Formulaire sur la dérivée

Formulaire sur la dérivée
Définition
y
y
f (x)
f (x + h)
Règle de chaine
f (x)
0
= f 0 g(x) g0 (x)
f g(x)
f (x)
f (x)
f (a)
h
f (x)
f (x)
x
x
a
x+h
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Équation de la droite tangente
en (x, f (x)) (y fonction de h)
(A)0 = 0, A ∈ R
x
x
f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x−a
Fonctions exponentielles et logarithmes
0
ex = ex
0
bx = bx ln(b)
Équation de la droite tangente
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
0
y = f (x) + f (x)h
Approximation de f (x + h)
Approximation par la droite
tangente
f (x + h) ≈ f (x) + f 0 (x)h
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a)
0
sin(x) = cos(x)
0
tan(x) = sec2 (x)
0
sec(x) = sec(x) tan(x)
Notations
Différentes notations pour la dérivée de y = f (x) = x2 .
y0
f 0 (a)
y0 |x=a
f 00 (x)
y00
f 00 (a)
y00 |x=a
Notations pour la dérivée première
0
d f (x)
dy
x2
dx
dx
0 d
f
(x)
dy
2 x dx
dx
x=a
x=a
x=a
Notations pour la dérivée seconde
00
d2y
d 2 f (x)
x2
dx2
dx2
00 2
2
d y
d f (x) x2 dx2 x=a
dx2 x=a
x=a
dx2
dx
dx2 dx x=a
d 2 x2
dx2
2
d x2 dx2 x=a
0 1
ln(x) =
x
0
logb (x) =
1
x ln(b)
Fonctions trigonométriques
f 0 (x)
0
xa = ax(a−1) , a ∈ R
Définition de la dérivée
Définition de la dérivée
f 0 (x) = lim
Fonctions algébriques
(x − a)
0
cos(x) = − sin(x)
0
cot(x) = − csc2 (x)
0
csc(x) = − csc(x) cot(x)
Fonctions trigonométriques inverses
0
1
asin(x) = √
1 − x2
0
1
atan(x) = 2
x +1
0
1
asec(x) = √
x x2 − 1
0
−1
acos(x) = √
1 − x2
0
−1
actg(x) = 2
x +1
0
−1
acsc(x) = √
x x2 − 1
Dérivation logarithmique
Pour dériver une fonction de la forme uv .
Propriétés de la dérivée
Linéarité
0
k f (x) = A f 0 (x), k ∈ R
0
f (x) + g(x) = f 0 (x) + g0 (x)
Produits et quotients
0
f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g0 (x)
f (x) 0
f 0 (x)g(x) − f (x)g0 (x)
=
2
g(x)
g(x)
Truc 1 : utiliser l’identité A = eln(A)
0 0 0
v
uv = eln(u ) = ev ln(u)
Truc 2 : appliquer ln et dérivation implicite
y = uv ⇐⇒ ln(y) = ln(uv ) ⇐⇒ ln(y) = v ln(u)
0 0
0
y0 ln(y) = v ln(u) =⇒ = v ln(u)
y
Définition de la différentielle
Règle de chaine
y
z est fonction de y fonction de x
f (x)
dz =
y + dy ≈ y + ∆y = f (x + dx)
∆y
dy
y = f (x)
dz dy
dz
dy =
dx
dy
dy dx
Fonctions algébriques
dx
∆x
dA = 0 dx, A ∈ R
y
dxa = ax(a−1) dx, a ∈ R
x
x
x + dx
Exponentielles et logarithmes
Approximation de ∆y par dy si ∆x est petit:
∆y ≈ dy = f 0 (x) dx.
Notation différentielle avec y = f (x) = x2 :
1
dx
x
dex = ex dx
d ln(x) =
dbx = bx ln(b) dx
d logb (x) =
dy = y0 dx = f 0 (x) dx = 2x dx.
1
dx
x ln(b)
Rarement utilisé en calcul différentiel de base, mais valable:
Fonctions trigonométriques
d 2 y = y00 dx2 = f 00 (x) dx2 = x2 dx2 .
d sin(x) = cos(x) dx
2
d tan(x) = sec (x) dx
d sec(x) = sec(x) tan(x) dx
Propriétés des différentielles
Linéarité
u et v fonctions de x
d
u
+
v
= du + dv
d(ku) = k du, k ∈ R
u + du
u + du
u
u
du
k(u + du)
ku
v + dv
v
du
v
u
u+v
kdu
Produits et quotients
u et v fonctions de x
u v du − u dv
d uv = v du + u dv
d
=
v
v2
du dv
(négligable)
dv
udv
v
uv
vdu
u
du
dv
du dv
du + dv
d cos(x) = − sin(x) dx
d cot(x) = − csc2 (x) dx
d csc(x) = − csc(x) cot(x) dx
Fonctions trigonométriques inverses
1
dx
d asin(x) = √
1 − x2
1
d atan(x) =
dx
1 + x2
1
d asec(x) = √
dx
x x2 − 1
−1
d acos(x) = √
dx
1 − x2
−1
d actg(x) =
dx
1 + x2
−1
d acsc(x) = √
dx
x x2 − 1