poussée butée

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poussée butée

Module G2 Cours 2
Cisaillement, poussée - butée
Les ouvrages partiellement enterrés subissent la
poussée des terres. Ce cours présente les différentes
façon d ’évaluer cette poussée.
Voici des exemples d ’ouvrages soumis à la poussée
des terres
MUR DE SOUTENEMENT
Diapo n° 1
RIDEAU DE PALPLANCHES
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
BATIMENT ENTERRE
EXCAVATION AVEC BLINDAGE
Diapo n° 2
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
LES CALCULS DE POUSSÉE DES TERRES
HYPOTHÈSES :
-Un écran rigide
-Un milieu homogène isotrope
-Un massif entièrement en rupture (les lignes de rupture sont
entièrement développées) ce qui signifie que le critère de
coulomb est vérifié :
τ = σ tg ϕ + C
Diapo n° 3
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Effort Q
compression
expansion
Qplimite
Qo
Qalimite
0,1%
déformation
plastique
3%
déformation
élastique
déformation
plastique
Qo : Effort exercé par les terres sur un écran à l'état de
repos, (calculé avec Ko et σ'v)
Qa : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre
actif, de poussée ( avec Ka et σ'v)
Qp : Effort exercé par les terres sur un écran à l'équilibre
passif, de butée (avec Kp et σ'v)
Diapo n° 4
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
τ
butée passive
repos
σ'
poussée active
Kp
Ka
Coefficient de butée des terres, état passif
Coefficient de poussée des terres, état actif
Diapo n° 5
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
poussée
butée
Diapo n° 6
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
poussée
butée
poussée
Diapo n° 7
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
SELON LE MODE DE CONSTRUCTION ADOPTE
REPOS OU POUSSEE
Diapo n° 8
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
La théorie de Charles Augustin COULOMB (1773)
Soit un écran rigide qui soutient une hauteur de
terre. Considérons le bloc ABC de poids P qui glisse
sur la surface AC
C
i>0
B
La résistance au
frottement de ce
bloc de terre est
P
calculée par la
H
relation
δ
τ = σ tg ϕ + C
ϕ
R
Q
θ
β>0
A
Pour que ce bloc soit
en équilibre l ’écran oppose une force Q
Diapo n° 9
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Cette force Q nécessaire à retenir les terres servira
de base au dimensionnement du mur.
L ’angle θ de la surface
de glissement AC par
rapport à l ’horizontale
est inconnu à priori.
C
i>0
B
P
H
δ
ϕ
R
Q
θ
β>0
A
C.A. COULOMB propose de retenir l ’angle θ qui
correspond à la force Q la plus importante , c ’est
l ’angle critique de glissement
Diapo n° 10
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
DIAGRAMME TRIANGULAIRE ÉCRAN VERTICAL
Coefficient Ka
La répartition des contraintes de contact le long de
l ’écran est triangulaire :
Ka =
σh
σv
z
H
σv = γ × z
Qa
σ h ( z) = γ × z × K a
σ h ( H) = γ × H × K a
γ × H2
Qa =
× Ka
2
Diapo n° 11
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
COEFFICIENT DE POUSSÉE DE COULOMB Ka
Dans le cas général on calcule Qa avec la relation
suivante :
2
2
H
sin
(ϕ + β)
γ
⋅
?=
Qa =
2
2

sin( ϕ + δ) ⋅ sin( ϕ − i ) 
?
sin 2 β × sin( β − δ ) ×  1 + 2

sin( β − δ) ⋅ sin( i + β ) 


B
avec δ compris
entre 0 et ϕ
C
i>0
P
H
δ
ϕ
R
Q
θ
β>0
A
Diapo n° 12
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
CAS PARTICULIER D ’UN ÉCRAN VERTICAL
NON FROTTANT
δ = 0 , β = π/2 et i = 0
2
γ × H2 sin (ϕ + π 2)
Qa =
2
(1 + sin ϕ )2
γ × H2 cos2 ϕ
Qa =
2 (1 + sin ϕ )2
H
Qa
γ × H2 2  π ϕ 
Qa =
tg  − 
2
4 2
γ × H2
Qa =
× Ka
2
Diapo n° 13
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
DÉMONSTRATION POUR LE CAS PARTICULIER
ÉCRAN VERTICAL FROTTANT β = π/2 et i = 0
P
L = H/tgθ
R
P
Q
H
δ
Q
Diapo n° 14
θ
R ϕ
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
γ × H2
P=
2tgθ
θ-ϕ
P
R
ϕ
P
R
π/2 - δ
θ
θ
δ
Q
Q
∑ projection horizontale des forces = 0
∑ projection verticale des forces = 0
Diapo n° 15
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
(1)
P − Q sin δ − R cos( θ − ϕ) = 0
(2)
Q cos δ − R sin(θ − ϕ) = 0
D ’où :
Q cos δ
R=
sin(θ − ϕ)
En réinjectant dans (1) avec
γ × H2
P=
2tgθ
on a :

