Travail et énergie potentielle de pesanteur

Travail et énergie potentielle de pesanteur
Exercice 1:
Le système {S} est soumis à 2 forces extérieures:
•
•
Son poids .
La réaction du support
Le travail W(
.
) de la force réaction est nul car
est constamment perpendiculaire au déplacement.
Toutes les forces extérieures qui agissent sur ce système effectuent un travail nul, la somme Ec+Epp
est donc constante
Au point A:
Énergie cinétique: Ec(A) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(A) = 0.
Au point C (endroit de l'arrêt):
Énergie cinétique: Ec(C) = 0.
Énergie potentielle: Epp(C) = m.g.hC.
2
2
Ec(A) + Epp(A) = Ec(C) + Epp(C) => 1/2.m.Vo = m.g.hC => Vo = 2.g.hC
;
or hC = L.sin( )
Vo2 = 2.g.L.sin( ) => L= Vo2/ 2.g.sin( ) = 8,002/2 x 9,81 x sin(20,0)= 9,54m
Exercice 2:
1. La somme Ec + Epp se conserve:
Le système {bille S} est soumis à 2 forces extérieures:
•
Son poids
Le travail de la force
déplacement.
; La tension du fil
est nul car
.
est constamment perpendiculaire au
La somme Ec + Ep se conserve car toutes les forces extérieures (sauf le poids) qui
agissent sur ce système effectuent un travail nul.
A l'instant initial (instant 1)
Energie cinétique : Ec1 = 1/2.m.V12.
Energie potentielle de pesanteur: Ep1 = m.g.h1
avec h1=L.(1-cos( 1)), d'où: Ep1 = m.g.L.(1-cos( 1))
Somme Ec + Epp
Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos( 1))
2. Angle maximum de remontée:
A l'instant final (instant 2)
Energie cinétique :
Ec2 = 0
Energie potentielle de pesanteur: Ep2 = m.g.h2
avec h2=L.(1-cos(
m)),
Somme Ec + Epp
d'où: Ep2 = m.g.L.(1-cos(
m.g.L.(1-cos(
m))
m))
La somme Ec + Ep se conserve, donc:
1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos( 1)) = m.g.L.(1-cos(
1/2.V12 + g.L - g.L.cos( 1) = g.L - g.L.cos(
V12 -2.g.L.cos( 1) = -2.g.L.cos(
m))
m)
m)
cos(
m)
= 2.g.L.cos( 1) - V12/ 2.g.L = 2 x 9,81 x 0,80 x cos(30) - 1,52/ 2 x 9,81 x 0,80
cos(
m)
= 0,72
=>
m
= 44°.
Mouvement ultérieur du pendule:
La somme Ec + Ep se conserve. Le pendule ne perd pas d'énergie et le pendule va osciller
indéfiniment entre les angles + m et - m.
3. Vitesse V1':
A l'instant initial:
Énergie cinétique: Ec1 = 1/2.m.V1'2.
Énergie potentielle: Ep1 = m.g.L.(1-cos( 1))
On en déduit: Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V1'
2
+ m.g.L.(1-cos( 1))
Énergie mécanique finale:
Énergie cinétique: 1/2.m.V22.
Énergie potentielle: Ep2 = 2.m.g.L (le pendule est à la verticale).
2
On en déduit: Ec2 + Epp2 = 1/2.m.V2 + 2.m.g.L
La somme Ec + Ep se conserve, donc:
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
1/2.m.V1' 2 + m.g.L.(1-cos( 1)) = 1/2.m.V22 + 2.m.g.L
V1'2 + 2.g.L.(1-cos( 1)) = V22 + 4.g.L
V1'2 + 2.g.L. - 2.g.L.cos( 1) = V22 + 4.g.L
V1'2 = V22 + 2.g.L + 2.g.L.cos( 1)) = V22 + 2.g.L.(1 + cos( 1))
V1'2 = 5,02 + 2 x 9,81 x 0,80.(1 + cos(30)) = 54,3m2.s-2
V1' = 7,4m.s-1.
