suites - XMaths

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SUITES
I Définition
Exercice 01
(voir réponses et correction)
On donne, dans le tableau suivant, le nombre d'habitants d'une commune pour les années de 1995 à 2005.
Année
Nombre
d'inscrits
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
1323
1313
1304
1297
1288
1289
1281
1271
1258
1248
1243
1°) On note Pn le nombre d'habitants de la commune pour l'année n.
a) Donner la valeur de P1995 ; P1999 et P2005 .
b) Calculer P2005 - P1995 . Interpréter ce résultat.
2°) On définit une suite de nombres (un) par : un = 17 283 - 8n pour tout entier n.
On a, par exemple, en remplaçant n par 10 :
u10 = 17 283 - 8 x 10 = 17 203
a) Calculer u1995 ; u1999 et u2005 .
b) On admet que la suite (un) est un modèle mathématique représentant le nombre d'habitants de la
commune. En utilisant ce modèle, à combien peut-on estimer la population pour l'année 2020 ?
Exercice 02
Une entreprise achète une machine neuve dont la valeur est 78 000 €.
On considère que cette machine pert 8 % de sa valeur tous les ans.
On note V0 la valeur à neuf. On a donc V0 = 78 000. On note V1 la valeur au bout d'un an, V2 la valeur au
bout de deux ans et, plus généralement, on note Vn la valeur au bout de n années.
1°) Expliquer pourquoi on peut écrire V1 = 0,92 x V0 .
2°) Donner une relation entre V2 et V1, puis une relation entre V2 et V0 .
3°) Justifier que Vn+1 = 0,92 x Vn .
4°) Compléter, en utilisant la calculatrice, le tableau suivant (résultats arrondis au centime d'euro) :
n
Vn
0
78 000
Exercice 03
1
71 760
2
3
4
5
10
50
Une personne a placé sur un compte le 01/01/2010 un capital de 10 000 euros. Ce compte produit des
intérêts de 4 % par an. Chaque année les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent, à leur tour,
générateurs d'intérêts.
er
Pour n entier naturel, on appelle Cn le capital au 1 janvier de l'année (2010 + n).
On a ainsi C0 = 10 000 .
1°) Calculer C1 et C2 .
2°) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé C3 ; C4 ; A C9 .
Interpréter ce résultat.
3°) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
er
4°) On suppose maintenant qu'au 1 janvier de chaque année, à partir du 01/01/2011, la personne rajoute
1 000 euros sur son compte. (Ce compte produit toujours des intérêts de 4 % par an)
a) Calculer C1 et C2 .
b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
c) Donner une valeur approchée de C10 après avoir calculé C3 ; C4 ; A C9 .
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1ère ES - L − Suites
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Exercice 04
Une personne place de l'argent, sur un compte produisant des intérêts.
er
Pour n entier naturel, on appelle Cn le capital au 1 janvier de l'année (2010+n).
On admet que C0 = 10 000 et que pour tout entier naturel n on a la relation Cn+1 = Cn x 1,04 + 1 000.
1°) Calculer C1 et C2.
2°) En utilisant un fichier de tableur, déterminer une valeur approchée de C10 et de C20 .
Interpréter ces résultats.
3°) Écrire un algorithme permettant de calculer n'importe quelle valeur de Cn à partir de la donnée de n.
Définition
Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN , ou sur l'ensemble des
entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 .
L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou un (c'est la notation indicielle).
n est appelé l'indice ou le rang du terme un.
La suite est notée (un)n∈IN ou (un)n³n .
0
Exemples
n .
+1
Cette suite est définie par la donnée explicite de un pour tout entier n.
On peut calculer facilement un terme quelconque :
u0 = 0 = 0 ; u10 = 10 = 10
; u3254 = 3254
2
101
02 + 1
10 + 1
32542 + 1
2°) On considère la suite (un)n³1 définie par u1 = 2 et la relation un+1 = -3un + 1 pour tout n ³ 1 .
