République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l

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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA
BOUMERDES
FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT ENERGETIQUE
MEMOIRE DE MAGISTER
Spécialité : Energétique
Option : Thermique et Combustion
THEME
MODELISATION DU RAYONNEMENT DANS UN RIDEAU D’EAU PAR LA
METHODE DE MONTE CARLO.
APPLICATION A LA PROTECTION DES INSTALLATIONS DES
HYDROCARBURES CONTRE LES INCENDIES
Présenté par : Mohammed CHERIFI
Sous la direction de Mr : Abderrahmane BENBRIK, Maître de Conférences à l’Université
M’hamed Bougara -Boumerdès
Devant le jury d’examen composé de :
BOUSSAID Mohamed
MC
UMBB
Président
ZIOUCHI Abdennacer
MC
IAP Boumerdès
Examinateur
MEFTAH Sihem
CC
UMBB
Examinateur
LEMONNIER Denis
CR-HDR
ENSMA Poitier, France
Examinateur
BENBRIK Abderrahmane
MC
UMBB
Encadreur
BOUMERDES 2009
Remerciements
Ce travail de thèse n’aurait pu être possible sans l’aide et le soutien de nombreuses personnes
que je tiens à remercier ici.
Tout d’abord, je tiens à remercier monsieur Abderrahmane BENBRIK pour avoir accepté
d’être mon promoteur . Il n’est cependant pas possible pour moi d’énumérer toutes ses
contributions tant sur le plan scientifique et technique que sur le plan personnel, mais je le
remercie pour m’avoir bien conseillé et conduit à soutenir une thèse sur un sujet aussi riche.
Ainsi qu'à Monsieur Denis LEMONNIER, Chargé de recherche, HDR, ENSMA Poitier,
France, pour sa collaboration.
Je tiens aussi à remercier :
Monsieur, Mohamed BOUSSAID, Maître de Conférences, UMBB Boumerdès.
Monsieur, Abdennacer ZIOUCHI, Maître de Conférences, IAP Boumerdès.
Madame, Sihem MEFTAH, Chargée de cours, UMBB Boumerdès.
qui m’ont fait l’honneur de juger ce travail.
Il me tient aussi à cœur de saluer l'amitié, qui est un transfert de chaleur à la fois plus
simple et plus complexe que le rayonnement, mais que je ne désirerais pas voir mis en
équation: Temzi Tahar, Yacine Yaiche, Benayada Ahmed, Ali Rouaiguia, Houssou
Mohamed, Mebarki Rabah, Charif Moussa, Madjid Amirouche, Karim Ança, Heguehoug
Saadan, Mustapha. Pilo,Toufik,Khaled, Soufiane,Youness.
A ma famille : Je ne remercierai jamais assez ma mère et mon père pour tous les sacrifices
qu’ils ont fait pour moi, pour l’amour qu’ils m’ont donné. C’est ainsi grâce à eux que j’ai pu
atteindre mon but. J’espère pouvoir le leur rendre un jour. Je remercie aussi mes frères et
sœurs Houria et Mehdi, Salim, Rabeh, Madjid et Fadhila. Je remercie ma famille entière,
cousins et cousines, oncles et tantes et plus particulièrement mon oncle Rabah Zaoui pour leur
soutient. Je remercie de tout mon cœur ma petite famille, mon épouse Nawal.
Merci enfin à tous ceux que je n'ai pu citer et qui m'ont aidé au cours de ce
mémoire..
i
Résumé
Le principal objectif de cette étude est la modélisation numérique, à l’aide de la
méthode de Monte Carlo, du transfert de chaleur par rayonnement issu d’une source de
chaleur (la flamme) dans un milieu semi transparent (rideaux d’eau). Le travail consiste à
traiter l’aspect purement radiatif du problème. Le modèle est unidimensionnel. Il permet de
calculer précisément le pouvoir d’atténuation du rideau d’eau en fonction, notamment, de son
épaisseur, de la densité et de la taille des gouttelettes qui le composent. Le milieu est constitué
d’un mélange d’air et de gouttelettes d’eau pulvérisées. Il est considéré comme étant un
milieu non gris, absorbant et diffusant d’une manière anisotrope. Le comportement spectral
du milieu étudié est pris en compte dans notre modèle radiatif par le biais de la théorie de Mie
et le modèle SNB, appliqué respectivement aux gouttelettes pulvérisées et le gaz (H2O, CO et
CO2). Les comparaisons avec des données expérimentales (Dembélé) présente une bonne
concordance des résultats. L’application traitée porte sur la protection incendie, à l’aide de
rideaux d’eau pulvérisée, des bacs de stockage.
Mots-clés : Transfert chaleur par rayonnement ; Milieu semi-transparent ; rideau d’eau ;
Diffusion Mie ; Modèle SNB; Gouttelette ; Vapeur eau ; Monte Carlo ; Protection incendie;
Bac de stockage.
ii
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Abstract:
The primary objective of this study is the numerical modelling of radiative heat transfer
through a water spray under the effect of a strong radiative source on one side using the
Monte Carlo method in 1D configuration. The present work will deal only with the radiative
aspect of the problem. This model will allow us to calculate exactly the attenuation factor of
the water curtain as a function of its thickness, density and the size of water droplets. The
medium is made of droplets injected in a mixing of air, water vapor, carbon monoxide and
carbon dioxide. It is considered as a non grey, absorbing and anisotropically scattering
medium. The spectral behavior of the medium is taken into account by the Mie theory and the
SNB model applied respectively to water droplets and gas (H2 O, CO and CO2).