=
Exercice 3:
Coordonnées du vecteur vitesse initiale:
Il est immédiat que: Vox = Vo.cos( )
Voz = Vo.sin( )
2. Expression de l'altitude Zs du sommet S de la trajectoire:
Le système {pierre} n'est soumis qu'à son poids
.
La somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur) se conserve car toutes les
forces extérieures (sauf le poids) effectuent un travail
nul.
Au point 0:
Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(O) = 0.
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2.
Au point S (sommet de la trajectoire):
Énergie cinétique: Ec(S) = 1/2.m.Vs2.
Énergie potentielle: Epp(S) = m.g.zs.
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs.
La somme Ec + Epp se conserve, donc:
Ec(O) + Epp(O) = Ec(S) + Epp(S) =
1/2.m.Vo2 = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs => Vo2 = Vs2 + 2.g.zs
Or Vs = Vox = Vo.cos( ), d'où: Vo2 = Vo2.cos2( ) + 2.g.zs
2.g.zs = Vo2.(1 - cos2( )) => zs = Vo2.(1-cos2( )) / 2g
3. application numérique:
Pour
= 30,0°:
zs = 15,02 x (1 - cos2(30,0)) / 2 x 9,81 = 2,87 m
Pour = 60,0
zs = 15,02 x (1 - cos2(60,0)) /
2 x 9,81 = 8,60 m
4. Vitesse au point d'impact avec le sol:
Au point 0:
Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(O) = 0.
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2.
Au point D:
Énergie cinétique: Ec(D) = 1/2.m.VD2.
Énergie potentielle: Epp(D) = 0.
D'où Ec(D) + Epp(D) = 1/2.m.VD2.
La somme Ec + Epp se conserve, donc:
EmO = EmD => 1/2.m.Vo2 = 1/2.m.VD2 => Vo2 = VD2
Vo = VD
La vitesse au point D est VD = 15,0m.s-1.
Remarque: Vecteur vitesse au point D: voir schéma (le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au
point D).
Exercice 4:
1. Référentiel, origine des espaces, origine
des énergies:
2. Distance parcourue par le palet:
Au point A
Énergie cinétique: Ec(A) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(A) = m.g.yA.
D'où Ec(A) + Epp(A) = 1/2.m.Vo2 + m.g.yA.
Au point B (endroit de l'arrêt)
Énergie cinétique: Ec(B) = 0.
Énergie potentielle: Epp(B) = m.g.yB.
D'où Ec(B) + Epp(B) = m.g.yB.
D'autre part, le palet est soumis à 2 forces extérieures:
•
•
Son poids .
La réaction du support
du plan incliné.
W AB( )=0 car
et la somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur) se
conserve car toutes les forces extérieures (sauf le poids) effectuent un travail nul.
Ec(A) + Epp(A) = Ec(B) + Epp(B) => 1/2.m.Vo2 + m.g.yA = m.g.yB
=> Vo2 = 2.g.(yB - yA)
or yB - yA = L.sin( ), d'où: Vo2 = 2.g.L.sin( )
L = Vo2 / 2.g.sin( ) = 5,002/2 x 10 x sin(20) = 3,73 m.
3. Pourquoi la distance parcourue est-elle inférieure?
Il existe en fait des forces de frottements dont le travail n'est pas nul. la somme Ec + Epp (énergie
mécanique) n'est pas constante.
Soit Em la variation d'énergie mécanique du palet
Em = EmB - EmA => Em = EcB + EpB -EcA - EpA = m.g.yB - m.g.yA - 1/2.m.Vo2
Em = m.g.(yB - yA) - 1/2.m.Vo2 = m.g.L.sin( ) - 1/2.m.Vo2 = m.(g.L.sin( ) - Vo2/2)
Em = 5 x (9,81 x 2,5 x sin(20) - 52/2) = -20,6 J
Travail des forces de frottements:
Soit la résultante de forces de frottements. Le travail de
mécanique.
W(
) = Em => W(
) = -20,6 J.
Résultante des forces de frottements:
effectue un travail résistant et W(
f = - W(
) = - f.L, d'où:
) / L = - (-20,6) / 2,5 = 8,24N
est égal à la variation d'énergie