La suite est définie par son premier terme u1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant
de passer d'un terme au terme suivant.
En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient :
u1+1 = -3u1 + 1 c'est-à-dire u2 = -3u1 + 1 donc u2 = -3 x 2 + 1 = -5
Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence mais avec n = 2, on obtient :
u2+1 = -3u2 + 1 c'est-à-dire u3 = -3u2 + 1 donc u3 = -3 x (-5) + 1 = 16
Pour calculer u50, il faudra calculer de proche en proche tous les termes u4 , u5 , u6 ... , u49 , u50 .
Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utiles pour donner des valeurs approchées.
1°) On considère la suite (un)n∈IN définie par un =
n2
Remarque
Une suite comportant un nombre fini de termes peut aussi être définie par un tableau de valeurs.
Par exemple :
0
1
2
3
4
5
6
n
un
2
6
7
10
21
-5
-15
Exercice 05
Calculer dans chacun des cas les cinq premiers termes de la suite (un) définie par :
1°) un = n + 1 pour n ∈ IN
n2 + 1
2°) u0 = 1 et un+1 = 2un pour tout n ∈ IN
*
3°) u1 = -2 et un+1 = 2un + 1 pour tout n ∈ IN
4°) un =
n2 + 1 pour tout n ∈ IN
5°) un = 2n pour tout n ∈ IN
Exercice 06
On considère la suite (un) définie par un = -3n + 5 pour tout n ∈ IN.
Donner l'expression en fonction de n de : un+1 ; un + 1 ; un+2 ; u2n ; un2
;
u2n+1
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Exercice 07
On considère la suite (un) définie par un = 7 - 3n pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u0 ; u1 ; u2 ; u3 .
2°) Montrer que la suite (un) vérifie la relation de récurrence : un+1 = un - 3 .
Exercice 08
On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 = 3 - 2un pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u1 ; u2 ; u3 .
2°) Montrer que pour tout n ∈ IN un+2 = 4un - 3 .
Définition
On appelle représentation graphique d'une suite (un) l'ensemble des points du plan de coordonnées (n ; un) .
Exercice 09
Représenter graphiquement la suite (un)n∈IN définie par
Exercice 10
un = 2n - 3 .
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et un+1 = 2un + 1 pour tout n ∈ IN.
Représenter graphiquement la suite (un) pour 0 £ n £ 4
II Suites monotones
Définition
Soit la suite (un)n³n
0
.
On dit que (un) est croissante si :
On dit que (un) est décroissante si :
On dit que (un) est stationnaire si :
pour tout n ³ n0
pour tout n ³ n0
pour tout n ³ n0
un+1 ³ un .
un+1 £ un .
un+1 = un .
Remarques
• On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des
inégalités strictes.
• Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone.
• Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni
l'un ni l'autre). Cette étude peut se faire en calculant la différence un+1 - un et en déterminant si cette
différence a un signe constant.
Exercice 11
On considère la suite (un) définie par un = n2 + 2n pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u0 ; u1 ; u2 ; u3 ; u4 . Que pensez-vous du sens de variation de la suite (un) ?
2°) a) Déterminer un+1 en fonction de n, et en déduire que un+1 - un = 2n + 3
pour tout n ∈ IN.
b) Démontrer que la suite (un) est croissante.
Exercice 12
1
pour tout n ∈ IN.
n+1
1°) Calculer u1 ; u2 ; u3 ; u4 . Que pensez-vous du sens de variation de la suite (un) ?
2°) Déterminer, en le justifiant soigneusement, le sens de variation de la suite (un).
On considère la suite (un) définie par
u0 = 2 et un+1 = un -
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Exercice 13
Dans chacun des cas, calculer les quatre premiers termes de la suite (un)n∈IN puis étudier son sens de
variation en justifiant soigneusement.
1°) un = n2
2°) un = -2n+3
3°) un = (-1)n
4°) un = 1
n+1
Propriété
Soit (un) une suite croissante :
Soit (un) une suite décroissante :
Exercice 14
si n ³ p , alors un ³ up .
si n ³ p , alors un £ up .
