Cours_Rhéologie_Chapitre II

Rhéologie des fluides complexes Chapitre 2 Fluides Non-Newtoniens USTOMB
2.1. Définition
Un fluide non-newtonien est un fluide ayant une viscosité apparente variable en
fonction de la vitesse de cisaillement.
2.2. Comportement non-newtonien indépendant du temps
2.2.1. Fluide rhéofluidifiant
Le fluide rhéofluidifiant est caractérisé par une diminution de la viscosité
apparente lorsque le gradient de vitesse augmente. La figure 2.1. Montre l’évolution de
la contrainte de cisaillement et de la viscosité apparente en fonction de la vitesse de
cisaillement.
80
0,7
0,6
60
τ
0,5
τ (Pa)
50
0,4
40
0,3
30
η
20
0,2
10
0,1
ηe
0
Viscosité apparente η (Pa.s)
70
0,0
0
200
400
600
.
800
1000
1200
-1
γ (s )
Figure 2.1 : Variation de la contrainte de cisaillement et de la viscosité apparente
en fonction de la vitesse de cisaillement pour un fluide rhéofluidifiant.
Les fluides sont représentés, en général, par une loi de puissance ou encoure loi
d’Ostwald waele.
=
(2.1)
Avec :
: Contrainte de cisaillement en Pa
: Vitesse de cisaillemment en s-1
K : Indice de consistance en Pa.sn
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1
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n : Indice d’écoulement sans dimension avec 0<n<1
L’indice d’écoulement n dépend du fluide considéré et caractérise son comportement.
On a ainsi :
=
Pour n=1 on a
( )
=
Pour n<1, n-1<0 donc
(
)
(2.2)
=constante le fluide est donc newtonien,
=
diminue avec le taux de cisaillement. Le fluide est donc
rhéofluidifiant.
Pour n>1, n-1>0 donc
augmente avec le taux de cisaillement. Le fluide est donc
rhéoépaississant.
2.2.2. Fluide rhéoépaississant
Les fluides rhéoépaississant sont des fluides dont la viscosité apparente
augmente en fonction de la vitesse de cisaillement (Figure 2.2)
20
18
20000
η
Viscosité apparente η (Pa.s)
16
14
15000
12
τ (Pa)
10
8
10000
6
τ
4
5000
2
0
0
-2
0
200
400
600
.
800
1000
1200
-1
γ (s )
Figure 2.2 : Variation de la contrainte de cisaillement et de la viscosité apparente
en fonction de la vitesse de cisaillement pour un fluide rhéoépaississant.
De préférence et pour une bonne observation des paramètres de l’équation rhéologique
d’état, on trace les rhéogrammes expérimentaux dans les coordonnées «Log-Log», c’està-dire la régression linéaire, afin de transformer la courbe en droite (voir Figure 2.3).
Lorsqu’on fait le logarithme de l’équation (2.1), on aura :
log( ) = log( ) +
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( )
(2.3)
2
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L’indice rhéologique (n) représente donc la pente de la droite et l’indice de
consistance (K) est donné par le point de rencontre de la courbe avec l’axe
correspondant à = 1.
10
Contrainte de cisaillement
1
α
0,1
Pente n=tan(α)
0,01
1E-3
1E-4
Log(K)
1E-5
1E-6
1E-3
0,01
0,1
1
10
100
1000
-1
Vitesse de cisaillement( s )
Figure 2.3 : Rhéogramme «Log-Log» d’un fluide Rhéofluidifiant
2.2.3. Limites du modèle d’Oswald
Le modèle d’Ostwald a des limites. On considère par exemple un fluide
rhéofluidifiant. D’après le modèle, la viscosité devrait diminuer indéfiniment lorsque le
taux de cisaillement augmente ; et vice versa, elle devrait augmenter indéfiniment
lorsque le taux de cisaillement diminue. On devrait donc obtenir une hyperbole de ce
type :
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0,7
0,6
η (Pa.s)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
200
400
600
.
800
1000
1200
-1
γ (s )
Figure 2.4 : Variation de la viscosité en fonction de la vitesse de cisaillement d’un fluide
un fluide rhéofluidifiant (Modèle d’Oswald).
Mais en réalité, on obtient la figure 2.5
Figure 2.5. Courbe d’écoulement réelle d’un fluide rhéofluidifiant
Donc on peut représenter la viscosité d’un tel fluide comme une loi de puissance
(Oswald) dans une certaine gamme de taux de cisaillement. Mais pour certaine
matériaux ce modèle ne pas valable comme par exemple les polymères dans ce cas le
modèle de Carreau représente d’une manière satisfaisante l’évolution de la viscosité en
fonction de la vitesse de cisaillement
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∞
∞
= 1+(
)
(
)/
(2.3)
Avec:
η0: la viscosité à cisaillement nul η∞: La viscosité à cisaillement infini , λ: Constante du
temps , n un exposant de loi de puissance et a est un paramètre qui décrit la transition
entre le comportement à faible cisaillement et la région en loi de puissance.
