Schémas de subdivision

Transcription

Définitions des schémas de subdivision
Notion de convergence
Régularité de la courbe obtenue
1
”Four Point scheme” : ω = 16
Schémas de subdivision
Antoine ROJAT
Mai 2009
1/23
Antoine ROJAT
Scémas de subdivision
1
Introduction
Objectifs
Déroulement
Résultat
2/23
Antoine ROJAT
3/23
1
Plan
1
2
Définition
Méthodes de preuve
3
Fonction associée au schéma
Régularité des courbes obtenues
4
”Four Point scheme” : ω =
Définition
Résultats
1
16
Antoine ROJAT
1
Définitions
Masque d’un schéma de subdivision
Un schéma de subdivision est défini par son masque
a = {(an )n∈Z ∈ R}. Le masque d’un schéma est à support
compact.
Points de contrôle
L’ensemble des points de contrôle est un ensemble fini d’éléments
de R2
4/23
Antoine ROJAT
1
Définitions
Masque d’un schéma de subdivision
Un schéma de subdivision est défini par son masque
a = {(an )n∈Z ∈ R}. Le masque d’un schéma est à support
compact.
Points de contrôle
L’ensemble des points de contrôle est un ensemble fini d’éléments
de R2
4/23
Antoine ROJAT
1
Principe de fonctionnement (1/2)
5/23
1
on considère l’ensemble de points de contrôle de l’étape i ;
2
on applique alors le schéma de subdivision ie
on combine les points de contrôle de l’étape i
avec le masque du schéma
ce qui détermine les points de contrôles de l’étape i+1
3
on itère.
Antoine ROJAT
5/23
1
1
2
3
on itère.
Antoine ROJAT
5/23
1
1
2
3
on itère.
Antoine ROJAT
1
Considérons :
f 0 un ensemble de points de contrôle.
S un schéma de subdivision et (an ) son masque
les points de contrôle de l’étape i sont notés (S i f 0 )
Application du schéma
(S i+1 f 0 )k =
X
ak−2n (S i f 0 )n
n∈Z
6/23
Antoine ROJAT
7/23
1
Définition
Plan
1
2
Définition
3
4
Définition
Résultats
1
16
Antoine ROJAT
8/23
1
Définition
Convergence ”simple”
Un schéma de subdivision S est un schéma convergent lorsque :
quel que soit l’ensemble des points de contrôle initiaux,
il existe une fonction f continue sur R telle que
f n’est pas identiquement nulle
lim |(S k f 0 )2k−l j − f (2−l j)| = 0, l ∈ Z+ , j ∈ Z
l<k→∞
Antoine ROJAT
1
Définition
Convergence uniforme
Un schéma de subdivision S est uniformément convergent lorsque :
∀f 0 ∈ l ∞ (Z), limk→∞ kS k f 0 − f ∗ (k)k∞ = 0
où f ∗ (k) = {f ( 2jk ), j ∈ Z}
9/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Condition nécessaire
Soit S un schéma de subdivision et soit a son masque ;
si S converge uniformément, alors :
X
aδ−2n = 1, δ ∈ {0, 1}
n∈Z
Cette condition sert à écarter les schémas trivialement non
convergents.
10/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Notion de schéma dérivé
Définition
Soit S un schéma de subdivision et soit a(z) son polynôme
caractéristique associé.
On définit alors le masque dérivé de S comme étant le masque de
polynôme caractéristique
a1 (z) =
2z
a(z)
z +1
Relation entre S1 et S
S est un schéma de subdivision uniformément convergent
si et seulement si
S1 son schéma dérivé est tel que 12 S1 converge uniformément vers
la fonction nulle quel que soit l’ensemble de points de contrôle
initiaux considérés.
11/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Notion de schéma dérivé
Définition
caractéristique associé.
On définit alors le masque dérivé de S comme étant le masque de
polynôme caractéristique
a1 (z) =
2z
a(z)
z +1
Relation entre S1 et S
S est un schéma de subdivision uniformément convergent
si et seulement si
S1 son schéma dérivé est tel que 12 S1 converge uniformément vers
la fonction nulle quel que soit l’ensemble de points de contrôle
initiaux considérés.
11/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Définition
Fonction associées au polygône de contrôle d’ordre k
Soit S un schéma de subdivsion et soit a(z) son polynôme
caractéristique.
On définit la fonction suivante :
X
Fl (z) =
fnl z n
n∈Z
Cette fonction vérifie
Fi+j (z) = (
j−1
Y
k
j
a(z 2 ))Fi (z 2 )
k=0
12/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Preuve de convergence
Calcul de kS L k∞
k
2
