4 épreuves communes

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BREVET BLANC
MATHÉMATIQUES
MAI 2016
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Durée de l’épreuve : 2 heures
———
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
Le sujet est à rendre avec la copie.
• L’usage de la calculatrice est autorisé .
• Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
• Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laissez tout de même une trace de la recherche ; elle sera
prise en compte dans la notation.
• Veillez à la qualité de la rédaction ; encadrez vos résultats.
• 4 points sont accordés pour la rédaction et la présentation.
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(6 points)
EXERCICE 1
Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont proposées .
Une seule est exacte.
Pour chacune des questions, entourez la réponse sur l’énoncé.
Aucune justification n’est attendue.
Questions
1
La forme développée de (x − 1)2 est :
2
Une solution de l’équation :
2x 2 + 3x − 2 = 0 est
µ ¶2
1
1
Le résultat du calcul + −
3
3
3
4
Lorsqu’on regarde un angle de 18 ° à la
loupe de grossissement 2, on voit un
angle de :
5
L’opposé de 0, 001 est :
6
1h20 équivaut à :
A
B
C
(x − 1)(x + 1)
x 2 − 2x + 1
x 2 + 2x + 1.
0
2
−2
4
9
0, 44
1
6
9°
36°
18°
−0, 001
100
+1000
1, 2h
4
h
3
1, 3h
EXERCICE 2
(6 points)
Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Il décide alors de traverser imprudemment la route du point J au point F sans utiliser les passages piétons. Le
passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.
1) calculer FJ. Bien justifier votre démarche.
2) Quelle distance Julien a-t-il gagné en évitant le passage piéton ?
3) En moyenne, un piéton met 9 secondes pour parcourir 10 mètres.
Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?
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EXERCICE
(7 points)
3
Une usine doit fabriquer des boîtes cylindriques de
contenance 250 cm3 dont une représentation est donnée ci-contre.
1) On suppose que x = 3 cm.
a) Montrer que h ≈ 8, 8 cm.
Rappel : volume d’un cylindre : π×r 2 ×h (r rayon
de la base, h hauteur du cylindre).
b) Voici le patron de cette boîte (le dessin n’est pas
à l’échelle). Calculer une valeur approchée de L
au mm près.
2) On a représenté ci-dessous la hauteur de la boîte en
fonction du rayon.
a) La situation est-elle proportionnelle ? Justifier
votre réponse.
b) Par lecture graphique,en laissant les traits de
construction sur le graphique, indiquez :
• quel est approximativement le rayon correspondant à une hauteur de 2 cm.
• quelle est approximativement la hauteur
correspondant à un rayon de 4 cm.
EXERCICE 4
On propose les deux programmes de calcul suivants :
(6 points)
1. Montrer que si on choisit 3 comme nombre de départ, les deux programmes donnent 25 comme résultat.
2. Avec le programme A, quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat obtenu soit 0 ?
3. Ysah prétend que, pour n’importe quel nombre de départ, ces deux programmes donnent le même résultat. A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.
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EXERCICE 5
(4 points)
Pour filmer les étapes d’une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des caméras installées sur
deux motos et d’autres dans deux hélicoptères. Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et
joue le rôle d’une antenne relais. On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le
peloton des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma ci-dessous illustre cette situation :
L’avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont alignés.
De la même manière, l’avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la deuxième moto (point M)
sont également alignés.
On sait que : AM = AN = 1 km ; HL = 270 m et AH = AL = 720 m.
1. Relever la phrase de l’énoncé qui permet d’affirmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles.
2. Calculer la distance MN entre les deux motos.
EXERCICE 6
On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 mètre.
3
A chaque rebond, elle rebondit des de la hauteur d’où elle est tombée.
4
1) Quelle hauteur atteint la balle au premier rebond ?
(3 points)
2) Quelle hauteur atteint la balle au cinquième rebond ? Arrondir au cm près.
EXERCICE 7
(4 points)
Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm. La
somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l’hexagone gris restant. Quelle est la
mesure du côté des petits triangles ?