Comparison of the numerical results with the experimental data by Dembélé [15] confirms the
accuracy of the prediction of our radiative model. The results of this study will help us to
design a thermal shielding made from water spray to protect storage tank from fire.
Keywords: Radiative Heat Transfer; Participating media; Water curtain; Mie scattering; SNB
model;
Droplet;
Steam;
Monte
Carlo;
Fire
protection;
Storage
tank;
iii
Nomenclature
Symboles alphabétiques
a
Rayon de la particule (d/2) [m]
an
Coefficients de Mie
bn
Coefficients de Mie
uur
B
Champ magnétique
C
Concentration totale des gouttes par 1m 3 d’air
Ca
Section efficace d’absorption [m2 ]
Cd
Section efficace de diffusion [m2]
Ce
Section efficace d’extinction [m2]
c
Vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide 2,996 
10 m .s
uur
E
Champ électrique
d
Diamètre de la particule [m]
h
Constante de Planck 6.626 10 J .s
g
Facteur d’asymétrie de diffusion
F
Densité de flux d’énergie monochromatique
k
La partie imaginaire de l’indice de réfraction complexe m
k ,a
Coefficient d’absorption du milieu à la longueur d’onde 
k ,e
Coefficient d’émission du milieu à la longueur d’onde 
kb
Constante de Boltzmann. 1.3805 10-23J .K
k
Coefficient d’absorption [m−1 ]
l
Épaisseur de milieu [m]
L
Luminance monochromatique [ [W.(m2 .µm.sr)-1 ]
0
L
8

1
-34
1
Luminance du Corps noir [ [W.(m2.µm.sr)-1 ]
iv
m
Indice de réfraction complexe de l’eau
n
La partie réelle de l’indice de réfraction complexe m
Nc
Nombre de classes de diamètres de gouttes.
Ni
Nombre de particules par unité de volume de diamètre di
P
Pression totale [atm]
Pref
Pression de référence ( Pref = 1 atm)
Qd
Facteur d’efficacité de diffusion de la particule
Qe
Facteur d’efficacité d’extinction de la particule
Qa
Facteur d’efficacité d’absorption
Tr
Transmittance spectrale
T
Tref
Température [K]
Température de référence (Tref = 296 K)
X CO2
Fractions volumiques (ou molaires) du dioxyde de carbone
X CO
Fractions volumiques (ou molaires) de monoxyde de carbone
X
Fractions volumiques (ou molaires) de la vapeur d’eau
H 2O
X
Paramètre de taille
Symboles grecs

Coefficient d’extinction [m−1 ]

Largeur moyenne des raies [cm-1]
1

Espacement moyen entre deux raies [ cm]

Coefficient de diffusion [m−1]

Longueur d’onde [µm]

angle solide [sr]

Epaisseur optique
,d
Coefficient de diffusion du milieu à la longueur d’onde .
v

Fonction de phase de diffusion à la longueur d’onde .

Albédo de diffusion
n
Fonctions de Riccati-Bessel
n
Fonctions de Riccati-Bessel
Indices
a
absorption
d
diffusion
e
extinction
Espèces chimiques
CO
Monoxyde de carbone
CO2
Dioxyde de carbone
H2 O
Vapeur d’eau
N2
Azote
Acronymes
ASTRRE
Atténuation des Sources Thermiques Rayonnantes par Rideaux
d’Eau
ETR
Equation de transfert radiatif
MMC
Méthode de Monte Carlo
MST
Milieu semi-transparent
MOD
Méthode des ordonnées discrètes
OEM
Onde Électromagnétique
vi
LISTE DES FIGURES
Figure 1: Rideau d’eau anti-incendie…………………………………………………………..2
Figure I.1 : Protection thermique d’un bac de stockage par un rideau d’eau ………………….6
Figure II.1: Spectre électromagnétique………………………………………….……………10
Figure II.2 : Onde électromagnétique avec une polarisation linéaire verticale……………….11
Figure II.3 : La luminance…………………………………………………………………….12
Figure II.4 : Différentes contributions du phénomène radiatif local………………………….14
Figure II.5 : Indice d’absorption et de réfraction de l’eau en fonction de la longueur d’onde

m d’après Hale et al. ………………………………………………………17
Figure II.6 : Représentation schématique des sections efficaces………..……………………20
Figure .II.7 : Domaine de validité des méthodes d'approximation pour une sphère……...…..21
Figure .II.8 : Diffusion par le milieu de la direction ' vers la direction …………...……22
Figure. II.09 : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0.)…………………………….25
Figure .II.10: Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0,15). )………………..………26
Figure II.11 : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = -0,15) )……………..…………26
Figure II.12: Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0,9). )………………….………26
Figure II.13: Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = -0,9)……………………...……26
Figure II.14. Distribution des diamètres d’un spray ‘‘TG03–1 bar’’ d'après Dembélé………30
Figure II.15. Distribution des diamètres d’un spray ‘‘TG03–3 bar’’ d'après Dembélé……....31
Figure .II.16 : Variation des facteurs d’efficacité en fonction du paramètre de taille X avec
(m=1.2- i 0.01)……………………..…………………………………………….32
Figure .II.17 : Variations des efficacités d’absorption (a), d’extinction (b), de diffusion (c),
d’albédo (d) et du facteur d’asymétrie (e) en fonction du paramètre de taille X...33
Figure .II.18 : Variations de l’efficacité d’absorption en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule……………………………..……………………………34
Figure .II.19 : Variations de l’efficacité d’extinction en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule……………………………..……………………………35
