MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Rappel

Rappel du dernier cours
MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
Vingt-cinquième cours
4/12/07
• Amortissement d’une obligation méthode actuarielle
• Amortissement d’une obligation méthode linéaire
• Prix d’une obligation entre des coupons
- Introduction
4/12/07
Rappel:
Rappel: Méthode actuarielle
• la valeur comptable de l’obligation après
le versement du ke coupon sera notée
par Bk
• la portion d’intérêt du ke coupon sera
notée par Ik
• l’ajustement à être apporté à la valeur
comptable de l’obligation dans le ke
coupon sera notée Pk
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La valeur comptable Bk immédiatement après
le ke coupon est obtenue prospectivement
(respectivement rétrospectivement) en utilisant
les valeurs actuelles des coupons à venir et de
la valeur de remboursement (respectivement
les valeurs accumulées des coupons versés et
du prix) selon au taux de rendement i obtenu
lors de l’achat de l’obligation.
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Rappel: Méthode actuarielle
ke
La portion d’intérêt Ik du coupon est
iB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter
l’obligation pour une période au taux i.
L’ajustement Pk à apporter à la valeur
comptable dans le ke coupon est
Pk = Fr - Ik .
Rappel:
Si nous considérons une obligation dont
la valeur de remboursement C = 1$ et les
montants des coupons sont égaux au
taux modifié d’intérêt g. Le prix de
l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut
être négatif ou positif.
Nous avons Bk = Bk-1 - Pk .
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Rappel: Table d’amortissement
Rappel:
ou encore
où i est le taux de rendement .
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Rappel: Amortissement - méthode
linéaire.
L’ajustement à apporter à chaque valeur comptable
est constant à chaque période et est égal à
s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque
coupon est constante et égale à
Fr - P k = Fr - [(P-C)/n].
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Rappel: Exemple
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Rappel: Exemple
Considérons le prix P(x) d’une obligation au
moment x de sa durée de vie dont les
valeurs nominale et de remboursement
sont de 100$, le taux facial est r = 4% par
période de capitalisation, d’une durée de
vie de 8 périodes de capitalisation en
supposant que le taux de rendement est 6%
par période de capitalisation. Ici x est
compris entre 0 et 8.
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Rappel: Exemple
P(x) est obtenu prospectivement en
considérant la somme des valeurs actuelles
des coupons de 4$ et de la valeur actuelle
de la valeur de remboursement de 100$.
Alors
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À cause de ces sauts, il est nécessaire de
considérer deux prix: le prix uniforme
(«flat price») et le prix du marché
(«market price») ou encore la valeur
comptable de l’obligation. Ce dernier prix
fera en sorte de lisser la fonction pour
faire disparaître les sauts.
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Le prix du marché (« market price ») ou
valeur comptable de l’obligation est le
montant d’argent qui apparait dans les
cotations financières. Nous noterons ce
prix par
Le prix uniforme (« flat price ») de
l’obligation est le montant d’argent qui
change de main au moment de la vente
(sans tenir compte des commissions).
Nous noterons ce prix par
où k est un nombre entier de périodes et t est
compris entre 0 et 1.
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Ces deux prix sont reliés par la relation
suivante:
où Frt est la valeur proportionnelle du coupon
après un temps t de la période. Cette valeur Frt
sera déterminé selon différentes hypothèses.
où k est un nombre entier de périodes et t est
compris entre 0 et 1.
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Première méthode:
Nous allons supposer que le prix uniforme
est obtenu en supposant que l’intérêt est
composé pour la période entre deux
coupons. Plus précisément
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Pour cette première méthode, le prix du
marché est alors
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Deuxième méthode:
Nous allons supposer que le prix uniforme
est obtenu en supposant que l’intérêt est
simple pour la période entre deux coupons.
Plus précisément
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Troisième méthode:
Nous allons supposer que le prix uniforme
est obtenu en supposant que l’intérêt est
composé pour la période entre deux
coupons, mais en prenant Frt = tFr . Plus
précisément
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Pour cette deuxième méthode, le prix du
marché est alors
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Pour cette troisième méthode, le prix du
marché est alors
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Exemple 1:
Cette dernière méthode est la plus
utilisée dans la pratique. Pour obtenir
t, le décompte des jours est obtenu
soit en utilisant la convention
actuel/actuel ou encore 30/360.
