Appel à projets Digiteo-DigiCosme 2015 Allocation Doctorale

Appel à projets Digiteo-DigiCosme 2015
Allocation Doctorale
Acronyme : TRAGIC
(Théorie des Représentations, Algèbres de Hopf, Géométrie, Interprétation Combinatoire)
Titre du projet de thèse :
Interprétation d’algèbres de Hopf d’arbres en géométrie et théorie des représentations
Mots clés :
Informatique fondamentale
Combinatoire algébrique et géométrique
Algorithmique
Calculs symboliques et algébriques
Représentation des groupes et des monoïdes
Théorie des polytopes
Combinatoire des permutations, des arbres et des tableaux
Résumé : Ce projet se situe en combinatoire algébrique et géométrique : il explore les liens entre des
propriétés structurelles d’objets combinatoires (permutations, arbres, tableaux de Young, ordres partiels,
graphes, etc), les identités et structures algébriques, et certaines constructions géométriques. Dans ce
contexte, la théorie des algèbres de Hopf combinatoires cherche à généraliser les séries génératrices
pour manipuler algébriquement des inductions structurelles. La problématique de la thèse est l’étude
de ces algèbres de Hopf combinatoires du point de vue de leur théorie des représentations et de leur
géométrie, l’objectif principal étant de catégorifier les algèbres de Hopf combinatoires sur les arbres. Les
retombées attendues de ce projet portent sur les propriétés d’algorithmes combinatoires classiques. Notre
méthodologie de recherche s’appuie très fortement sur l’expérimentation informatique comme outil pour
développer l’intuition, vérifier des propriétés et énoncer des conjectures,
Thématique du projet :
Appel Digiteo, thème « Logiciel : des aspects fondamentaux à l’ingénierie »
Pôle 4 de l’ED STIC « Programmation : modèles, algorithmes, langages, architecture »
Établissement gestionnaire :
LRI, Université Paris Sud
Laboratoire ou Unité de Recherche :
LRI, Université Paris Sud
LIX, École Polytechnique
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Responsable du projet :
Florent Hivert
LRI, Université Paris-Sud, Orsay
B LRI, Bât 650 Université Paris-Sud 11, 91405 Orsay Cedex, France
@ [email protected]
http://www.lri.fr/~hivert/
Curriculum Vitae :
• Thèse de doctorat (15 janvier 1999)
• Maître de Conférence : Université de Marne-la-vallée (1999 – 2005)
• Détachement CR/CNRS : LIFR-MIIP Université indépendante de Moscou, Russie (2004)
• Habilitation à Diriger des Recherches (13 décembre 2004)
• Professeur 2ème CL : Université de Rouen (2005 – 2011)
• Professeur 1ère CL : Université de Paris Sud XI (2011 –)
Sélection de (pré)publications en lien avec le sujet :
Pour une liste complète voir http://www.lri.fr/~hivert/paper.html
• avec J.-C. Novelli et J.-Y. Thibon, The algebra of binary search trees, Theoretical Computer
Science, 339 (2005), 129-165.
• avec J.-C. Novelli et J.-Y. Thibon, Yang-Baxter bases of 0-Hecke algebras and representation
theory of 0-Ariki-Koike-Shoji algebras, Advances in Mathematics, 205(2) (2006), 504-548.
• avec J.-C. Novelli et J.-Y. Thibon, Trees, functional equations, and combinatorial Hopf algebras,
European Journal of Combinatorics, 29(7) (2008), 1682–1695.
• avec T. Denton, N. Thiéry et Anne Schilling, The representation theory on J-trivial monoids,
Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B64d (2011), 44 pp.
• avec F. Chapoton et J.-C. Novelli, A set-operad of formal fractions and dendriform-like suboperads, prépublication arXiv:1307.0092 (2013), 31 pp.
Encadrement de doctorants : cinq thèses encadrées depuis 2007 :
• François Descouens, « Combinatoire des tableaux de rubans et des polynômes de Kostka généralisés », soutenue le 7 juin 2007 (30% responsable Jean-Yves Thibon), actuellement professeur
de mathématiques en lycée.