Figure .II.20 : Variations de l’efficacité de diffusion en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule……………………………..……………………………35
Figure .II.21 : Variations de l’albédo en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la
particule…………………………………………………………………………..36
Figure .II.22 : Variations de l’albédo en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la
particule……………………………………….………………………………….36
Figure .II.23 : Répartition angulaire de la lumière diffusée pour différents rapports longueur
d'onde et la taille de particule…………………………………….………………37
Figure .II.24 Fonctions de phase de Mie pour une longueur d'onde de 10µm………………..38
Figure .II.25. Fonctions de phase de Mie, pour différents longueurs d’onde……………...…39
Figure II.26 : Transmittances d’un mélange gazeux H2O et N2……………………………....43
Figure II.27 : Transmittances d’un mélange gazeux CO2 et N2…………………………...….44
Figure II.28 : Transmittances d’un mélange gazeux CO et N2…………………………...…..44
Figure III.1 : Schéma représentant lame de MST …………………...……………………….52
Figure III.2 : organigramme de calcul des Transmittances spectrales d’un rideau d’eau…….57
Figure III.3: Transmitance spectrale d’une tuyère TG03-1bar : comparaison entre les données
expérimentale de Dembélé [15], et notre modèle……………...………………..58
Figure III.4 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : comparaison entre les
données expérimentale de Dembélé [15], et notre modèle……………….…….59
Figure III.5 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : comparaison entre des
monodispersions de différentes diamètres moyens, et une polydispersion……..60
Figure III.6: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : comparaison entre des
monodispersions de différentes diamètres moyens, et une polydispersion….….61
Figure III.7: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar pour différentes valeurs de N.62
Figure III.8: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-7bar pour différentes valeurs de N.62
Figure III.9: Temps d’exécution en seconde et le nombre de paquette N à envoyer…………63
Figure III.10 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : comparaison entre
l’approximation par le modèle Henyey-Greenstein et la fonction de phase de
Mie………………………………………………………………………………64
Figure III.11: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : comparaison entre
l’approximation par le modèle Henyey-Greenstein et la fonction de phase de
Mie…………………………………………………………………………….…64
viii
Figure III.12 : atténuation spectrale d’une tuyère TGO3-1bar ………………..……………..65
Figure III.13 : atténuation spectrale d’une tuyère TGO3-3bar……………………….………65
Figure III.14 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la taille des
gouttes……………………………………………………………………………66
Figure III.15 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la taille des
gouttes……………………………………………………………………………67
Figure III.16 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la densité de
tuyères……………………………………………………………………………68
Figure III.17 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la densité de
tuyères……………………………………………………..…………………….68
Figure III.18 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la densité de
rampes……………………………………………………………………………69
Figure III.19 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la densité de
rampes………………………………………………...………………………….70
Figure IV.1 : Equipements de sécurité sur un bac de stockage………………….……………75
Figure IV.2. Seuils d’effets thermiques……………………………………...……………….77
Figure IV.3. Atténuation verticale et spectrales d’un rideau d’eau…………….……………..78
ix
LISTE DES TABLEAUX
Tableau II.1. Diamètres moyens des sprays TG03-1bar et TG03-3bar……… ……………..31
Tableau III.1 : Validation de la corrélation avec les données expérimentale de Dembélé…...71
Tableau IV.1 Donnée typique pour des feux de GPL et GNL…………………………….…76
Tableau IV.2 : Estimation du risque incendie dans le cas des entrepôts de pétrole…………..76
Tableau IV.3 : Résultats du dimensionnement du Rideau d’eau de protection du bac de
stockage…………………………………………………………………….…79
x
Sommaire
Remerciements………………….………..………………………..………………………….i
Résumé……………………………………………………………………….……………….ii
Nomenclature……….…………………...……………………….……….…….……………iv
Liste des Figures......................................................................................................................vii
Liste des Tableaux………………………..…………………………………………………..x
Table des matières……………………………………………………..……………………xi
Introduction …........................................................................................................................01
1. Présentation de la problématique liée à la protection incendie………………………….…01
2. Objectifs de l’étude………………………………………………..………………………04
3. Démarche……………………….....………………………….……………………………04
Chapitre I. Etudes bibliographique spécifique sur les rideaux d’eau………………...….05