2.3. Fluides à contrainte de seuil
Certains produits comme les boues de forage, les encres d'imprimerie, le
dentifrice, etc... ont expérimentalement un comportement de fluide visqueux en
écoulement de cisaillement mais ont une fonction de cisaillement ( ) non nulle à
l'origine: il y a donc une discontinuité de la fonction de cisaillement à l'origine. On dit
qu'ils présentent un seuil de contrainte: il faut exercer une contrainte de cisaillement
minimale avant de démarrer l'écoulement (Figure 2.6). Ces matériaux ne sont donc pas
des fluides simples mais des matériaux plus complexes. Ce sont en général des
suspensions concentrées de particules solides dans un solvant. Ces particules
s'organisent, au repos, en une micro-structure qui confère à la suspension un
comportement de solide, puis, quand la micro-structure est suffisamment désorganisée,
la suspension à un comportement fluide.
30
Contrainte de cisaillement (Pa)
28
Bingham
26
24
Herschel-Bulkley
22
τ020
18
16
τ0
14
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
-1
Vitesse de cisaillement (s )
Figure 2.6 : Courbe d’écoulement d’un fluide à seuil
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2.4. Modèles rhéologique
2.4.1. Fluides de Bingham
Pour les liquides binghamiens, autrement dit ; liquides plastiques idéal, la
tension de cisaillement varie linéairement avec la vitesse de cisaillement mais, à la
différence des fluides newtoniens, il est nécessaire d’appliquer une force minimale pour
mettre le fluide en mouvement. Cette force correspond à la tension limite (critique) de
cisaillement
constantes ( ,
. L’équation rhéologique d’état de ce modèle est caractérisée par deux
):
=
(2.4)
+
Avec :
le seuil d’écoulement (Contrainte de seuil) en Pa,
: Viscosité plastique (de Bingham) déduite à partir de la pente de la courbe
représentant
= ( )en Pa.s
Remarque :
Si τ < τ ⟹ γ = 0
300
250
τ (Pa)
200
150
Pente ηB=tg(α)
α
100
50
0
0
100
200
300
.
400
500
-1
γ (s )
Figure 2.7 : Rhéogramme d’un fluide de type Bingham
2.4.1. Fluides de Herschel-Bulkley
Le modèle d’Herschel-Bulkley est celui permettant de décrire la plupart des
fluides plastiques, la courbe d’écoulement de tels fluides finit par devenir rectiligne au-
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delà d’une certaine contrainte critique appliquée (Voir figure 2.8). L’équation
rhéologique de ce modèle est donnée par la formule suivante :
=
(2.5)
+
Avec :
: Contrainte seuil (Pa)
K : Indice de consistance (Pa.sn)
n : Indice d’écoulement (-)
Le tableau 2.1 présente les principales lois rhéologiques d’écoulement utilisées
pour décrire le comportement des fluides à contrainte de seuil.
Tableau 2.1 : Les principales lois rhéologiques d’écoulement utilisées pour décrire le
comportement de tels fluides à contrainte de seuil
Modèle
Loi rhéologique
paramètres
: Contrainte seuil (Pa)
Bingham
=
+
: Viscosité plastique (Bingham)
(Pa.s)
=
+
: Contrainte seuil (Pa)
Herschel-
K : Indice de consistance (Pa.sn)
Bulkley
n : Indice d’écoulement (-)
: Contrainte seuil (Pa)
Casson générale
%
=
+(
%
)
: Viscosité plastique (Pa.s)
n : Indice d’écoulement (-)
: Contrainte seuil (Pa)
%
Casson
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/'
=
/'
+(
%
)
/'
: Viscosité plastique (Pa.s)
n : Indice d’écoulement (-)
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2.5. Méthodes de détermination de la contrainte de seuil
La méthode classique est la plus simple pour la détermination du seuil de
contrainte cette méthode consiste
à
extrapoler
la courbe
= ( ) en régime
permanent vers les faibles gradients. Dans ce cas la valeur du seuil de contrainte dépend
des nivaux de gradients de vitesse les plus faibles pour lesquels ont peu être obtenues.
La valeur du seuil de contrainte peut être déterminée mesures en oscillations.
Cette méthode est basée sur l’application d’un balayage en contrainte à une fréquence
constante. On étudie la réponse du matériau en observant l’évolution du modèle
élastique en fonction de la contrainte appliquée, puis on trace la variation du modèle
élastique (G’) en fonction de la contrainte appliquée en échèle logarithmique. Le seuil
de contrainte est correspond à l’abscisse du point d’intersection entre la tangente au
palataux et la tangente au point d’inflexion de la courbe G’=f(τ) (Figure 2.8).
Figure 2.8 : Détermination du seuil d’écoulement par les mesures en oscillations.
Une autre méthode consiste à tracé la déformation en fonction de la contrainte
en échèle logarithmiques, le seuil de contrainte est correspond à l’abscisse du point
d’intersection entre la tangente linaire et la tangent au point d’inflexion de la courbe
= ( ).
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