Toute trace de recherche, même non aboutie, figurera sur la copie et sera prise en compte dans la notation.
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EXERCICE
1
BREVET BLANC de quatrième : correction
1. La forme développée de (x − 1)2 est : A x 2 − 2x + 1 ;
2. Une solution de l’équation 2x 2 + 3x − 2 = 0 est : C calcul : 2(−2)2 + 3(−2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 ;
µ ¶2
1
1
1 1 4
: A calcul : + = ;
3. Le résultat du calcul + −
3
3
3 9 9
4. Lorsqu’on regarde un angle de 18 ° à la loupe de grossissement 2, on voit un angle de : C ;
5. L’opposé de 0, 001 est : A ;
6. 1h20 équivaut à : B .calcul : 1h20 = 1h +
EXERCICE
20
1
4
h = 1h + h = h.
60
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1) le triangle FKJ est rectangle
p en K ; d’après le théorème de Pythagore, on a : FJ = FK +KJ soit FJ = 8 +15 =
64 + 225 = 289, d’où FJ = 289 = 17 (m).
2) En prenant le passage piéton Julien parcourt : 8 + 15 = 23 (m).Il a donc gagné 23 − 17 = 6m.
3) Pour obtenir le temps mis pour parcourir ces 6 m on peut dresser un tableau de proportionnalité :
distance (m)
temps (s)
EXERCICE
1.
2.
10
9
60
54
6
5,4
Julien gagne donc 5,4 s.
3
250
≈ 8, 84 cm soit 8,8 cm au dixième près.
9π
(b) L est le périmètre du cercle de rayon x = 3, donc L = 2π × 3 = 6πcm soit 18,8 cm au millimètre près.
(a) On a V = π × 32 × h = 9π × h Soit : 9πh = 250 soit h =
(a) La représentation graphique n’est pas une droite,donc ce n’est pas une situation proportionnelle.
(b) On lit pour h = 2, x ≈ 6, 3 ; Pour x = 4, on a h = 5.
EXERCICE
4
1. Programme A : (3 + 2)2 = 52 = 25 ; Programme B : (3 + 4) × 3 + 4 = 7 × 3 + 4 = 21 + 4 = 25.On trouve bien 25.
2. Une proposition de méthode : avec au départ le nombre x introduit dans le programme A, on obtient :
(x + 2)2 , donc (x + 2)2 = 0 si x + 2 = 0 ou encore x = −2.
3. Avec le programme A un nombre x donne en sortie (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4.
Avec le programme B un nombre x donne en sortie (x + 4) × x + 4 = x 2 + 4x + 4.
On obtient la même expression en fonction de x avec le programme A et le programme B. Ysah a raison.
EXERCICE
5
1. Phrase indiquant le parallélisme : on considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et
que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale.
je sais
d’après
donc
si un triangle est coupé par une droite paral- AM N est l’agrandissement de
(H L) ∥ (M N )
1000 25
lèle à l’un des ces côtés,alors on obtient deux AH L de coefficient k =
2.
= .
A, H , L et A, L, N
720
18
triangles dont les côtés correspondants sont
25
sont alignés
Donc : M N =
× H L = 375.
proportionnels.
18
µ ¶5
3 3
3
35
er
e
EXERCICE 6 La hauteur du 1 rebond est :1 × = ; La hauteur du 5 rebond est 1 ×
= 5 ≈ 0, 24 m
4 4
4
4
EXERCICE 7 Soit c la mesure d’un côté de l’un des petites triangles équilatéraux.Donc, le périmètre des 3
triangles est : 3 × 3c = 9c . Dans l’hexagone gris il y a trois côtés de longueur c et trois côtés de longueur 6−2c,
soit un périmètre valant : 3c + 3(6 − 2c) = 18 − 3c
On résout donc : 9c = 18 − 3c soit en ajoutant 3c : 12c = 18 soit en simplifiant par 6 : 2c = 3 et enfin :
c=
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3
= 1, 5cm
2