1°) On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =
x .
x+1
Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +∞[ .
2°) Soit n ∈ IN . Justifier que f(n) £ f(n + 1) .
3°) Soit (un) la suite définie par un = n pour n ∈ IN.
n+1
En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (un).
Propriété
Soit n0 ∈ IN .
Si f est une fonction croissante sur [n0 ; +∞[, la suite (un)n³n définie par un = f(n) est une suite croissante.
0
Remarques
• On a une propriété identique avec une fonction décroissante.
• La condition est suffisante, mais pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la
fonction ne l'est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous)
La fonction n'est pas croissante
Exercice 15
La suite est croissante
1°) On a représenté ci-contre une suite (un).
On admet que pour n entier naturel, un modélise le
montant des exportations de biens et services de la
Chine exprimé en milliards de dollars constants, pour
l'année 2000+n.
a) En utilisant ce graphique, donner une estimation du
montant des exportations de biens et services de la
Chine pour l'année 2004.
b) À partir de quelle année le montant des
exportations de biens et services de la Chine
sera-t-il supérieur à 1000 milliards de dollars ?
2°) On admet que la suite (un) est définie pour tout n ∈ IN
par un = 18n2 + 24n + 264
a) Démontrer que la suite (un) est croissante.
b) Retrouver, par le calcul, les résultats du 1°)
c) Donner une estimation du montant des exportations
de biens et services de la Chine pour l'année 2015.
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III
Suites arithmétiques - suites géométriques
Exercice 16
Le 01/01/2010 un journal compte 12 000 abonnés.
Le service des abonnements a noté que, chaque mois, 1 000 abonnements arrivent à échéance.
Sur ces 1 000 abonnements, 750 sont renouvelés.
De plus chaque mois 320 nouveaux abonnements sont souscrits.
On note u1 le nombre d'abonnés à la date du 01/01/2010, u2 le nombre d'abonnés à la date du 01/02/2010,
et ainsi de suite, de mois en mois.
1°) Donner les valeurs de u1 ; u2 ; u3 ; u4 .
2°) Justifier que la variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante. Quelle est
cette variation ?
3°) En utilisant un fichier de tableur, représenter graphiquement la suite (un) pour 1 £ n £ 12.
Que peut-on remarquer ?
4°) Déterminer u13 et u25. Interpréter ces résultats.
Définition
On dit qu'une suite est arithmétique si la variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est
constante. Cette variation est appelée la raison de la suite arithmétique.
C'est-à-dire qu'une suite est arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n : un+1 = un + r
Le nombre r est la raison de la suite.
Remarques
• Lorsqu'une suite est arithmétique on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante.
• Pour justifier qu'une suite (un) est arithmétique, on peut démontrer que pour tout entier n, la différence
un+1 - un est une constante r.
Exemples
• La suite (un) de l'exercice 16 est telle que pour tout entier n on a : un+1 = un + 70 .
C'est donc une suite arithmétique de raison 70 .
• Si on considère la suite (vn) définie par vn = 3n - 5, on peut remarquer que, pour tout entier n, on a :
vn+1 = 3(n + 1) - 5 = 3n + 3 - 5 = 3n - 5 + 3 = vn + 3. La suite (vn) est donc arithmétique de raison 3.
• Si on considère la suite (wn) définie par wn = n2, on peut remarquer que : w0 = 0 ; w1 = 1 ; w2 = 4
La variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant n'est pas constante, la suite (wn) n'est
pas arithmétique.
Propriété
Lorsqu'une suite est arithmétique sa représentation graphique est constituée de points alignés.
Lorsque la représentation graphique d'une suite est constituée de points alignés, cette suite est arithmétique.
Remarque
Lorsqu'une suite est arithmétique, on parle d'évolution linéaire.
Exercice 17
Un capital de 12 800 euros est placé le 01/01/2008 avec un taux d'intérêt annuel de 6,25%.
