EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000)
Transcription
EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000)
Proposition de correction Bac Pro : EPREUVE E4 (France Métropolitaine 2000) EPREUVE DE MATHEMATIQUES ET DE TRAITEMENT DES DONNEES Exercice n°1 (7 points) On considère deux lots de taurillons âgés de 15 mois dont les poids en kilogrammes sont repartis selon les tableaux ci-après. Groupe A : 462 463 481 432 462 459 477 462 455 460 462 461 460 448 463 458 459 467 485 471 446 445 493 471 478 477 480 488 484 499 486 484 435 499 497 461 496 492 473 452 465 475 473 497 475 477 Groupe B : On donne ci-dessous le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe B ainsi que la moyenne 478,9 kg et l'écart-type 15,4 kg. 43 44 45 46 47 48 49 5 2 1 1 0 2 5 3 3 5 5 7 7 8 4 4 6 8 6 7 7 9 9 1. En prenant l'exemple du groupe B, représenter le diagramme "tiges et feuilles" pour le groupe A : on clase les données dans l’ordre croissant, le chiffre de la centaine et celui de la dizaine dans la colonne de gauche, celui de l’unité dans la colonne de droite. Si une données apparaît plusieurs fois, on la reporte plusieurs fois. 43 2 44 5 6 8 45 5 8 9 9 46 0 0 1 2 2 2 2 3 3 7 47 1 7 48 1 5 49 3 2. Calculer la moyenne et l'écart-type du groupe A. Les résultats seront donnés à 10-1 près : On utilise le mode Stat de la calculatrice graphique : Moyenne des poids du groupe A : 462,2 kg et écart-type des poids du groupe A : 13,0 kg 3. Comparer les moyennes des deux groupes et interpréter le résultat. Comparaison des moyennes : 462,2 < 478,9. La moyenne des poids du groupe A est inférieure à celle du groupe B. On dit que le poids moyen du groupe A est inférieur à celui du groupe B. Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 1/3 Exercice n°2 (13 points) : Partie A : 1 Soit la fonction f définie sur l'intervalle I = [ ; 14 ] par f : x a f (x) = - 1 x + 2 ln x. 2 2 1. Compléter le tableau de valeurs fourni en annexe (on donnera les valeurs à 10-2 près) : on utilise le mode Table de la calculatrice graphique. x 0,5 1 2 3 4 6 8 10 12 14 f (x) – 1,64 – 0,5 0,39 0,70 0,77 0,58 0,16 – 0,39 – 1,03 – 1,72 2. a) Déterminer la dérivée f ’ de f. Pour tout x de I, 1 1 1 2 f ' ( x) = − ×1 + 2 × = − + . 2 x 2 x b) Montrer que f ’(x) est du signe de (- x + 4). Pour tout x de I, 1 2 − 1× x 2 × 2 − x 4 − x + 4 f ' ( x) = − + = + = + = 2 x 2 × x x × 2 2x 2x 2x Pour tout x de I, 2x > 0 donc f ’(x) et (– x + 4) ont le même signe. c) Préciser le sens de variation de f puis dresser le tableau de variation de la fonction f sur I. Signe de f ’(x) : f ’(x) = 0 équivaut à – x + 4 = 0 c’est-à-dire à x = 4. f ’(x) > 0 équivaut à – x + 4 > 0 c’est-à-dire à x<4 f ’(x) < 0 équivaut à – x + 4 < 0 c’est-à-dire à x>4 1 ; 4 [. 2 donc, f ’(x) < 0 pour tout x de ] 4 ; 14 ]. donc, f ’(x) > 0 pour tout x de [ Sens de variations de f : Compte tenu du signe de f ’(x), la fonction f est croissante sur [ 1 ; 4 ] et décroissante sur [ 4 ; 14 ].. 2 Tableau de variations de f : x 1 2 4 f ’(x) + 0 f(4) = 0.78 14 – Sens de variation de f f( 1 ) = – 1,64 2 f(14) = – 1,72. 3. L'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de la fonction f. Préciser laquelle convient en justifiant votre réponse. Courbe (C1) Courbe (C2) Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 2/3 f( 1 ) = – 1,64 2 1 ) = – 0.5 donc la courbe (C1) n’est pas la représentation graphique de f . 2 1 Sur le graphique relatif à la courbe (C2), on lit : f( ) = –3 donc la courbe (C2) n’est pas la représentation graphique de f .. 2 Comme l'une des trois courbes (C1), (C2) ou (C3) est la représentation graphique de f , cette courbe est la courbe (C3). Sur le graphique relatif à la courbe (C1), on lit : f( Partie B : La société DUGIGA fabrique et vend des micro-ordinateurs. Son bénéfice B (en dizaines de milliers d'euros) peut s'exprimer en fonction du nombre x (en milliers) d'ordinateurs vendus selon la 1 relation B (x) = - x + 2 ln x. 2 1. a) Déduire de la partie A qu'il existe un nombre d'ordinateurs vendus pour lequel le bénéfice est maximal. B (x) = f(x) . Donc les variations de B sont celles de la fonction f de la partie A. D’après la question 2 c) de la partie A, f(4) est la valeur maximale de f. Il en résulte que le bénéfice est maximal lorsque le nombre d’ordinateurs vendus est égal à 4 milliers, c’est-à-dire à 4000. a) Calculer ce bénéfice maximal (à l'euro près). La valeur maximale f(4) de f est environ égale à 0,77259. Donc, le bénéfice maximal B (4) est environ égal à 0,77259 dizaine de milliers d’euros, c’est-à-dire 7725,9 euros. Donc, à l’euro près, le bénéfice maximal est 7726 euros. 2. Par lecture graphique, préciser le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent. La société commence à gagner de l'argent dès que le bénéfice qu’elle réalise est positif. Par lecture graphique, l’ordonnée f(x) d’un point d’abscisse x de la courbe (C3) est positive, dès que x est supérieur à environ 1,4. Donc, le nombre minimal d'ordinateurs que la société doit vendre pour commencer à gagner de l'argent est environ égal à 1,4 milliers d’ordinateurs, c’est-à-dire 1400. Courbe (C3) Proposition de correction épreuve bac pro juin 2000 Page 3/3