• Janvier Nzeutchap, « Dualité dans les graphes gradués et les algèbres de Hopf », soutenue le 1er
juillet 2008, actuellement développeur logiciel d’analyse financière CGY AXIS.
• Samuele Giraudo, « Combinatoire algébrique des arbres », soutenue le 8 décembre 2011 (50%
avec Jean-Christophe Novelli), actuellement Maître de Conférences à l’Université Paris Est Marnela-Vallée.
• Aladin Virmaux, « Théorie des représentations des monoïdes de tris », soutenance prévue à l’été
2015 (20% avec Nicolas Thiéry).
• Jean-Baptiste Priez, « Réalisations polynomiales d’algèbres de Hopf combinatoire, application à
l’énumération des automates et des fonctions de parking », soutenance prévue à l’été 2015.
Participation à des jurys :
• Rapporteur de trois HDR : Christophe Hohlweg, Frédéric Toumazet, Jean-Chrisophe Aval.
• Rapporteur de cinq thèses de doctorat : Marc Fortin (UQÀM, Montréal), Jean-Paul Bultel, Pedro
Lenin Garcia de Leon, Zhicong Lin, Omar Tout.
• Présidence du jury de thèse de doctorat de Ramakrisna Upadrasta et Mohamed Iguernelala.
• Membre du jury de thèse de doctorat de Robin Langer.
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Partenaire du projet :
Vincent Pilaud
CNRS & LIX, École Polytechnique
B LIX, Bâtiment Alan Turing, École Polytechnique, 91120 Palaiseau, France
@ [email protected]
http://www.lix.polytechnique.fr/~pilaud/
Curriculum Vitae :
• Thèse de doctorat (31 mai 2010)
• Séjour post-doctoraux : UPC Barcelone et Fields Institute Toronto (2011)
• Chargé de recherche 2ème classe CNRS : École Polytechnique (2012 –)
Sélection de (pré)publications en lien avec le sujet :
Pour une liste complète voir http://www.lix.polytechnique.fr/~pilaud/
• avec Francisco Santos, The brick polytope of a sorting network, European Journal of Combinatorics, 33(4) (2012), 632 – 662.
• avec Cesar Ceballos, Denominator vectors and compatibility degrees in cluster algebras of finite
type, Transactions of the American Mathematical Society, 367 (2015), 1421 – 1439.
• avec Christian Stump, Brick polytopes of spherical subword complexes and generalized associahedra, accepté à Advances in Mathematics (2015), 52 pp.
• avec Grégory Chatel, Cambrian Hopf algebras, prépublication arXiv:1411.3704 (2014), 60 pp.
• Signed tree associahedra, prépublication arXiv:1309.5222 (2013), 50 pp.
Encadrement de doctorants : 1 thèse en cours
• Thibault Manneville, « Généralisations géométriques et combinatoires des associaèdres », soutenance prévue été 2017 (80% avec Gilles Schaeffer).
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Description détaillée des travaux :
Contexte. Ce projet se situe en combinatoire algébrique et géométrique : il explore les liens entre
des propriétés structurelles d’objets combinatoires (permutations, arbres, tableaux de Young, ordres
partiels, graphes, etc), les identités et structures algébriques, et certaines constructions géométriques.
L’objet principal de ce sujet est une famille d’algèbres de Hopf dites combinatoires, construites à partir d’algorithmes classiques (algorithme de Schensted [Lot02, Chap. 6], insertion dans les arbres binaires de recherche [HNT06], etc). Elles sont apparues simultanément en algèbre (théorie des représentations [Mac95, Zel81], K-théorie [LR98]), en géométrie discrète (permutaèdres déformés [Pos09]), en
systèmes dynamiques (méthodes de Runge-Kutta), et en physique (renormalisation [CK98], équation de
Schwinger-Dyson).