Tous les ans les intérêts sont cumulés au capital.
er
Pour tout entier n, on note Cn le capital correspondant au 1 janvier de l'année 2008+n.
1°) Donner les valeurs de C0 ; C1 ; C2 ; C3 .
C
2°) Démontrer que pour tout entier n le quotient n+1 est constant.
Cn
Justifier que la variation relative lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante.
Quelle est cette variation relative ?
3°) En utilisant un fichier de tableur, représenter graphiquement la suite (Cn).
D'après cette représentation graphique, que pensez-vous du sens de variation de la suite (Cn) ?
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Définition
On dit qu'une suite est géométrique si la variation relative lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est
constante. Cette variation relative est appelé la raison de la suite géométrique.
C'est-à-dire qu'une suite est géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n : un+1 = un x q
Ce nombre q est la raison de la suite géométrique.
Exemple
La suite (Cn) de l'exercice 17 est telle que pour tout entier n on a : Cn+1 = Cn x 1,0625
C'est donc une suite géométrique de raison 1,0625.
Remarques
• Lorsqu'une suite est géométrique on passe d'un terme au suivant en multipliant une constante.
• Pour justifier qu'une suite (un) est géométrique, on peut démontrer que pour tout entier n, le quotient
un+1
un
est une constante q.
• Lorsqu'une suite est géométrique, on parle d'évolution exponentielle.
Exercice 18
Les nombres suivants peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ou d'une suite
géométrique. Si c'est le cas, donner la raison de la suite.
1°) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9
2°) 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162
3°) 45 ; 40 ; 35 ; 30 ; 25
4°) 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11
5°) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1
2 4 8 16
Exercice 19
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = 1 + 2 un pour tout n ∈ IN.
1°) Calculer u1 ; u2 ; u3 ; u4 .
2°) La suite (un) est-elle une suite arithmétique ? une suite géométrique ?
3°) On considère la suite (vn) définie par vn = un + 1
a) Calculer v0 ; v1 ; v2 ; v3 ; v4
b) Justifier que la suite (vn) est une suite géométrique et donner sa raison.
Exercice 20
On considère (un) une suite arithmétique de raison r.
1°) Justifier que u3 = u2 + r et que u4 = u3 + r . En déduire que u4 = u2 + 2r
2°) Démontrer que u8 = u5 + 3r
3°) Quelle relation peut-on écrire entre u7 ; u2 et r ? Justifier.
4°) On suppose dans cette question que u0 = 4 et r = 2.
Calculer u5 . Donner sans justification la valeur de u100 et la valeur de u3598.
Exercice 21
On considère (un) une suite géométrique de raison q.
1°) Justifier que u3 = u2 x q et que u4 = u3 x q . En déduire que u4 = u2 x q2
2°) Montrer que u8 = u5 x q3
3°) Quelle relation peut-on écrire entre u7 ; u2 et q ? Justifier.
4°) On suppose dans cette question que u0 = 3 et q = 2.
Calculer u5 . Donner sans justification la valeur de u100 .
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Propriétés
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Pour tout entier n et tout entier p , on a
Soit (un) une suite géométrique de raison q # 0.
un = up + (n - p) r
un = up x q(n-p)
Pour tout entier n et tout entier p , on a
Cas particuliers
Si (un) est arithmétique de raison r , on a :
Si (un) est géométrique de raison q , on a :
Exercice 22
un = u0 + n r ;
un =
u 0 x qn
;
un = u1 + (n - 1) r
un = u1 x q(n-1)
On suppose qu'un pin d'un âge supérieur à 10 ans a une croissance régulière annuelle de 40cm de hauteur.
On note hn la hauteur en mètres du pin à l'âge n (pour n ³ 10)
1°) En supposant dans cette question que h10 = 22, calculer h11 et h12 .
2°) Montrer que la suite (hn)n³10 est une suite arithmétique.
