1ES2 DM à rendre le jeudi 17 février 2011. MATHEMATIQUES

1ES2 DM à rendre le jeudi 17 février 2011.
MATHEMATIQUES
Exercice 47 p.144.
Un fabricant de chaussures pour hommes s'interroge sur l'organisation de la chaîne de fabrication. Il
veut à la fois éviter d'être en rupture de stock sur une pointure qui se vend fréquemment, et ne pas investir
sur la fabrication de pointures trop rares.
Un sondage, sur 250 hommes adultes choisis au hasard, donne la répartition des pointures suivantes :
pointure
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Nombre d'hommes
1
4
21
34
48
55
42
37
7
0
1
1) Déterminer l'étendue des pointures et la pointure médiane de cet échantillon.
Si on ne comptabilisait pas les deux valeurs extrêmes, que deviendraient l'étendue et la médiane ?
2) Quel pourcentage de l'échantillon représentent les personnes interrogées qui chaussent du 42 au 44 ?
3) Pour des questions de coûts de fabrication, le fabricant ne veut pas investir dans la fabrication de
chaussures dont la pointure ne dépasse pas 5% de la demande.
Si l'on se fie à cet échantillon, quelles pointures seront fabriquées ? Quel pourcentage de clients
potentiels ne trouveront pas chaussures à leurs pieds ?
____________________________________________________________________________________
Exercice 49 p. 144
Le contrôle difficile
Voici, en vrac, les notes sur 20 obtenues lors d'un contrôle par les élèves d'une classe :
1
7
4
2
2
9
6
6
8
7
3
7
5
7
8
1
0
3
4
6
7
10
7
2
3
4
6
5
3
7
1) Présenter ces données dans un tableau où figureront pour chaque note de 0 à 10, les effectifs, les
effectifs cumulés croissants, les fréquences en pourcentage, les fréquences cumulées croissantes en
pourcentage (on arrondira les pourcentages à l'unité près).
2) Quartiles.
a) Déterminer la note médiane, les notes des premier et troisième quartiles.
b) Représenter, à l'aide d'un diagramme en bâtons, les effectifs cumulés croissants.
Indiquer comment retrouver sur ce diagramme les valeurs trouvées en a).
3) Moyenne et écart-type.
a) Calculer l'étendue, la note moyenne x et l'écart type s, à 10–2 près.
b) Calculer (à 1% près) le pourcentage d'élèves dont la note est comprise entre x − s et x + s .
4) Constatant que le contrôle était trop difficile, le professeur veut relever les notes. Il envisage deux
solutions :
a) Première solution : ajouter 5 points à tout le monde.
b) Seconde solution : multiplier par 2 les notes de tout le monde.
Pour chacune des solutions, recalculer l'étendue, la note moyenne, l'écart type. Indiquer, à
chaque fois, comment ces indicateurs ont évolué par rapport à leurs valeurs avant modification.
(Utiliser le programme p. 121).
CORRIGE
Exercice 47 p.144.
Un fabricant de chaussures pour hommes s'interroge sur l'organisation de la chaîne de fabrication. Il
veut à la fois éviter d'être en rupture de stock sur une pointure qui se vend fréquemment, et ne pas investir
sur la fabrication de pointures trop rares.
Un sondage, sur 250 hommes adultes choisis au hasard, donne la répartition des pointures suivantes :
pointure
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Nombre d'hommes
1
4
21
34
48
55
42
37
7
0
1
1) Etendue des pointures : e = 48 − 38 = 10
Médiane : il y a 250 individus, la pointure médiane est la moyenne entre celle du 125ème (43) et du
126ème individu (43) . La médiane est donc 43.
Si on ne comptabilisait pas les deux valeurs extrêmes 38 et 48, les pointures iraient de 39 à 46, soit
une étendue e = 46 − 39 = 7 , et la médiane serait la même : 43.
2) Le pourcentage de l'échantillon représenté par les 145 personnes interrogées qui chaussent du 42 au
145
44 est de :
= 0,58 = 58%
250
3) Pour des questions de coûts de fabrication, le fabricant ne veut pas investir dans la fabrication de
chaussures dont la pointure ne dépasse pas 5% de la demande. Calculons ces pourcentages :
pointure
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Nombre d'hommes 1
4
21
34
48
55
42
37
7
0
1
pourcentages
0,4% 1,6% 8,4% 13,6% 19,2% 22,0% 16,8% 14,8% 2,8% 0,0% 0,4%
Si l'on se fie à cet échantillon, les pointures fabriquées seront donc celles du 40 au 45.
Le pourcentage de clients potentiels qui ne trouveront pas chaussures à leur pied est donc d’environ :
0, 4% + 1, 6% + 2,8% + 0, 4% = 5, 2%
Exercice 49 p. 144
Le contrôle difficile
1) Tableau de répartition :
notes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
effectifs
1
2
3
4
3
2
4
7
2
1
1
effectifs cumulés croissants
1
3
6
10 13 15 19 26 28 29
30
fréquences
3% 7% 10% 13% 10% 7% 13% 23% 7% 3% 3%
Fréquences cumulées croissantes 3% 10% 20% 33% 43% 50% 63% 87% 93% 97% 100%
2) Quartiles
a) La note médiane est la
moyenne de celles du 15ème et
du 16ème élève soit : 5,5.
Q1 est la note moyenne du 7ème
et du 8ème, soit Q1 = 3
Q3 est la note moyenne du
22ème et du 23ème, soit Q3 = 7
b) Diagramme en bâtons ci-contre
des effectifs cumulés
croissants.
On retrouve sur ce diagramme
les valeurs trouvées en a) en
cherchant les abscisses du 1er bâton où figurent les ordonnées 15,5, 7,5 et 22,5.
3) Moyenne et écart-type.
a) Calculons l'étendue e = 10 , la note moyenne x = 5 et l'écart type s = 2,54, à 10–2 près.
b) Calculons (à 1% près) le pourcentage d'élèves dont la note est comprise entre
x − s = 2, 46 et x + s = 7,54 . On en trouve 20 sur 30 soit 67%.
4) Constatant que le contrôle était trop difficile, le professeur veut relever les notes. Il envisage deux
solutions :
a) Première solution : ajouter 5 points à tout le monde.
b) Seconde solution : multiplier par 2 les notes de tout le monde.
Pour chacune des solutions, recalculons l'étendue, la note moyenne, l'écart type :
Données initiales
Ajouter 5 points
Multiplier par 2
Etendue
10
10
20
Moyenne
5
10
10
Ecart-type
2,54
2,54
5,09
On observe qu’en ajoutant 5 points à tous, l’étendue ne change pas, la moyenne augmente de 5 et
l’écart-type ne change pas.
On observe qu’en multipliant les notes par 2, l’étendue est multipliée par 2, la moyenne aussi, et
l’écart-type également.