66
67 27 59 10 51
2 43 75 35
36 68 19 60 11 52
3 44 76
77 28 69 20 61 12 53
On vérifie directement les résultats suivants :
X
Ai,j = 1681 = 412
(i+j) pair
15
4 45
9
X
Ai,j .Ai,k =
i=1
9
X
Ai,10−j .A1,10−k
pour 0 < j, k < 10
i=1
Ces résultats sont vrais à la fois pour les lignes, pour les colonnes et pour
les diagonales brisées.
Concernant les triples produits, on trouve les 3 solutions :
8
X
Ai,1 .Ai,3 .Ai,5 =
8
X
i=1
i=1
8
X
8
X
Ai,1 .Ai,5 .Ai,6 =
i=1
i=1
8
X
8
X
Ai,3 .Ai,4 .Ai,5 =
i=1
Ai,5 .Ai,7 .Ai,9
Ai,4 .Ai,5 .Ai,9
Ai,5 .Ai,6 .Ai,7
i=1
Concernant les quadruples produits, on trouve les 4 relations suivantes :
9
X
A2i,j .A2i,5
i=1
=
9
X
A2i,5 .A2i,10−j
∀ j ∈ {1, 2, 3, 4}
i=1
Ces deux derniers résultats sont valables pour les lignes et les colonnes, mais
pas pour les diagonales.
2.4
Justification d’un résultat
Soit un carré de côté N impair.
2
2
X
N +1
mérite d’être démontré.
Le résultat
Ai,j =
2
(i+j) pair
On peut remarquer à cet effet que dans la première étape de la contruction proposée, voir début du § (2.1), les seuls termes écrits dans le carré sont
précisément ceux dont on désire la somme.
N2 + 1
termes à sommer et ceux-ci, à l’exception du
Il y a exactement
2
terme central, sont tels que la somme de deux termes symétriques par rapport au centre vaut N 2 + 1.
16
N2 − 1
N2 − 1
couples. Leur somme vaut
.(N 2 + 1),
4
4
N2 + 1
, valeur du terme central soit :
somme à laquelle il faut ajouter
2
2
2
X
N2 + 1
N +1
N2 − 1
2
Ai,j =
.(N + 1) +
=
4
2
2
Il y a exactement
(i+j) pair
ou encore, en posant N = 2.n + 1 :
X
Ai,j = (2.n2 + 2.n + 1)2
(i+j) pair
17
3
Obtention d’équations multidegrés idéales
On notera préalablement que toutes les relations, soit directes comme
4922 + 3572 + 8162 = 2942 + 7532 + 6182
soit construites au moyen de l’algorithme décrit page 4, sont des (2,3)équations multidegrés 6 idéales. Elles sont en nombre infini mais présentent
moins d’intérét que la recherche des plus petites solutions.
• Le carré magique d’ordre 3 permet d’obtenir directement deux équations (3,2)-multidegrés idéales. En effet, 42 + 92 + 22 = 82 + 12 + 62 fournit :
[ 1, 6, 8 ]2 = [ 2, 4, 9 ]2
(15)
tandis que 42 + 32 + 82 = 22 + 72 + 62 fournit :
[ 1, 5, 6 ]2 = [ 2, 3, 7 ]2
(16)
soit les deux seules (2,3)-équations multidegrés dont les termes sont tous positifs, différents entre eux et inférieurs à 10.
A partir de (15), en ajoutant 5 à chaque terme et en combinant 7 , on
obtient la (3,4)-équation multidegré idéale :
[ 1, 7, 8, 14 ]3 = [ 2, 4, 11, 13 ]3
(17)
tandis qu’à partir de (16), et en ajoutant également 5, on obtient :
[ 1, 5, 8, 12 ]3 = [ 2, 3, 10, 11 ]3
6.
(18)
Voir sur mon site à ce sujet le document sur les Equations multidegrés.
On rappelle qu’une (m,n)-équation multidegré est une expression diophantienne de la
forme :
n
n
X
X
aik =
bik
k=1
k=1
vraie pour tous les exposants 0 ≤ i ≤ m.
On sait que n ≥ m + 1. Si n = m + 1, la (m,m+1)-équation multidegré est dite idéale.
7.
On rappelle que si on ajoute une méme valeur à chaque terme d’une (m,n)-équation
multidegré, on obtient une nouvelle (m,n)-équation multidegré et celle-ci conserve la différence de valeur entre les deux membres pour l’exposant n+1.
En combinant les deux, on peut alors obtenir une (m+1,2.n)-équation multidegré dont
certains termes peuvent se simplifier.
On peut ensuite en normaliser l’expression en décalant tous les termes de maniére à
ce que, tous les termes étant positifs, la plus petite valeur soit 1.
18
• Le carré magique d’ordre 5 fournit lui aussi des résultats. En effet, à
partir de 112 + 42 + 172 + 102 + 232 = 32 + 162 + 92 + 222 + 152 qui n’est
qu’une (2,5)-équation multidegré, on obtient en ajoutant 6 à tous les termes,
puis en combinant et en normalisant :
[ 1, 14, 14, 27 ]3 = [ 2, 9, 19, 26 ]3
(19)
tandis que, partant de 242 + 122 + 52 + 182 + 62 = 202 + 82 + 212 + 142 + 22 ,
on obtient par le même moyen :
[ 1, 10, 20, 29 ]3 = [ 4, 5, 25, 26 ]3
(20)
On obtient ainsi deux nouvelles (3,4)-équations multidegrés idéales.
L’utilisation des deux autres relations entre 10 carrés redonne les mémes
résultats.
• Les calculs analogues menés à partir du carré d’ordre 7 fournissent
respectivement :
[ 1, 26, 26, 51 ]3 = [ 2, 19, 33, 50 ]3
(21)
[ 1, 20, 34, 53 ]3 = [ 4, 13, 41, 50 ]3
(22)
[ 1, 14, 42, 55 ]3 = [ 6, 7, 49, 50 ]3
(23)
Ces résultats sont intéressants au point de vue des propriétés des carrés
magiques étudiés. Toutefois, ils ne présentent pas de caractére exceptionnel vu la profusion de solutions trouvées par recherche directe (voir mon
document sur les Equations multidegrés) pour ce qui concerne les (2,3) et
(3,4)-équations multidegrés idéales.
19
4
Conclusion
Nous avons mis en évidence des propriétés arithmétiques curieuses, voire
inattendues, de certains carrés magiques d’ordre impair. Ces propriétés ont
été, pour l’essentiel, constatées mais non démontrées.
En toute logique, la poursuite de l’étude devrait porter essentiellement
sur les deux points suivants :
– Rechercher d’autres propriétés, particulières ou générales, de ces carrés.
Il en existe nécessairement.
– Démontrer les propriétés ainsi trouvées. A cet égard, au vu des résultats obtenus, il semble licite de chercher à démontrer la proposition
suivante :
Quel que soit le carré magique de taille 2.n + 1 construit selon la méthode indiquée, on a toujours :
2.n+1
X
Ai,j .Ai,k =
2.n+1
X
i=1
Ai,2.n+2−j .Ai,2.n+2−k
∀ 0 < j, k < 2.n + 2
i=1
2.n+1
X
i=1
A2i,j .A2i,n
=
2.n+1
X
A2i,n .A2i,2.n+2−j
i=1
20
∀ 0 < j < 2.n + 2