PS3 dns prod scal application

PS3 : Dns à rendre sur copie pour le 10 mai 2011
Exercice Simple (Pour les élèves qui n’ont pas obtenu la moyenne au dernier devoir surveillé)
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
1. Démontrer que l’équation x ² + y ² – 2 x – 2 y – 18 = 0 est celle d’un cercle (C) .
Déterminer les coordonnées de son centre I et son rayon.
2. Démontrer que les points A ( 3 ; 5 ) et B ( 5 ; –1 ) appartiennent au cercle (C) .
3. Déterminer une équation de la tangente en A, puis une équation de la tangente en B au cercle (C) .
4. Déterminer les coordonnées de T, le point d’intersection de ces deux tangentes
et vérifier s’il appartient à la médiatrice de [AB].
Exercice de recherche (Pour les élèves qui ont obtenu plus de 10 au dernier devoir surveillé)
3
2


 11 
;2 
2 
PARTIE I : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère les points B  ;4  et C 
1. Calculer les coordonnées du point A barycentre des points pondérés (B ; 7) et (C ; -3).
2. Soit (E) l’ensemble des points M(x ;y) du plan tels que 7MB² - 3MC² = -60.
a) Exprimer 7MB² - 3MC² en fonction de x et y.
b) En déduire que ( E ) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Calculer AB et AC, puis retrouver la nature de ( E ) en utilisant les propriétés du produit scalaire
pour transformer
PARTIE II :
7 MB² - 3 MC² en faisant intervenir le point A.
On considère un segment [ AB ] tel que AB = 4 cm
→
→
Déterminer l'ensemble (F) des points M du plan tels que : MA . MB = 10 (en faisant intervenir le milieu I de [AB] ).
PS3 : dns à rendre sur copie pour le 10 mai 2011
.
Exercice Simple(Pour les élèves qui n’ont pas obtenu la moyenne au dernier devoir surveillé)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
1. Démontrer que l’équation x ² + y ² – 2 x – 2 y – 18 = 0 est celle d’un cercle (C) .
Déterminer les coordonnées de son centre I et son rayon.
2. Démontrer que les points A ( 3 ; 5 ) et B ( 5 ; –1 ) appartiennent au cercle (C) .
3. Déterminer une équation de la tangente en A, puis une équation de la tangente en B au cercle (C) .
4. Déterminer les coordonnées de T, le point d’intersection de ces deux tangentes
et vérifier s’il appartient à la médiatrice de [AB].
Exercice de recherche (Pour les élèves qui ont obtenu plus de 10 au dernier devoir surveillé)
3
2


 11 
;2 
2 
PARTIE I : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère les points B  ;4  et C 
1. Calculer les coordonnées du point A barycentre des points pondérés (B ; 7) et (C ; -3).
2. Soit (E) l’ensemble des points M(x ;y) du plan tels que 7MB² - 3MC² = -60.
a) Exprimer 7MB² - 3MC² en fonction de x et y.
b) En déduire que ( E ) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Calculer AB et AC, puis retrouver la nature de ( E ) en utilisant les propriétés du produit scalaire
pour transformer
7 MB² - 3 MC² en faisant intervenir le point A.
PARTIE II : On considère un segment [ AB ] tel que AB = 4 cm
→
→
Déterminer l'ensemble ( F ) des points M du plan tels que : MA . MB = 10 (en faisant intervenir le milieu I de [AB] )
PS3 : Corrigé du dns à rendre sur copie pour le 10 mai 2011
.
Exercice Simple(Pour les élèves qui n’ont pas obtenu la moyenne au dernier devoir surveillé)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
1. Démontrer que l’équation x ² + y ² – 2 x – 2 y – 18 = 0 est celle d’un cercle (C). Déterminer le centre I , le rayon.
x ² + y ² – 2 x – 2 y – 18 = 0 <=> (x-1)²+(y-1)² = 20.
( C ) est donc le cercle de centre I(1 ;1) et de rayon : 20 = 2 5
2. Démontrer que les points A ( 3 ; 5 ) et B ( 5 ; –1 ) appartiennent au cercle (C) .
(3-1)²+(5-1)² = 2²+4² = 4 +16 = 20. Donc A appartient au cercle car ses coordonnées en vérifient l’équation.
(5-1)²+(-1-1)² = 4²+(-2)² = 16 +4 = 20. Donc B appartient au cercle car ses coordonnées en vérifient l’équation.
3. Déterminer une équation de la tangente en A, puis une équation de la tangente en B au cercle (C) .
Soit TA la tangente en A au cercle ( C ) et soit TB sa tangente en B.
 x − 3   3 − 1 
 ⊥ IA 
 <=> (x-3) ×2+(y-5)× 4 =0 <=> 2x+4y-26 = 0.
 y − 5
 5 − 1
 x − 5   5 − 1 
<=> BM 
 ⊥ IB 
 <=> (x-5) ×4+(y+1)×(-2) = 0 <=> 4x-2y-22 = 0.
 y + 1
 −1 − 1
M(x ;y) appartient à TA <=> AM 
M(x ;y) appartient à TB
4. Coordonnées de T, point d’intersection de ces deux tangentes et appartenance à la médiatrice de [AB].
2x+4y-26 =0
2x+4y-26 =0
2x+4y-26 =0
2x+12-26 =0
 x=7
M(x ;y) ∈ TA ∩ TB ⇔ 
⇔
⇔
⇔
⇔
4x-2y-22 =0
2x-y-11 =0
5y-15 =0
 y=3
 y=3
TA et TB ont donc pour point d’intersection T( 7 ;3).
AT= (7-3)²+(3-5)² = 4² + (−2)² = 20 et BT= (7-5)²+(3+1)² = 2² + 4² = 20
Puisque AT=BT, on peut conclure que T appartient à la médiatrice de [AB].
Exercice de recherche (Pour les élèves qui ont obtenu plus de 10 au dernier devoir surveillé)
3
2