Avec les notations précédentes, en posant aj (z) = Πj−1
k=0 a(z )
X j
kS L k∞ = maxk∈{0,1,...,2j −1} {
|ak−2j n |}
n∈Z
13/23
Antoine ROJAT
1
Plan
14/23
1
2
Définition
3
4
Définition
Résultats
1
16
Antoine ROJAT
1
Opérateur associé à un schéma
Définition
Soit S un schéma de subdivision et a son masque :
X
ψ
−
7
→
a
ψ(2.
−
n)
n
TS :
n∈Z
Fonction associée à un schéma de subdivision
Soit un schéma de subdivision S et a son masque :
a détermine une unique fonction continue à support compact φ
définie par :
φ(x) = (TS (φ))(x) =
X
an φ(2x − n), ∀x ∈ R
n∈Z
15/23
Antoine ROJAT
1
Opérateur associé à un schéma
Définition
Soit S un schéma de subdivision et a son masque :
X
ψ
−
7
→
a
ψ(2.
−
n)
n
TS :
n∈Z
Fonction associée à un schéma de subdivision
Soit un schéma de subdivision S et a son masque :
a détermine une unique fonction continue à support compact φ
définie par :
φ(x) = (TS (φ))(x) =
X
an φ(2x − n), ∀x ∈ R
n∈Z
15/23
Antoine ROJAT
1
Propriétés de la fonction associée à un schéma
Soient S un schéma de subdivision, a son masque et φ sa fonction
associée :
X
φ(x − n) = 1, ∀x ∈ R
n∈Z
Mais de plus, pour un ensemble quelconque f 0 de points de
contrôle initiaux,
X
S ∞f 0 =
fn0 φ(. − n)
n∈Z
16/23
Antoine ROJAT
1
Propriétés de la fonction associée à un schéma
Soient S un schéma de subdivision, a son masque et φ sa fonction
associée :
X
φ(x − n) = 1, ∀x ∈ R
n∈Z
Mais de plus, pour un ensemble quelconque f 0 de points de
contrôle initiaux,
X
S ∞f 0 =
fn0 φ(. − n)
n∈Z
16/23
Antoine ROJAT
1
Régularité de la courbe associée
caractéristique.
Supposons que a(z) se factorise de la manière suivante :
a(z) =
1+z
2z
k
q(z)
Si le schéma de subdivision dont le polynôme caractéristique est
q(z) converge uniformément
Alors la fonction caractéristique φS associée à S est de classe C k
17/23
Antoine ROJAT
1
méthode pour analyser un schéma de subdivision
Vérification de la condition nécessaire
factorisation du polynôme caractéristique
Analyse de la convergence du schéma dérivé
Analyse de la régularité des courbes générées
18/23
Antoine ROJAT
1
18/23
Antoine ROJAT
1
18/23
Antoine ROJAT
1
18/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Plan
19/23
1
2
Définition
3
4
Définition
Résultats
1
16
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Définition du schéma
Masque du schéma
Le masque du schéma est :
a−3 = a3 = −ω, a−1 = a1 =
1
+ ω et a0 = 1
2
a−3 + a3 + a−1 + a1 = 1
et
a0 = 1
20/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Définition du schéma
Masque du schéma
Le masque du schéma est :
a−3 = a3 = −ω, a−1 = a1 =
1
+ ω et a0 = 1
2
a−3 + a3 + a−1 + a1 = 1
et
a0 = 1
20/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Calcul des points de contrôle
fk+1
= fi k
2i
X
k
f2ik+1 =
a2n+1 fi−n
n∈Z
Remarque
∀k, i ; fi k est un point de la courbe limite.
=⇒ Si le schéma converge alors il converge uniformément.
21/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Calcul des points de contrôle
fk+1
= fi k
2i
X
k
f2ik+1 =
a2n+1 fi−n
n∈Z
Remarque
∀k, i ; fi k est un point de la courbe limite.
=⇒ Si le schéma converge alors il converge uniformément.
21/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
La cardioı̈de
Voir simulation
22/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Conclusion
Bilan
Apports personnels
Perspectives
23/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Conclusion
Bilan
Apports personnels
Perspectives
23/23
Antoine ROJAT
1
Définition
Résultats
Conclusion
Bilan
Apports personnels
Perspectives
23/23
Antoine ROJAT

Schémas de subdivision

Transcription

Documents pareils

XML Schema - Stéphane Bortzmeyer

Jonathan Jung

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L`ÉQUATION DE LA CHALEUR Le

TD n°8 - Membres

Fonctions : gestionnaire marchés publics et assistant

Quels sont vos goûts ? - Boulangerie Mas Saint

FRANCK BENOIST, University of Leeds, Leeds LS2 9JT, UK

Enoncé du TP5

Vaucluse,Entraigues, mas - G. Immobilier de Prestige

Propositions de stages 2017