I.1. Bilan des études antérieures…………….………………………………………………05
I.2. Conclusion……………………………...……………………………………………….09
Chapitre II. Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents……………………10
II .1. Introduction aux Transferts Radiatifs……………………………….……….………10
II.2. Quelques Définitions et Concepts en Rayonnement…………………….………...…11
II.2.1. Luminance...……………………………...………………………………………… 11
II.2.2. Luminance du Corps noir :………………………………………………….………. 12
II.2.3. Absorption et Émission :……………………………………………………………. 12
II.2.4. Diffusion :………………….……….………………………………………….……..13
II.3. Équation de Transfert Radiatif (ETR) :……………………….…………………….15
xi
II.3.1. Formulation différentielle……………………………...………………...…………….15
II.3.2.Formulation intégrale………………………………..…………………………………16
II.4. Propriétés radiatives d’une pulvérisation………………………….............……...……16
II.4.1. Modélisation des propriétés radiatives des gouttelettes d’eau par la théorie de Mie…17
II.4.1.1. Établissement du modèle de Mie…………………………………………………….18
II.3.1.2. Sections efficaces et facteurs d’efficacités………………………………………...19
II.4.1.3. Fonction de Phase…………………………………………………………...….……22
II.4.1.4. Détermination des propriétés radiatives pour un ensemble de gouttes
(Polydispersion)……………………………………………………………………………....27
II.4.1.5. Notions de diamètres moyens………………………………………………….….28
II.4.1.6. Résultats de la modélisation numériques des propriétés radiatives des
gouttelettes……………………………………………………………………………………31
II.4.1.6.1. Variation en fonction du paramètre de taille X………………...………………….31
II.4.1.6.2. Variation en fonction de l’indice de réfraction complexe de l’eau……….………32
II.4.1.6.3. Variation en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la particule……...34
II.4.1.6.4. Calcul des fonctions de phase de Mie ……………………….........................……37
II.4.2. Modélisation des propriétés radiatives de la phase gazeuse……………….…..…….40
II.4.2.1. Modèles de rayonnement des gaz…………………………………………….……40
II.4.2.1.1. Modèle “Raie-par-Raie” (Line-By-Line)………………………………………..40
II.4.2.1.2. Modèles à bandes étroites (Narrow Band Models)………..….………………..40
II.4.2.1.3. Modèles à bandes larges………………………………………………………..40
II.4.2.1.4. Modèles globaux………………………………………………………………..41
II.4.2.2. Détermination des propriétés radiatives des gaz par le modèle Statistique à Bandes
Etroites SNB…………………………….…………………………………………………..41
xii
II.4.2.2.1. Banque de Données SNB…………………………………….………………..…..42
II.4.2.2.2. Validation du modèle SNB…………………………..…………………...….……43
II.4.3. Propriétés Radiatives Total du Spray……………………..……….…………………..45
II.5. Conclusion……………………….…………………………………………………….45
Chapitre III : Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo…...46
III.1. Méthodes numériques de résolution de l’ETR ……………...……………………….....46
III.2. Méthode de Monte Carlo (MMC)………………………...………………………..…...48
III.3. Présentation de MMC par une approche analogue………………..……….…………...49
III.4. Développement d'un algorithme analogue appliqué au rideau d'eau………………..…52
III.5. Validation du modèle radiatif…………………….……………………………………57
III.6. Caractérisation du rideau d'eau…………………………………………….……….....66
III.6.1. Influence de la taille des gouttes…………………..….……………………………..66
III.6.2. Influence de la densité de tuyères……………………….………………………..….67
III.6.3. Influence de la densité de rampes………………….………………………..……….69
III.7. Détermination d’une corrélation applicable au rideau d’eau……………….…….…...70
III.8. Conclusion……………...……..……………………………………………………….73
Chapitre IV : Application des rideaux d’eau pour la Protection des bacs de stockage des
hydrocarbures………………………………………….……………….……………….....74
IV.I. Introduction……….……………….…………………………………………………..74
IV.2. Equipements de sécurité sur un bac de stockage…………………..…………………..74
IV.3. Modélisation des effets thermiques……………………………….......……………….75
IV.4. Dimensionnement du Rideau d’eau…………………..…………….….………………76
IV.5. Conclusion……………...…….……………………………….…………………....79
xiii
Conclusions et Perspectives………………….………….…………………………...…… 80
Références bibliographiques………………….…….……………………………………..82
Annexe : Généralité sur les rideaux d’eau……………………………………………….89
xiv
Introduction Générale
Sommaire
1. Présentation de la problématique liée à la protection incendie………………………….…01
2. Objectifs de l’étude……………………………………………………...…………………04
3. Démarche…………………………………...……………………………...………………04
Introduction
Introduction
1. Présentation de la problématique liée à la protection incendie
Un
milieu
qui
provoque
l’atténuation
du
rayonnement
thermique
est
considéré comme étant un milieu semi-transparent. Ainsi, la modélisation du transfert
radiatif dans ces milieux joue un rôle important dans de nombreuses applications
technologiques telles que la surveillance en temps réel des processus de fabrication des
matériaux par imagerie infrarouge, l’imagerie médicale, le traitement de matériaux ou encore
la protection incendie par rideaux d'eau pulvérisée, d'installations industrielles à risques
(notamment en industries pétrochimiques et gazières).