Déterminons le prix uniforme, la valeur du coupon et le
prix du marché d’une obligation de valeur nominale de
5000$ dont le taux facial est le taux nominal de 8% par
année capitalisé semestriellement, la valeur de
remboursement est aussi de 5000$ et le taux de
rendement est 6% par année capitalisé
semestriellement au moment de l’achat, la durée de vie
de cette obligation au moment de l’émission est de 6
ans et l’achat est fait 13 semaines après l’émission.
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Exemple 1: (suite)
Exemple 1: (suite)
Dans ce cas, F = 5000, C= 5000, r = 4% par six mois, i =
3% par six mois. Le coupon est (0.04)(5000) = 200$. La
durée de vie de cette obligation au moment de
l’émission est de 6 ans, à savoir 12 périodes de
capitalisation et l’achat est fait 13 semaines après
l’émission. La période de capitalisation est de 6 mois =
26 semaines.
Première méthode:
Nous allons aussi illustrer chacune des méthodes.
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Exemple 1: (suite)
Exemple 1: (suite)
Deuxième méthode:
Troisième méthode:
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Exemple 2:
Exemple 2: (suite)
Dans le Wall Street Journal du 23 novembre 2004, il y
avait les cotations suivantes pour les obligations du
Département du Trésor américain.
Pour chacune des obligations, calculons
approximativement le prix du marché à
partir du taux de rendement en utilisant la
troisième méthode.
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Rate
Maturity
Mo/Yr
Bid
Asked
Chg.
2.750
Aug07n
99:02
99:03
...
3.10
4.875
Feb12n
105:30
105:31
3
3.92
Ask. Yld.
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Exemple 2: (suite)
Exemple 2: (suite)
Pour l’obligation 2.750 Aug07n, nous sommes environ à
la moitié d’une période de paiement. C’est ce que nous
supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r
= 2.75%/2 = 1.375% et i = 3.10%/2 = 1.55%. Il y aura 6
coupons. Donc
Pour l’obligation 2.750 Aug07n, le prix demandé inscrit
dans le journal est 99:03 = 99 3/32 = 99.09375$. La
différence est attribuable à notre approximation pour la
fraction de période.
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Exemple 2: (suite)
Exemple 2: (suite)
Pour l’obligation 4.875 Feb12n, nous sommes environ à
la moitié d’une période de paiement. C’est ce que nous
supposerons, nous obtenons alors que t = 0.5. De plus r
= 4.875%/2 = 2.4375% et i = 3.92%/2 = 1.96%. Il y aura 15
coupons. Donc
Pour l’obligation 4.875 Feb12n, le prix demandé inscrit
dans le journal est 105:30 = 105 30/32 = 105.9375$. La
différence est attribuable à notre approximation pour la
fraction de période.
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Nous avons vu jusqu’à présent comment
calculer le prix P d’une obligation étant
donné le taux de rendement i. Nous
allons maintenant considérer le problème
inverse. Étant donné le prix P, comment
déterminer le taux de rendement i. Nous
ferons ceci que dans la situation d’une
obligation achetée immédiatement après
le paiement de coupon.
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Nous avons l’équation prime/escompte du
prix:
ou encore
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Nous obtenons alors
Avec un peu d’algèbre, alors
Dans la suite, nous noterons par k: le nombre
Nous pouvons utiliser l’approximation
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Nous obtenons alors une première
approximation pour le taux de rendement
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Nous pouvons obtenir une seconde
approximation pour le taux de rendement
en notant dans la formule précédente
que si n est grand, alors (n + 1)/2n est
approximativement égal à 1/2. Donc
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Cette dernière formule
Finalement nous pouvons obtenir une
approximation plus précise encore en
utilisant la méthode de Newton-Raphson
pour déterminer l’unique zéro positif de
la fonction
est appelée la méthode du vendeur
d’obligations.
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Nous obtenons comme règle récursive
pour la méthode de Newton-Raphson
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ou encore
Comme valeur initiale pour la méthode,
nous pouvons prendre
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Exemple 3:
Considérons une obligation de valeur nominale de 100$,
remboursé aussi à cette valeur, dont le taux facial est le
taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé à tous
les six mois, les coupons sont versés à tous les six
mois et la durée de vie de l’obligation est de 10 ans.
Déterminons le taux nominal de rendement capitalisé
semestriellement si cette obligation est achetée à 102$.