 11 
;2 
2 
PARTIE I : Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère les points B  ;4  et C 
1. Calculer les coordonnées du point A barycentre des points pondérés (B ; 7) et (C ; -3).
1  3
11  1  21 − 33  −12
3
=−
 7 × − 3×  = 
=
7-3  2
2  4  2  2× 4
2
1
1
22 11
Ordonnée de A : ( 7 × 4 − 3 × 2 ) = ( 28 − 6 ) =
=
4
4
4
2
Abscisse de A :
 −3 11 
; 
 2 2
A
2. Soit (E) l’ensemble des points M(x ;y) du plan tels que 7MB² - 3MC² = -60.
a) Exprimer 7MB² - 3MC² en fonction de x et y.
 3  2
  11  2

7MB²-3MC² = 7  x-  +(y-4)²  -3  x-  +(y-2)² 
 2 
  2 

9
121

 

+ y² − 4 y + 4 
= 7  x²-3x+ +y²-8y+16  -3  x²-11x+
4
4

 

7MB²-3MC² = 4x²+12x+4y²-44y+25
Donc 7MB²-3MC²= -60 ⇔ x²+3x+y²-11y=-
85
4
2
2
2
2
85 9 121
 3   11 
⇔  x+  +  y-  = - + +
4 4 4
 2  2 
45
 3   11 
7MB²-3MC²= -60 ⇔  x+  +  y-  =
4
 2  2 
(*)
b) En déduire que ( E ) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
 −3 11 
;  et de rayon
 2 2
D’après l’équation (*) , ( E ) est un cercle de centre A 
45
45 3 5
=
=
4
2
2
3. Retrouver la nature de ( E ) en utilisant les propriétés du produit scalaire .
En utilisant les formules de distances, on obtient :
AB²=
45
245
45 3 5
245 7 5
et AC²=
donc AB=
=
et AC=
=
4
4
4
2
4
2
Puis :
7MB² - 3MC²
= 7MB² - 3MC²
2
2
= 7 MA + AB - 3 MA + AC (relation de Chasles)
2
2
2
2
=7 MA + 2MA.AB + AB − 3 MA + 2MA.AC + AC
(
(
) (
)
) (
(
2 = 4MA² +7AB - 3AC²+2MA. 7AB − 3AC
()
)
)
45
245 = 4MA² +7 × - 3 ×
+2MA. 0 car A est le barycentre de (B;7) et (C;-3)
4
4
=4MA² -105
Ainsi :
M ∈ ( E ) ⇔ 7MB²-3MC²=-60
⇔ 4MA² -105 = -60
⇔ 4MA² =45
45
⇔ MA² =
4
Ceci permet de retrouver que le fait que ( E ) est le cercle de centre A et de rayon
45 3 5
=
4
2
PARTIE II : On considère un segment [ AB ] tel que AB = 4 cm
→
→
Déterminer l'ensemble ( F ) des points M du plan tels que : MA . MB = 10 (en faisant intervenir le milieu I de [AB] )
M ∈ ( F ) ⇔ MA.MB = 10
⇔ MI + IA . MI + IB = 10 (relation de Chasles)
⇔ MI + IA . MI − IA = 10 car I est le milieu de [ AB]
2 2
⇔ MI − IA = 10
2
AB
⇔ MI − 2 2 = 10 car IA=
=2
2
⇔ MI² = 14
(
(
)(
)(
)
)
Conclusion : ( F ) est le cercle de centre I (milieu de [AB] ) et de rayon 14 .