Le déterminant de Vandermonde - Epsilon 2000

Le déterminant de Vandermonde
Soient n un entier supérieur ou égal à 2 et a1 , . . . , an n éléments d’un corps K. On appelle déterminant de
Vandermonde l’élément de K défini par :
1
1
V (a1 , . . . , an ) = .
..
1
1
1.1
a1
a21
...
a2
..
.
a22
..
.
...
an
a2n
...
an−1
1
an−1
2
.. . n−1 an
Une première démonstration
Relation de récurrence
On rappelle qu’on ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une ligne (resp. une colonne) une
combinaison linéaire des autres lignes (resp. colonnes). Notons L1 , . . . , Ln les lignes du déterminant ci-dessus.
Pour tout k ∈ J2, nK, effectuons l’opération suivante : Lk ← Lk − L1 . On a alors :
1
a1
a21
...
an−1
1
n−1 0 a2 − a1 a22 − a21 . . . an−1
− a1 2
V (a1 , . . . , an ) = .
..
..
..
..
.
.
.
n−1 0 an − a1 a2n − a21 . . . an−1
− a1
n
Effectuons un développement suivant la première colonne, puis mettons en facteur ak − a1 sur chaque ligne
(k ∈ J2, nK) :
1
1
Y
V (a1 , . . . , an ) =
(ak − a1 ) × .
..
26k6n
1
a2 + a1
a22 + a1 a2 + a21
...
a3 + a1
..
.
a23 + a1 a3 + a21
..
.
...
an + a1
a2n + a1 an + a21
...
En effectuant successivement les opérations Ck ← Ck −
k−1
P
i=1
an−2
+ a1 an−3
+ · · · + an−2
2
2
1
n−3
n−2 an−2
+
a
a
+
·
·
·
+
a
1 3
3
1
..
.
n−2 n−3
an−2
+
a
a
+
·
·
·
+
a
1
n
n
1
ai1 Ci pour k ∈ J2, n − 1K, on obtient :
1
1
Y
V (a1 , . . . , an ) =
(ak − a1 ) × .
..
26k6n
1
a2
a22
...
a3
..
.
a23
..
.
...
an
a2n
...
an−2
2
n−2 a3 .. . an−2
n
c’est-à-dire
V (a1 , . . . , an ) =
Y
(ak − a1 ) × V (a2 , . . . , an ).
26k6n
1
Le déterminant de Vandermonde
1.2
Démonstration par récurrence
Q
Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note P(n) la propriété : V (a1 , . . . , an ) =
(aj − ai ).
16i<j6n
1 a 1
Pour n = 2 : soient a1 , a2 ∈ K. V (a1 , a2 ) = = (a2 − a1 ) donc P(2) est vraie.
1 a2 Soitn ∈ N, n > 2. Supposons P(n) vraie. Soient a1 . . . an+1 ∈ K.
Y
V (a1 , . . . , an+1 ) =
(ak − a1 ) × V (a2 , . . . , an+1 )
(relation de récurrence)
26k6n+1
Y
=
Y
(aj − ai )
(hypothèse de récurrence)
26i<j6n+1
26k6n+1
=
Y
(ak − a1 ) ×
(aj − ai )
16i<j6n+1
donc P(n + 1) est vraie.
D’après le principe de récurrence, on en déduit que P(n) est vraie pour tout n > 2.
2
2.1
Une deuxième démonstration
Relation de récurrence
Soient n ∈ N, n > 2, a1 , . . . , an ∈ K. On a :
1
.
.
.
V (a1 , . . . , an−1 , X) = 1
1
a1
..
.
a21
..
.
...
an−1
a2n−1
...
X
X
2
an−1
1
.. . n−1 an−1 X n−1 ...
V (a1 , . . . , an−1 , X) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 (il suffit pour cela de développer le
déterminant suivant la dernière ligne). Soit k ∈ J1, n − 1K. V (a1 , . . . , an−1 , ak ) = 0 car c’est un déterminant
ayant deux lignes égales. a1 , . . . , an−1 sont donc des racines du polynôme V (a1 , . . . , an−1 , X). compte-tenu du
n−1
Q
degré de ce polynôme, il existe donc λ ∈ K tel que V (a1 , . . . , an−1 , X) = λ
(X − ak ). Le coefficient de
k=1
X n−1 est λ. Par ailleurs, en développant V (a1 , . . . , an−1 , X) suivant la dernière ligne, le coefficient de X n−1 est
V (a1 , . . . , an−1 ) donc λ = V (a1 , . . . , an−1 ) et on a :
V (a1 , . . . , an−1 , an ) = V (a1 , . . . , an−1 ) ×
n−1
Y
(an − ak ).
k=1
2.2
Démonstration par récurrence
Q
Pour n entier supérieur ou égal à 2, on note P(n) la propriété : V (a1 , . . . , an ) =
(aj − ai ).
16i<j6n
1 a 1
Pour n = 2 : soient a1 , a2 ∈ K. V (a1 , a2 ) = = (a2 − a1 ) donc P(2) est vraie.
1 a2 Soitn ∈ N, n > 2. Supposons P(n) vraie. Soient a1 . . . an+1 ∈ K.
Y
V (a1 , . . . , an+1 ) =
(an+1 − ak ) × V (a1 , . . . , an )
(relation de récurrence)
16k6n
=
Y
(an+1 − ak ) ×
Y
(aj − ai )
(hypothèse de récurrence)
16i<j6n
16k6n
=
Y
(aj − ai )
16i<j6n+1
donc P(n + 1) est vraie.
D’après le principe de récurrence, on en déduit que P(n) est vraie pour tout n > 2.
S. Duchet - http://epsilon.2000.free.fr
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