quelques fonctions "pathologiques" ou presque

QUELQUES FONCTIONS "PATHOLOGIQUES" OU PRESQUE !
"Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui
n’ont pas de dérivée " Lettre de Hermite à Stieljtes, 20 mai 1893.
"La logique parfois engendre des monstres. Depuis un demi-siècle on a vu surgir une foule
de fonctions bizarres qui semblent s’efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes
fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de
dérivées, etc...Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but
pratique ; aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos
pères, et on n’en tirera jamais que cela. " Henri Poincaré, Science et méthode/Livre II, 1908
Définition 1. Une fonction f est dite "pathologique" si elle a déstabilisé plus d’un mathématicien et qu’elle a joué un rôle essentiel dans l’histoire des mathématiques !
Question 1. Existe-t-il une fonction partout discontinue sur R, sauf en x = 0 ?
Réponse. Certainement une des premières, découverte par Dirichlet vers 1829 [1, sect III.1],
appelée la fonction caractéristique de Q, (notée généralement χQ ) est
1
si x est rationnel
f :x→
0
sinon
Graphiquement, elle ressemble à un nuage unidimensionnel de points particulièrement dense en
y = 1 et un brouillard unidimensionnel encore plus dense en y = 0.
Question 2. Existe-t-il une fonction continue "presque partout" (en tout point irrationnel) et
discontinue sur tout rationnel de l’intervalle ]0; 1[ ?
Réponse. Aussi étrange que cela puisse paraître, oui !
0
si x est irrationnel
f :x→
1
si x = pq est irréductible
q
Graphiquement, elle ressemble à un nuage triangulaire de points, particulièrement dense en y = 0,
symétrique par rapport l’axe x = 1/2 où l’on a un sommet en (1/2; 1/2).
Question 3. Existe-t-il une fonction discontinue sur R? mais dérivable en un seul point x = 0 ?
Réponse. En "jouant" avec la pénultième fonction on obtient
x2
si x est rationnel
f :x→
0
sinon
Graphiquement, elle ressemble à un nuage parabolique de points et un brouillard encore plus dense
et unidimensionnel en y = 0.
Question 4. Existe-t-il une fonction continue sur R mais nulle part dérivable ?
Réponse. En 1861, Bernhard Riemann fut le premier 1 à donner un exemple de fonction continue et dont l’ensemble des points non différentiables est de mesure nulle. Puis, en 1872, Karl
Weierstrass donna toute une famille de fonctions continues et nulle part dérivables. L’exemple
ci-dessous, plus élémentaire a été trouvé par John McCarthy, publié en 1953 (dans American
Mathematical Monthly, Vol. LX, No. 10, December 1953). Il est nécessaire de prolonger par
périodicité la fonction g sur tout R en posant g(x) = g(x + 4).
∞
X
1
1+x
pour x ∈ [−2; 0]
2k
fn (x) :=
g(2 x)
où g : x →
k
1
−
x
pour
x ∈ [0; 2]
2
k=1
1. Erratum ! D’après la thèse de Johan Thim, Continuous Nowhere Differentiable Functions, Luleå,
2003, il y aurait d’abord le tchèque, Bernard Bolzano (vers 1830), puis le mathématicien suisse, Charles
Cellérier vers 1860, qui ont donné des exemples de fonctions continues et nulle part dérivables.
1
2
QUELQUES FONCTIONS "PATHOLOGIQUES" OU PRESQUE !
Le graphique provient de Wikipedia : http ://fr.wikipedia.org
Autre caractéristique : la longueur de la courbe entre deux points (a; f (a)) et (b; f (b)) quelconques
est infinie, en revanche l’aire comprise entre la courbe et l’axe des abscisses est bornée.
Il semble même raisonnable d’imaginer que la propriété précédente pourrait caractériser ces
fonctions.
Conjecture 1. Une fonction continue f est partout non différentiable si et seulement si la
distance le long de la courbe entre (a; f (a)) et (b; f (b)) est toujours infinie, indépendament des
points a et b choisis.
Alors qu’inversement, si l’on imagine des projections continues "raisonnables" localement, il
semblerait qu’alors l’on obtienne une courbe lisse ....
Conjecture 2. Une courbe C := (f (t); g(t)) est différentiable si et seulement si f et g sont
continues et localement croissantes ou décroissantes.
Question 5. Existe-t-il une fonction f , infiniment dérivable sur tout R (ou C ∞ ) dont le développement de Taylor-Maclaurin converge, mais pas vers f ?
Réponse (Cauchy, 1823). Oui, les dérivées de tous les ordres en 0 sont nulles de la fonction f
ci-dessous et pourtant la f n’est pas identiquement nulle !
2
e−1/x
x 6= 0
f :x→
0
sinon
Pour le texte complet de Poincaré qui contient des réflexions remarquables sur l’enseignement
des mathématiques consulter :
http://fr.wikisource.org/wiki/Science_et_méthode/Livre_II,_§_II
Références
1. Hairer Ernst Wanner Gerhard, Analyse au fil de l’histoire, Springer Verlag.
C. Aebi, Collège Calvin, Genève, Suisse