Corrigés Exercices donnés le 7 déc 2012

Exercice 1 (PG2 2 009)
Exercice 2 (Master 2009-2010)
1.
Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel n par trois est 2. Quel est le reste de la division euclidienne par trois de
l’entier suivant n ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
2.
a- Voici trois entiers naturels consécutifs : 12, 13, 14. Vérifier que leur somme est bien divisible par 3. Effectuer la même
vérification pour 36, 37, 38. (0,25 pt)
b-Démontrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 3. (0,5 pt)
3.
a- Voici trois entiers naturels consécutifs : 12, 13, 14. Elever au carré, ces trois nombres. Effectuer la somme des trois nombres
ainsi obtenus. Quel est le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de 12, 13, 14 ? (0,5 pt)
b-Quel est le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de trois entiers naturels consécutifs ? (0,75 pt)
4.
La somme de quatre entiers naturels consécutifs est-elle toujours divisible par 4 ? (0,5 pt)
Exercice 3
1.
2.
3.
4.
5.
Choisissez trois chiffres distincts, calculer leur somme s
En permutant ces trois chiffres formez les six nombres possibles inférieurs à 1000
Calculez la somme S de ces nombres.
Quel est le quotient de la division euclidienne de S par s ?
Prouvez que le quotient de S par s est toujours le même.
Exercice 2 –
1- Le reste de la division euclidienne d’un entier naturel n par trois est 2. Quel est le reste de la division euclidienne par trois de
l’entier suivant n ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
On traduit le fait que 2 est le reste de la division euclidienne d’un nombre entier naturel n par 3 par l’égalité suivante : n = 3 ×
k + 2.
D’où n + 1 = 3 × k + 2 + 1
n+1= 3k+3=3(k+1)
Le reste de la division euclidienne par trois de l’entier suivant n est 0.
2- a- Voici trois entiers naturels consécutifs : 12, 13, 14. Vérifier que leur somme est bien divisible par 3. Effectuer la même
vérification pour 36, 37, 38. (0,25 pt)
12 + 13 + 14 = 39 ; 39 = 3 × 13 + 0 ; 39 est divisible par 3
36 + 37 + 38 = 111 ; 111 = 3 × 37 + 0 ; 111 est divisible par 3 (ou bien 1 + 1 + 1 = 3 donc 111 est divisible par 3)
b-Démontrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 3. (0,5 pt)
Soit n un entier naturel, ( n - 1) est l’entier précédant n, ( n + 1) est l’entier suivant n.
Leur somme est : ( n – 1) + n + ( n + 1) = n – 1 + n + n + 1 = 3n.
3n est multiple de 3.
La somme de trois entiers naturels consécutifs est donc bien divisible par 3
(on peut aussi faire n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 3 n + 3 = 3 ( n + 1 ), qui est aussi un multiple de 3)
3- a- Voici trois entiers naturels consécutifs : 12, 13, 14. Elever au carré, ces trois nombres. Effectuer la somme des trois nombres
ainsi obtenus. Quel est le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de 12, 13, 14 ? (0,5 pt)
12² = 144 ; 13² = 169 : 14² = 196
144 + 169 + 196 = 509
509 = (169 × 3) + 2 . Le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de 12, 13, 14 est 2.
Quel est le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de trois entiers naturels consécutifs ? (0,75 pt)
(n – 1)² + n² + (n + 1)² = n² - 2n + 1 + n² + n² + 2n + 1 = 3n² + 2.
3n² est multiple de 3. Il reste 2
Le reste de la division euclidienne par trois de la somme des carrés de trois entiers consécutifs est 2.
(on peut aussi faire :
n 2 + (n + 1) 2 + (n + 2) 2 = n 2 + n 2 + 2n + 1 + n 2 + 4n + 4 = 3n 2 + 6n + 5 = 3(n 2 + 2n + 1) + 2
On obtient le même reste 2. C’est plus compliqué dans les calculs mais peut-être plus naturel)
4- La somme de quatre entiers naturels consécutifs est-elle toujours divisible par 4 ? (0,5 pt)
Il suffit d’un contre exemple : 4, 5, 6, 7 sont trois nombres consécutifs ; 4 + 5 + 6 + 7 = 22 ; 22 = 4 × 5 + 2 ; 22 n’est pas divisible
par 4. La somme de quatre entiers consécutifs par quatre n’est donc pas toujours divisible par 4.
Une démonstration générale s’écrirait ainsi (mais elle n’était pas demandée) :
Soit n, un nombre entier naturel. On nomme S, la somme composée de n et des trois entiers naturels qui suivent n
S=n+n+1+n+2+n+3
S = 4n + 6
S = 4n + 4 + 2
S = 4 (n + 1) + 2
4 (n + 1) est divisible par 4 et il reste 2.
La somme de quatre entiers consécutifs par quatre n’est jamais divisible par 4. Il reste 2 dans la division par 4 de la somme de
quatre entiers consécutifs.
Exercice 3
1. Je choisis au hasard 1, 2 et 3. Leur somme s vaut 6.
2. Les six nombres possibles sont : 123, 132, 213, 231, 312, 321.
3. S = 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332
4. 1332 = 6 x 222
5. S = abc + acb + bac + bca + cab + cba
S = 100 × a + 10 × b + c + 100 × a + 10 × c + b
+ 100 × b + 10 × a + c + 100 × b + 10 × c + a
+ 100 × c + 10 × a + b + 100 × c + 10 × b + a
S = 100 × 2 × ( a + b + c ) + 10 × 2 × ( a + b + c ) + 2 × ( a + b + c )
S = 222 × ( a + b + c )
S = 222 × s