Les incendies survenus dans les installations industrielles et en particulier dans les
sites pétrochimiques ou gaziers ont causé des dégâts importants aussi bien matériels, humains,
environnementaux que financiers. Ces dégâts ont démontré que le rayonnement émis par les
flammes d’un incendie pouvait entraîner des séries de nouveaux incendies du fait de la
propagation de chaleur par rayonnement.
Dans cette problématique industrielle et pétrolière en particulier, des boucliers
thermiques appelés ‘’rideaux d’eau’’ ont été conçus et utilisés comme des dispositifs de
protection contre les incendies, dans diverses configurations. Ces dispositifs utilisent des
pulvérisateurs de liquides constituées de très fines particules d’eau, qui dispersées dans l’air,
forment un bouclier limitant la propagation du rayonnement. La figure 1 schématise un
1
Introduction
exemple de dispositif de protection incendie à l’aide d’une rampe, qui représente une
association de plusieurs pulvérisateurs les uns à côté des autres, tous alimentés en série. Cette
rampe sera située devant la cible à protéger, mais devra être suffisamment loin de la zone de
l’incendie pour éviter une interaction avec les flammes.
L’efficacité d’un tel dispositif réside tout d’abord dans l’absorption du rayonnement
par l’air humide (CO, CO2 et H2O) et ensuite par l’absorption et la diffusion du rayonnement
par les gouttelettes.
y
x
z
Fig. 1: Rideau d’eau anti-incendie
Les travaux réalisés dans ce mémoire s’inscrivent dans une problématique scientifique
liée à l’étude des transferts radiatifs notamment la modélisation des phénomènes radiatifs
dans les rideaux d’eau qui sont des milieux complexes. Plus particulièrement, l’application de
cette étude entre dans le cadre de propositions et
de recommandations sur le
dimensionnement des dispositifs de protection des bacs de stockage de GNL.
Formulation du problème :
Considérons une cible recevant un flux radiatif d'un secteur de feu, simulé comme
source de chaleur d’un corps noir à hautes températures. Le rideau d’eau est sensé se
comporter comme un bouclier thermique afin d'atténuer le rayonnement reçu. On assume que
2
Introduction
le spray est relativement loin du feu, de sorte qu'un mélange des gouttelettes injecté en air
humide soit une description réaliste du spray réel.
Hypothèses et limitations :
Dans cette étude, nous considérons les hypothèses suivantes [1] :
 Le problème sera traité dans le plan xz (voir la Fig. 1), en supposant que le
rayonnement suivant la direction y peut être négligé. L'écoulement est dirigé
de haut en bas dans la direction de z, tandis que le transfert radiatif est
principalement dirigé dans la direction de x.
 Les caractéristiques dynamiques seront supposées être constantes dans le
milieu (rideau entier). La variation spatiale réelle de la concentration de
gouttelettes et les vitesses ne sont pas disponibles, mais nous supposons au
moins un comportement moyen du spray.
 Le spray est considéré comme étant un écoulement diphasé d'air humide avec
des gouttelettes uniformément distribuées, tenant compte d'une distribution
réelle des volumes ; on considère que les diamètres de particules ne soient pas
changés par aucun processus (collision ou vaporisation par exemple).
 La température et l’humidité relative du milieu sont constantes et fixées à 300K
et 60%, respectivement (selon les données expérimentales disponibles dans la
littérature pour ces deux paramètres, les effets combinés dus à la vaporisation
et la convection mènent à un niveau de température près de la température
ambiante malgré la source de chaleur),
 On suppose que le gaz et les gouttelettes ont la même température (une
formulation biphasée rigoureuse basée sur les bilans énergétiques couplés
écrits pour chaque phase serait la seule façon d'éviter cette hypothèse en
calculant les vrais niveaux de température, qui sont éventuellement très
proches de toute façon),
 Toutes les fractions volumiques des gouttelettes d’eau et de la phase gazeuse
sont supposées rester constantes.
 On suppose que toutes les phases participantes agissent indépendamment, de
telle sorte que les propriétés radiatives globales puissent être obtenues par une
simple addition de leurs contributions respectives (la fraction de volume de
gouttelettes doit être assez petite pour que l'hypothèse de diffusion
indépendante puisse être considérée et que le taux de dioxyde de carbone doit
être si petit qu'aucun effet combiné entre les gaz ne doit être considéré).
3
Introduction
2. Objectifs de l’étude
Le principal objectif de ce travail est la modélisation numérique, à l’aide de la
méthode de Monte Carlo, du transfert de chaleur par rayonnement issu d’une source de
chaleur (un foyer de flamme) dans un milieu semi transparent (rideaux d’eau). Le travail
consiste à traiter l’aspect purement radiatif du problème. Nous allons élaboré un code de
calcul qui va nous permettre de calculer précisément le pouvoir d’atténuation d’un rideau
d’eau en fonction, notamment, de son épaisseur, de la densité et de la taille des gouttelettes
qui le composent. L’application traitée porte sur la protection incendie des bacs de stockage
de pétrole brut par des rideaux d’eau pulvérisée.