Ici n = 20, r = g = 4%, k = (102 - 100)/100 = 0.02.
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Exemple 3: (suite)
Exemple 3: (suite)
Nous pouvons prendre comme valeur initiale
La règle récursive est
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Exemple 3: (suite)
Nous obtenons alors le tableau suivant:
2is
s
is
0
3.8594755%
7.718951%
1
3.8534396%
7.7068792%
2
3.8547232%
7.7094464%
3
3.8547233%
7.7094466%
Pour certaines obligations, l’émetteur peut
rembourser sa dette avant la date d’échéance.
Ce sont des obligations rachetables (« callable
bonds »). Une telle provision présente une
difficulté pour déterminer le taux de rendement
de l’obligation. En effet, la valeur de n n’est pas
bien déterminée. Cependant le souscripteur
peut supposer que l’émetteur utilisera l’option
de rachat qui lui est le moins favorable.
Donc le taux de rendement recherché est 7.7094466%
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Exemple 4:
Plus précisément, il y a plusieurs scénarii
possibles avec différentes valeurs de
remboursement à différentes dates de rachat
incluant la date d’échéance. Il est possible
alors de calculer pour chacun de ces scénarii le
taux de rendement à partir du prix et de
considérer le plus bas de ces taux de
rendement comme celui de l’obligation.
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Une obligation de valeur nominale de 10000$, dont le
taux facial est le taux effectif d’intérêt de 5% par année,
les coupons sont versés une fois par année, à la fin de
l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans.
L’obligation peut être remboursée à la fin de la dixième
année, à la fin de la quinzième année et à la fin de la
vingtième année. Les valeurs de remboursement sont
de 12000$ à la fin de la dixième année, de 11000$ à la fin
de la quinzième année et 10000$ à la fin de vingtième
année. Cette obligation est achetée pour 10050$.
Déterminons le taux effectif de rendement.
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Exemple 4: (suite)
Exemple 4: (suite)
Scénario 1: Remboursement à la fin de la dixième
année. Il nous faut résoudre l’équation
Scénario 2: Remboursement à la fin de la quinzième
année. Il nous faut résoudre l’équation
Nous obtenons alors que le taux de rendement
est i = 6.418504910%
Nous obtenons alors que le taux de rendement
est i = 5.400157771%
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Exemple 4: (suite)
Scénario 3: Remboursement à la fin de la vingtième
année. Il nous faut résoudre l’équation
Nous obtenons alors que le taux de rendement
est i = 4.960014620%. En conséquence, si nous
considérons les 3 scénarii, le taux de rendement
sera donc au moins 4.960014620%.
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Une autre situation qui peut se présenter dans le cas
des obligations rachetables est la suivante.
L’investisseur s’est fixé un taux de rendement seuil et
cherche à déterminer le prix P qu’il doit payer pour une
telle obligation rachetable. Dans ce cas, il calcule le prix
de l’obligation pour chacun des scénarii avec différentes
valeurs de remboursement aux différentes dates de
rachat au taux de rendement seuil. Le scénario qui est le
plus défavorable pour l’investisseur est celui pour lequel
le prix d’achat P est le plus petit Pmin parmi tous ceux des
scénarii au taux de rendement seuil. Si l’obligation est
rachetée à une autre date, alors le taux de rendement
sera supérieur ou égal au taux de rendement seuil.
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Exemple 5:
L’explication réside dans le fait que le prix
est une fonction décroissante du taux de
rendement.
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Une obligation de valeur nominale de 1000$, dont le taux
facial est le taux effectif d’intérêt de 7% par année, les
coupons sont versés une fois par année, à la fin de
l’année, et la durée de vie de l’obligation est de 20 ans.
L’obligation peut être remboursée à la fin des 12 e et 14 e
années à 1075$, peut être remboursée à la fin des 16e et
18 e années à 1050$ et peut être remboursée à la fin de la
20 e année à 1000$. Nous aimerions obtenir un taux de
rendement d’au moins 8% par année. Déterminons le
prix qu’il faut payer cette obligation pour être assuré de
ce rendement.
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Exemple 5:
Calculons le prix Pn au taux de rendement pour
l’obligation rachetée à la fin de la ne année au taux de
rendement de 8%. Nous avons
Le prix pour obtenir au moins le taux de rendement de 8%
par année est de 901.82$.
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