forme de la surface de von Mises

Représentation de la contrainte équivalente de von Mises
Pierre CELLE
[email protected]
26 novembre 2004
1
La contrainte de von Mises dans l’espace des contraintes principales
1.1
Expression de la contrainte équivalente de von Mises
Soit un état de contrainte principal identique à celui de la figure 1.
s2
s1
s1
s3
s2
Fig. 1 – Etat de contrainte principal
La contrainte de Cauchy, associé à cet état de contrainte s’écrit :


σ1 0 0
σ =  0 σ2 0 
0 0 σ3
La contrainte moyenne s’exprime : σm =
σ1 +σ2 +σ3
3
Le déviateur des contraintes s = σ − σm I s’écrit alors :


2 σ1 − σ2 − σ3
0
0
1

0
2 σ2 − σ1 − σ3
0
s = σ − σm I =
3
0
0
2 σ3 − σ1 − σ2
q
La contrainte équivalente de von Mises s’exprime : σeq = 32 sij sji
r h
i
1
(2 σ1 − σ2 − σ3 )2 + (2 σ2 − σ1 − σ3 )2 + (2 σ3 − σ1 − σ2 )2
σeq =
6
1.2
(1)
(2)
(3)
Influence de la contrainte hydrostatique sur la surface de charge
L’expression de la contrainte équivalente de von mises fait intervenir le déviateur des contraintes. L’influence de la contrainte moyenne sur cette contrainte est donc nulle. Cela signifie que la forme de la surface
1
1
LA CONTRAINTE DE VON MISES DANS L’ESPACE DES CONTRAINTES PRINCIPALES
2
de charge est indépendante de la contrainte hydrostatique (contrainte moyenne).
Un état de contrainte hydrostatique constant correspond donc à un état de contrainte situé dans le plan
σ1 + σ2 + σ3 = cte (appelé pour cette raison plan hydrostatique). La normale à se plan est la trisectrice des
contraintes. La contrainte équivalente de von Mises étant indépendante de la contrainte hydrostatique, elle
sera donc invariante suivant l’axe de trisectrice.
Représenter la contrainte de von Mises dans l’espace des contraintes principales revient donc à rechercher
la forme de la surface dans un plan hydrostatique quelconque.
1.3
Changement de repère
On cherche à effectuer un changement de repère de manière à exprimer la contrainte équivalente de von
Mises dans un repère donc l’un des axes est la trisectrice des contraintes.
n2
y
z
x
n1
n3

1
~n1 =  0 
0 (~n

n2 ,~
n3 )
1 ,~
Fig. 2 – Changement de repère
 
 
0
0
~n3 =  0 
~n2 =  1 
1 (~n ,~n
0 (~n ,~n ,~n )
1
2
3
1
n3 )
2 ,~
 √
3
 √ 3
3
Le vecteur tangent ~z associé à la trisectrice des contraintes s’écrit : ~z = 
 √ 3
3
3




(~
n1 ,~
n2 ,~
n3 )
En ce qui concerne les deux autres vecteurs, ils peuvent être déterminés de manière quelconque. Ils sont
situés dans le plan hydrostatique. Nous avons choisit :
 √ 
 √ 
6
2
2 
 √ 6 
 √

6
~y = ~z ∧ ~x = 
~x = ~n1 − ~n2 =  − 2 

√ 6 
2
0
−2 6 6
(~
n ,~
n ,~
n )
1
2
3
(~
n1 ,~
n2 ,~
n3 )
La matrice de passage du repère des contraintes principales au nouveau repère s’écrit donc :
 √

√




2
−
2
0
σx
σ1
√
 √ 2 √ 2

 σy 
6
6
6   σ2 
=
(4)
 √ 6 √ 6 −2
6 
√
σz (~e ,~e ,~e )
σ3 (~n ,~n ,~n )
3
3
3
x y z
1 2 3
3
3
3
La matrice obtenu étant une matrice de changement de repère son inverse est égal à sa transposé. On a
donc :
2
SURFACE DANS LE PLAN (σ1 , σ2 )
3
 √
√
√ 


2
6
3
σ1
2
√ 6
√ 3  σx
 √
 σ2 
6
3   σy 
− 2
=

2
√ 6 √ 3 
σ3 (~n ,~n ,~n )
σz (~e ,~e ,~e )
3
0
−2 6 6
x y z
1 2 3
3
L’expression de la contrainte de von Mises dans ce nouveaux repère devient :
v 
u
!2
!2
!2 
√
√
√
√
√
u
1
2
6
2
6
6
u
σx + 3
σy
+ −3
σx + 3
σy
+ −6
σy 
σeq = t  3
6
2
6
2
6
6


(5)
(6)
Soit après simplification :
r
σeq =
1 2
3 σx + 3 σy2
2
La surface associé à la contrainte équivalente de von Mises est donc un cercle de rayon
du déviateur.
(7)
q
2
3
dans le plan
Cette contrainte étant indépendante de la contrainte hydrostatique donc de la position sur la trisectrice
des contraintes, on en déduit simplement que la surface de charge associé à von Mises est un cylindre.
n2
z
n1
n3
Fig. 3 – Surface de von Mises dans le plan des contraintes principales
2
Surface dans le plan (σ1 , σ2 )
Pour σ3 = 0 on a :
r
σeq =
1 2
6 σ1 + 6 σ22 − 6 σ1 σ2
6
(8)
Soit :
σeq
q
=
σ12 + σ22 − σ1 σ2
(9)
Cette courbe est une conique. Recherchons les directions principales de la conique afin d’effectuer un
changement de repère.
D’une manière générale l’équation d’une conique peut s’écrire sous la forme :
g(x, y) = α x2 + 2 β x y + γ y 2 + δ x + y + c
(10)
2
SURFACE DANS LE PLAN (σ1 , σ2 )
En utilisant X =
avec : M =
α β
β γ
x
y
4
, on peut écrire :
g(x, y) = X T M X + U T X + c
δ
U=
ε
(11)
Les directions principales de la conique sont données par les vecteurs propres de la matrice M .
Dans notre cas :
M=
1
−1/2
−1/2
1
(12)
Soit après diagonalisation :
1
/2 0
M =
0 3/2
0
(13)
Les vecteurs propres sont alors :
√ !
√ !
2
− 2
~2 =
~1 =
√ 2
√ 2
V
V
2
2
2
2
On peut donc obtenir la matrice de changement de base (qui correspond à une rotation de
√
√ !
2
2
−
√ 2 √ 2
R=
2
2
2
2
−1
σ = R σ̃ R avec σ̃ tenseur des contraintes dans le nouveau repère.
Finalement on a :
s
σeq =
σ̃12 3 σ̃22
+
2
2
π
4)
:
Il s’agit bien de l’équation d’une ellipse de grand rayon a =
centre O (0, 0)
(14)
√
2 σeq , de petit rayon b =
q
2
3
σeq et de