La partie innovante de ce travail est la prise en compte du modèle SNB pour modéliser
la transmittance de la phase gazeuse composée d’un mélange d’air, de vapeur d’eau, CO2 et
CO. Ainsi que le développement d’une corrélation capable de prévoir ,directement, le pouvoir
d’atténuation d’un rideau d’eau en fonction, notamment, de son épaisseur, de la concentration
et du diamètre moyen des gouttelettes qui le composent. Finalement, nous mettrons en
application un code de calcul pour dimensionner un bouclier thermique avec des données
réelles des feux des hydrocarbures.
3. Démarche
Pour réaliser l’objectif cité précédemment, le mémoire sera divisé en quatre parties. La
partie préliminaire sera consacrée à des travaux spécifiques aux rideaux d’eau réalisés du
point de vue bibliographique. Le deuxième chapitre introduit les différentes méthodes de
calcul des propriétés radiatives de notre milieu. La théorie de Mie et le modèle SNB
permettent de déterminer respectivement les coefficients d’absorption et de diffusion
(éventuellement la fonction de phase) pour les gouttes et les transmittances des gaz. Les
méthodes de résolution de l’équation de transport de rayonnement monodimensionnel dans un
milieu semi-transparent sont présentées au troisième chapitre, ainsi, la méthode de Monte
Carlo Analogue est développée et validée dans le même chapitre. Pour exemplifier
l’applicabilité des rideaux d’eau comme des dispositifs de protection, le chapitre IV présente
une étude de dimensionnement d’un rideau d’eau pour protéger les bacs de stockage des
hydrocarbures contre les incendies.
Le manuscrit se termine par une conclusion générale qui synthétise les résultats
obtenus à travers cette étude et les perspectives qu’il ouvre.
4
Chapitre I
Etudes bibliographique spécifique sur
les rideaux d’eau
Sommaire
I.1. Bilan des études antérieures…………………………...………………………….………05
I.2. Conclusion…………………………………………...……...……………………………09
Études Bibliographique Spécifique sur les Rideaux d’Eau
Chapitre I
Chapitre I
Études Bibliographique
Spécifique sur les Rideaux
d’Eau
I.1. Bilan des études antérieures :
De nos jours, le rideau d'eau est considéré comme une technique importante pour
atténuer les risques d’incendie industriels. Ce sont des dispositifs simple, efficace, et
adaptable à différents types de risque [2]. En cas d’un feu dans un bac de stockage, les jets
d'eau peuvent fournir un bouclier thermique pour maintenir l'intégrité des structures voisines
[2] [3] [4]. Le rideau est composé de gouttelettes d'eau qui se comportent comme un filtre [5]
[6] et réduisent significativement le rayonnement incident qui empiète sur les surfaces
sensibles telles que des réservoirs de stockage des produits pétrochimique ou de GNL.
Le rideau d’eau peut être situé verticalement vers le bas, en face de la surface à
protéger comme montré dans la figure I.1a. Cette disposition a été étudiée à l’institut Von
Karman dans le cadre du projet européen commun ASTRRE (Atténuation des Sources
Thermiques Rayonnantes par Rideaux d’Eau) [7] et effectuée en collaboration avec
l'université Claude Bernard, et le centre thermique de l'INSA de Lyon, dans le cadre du
programme européen de l’environnement [8].
5
Études Bibliographique Spécifique sur les Rideaux d’Eau
Chapitre I
Le rideau d’eau peut également être orienté vers le réservoir pour former un brouillard
continu tout en protégeant toutes les parois du réservoir (Fig. I.1b). [9]
(a) : configuration verticale
(b) : configuration horizontale
Fig. I.1 : Protection thermique d’un bac de stockage par un rideau d’eau [2]
6
Études Bibliographique Spécifique sur les Rideaux d’Eau
Chapitre I
Une bibliographie étendue concernant les travaux scientifiques ayant pour sujet les
incendies a été effectuée par Sacadura [10]. Certains travaux précédents ont été consacrés à ce
problème des pulvérisateurs utilisés en tant que systèmes de protection anti-incendie. Des
modèles de calcul simples ont été d'abord développés afin de calculer directement les niveaux
de transmissivité. Les premières approches
fondamentales décrivant l'atténuation du
rayonnement par un brouillard d'eau ont concerné la seule présence de gouttelettes. On
retiendra de ce point de vue les études de Ravigururajan et Beltran [34] et Coppalle et all.
11]. Outre le fait qu'elles ne tiennent pas compte de l'atténuation due à la phase gazeuse, ces
études présentent comme caractéristique commune d'utiliser des techniques de résolution de
l'équation de transfert de chaleur par rayonnement (ETR) simplifiées (modèle à deux flux)
pouvant conduire à des résultats imprécis, en fonction du degré d'anisotropie et de l'épaisseur
optique du milieu. Toutefois ces études, même approchées, fournissent des informations
précieuses. Elles illustrent les effets de la taille et de la concentration en gouttelettes sur les
potentialités d’atténuation du rayonnement offertes par un brouillard d’eau.
