DM 9, bis : fractions égyptiennes Introduction La

D.M. 9, bis : fractions égyptiennes
Pour le lundi 17 décembre
Introduction
ll y a environ 4000 ans, les égyptiens inventèrent une curieuse arithmétique des fractions qui
repose sur l’écriture de tous les nombres rationnels entre 0 et 1 comme somme de fractions dont le
numérateur vaut toujours 1, c’est-à-dire de la forme n1 , qu’on appelera ici fractions unités et dont
les dénominateurs sont deux à deux distincts. Par exemple, 23 est la somme de 12 et 16 . De telles
sommes sont appelées fractions egyptiennes. Comme autres exemples une fraction égyptienne pour
1
1
6
1
1
1
3
5 est 2 + 10 ou encore 19 = 4 + 19 + 76 .
1. Exprimer 54 ,
9
10
et
11
12
comme fractions égyptiennes.
2. Trouver deux fractions égyptiennes différentes pour
7
12 .
N.B. Pour jouer le jeu, vous devez résoudre 1. et 2. avant de lire la suite !
La méthode de Fibonacci
1. Algorithme pour écrire les nombres entre ]0, 1[ comme fraction égyptienne :
Cet algorithme n’est pas égyptien : on ne connaı̂t pas la méthode des éqyptiens. Il est de 1202, dû à
Leonardo di Pisa, plus connu sous le nom de Fibonacci.
Idée : soit x = a/b ∈ Q∩]0, 1[ avec a ∧ b = 1. Soit n0 le plus petit entier naturel tel que
1/n0 ≤ x.
On pose x1 = x − n10 = a1 /b1 avec a1 ∧ b1 = 1.
Et on recommence pour x1 (on a un n1 etc..).
(a) Justifier que 0 ≤ a1 < a. Qu’en conclure sur l’algorithme ?
(b) Justifier que l’on a bien n0 < n1 < · · · < nk .
(c) Appliquer cet algorithme à
6
19 .
Le résultat est-il identique à la décomposition ci-dessus ?
2. Un détour par la série harmonique : pour tout n ∈ N∗ , on note Hn =
n
X
1
. On va montrer
k
k=1
que Hn −→ +∞.
n→+∞
(a) Justifier que (Hn ) a une limite dans R ∪ {+∞}.
1
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, H2n − Hn ≥ .
2
(c) Conclure.
3. Ecriture de 1 avec des dénominateurs aussi grands qu’on veut :
(a) Soit n un entier ≥ 2. Montrer qu’il existe p > n tel que :
1
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
<1≤ +
+ ··· + .
n n+1
p−1
n n+1
p
(b) En déduire que pour tout n ∈ N, on peut écrire 1 comme une fraction égyptienne dont
toutes les fractions ont des dénominateurs plus grands que n.
4. En déduire que tout nombre dans Q+∗ peut s’écrire comme une fraction égyptienne.
MPSI 1
1
D.M. 9, bis