γ × H2
cos δ 
− Q ×  sin δ +
 = 0
2tgθ
tg(θ − ϕ) 

Diapo n° 16
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
On retient l ’angle θ qui donne la valeur la plus
grande pour Q×cosδ
γ × H2
cos δ ×
2tgθ
Q × cos δ =
cos δ
sin δ +
tg(θ − ϕ)
H et γ étant des
constantes,
On pose :
cos δ
tgθ
A=
cos δ
sin δ +
tg(θ − ϕ)
Diapo n° 17
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Valeurs de A en fonction de θ
pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°
Avec δ = ϕ
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
ϕ = 10°
ϕ = 20°
ϕ = 30°
ϕ = 40°
ϕ = 50°
25
30
35
40
45
50
55
Diapo n° 18
60
65
70
75
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
On constate que si ϕ augmente, l ’angle critique de
glissement θ augmente aussi :
ϕ = 20°
ϕ = 40°
θ = 48°
θ = 60°
Diapo n° 19
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
On constate que si ϕ augmente, le coefficient A
maximum, directement proportionnel à la poussée
des terres, diminue :
ϕ = 20°
Diapo n° 20
ϕ = 40°
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Valeurs de A en fonction de θ
pour ϕ égal à 10°, 20°, 30°, 40° et 50°
Avec δ = 0
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
ϕ = 10°
ϕ = 20°
ϕ = 30°
ϕ = 40°
ϕ = 50°
30
35
40
45
50
55
Diapo n° 21
60
65
70
75
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
On constate également que si ϕ augmente, l ’angle
critique de glissement θ augmente :
ϕ = 20°
ϕ = 40°
θ = 55°
θ = 65°
θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2
Diapo n° 22
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
θcritique = π⁄ 4 + ϕ/2
τ
ϕ
σ3
2θ
σ1
σ
σ3
θ
Plan de glissement
Diapo n° 23
σ1
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
COEFFICIENT DE BUTÉE DE COULOMB Kp
Lorsque les terres retiennent le mouvement du mur
on dit que l ’on est à l ’état d ’équilibre limite passif
de butée. Cette situation est rencontrée dans les
parties avals des murs enterrés :
le diagramme de butée des
terres n ’est pas uniforme,
Qp
il est triangulaire tel que sa
résultante soit égale à Qp
Cette résultant s ’applique
au tiers inférieur.
avec δ compris entre -ϕ et 0
2
2
γ
⋅
H
sin
(β − ϕ )
?=
Qp =
2
2

sin( ϕ − δ ) ⋅ sin( ϕ + i ) 
?
sin 2 β × sin( β − δ ) ×  1 − 2

sin( β − δ ) ⋅ sin( i + β ) 