3°) On suppose qu'un pin de 10 ans a une hauteur de 17m. Quelle sera sa hauteur lorsqu'il aura 22 ans ?
4°) On suppose qu'un pin de 28 ans a une hauteur de 25m. Quelle était sa hauteur lorsqu'il avait 18 ans ?
5°) Représenter graphiquement pour n compris entre 10 et 30 la hauteur d'un pin qui mesure 15m à 10 ans.
Exercice 23
Un village avait 3 123 habitants en 2000. Le nombre d'habitants diminue de 12 % tous les ans.
On note Pn le nombre d'habitants du village pour l'année 2000+n.
1°) Donner les valeurs de P0 et P1 . (On arrondira à l'entier le plus proche)
2°) Justifier que la suite (Pn) est une suite géométrique et donner sa raison.
3°) Calculer P6 (on arrondira à l'entier le plus proche), interpréter le résultat.
4°) En quelle année le nombre d'habitants aura-t-il diminué des deux tiers par rapport à 2000 ?
5°) Représenter graphiquement la suite Pn pour n variant de 0 à 10.
Exercice 24
1°) Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison 1,5.
a) Calculer u1 ; u2 ; u3 .
b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (un).
2°) Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 000 et de raison -200.
3°) Que peut-on dire du sens de variation d'une suite (un) arithmétique de raison r. Justifier.
Propriété
Une suite arithmétique de raison r est :
• croissante si r ³ 0
• décroissante si r £ 0
• stationnaire si r = 0
Exercice 25
1°) Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 1,15.
2°) Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison 0,98.
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Propriété
Une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q > 0 est :
• croissante si q ³ 1
• décroissante si q £ 1
• stationnaire si q = 1
Exercice 26
Cet exercice a pour but d’étudier l’évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation
de nature expérimentale.
On dépose un morceau de viande sur un comptoir l’été à 14 h 00, la température avoisine les 35°C. Ce
morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les
15 minutes.
On note u0 le nombre de bactéries à 14 h 00, u1 le nombre de bactéries à 14 h 15, u2 le nombre de bactéries
à 14 h 30, et un le nombre de bactéries n quarts d’heure après 14 h 00, n étant un entier naturel.
1°) Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le
temps de l’expérience) :
Heure
Rang : n
Nombre de
bactéries un
14 h 00
0
14 h 15
1
14 h 30
2
14 h 45
3
15 h 00
4
100
2°) Si un est le nombre de bactéries à un moment déterminé, un+1 correspond au nombre de bactéries 15
minutes plus tard. Quelle est la relation entre un et un+1 ?
3°) Préciser la nature de la suite (un) définie précédemment et sa raison.
4°) Exprimer un en fonction de n.
5°) Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00.
6°) On estime qu’à partir de 150 000 bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau
impropre à la consommation pour l’être humain.
Jusqu’à quelle heure, arrondie au quart d’heure, l’être humain peut-il consommer sans risque le morceau
de viande ?
Exercice 27
Le tableau ci-dessous indique le nombre d’exploitations agricoles en France entre 1955 et 2000.
Année
Rang n de l'année
Nombre d’exploitations (en milliers)
1955
0
2280
1970
15
1588
1988
33
1017
2000
45
664
(Source INSEE)
1°) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n
est modélisé par la suite arithmétique (un) de premier terme u0 = 2280 et de raison -36.
b) Quel est le sens de variation de la suite (un) ?
c) Déterminer l'expression de un en fonction de n.
En déduire les valeurs de u15 ; u33 et u45 .
d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir pour 2015.
2°) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n
est modélisé par la suite géométrique (vn) de premier terme v0 = 2280 et de raison 0,973.
a) Calculer v1 ; v2 ; v3 . (les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche)
b) Justifier que ce modèle correspond à une variation relative constante d'une année sur l'autre.
Quelle est cette variation relative ?
c) Déterminer vn en fonction de n.
En déduire les valeurs de v15 ; v33 et v45 .
d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d’exploitations agricoles que l’on peut prévoir pour 2015.
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