En raison de l'incapacité de cette formulation de tenir compte de la forte diffusion
anisotrope, l'efficacité de prévision d'une telle approche ne peut pas être suffisante. Dembélé
et al. [12] ont rigoureusement étudié la convenance des modèles de deux flux pour simuler
l'atténuation possible par des pulvérisateurs, comparant leurs capacités de prévision à une
solution plus élaborée basée sur la méthode des ordonnés discret (DOM). Leur conclusion est
que la méthode de deux flux, pour le cas précis d’une pulvérisation de fines gouttelettes et de
faible épaisseur optique, apporte des écarts de l’ordre de 8% à 10% par rapport à un modèle
du type méthode aux ordonnées discrètes. De plus, dans les cas d’applications plus réalistes
(des diamètres des gouttes plus importants et une épaisseur optique plus élevée), les écarts
peuvent atteindre 35% à 50%. [13]
Les études effectuées sous le projet ASTRRE ont contribué à améliorer la capacité de
prévision
de
modèles
numériques.
Pretrel
[14]
a
développé
une
description
monodimensionnelle complète de la dynamique de pulvérisation combiné avec un modèle
thermique. Cependant, la résolution du problème radiatif était toujours faite à l’aide d’une
méthode de type deux flux. Ce travail s’accompagne également d’une étude expérimentale
d’un spray afin d’analyser le comportement hydrodynamique et les performances
d’atténuation d’un rideau d’eau. En parallèle, en 1998, Dembélé [15] a présenté un traitement
7
Études Bibliographique Spécifique sur les Rideaux d’Eau
Chapitre I
plus rigoureux du transfert radiatif en calculant les propriétés radiatives à partir de la théorie
de Mie et en les introduisant dans un code numérique radiatif utilisant la méthode des
ordonnées discrètes dans une configuration mono et bidimensionnelle. Il est à noter qu'il a
également appliqué un traitement soigneux au problème de la variation spectral sur la base
d'un modèle Ck pour déterminer les propriétés radiatives des gaz présents dans le rideau
d’eau. Les résultats numériques ont été comparés aux données expérimentales de
transmittance mesurées au laboratoire et avec des essais plus réalistes dans des conditions de
feu, le problème de transfert radiatif étant adressé séparément du modèle de pulvérisation.
L'amélioration de l'approche radiative a donné des résultats prometteurs concernant
particulièrement les variations spectrales de transmittance. Cependant, il y a un manque de
résultats concernant la description de l'atténuation du rayonnement dans les pulvérisateurs en
tenant compte du problème entier (combinaison de la masse, de la vitesse, et du transfert
thermique). De plus, les formulations devraient être étendues aux descriptions 2D et 3D.
Récemment, Zimmer [16] a présenté une étude complète de l’hydrodynamique du
spray, se basant particulièrement sur les effets associés à un possible vent latéral, ceci a
prouvé que ce dernier déforme la pulvérisation et disperse les gouttelettes. Son travail rappelle
encore le besoin d’une description multidimensionnelle.
En fin, Berour et al. [17] ont présenté une analyse 2D du transfert thermique dans le
jet, tenant compte du transfert combiné par conduction et rayonnement et obtenant de ce fait
des niveaux très élevés de températures. L'introduction des phénomènes supplémentaires tels
que la convection due à la chute de la gouttelette dans l'air, les effets de turbulence et
l’évaporation de la gouttelette mènerait probablement a des niveaux plus bas de température,
dus à l'augmentation de la perte de chaleur.
Dernièrement, Collin [13] a présenté une étude complète (dynamique, thermique et
rayonnement) du spray. La description des transferts couplés de masse, quantité de
mouvement et d’énergie est faite à partir d’une simulation eulérienne lagrangienne. Le modèle
de propagation du rayonnement associe la théorie de Mie, le modèle Ck et une évolution de la
méthode de Monte Carlo, nommée MMC 2.2, qui permet de bien prendre en compte la
propagation du rayonnement dans un milieu de propriétés radiatives hétérogènes. Cette
nouvelle version est validée puis comparée avec les autres techniques de type MMC déjà
existantes dans la littérature. Ce travail met ensuite en avant les problèmes de simulations
8
Études Bibliographique Spécifique sur les Rideaux d’Eau
Chapitre I
numériques liés à la modélisation 3D du transfert radiatif dans un milieu où la fonction de
phase est fortement anisotrope (caractéristique de gouttes d’eau).
I.2. Conclusion
La recherche bibliographique exposée dans cette première partie montre l’intérêt
scientifique qu’a suscité la pratique de l’utilisation des rideaux d’eau pour l’atténuation des
flux de chaleur transmis par rayonnement.
Cette étude montre que seul le modèle CK est utilisé pour permettre la traduction de
la transmittance moyenne du modèle de Malkmus en coefficients d’absorption nécessaire pour
une méthode de type différentiel telle que la méthode des ordonnées discrètes. Dans cette
étude nous proposons l’utilisation du modèle SNB pour permettre le calcule direct de la
transmittance moyenne du gaz, d’où une réduction du temps de calcul.