Diapo n° 24
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
FAIBLESSE DE LA THÉORIE DE COULOMB
La théorie de COULOMB sur la poussée des terres
ne tient pas compte de la courbure de la surface de
glissement.
Les résultats expérimentaux de poussée
concordent toutefois approximativement avec les
formules de COULOMB pour les cas de mur poids
dans le sable (C=0).
L'utilisation de la théorie de COULOMB est donc
tout à fait valable pour calculer la poussée des
terres dans ces cas.
Diapo n° 25
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
THÉORIE DE RANKINE (1856)
L'hypothèse de COULOMB (surface de rupture
plane) est un moyen de simplifier les problèmes,
mais elle est inexacte dans un grand nombre de cas.
Dès le milieu du XIXème Siècle plusieurs auteurs se
sont efforcé d'établir une théorie plus rigoureuse,
qui corresponde mieux au comportement réel d'un
massif de sol derrière un mur de soutènement.
La théorie de RANKINE s'appuie sur une analyse du
champs de contrainte pour définir les lignes de
glissement (plans de rupture), il s'agit de la théorie
des états limites (ou équilibres limites).
Diapo n° 26
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
EQUILIBRES LIMITES DE RANKINE (1856)
RANKINE cherche à représenter les contraintes qui
règnent dans le massif pulvérulent au moment de
l ’équilibre limite :
ds
β
σv
z
A
σV
β
B
γ × z × ds × cos β
= γ × z × cos β
=
ds
Diapo n° 27
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Il existe deux états d ’équilibre limite possibles sur la facette AB :
L ’équilibre limite de poussée active
L ’équilibre limite de butée passive
τ
B
A
β
σ
E
A partir de cette contrainte σv représentée par le point E, il ne
passe que deux cercles tangents aux droites de COULOMB. Ce
sont les cercles C1 et C2
Diapo n° 28
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Le plus petit cercle correspond à l ’équilibre limite
de poussée
Le plus grand correspond à l ’équilibre limite de
butée.
τ
B
A
ϕ
β
σ
E
Diapo n° 29
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
On va déterminer la contrainte σ ’ qui agit sur les
facettes verticales.
z
σv
Dans le plan physique, pour passer de l ’orientation
de la facette AB à une facette verticale CD on doit
tourner d ’un angle égal à 270° + β (pour la poussée)
ou 270° - β (pour la butée)
Diapo n° 30
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Poussée : rotation de
¾π+β
Butée : rotation de
¾π-β
Dans le plan de Mohr on devra donc tourner le long
des cercles d ’un angle égal au double et dans le
sens inverse (avec la convention de signe du poly):
Diapo n° 31
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
τ
F’
3π - 2β
F
3π + 2β
O
β
σ
E
Les contraintes qui s ’appliquent sur une facette
verticale ont pour intensité OF (pour la poussée) et
OF ’ (pour la butée)
OF = K a × OE
Autrement dit :
OF′ = K p × OE
Diapo n° 32
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Remarque : Ces contraintes OF et OF’ ne sont pas
normales aux écrans verticaux.
Il y a donc une composante de cisaillement et
l’inclinaison de la résultante est égale à la pente du
terrain.
Sur l’écran vertical en poussée :
σn = σv Ka cos β
τ = σv Ka sin β
Diapo n° 33
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Nous pouvons déterminer l ’expression des
coefficients Ka et Kp
par des calculs trigonométriques assez simples mais
fastidieux.
Je vous laisse le soin de la trouver.
L ’expression qui en résulte est assez longue, elle est
peu utilisée.
On lui préfère des tableaux de valeurs numériques
de ces coefficients (qui dépendent de ϕ).
N.B. On peut compléter le sujet en envisageant une
facette non verticale inclinée d ’un angle λ .
Diapo n° 34
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
CAS SIMPLE D ’ÉCRAN VERTICAL AVEC
SURFACE LIBRE HORIZONTALE (β=0)
Ka = tg2(π/4 - ϕ/2)
Kp = tg2(π/4 + ϕ/2)
τ
O
F
E
Diapo n° 35
F’
σ
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Dans le cas général d ’une surface libre inclinée et
d ’un écran non vertical avec un frottement du sol
sur l ’écran de δ
+
on a pour expression
de la poussée
σ
élémentaire :
h
+
pa = h × γ × Ka
θ
δ
+
sin θ
ω = Arc sin
sin ϕ
Ka =
λ
cos θ × sin ω
× [1 − (sin ϕ cos( ω − θ + 2λ ))]
cos δ × sin(ω + θ)
Diapo n° 36
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