Motivation. L’objectif de la combinatoire énumérative est de compter le nombre d’objets d’une structure combinatoire donnée. Un outil algébrique essentiel est la série génératrice qui encode la suite des
nombres d’objets de la structure en fonction de leur taille. L’exemple le plus classique est celui des arbres
binaires, comptés par les nombres de Catalan, dont la série génératrice donnée par
√
1 − 1 − 4t
A(t) =
= 1 + t + 2 t2 + 5 t3 + 14 t4 + 42 t5 + 132 t6 . . .
2t
est obtenue à partir de son équation fonctionnelle A(t) = 1 + t.A(t)2 . Cette méthodologie a été utilisée
avec succès pour le calcul automatique de complexité de certains algorithmes [FS09]. Le principal défaut
de cette méthode est que l’information encodée dans l’exposant d’un monôme est très pauvre : c’est un
nombre entier (voire un uplet de nombre entiers pour les séries multivariées). La théorie des algèbres
de Hopf combinatoires cherche à généraliser les séries génératrices pour manipuler algébriquement des
inductions structurelles, par exemple sur les arbres, les relations, les grammaires, les graphes, etc.
Le produit de mélange sur les mots permet ainsi de donner un sens au produit de deux permutations,
de deux arbres binaires ou de deux séquences binaires :
12 · 231 = 12453 + 14253 + 14523 + 14532 + 41253 + 41523 + 41532 + 45123 + 45132 + 45312
00101 · 010011101 = 001010010011101 + 001011010011101
F IGURE 1 – Le produit de deux permutations, de deux arbres binaires, et de deux séquences binaires.
Grâce à une structure algébrique riche (dite de Hopf), ces algèbres encodent des propriétés combinatoires plus fines que les séries formelles usuelles. Par exemple, le développement de l’exponentielle dans
l’algèbre des arbres binaires de Loday-Ronco permet de calculer les probabilités d’apparition des formes
des arbres binaires de recherche.
Problématique, angle d’attaque, positionnement. La problématique de la thèse est l’étude de ces
algèbres de Hopf combinatoires du point de vue de leur théorie des représentations et de leur géométrie.
Ces deux approches se rejoignent autour de la géométrie des groupes de Coxeter.
Le but initial de la théorie des représentations est de réaliser un groupe comme groupe de matrices.
Initié au début du XXème siècle, elle a été un élément clé dans la compréhension moderne des groupes.
Dans ce paysage certains groupes géométriques se sont singularisés, en particulier dans les travaux de
Coxeter. Le groupe symétrique en est un prototype, et de nombreuses propriétés combinatoires des permutations traduisent en fait des propriétés algébriques et géométriques de ce groupe. Par exemple, le
nombre d’étapes du tri par bulle d’une permutation π peut aussi être interprété comme la longueur d’une
expression réduite de π, ou comme le nombre d’hyperplans traversés par un chemin géodesique de la
chambre de π à celle de l’identité dans l’arrangement de Coxeter.
Cette combinaison d’approches (théorie des représentations et géométrie discrète) n’a été que peu
utilisée dans le cadre des algèbres de Hopf combinatoires et constitue donc l’une des forces de ce sujet.
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Objectifs scientifiques, retombées attendues, critères de réussite. L’objectif de la thèse est de catégorifier les algèbres de Hopf combinatoires sur les arbres. Il s’agit de reconnaître si une algèbre de
Hopf encode la théorie des représentations d’une tour de groupes, de monoïdes ou d’algèbres. Lorsqu’elle est possible, la catégorification apporte de nombreuses informations combinatoires sur l’algèbre,
par exemple sur ses coefficients de structures (positivité, interprétation combinatoire, etc).
Les retombées attendues de ce projet portent sur les propriétés d’algorithmes combinatoires classiques (tri par bulles, insertion dans un arbre binaire de recherche, calcul des descentes). En effet, l’exécution de ces algorithmes détermine les règles de calcul des algèbres associées (algèbre des permutations
de Malvenuto-Reutenauer [MR95], algèbre des arbres binaires de Loday-Ronco [LR98], algèbre des
descentes de Solomon [GKL+ 95]) et la géométrie des polytopes associés (permutaèdre, associaèdre,
hypercube) :
4321
3421
4312
111
3412
110
4213
2431
011
2413
2341
1432
1342
1243
1423
010
3214
2314
3124
100
1324
2134
1234
001
000
F IGURE 2 – Permutaèdre (gauche), associaèdre (milieu) et cube (droite).
Une meilleure compréhension algébrique et géométrique fournirait des outils combinatoires pour l’analyse de ces algorithmes. Par exemple, l’opération de rotation, fondamentale dans l’équilibrage des arbres
binaires de recherche est un ingrédient central des règles de calcul de l’algèbre des arbres binaires, et de
la géométrie de l’associaèdre.
Le succès de la thèse se mesurera aux progrès réalisés dans la compréhension algébrique et géométrique de ces algèbres de Hopf. On valorisera aussi bien les avancées théoriques que le développement
d’outils théoriques et effectifs de manipulation et de compréhension des concepts clés du sujet.
Méthode et outils. Notre méthodologie de recherche s’appuie très fortement sur l’expérimentation informatique comme outil pour développer l’intuition, vérifier des propriétés et énoncer des conjectures.
Un problème typique de recherche en combinatoire algébrique met en oeuvre l’exécution d’algorithmes
combinatoires instrumentés, du calcul effectif sur des structures algébriques et la manipulation d’objets
géométriques, tout ceci avec des problèmes dont la taille augmente de manière exponentielle. Pour répondre à ces besoins complexes, il est nécessaire de s’intégrer dans un développement d’envergure. On
utilisera ainsi le système Sage et son extension Sage-combinat. Basée sur le langage python qui
est largement reconnu dans la communauté scientifique, elle permettra au doctorant de s’intégrer dans
une équipe de développement internationale et active. Les algorithmes obtenus pendant la thèse seront
intégrés à la bibliothèque. Il pourra ainsi acquérir une grande expérience du développement collaboratif et de l’expérimentation sur machine. D’autre part, le savoir-faire acquis en Python sera certainement
valorisable pour la suite de sa carrière.
Compétences requises. On attend du candidat des connaissances en algèbre (base de la théorie des
représentations), en géométrie (base de la théorie des polytopes) et en programmation (algorithmes élémentaires sur des objets combinatoires).
Environnement de la thèse. La thèse aura lieu au sein de l’équipe GALaC du LRI (encadrant Florent
Hivert) et de l’équipe Combi du LIX (encadrant Vincent Pilaud). L’étudiant profitera en particulier du
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GT Combi du LIX, qui permettra le contact avec les autres chercheurs en combinatoire énumérative,
algébrique et géométrique dans ces équipes. Outre le financement de Digiteo, les déplacements du thésard
seront également soutenus par l’ANR CARMA et l’ANR EGOS.
Objectifs et intérêt pour Digiteo. Les recrutements récents de trois chercheurs CNRS dans l’équipe
Combi du LIX et de trois enseignants-chercheurs en combinatoire algébrique dans l’équipe GALaC du
LRI nous ont poussé à entamer des rapprochements scientifiques entre les deux équipes. Cette volonté de
rapprochement se cristallise autour du GT Combi du LIX qui est devenu un lieu d’échange et de discussions fondamental pour nos deux équipes. Une demande de soutien au Labex Digicosme a été déposée
pour la création et le développement d’un groupe de travail du plateau de Saclay. Ce rapprochement
scientifique s’est aussi concrétisé récemment par le stage de quatrième année d’un étudiant de l’ENS
coencadré par Florent Hivert (équipe GALaC du LRI) et par Vincent Pilaud (équipe Combi du LIX). Les
collaborations en cours de plusieurs membres de nos équipes (notamment Florent Hivert, Viviane Pons,
Nicolas Thiéry, Vincent Pilaud, et nos étudiants) promettent des publications communes dans un avenir
proche. Ce projet de thèse s’inscrit dans cette démarche : il soutiendrait le développement des activités et
des collaborations de nos deux équipes, et participerait ainsi à l’émergence d’un groupe de combinatoire
attractif au niveau du plateau de Saclay.