FAIBLESSES DE LA THÉORIE DE RANKINE
La théorie de RANKINE sur la poussée des terres
ne tient pas compte de la cohésion du sol (C = 0).
De plus la théorie de RANKINE impose, à priori
l ’orientation de la contrainte qui s ’applique sur les
écrans : parallèle à la pente.
Or il est bien connu que c ’est le déplacement relatif
du mur avec le sol qui impose l ’obliquité δ de cette
contrainte.
Enfin la théorie de RANKINE, comme celle de
COULOMB du reste , présuppose des glissements
rectilignes.
Diapo n° 37
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
TRAVAUX DE RESAL
En 1910, Jean RESAL admet comme RANKINE que les argiles
peuvent perdre leur cohésion, mais il doit y avoir beaucoup de
cas où la cohésion peut être considérée comme un élément
permanent de la résistance.
Il est donc revenu au critère de rupture énoncé par COULOMB
et a repris les calculs de RANKINE en considérant que la
résistance de rupture par glissement est exprimée par la somme
de deux termes.
L'un est proportionnel à l'étendue de la surface de rupture qui
représente la force de cohésion, et l'autre, proportionnel à la
pression normale mutuelle des deux parties disjointes, qui
représente la force de frottement.
Diapo n° 38
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
THÉORIE DE BOUSSINESQ (1882)
MÉTHODE DES ÉQUILIBRES LIMITES
FORMULES DE CAQUOT (1934)
Des expériences ont été faites vers 1870 en Angleterre par M.
DARWIN et en France par M. GOBIN, elles ont montré que les
valeurs expérimentales trouvées étaient notablement
inférieures à celles que donnaient la théorie de RANKINE ,
avec des écarts allant jusqu'à 50%, en particulier pour les sols
cohérents.
Plusieurs auteurs se sont attachés à lever cette approximation,
comme Résal en France.
C'est en fait BOUSSINESQ, en 1882, qui propose une théorie
de poussée des terres plus juste.
Il pose les équations différentielles de tous les équilibres de
poussée sur un parement quelconque avec une obliquité
quelconque entre +ϕ et -ϕ donnant ainsi la solution du
problème dans tous les cas de déplacement relatif du mur par
rapport au massif et de rugosité du mur sur le sol
Diapo n° 39
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Boussinesq détermine l'équation de ces courbes,
mais ses calculs l'ont conduit à des équations
différentielles non intégrables.
Jean Resal(1910), mathématicien également donna
quelques valeurs numériques de coefficient à partir
des équations de Boussinesq, mais ce fut Albert
Caquot en 1934, après avoir réécrit les équations de
Boussinesq en coordonnées polaires, qui donna la
méthode d’intégration complète.
En 1948, Caquot et Kerisel rassemblent des tables
de coefficients de poussée et de butée des terres qui
sont encore utilisée aujourd ’hui.
Diapo n° 40
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
D’une façon pratique, on déterminera l’action des
terre derrière un écran en distinguant trois actions :
ACTION DU POIDS PROPRE
zb
ex p a ns io n
za
c om p re s s io n
σ 'h (z a) = σ 'v (z a ) . K p γ
Diapo n° 41
σ 'h (z b) = σ 'v (z b ) . K a γ
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
ACTION DE LA SURCHARGE
charge uniformé ment répa rtie pb
charge uniformé ment répa rtie pa
e xpa ns ion
compre s s ion
σ' h = pa . Kpq
σ' h = pb . Ka q
Diapo n° 42
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
En butée σ'h = C/tgϕ (Kpq - 1) = C/tgϕ . Kpc, qui
est supérieure à zéro c'est à dire que la cohésion
pousse l'écran vers l'amont
En poussée σ'h = C/tgϕ (Kaq - 1) = C/tgϕ . Kac, qui
est inférieure à zéro c'est à dire que la cohésion tire
l'écran vers l'amont
C/tgϕ
e xpa ns ion
Diapo n° 43
c/tgϕ
C/tgϕ . Ka q
C/tgϕ . Kpq
compre s s ion
c/tgϕ
ACTION DE
LA COHESION
C/tgϕ
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
tables de Poussée-butée
tables de COULOMB
+
i
σ(L)
L
+
σ (L) = K × L × γ
δ
λ=90°-β
+
λ
Diapo n° 44
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
tables de RANKINE
+
θ
σ
σ (h) = K × h × γ
h
+
δ
+
λ
Diapo n° 45
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
tables de CAQUOT-KERISEL
(EQUILIBRES LIMITES)
+
β
σ(L)
δ
L
+
+
λ
σ (L) = K × L × γ
Diapo n° 46
Eric Gervreau 2005
Module G2 Cours 2
Diapo n° 47
Eric Gervreau 2005

poussée butée

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