Bibliographie
[CK98]
Alain Connes and Dirk Kreimer. Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry. Comm. Math. Phys., 199(1) :203–242, 1998.
[FS09]
Philippe Flajolet and Robert Sedgewick. Analytic combinatorics. Cambridge University
Press, Cambridge, 2009.
[GKL+ 95] Israel M. Gelfand, Daniel Krob, Alain Lascoux, Bernard Leclerc, Vladimir S. Retakh, and
Jean-Yves Thibon. Noncommutative symmetric functions. Adv. Math., 112(2) :218–348,
1995.
[HNT06]
Florent Hivert, Jean-Christophe Novelli, and Jean-Yves Thibon. Yang-Baxter bases of 0Hecke algebras and representation theory of 0-Ariki-Koike-Shoji algebras. Adv. Math.,
205(2) :504–548, 2006.
[Lot02]
M. Lothaire. Algebraic combinatorics on words, volume 90 of Encyclopedia of Mathematics
and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
[LR98]
Jean-Louis Loday and María O. Ronco. Hopf algebra of the planar binary trees. Adv. Math.,
139(2) :293–309, 1998.
[Mac95]
Ian G. Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, second edition, 1995.
With contributions by A. Zelevinsky, Oxford Science Publications.
[MR95]
Clauda Malvenuto and Christophe Reutenauer. Duality between quasi-symmetric functions
and the Solomon descent algebra. J. Algebra, 177(3) :967–982, 1995.
[Pos09]
Alexander Postnikov. Permutohedra, associahedra, and beyond. Int. Math. Res. Not. IMRN,
(6) :1026–1106, 2009.
[Zel81]
Andrey V. Zelevinsky. Representations of finite classical groups, volume 869 of Lecture
Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981. A Hopf algebra approach.
6
Prof. Yannis Manoussakis
Mail : [email protected]
Tel. +33169156676 Fax : +33169156586
http://www.lri.fr/~yannis
Orsay, le 2 Mars, 2015
Lettre de soutien au projet doctoral Digiteo-Digicosme
TRAGIC: Théorie des Représentations, Algèbres de Hopf, Géométrie,Interprétation Combinatoire.
Ce projet, porté par Florent Hivert (LRI, Université Paris-Sud) et Vicent Pilaud (LIX, École
Polytechnique), consiste à combiner les approches algébriques et géométriques pour l'étude de la
combinatoire des arbres. L'école des descendants de Schützenberger, dont Florant Hivert fait partie,
utilise surtout l'algèbre (théorie des groupes et des représentations) tandis que Vicent Pilaud est un
spécialiste de la géométrie discrète (polytopes). L’idée originale est de combiner les deux
compétences par une approche utilisant la géométrie des groupes de Coxeter et les arrangements
d'hyperplans.
Tous ces aspects combinatoires s’inscrivent dans un axe de recherche à la fois prioritaire et de toute
première importance pour l’équipe Galac de mon laboratoire mais le projet constituerait également
un tremplin pour le rapprochement scientifique en cours entre les deux équipes partenaires de
combinatoire apportant deux points de vue complémentaires. De plus ce projet constituerait un
complément idéal au projet de séminaire commun déposé fin février 2015 dans le cadre des appels
Digicosme.
Cette demande présente donc un très fort potentiel tant pour le LRI que pour LIX et je souhaite très
vivement qu’il puisse être soutenu dans le cadre de l’appel à projets Digiteo 2015.
Yannis MANOUSSAKIS
Professeur classe exceptionnelle
Directeur du LRI
Université Paris Sud
LRI, Bât 650, 91405 Orsay cedex, France
www.lri.fr