Le rideau d’eau est considéré comme un milieu absorbant et diffusant de manière
fortement anisotrope. La résolution de l’équation de transfert radiatif (ETR) nécessite une
bonne connaissance des propriétés radiatives caractéristiques du milieu. Dans le chapitre
suivant et après une introduction au rayonnement thermique, les méthodes de calcul des
propriétés optiques d’une pulvérisation sont exposées, puis les résultats de l’étude de
modélisation sont présentés.
9
Chapitre II
Transfert radiatif dans les milieux semitransparents
Sommaire
II .1. Introduction aux Transferts Radiatifs………………………...…………………………10
II.2. Quelques Définitions et Concepts en Rayonnement………………...…...…………...…11
II.2.1. Luminance...…………………………………………………......……………… 11
II.2.2. Luminance du Corps noir :………………………………………………………. 12
II.2.3. Absorption et Émission :………………………………………...………………. 12
II.2.4. Diffusion :………………….………………………………………...…….……..13
II.3. Équation de Transfert Radiatif (ETR) :………………………………………………….15
II.3.1. Formulation différentielle…………………………………………...…………….15
II.3.2.Formulation intégrale………………………………………………...……………16
II.4. Propriétés radiatives d’une pulvérisation……………………………………...…...……16
II.4.1. Modélisation des propriétés radiatives des gouttelettes d’eau par la théorie de
Mie……………………………………...………………………………………………..17
II.4.1.1. Établissement du modèle de Mie…………………………………………….18
II.3.1.2. Sections efficaces et facteurs d’efficacités…………………………...……...19
II.4.1.3. Fonction de Phase…………………………………...………………….……22
II.4.1.4. Détermination des propriétés radiatives pour un ensemble de gouttes
(Polydispersion)……………………..…………………………………………….….27
II.4.1.5. Notions de diamètres moyens…………………………………………….….28
II.4.1.6. Résultats de la modélisation numériques des propriétés radiatives des
gouttelettes………………….………………………………………...………………31
II.4.1.6.1. Variation en fonction du paramètre de taille X………………………....31
II.4.1.6.2. Variation en fonction de l’indice de réfraction complexe de l’eau..……32
II.4.1.6.3. Variation en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la
particule…………...…………………………………………………………….…34
II.4.1.6.4. Calcul des fonctions de phase de Mie ………………………….………37
II.4.2. Modélisation des propriétés radiatives de la phase gazeuse…………………...….40
II.4.2.1. Modèles de rayonnement des gaz……………………………………………40
II.4.2.1.1. Modèle “Raie-par-Raie” (Line-By-Line)…………………………….…40
II.4.2.1.2. Modèles à bandes étroites (Narrow Band Models)…………………….40
II.4.2.1.3. Modèles à bandes larges…………………….……………………….…40
II.4.2.1.4. Modèles globaux……………………………………………………..…41
II.4.2.2. Détermination des propriétés radiatives des gaz par le modèle Statistique à
Bandes Etroites SNB……………………………...............................................……..41
II.4.2.2.1. Banque de Données SNB……………………………………….…..…..42
II.4.2.2.2. Validation du modèle SNB………………….……………………….…43
II.4.3. Propriétés Radiatives Total du Spray……………………………………………..45
II.5. Conclusion……………………………………………………………………………….45
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Chapitre
II
Transfert radiatif
dans les milieux
semi-transparents
II .1. Introduction aux Transferts Radiatifs
Le rayonnement thermique est un phénomène d’origine électromagnétique émis par les
molécules du milieu lorsqu’elles sont le lieu de transitions de niveaux électroniques. L’énergie
rayonnée lors de ces transitions se situe dans les zones du spectre électromagnétique
correspondant aux domaines de l’ultraviolet, du visible et de l’infrarouge (Fig. II.1).
Fig. II.1: Spectre électromagnétique
10
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
La propagation d'une onde dans un milieu dépend directement des propriétés de ce
dernier. Toute OEM est constituée à la fois d'un champ électrique et d'un champ magnétique.
Ces deux champs oscillent perpendiculairement avec une fréquence dans le plan perpendiculaire
uur
uur
à la direction de propagation, Figure II.2. Le champ électrique E , le champ magnétique B et la
uur
direction de propagation Z forment un trièdre direct. Ces deux champs sont gouvernés par les
équations de Maxwell. [18]
Fig. II.2 : Onde électromagnétique avec une polarisation linéaire verticale
II.2. Quelques Définitions et Concepts en Rayonnement
II.2.1. Luminance
Pour intégrer l’énergie liée au rayonnement dans un bilan thermique, on introduit la
notion de flux d’énergie rayonnée sous la forme d’une grandeur intensive que l’on appellera
«luminance».
r
r
La luminance rayonnée en un point P (r ) de l’espace dans la direction s et à la
r r
longueur d’onde , notée L ( r , s , t ) , est la densité de flux d’énergie monochromatique
r
r
dF(r ,t ) rayonnée à travers une surface dS orientée selon la normale n dans un angle solide
r
d  autour de cette direction s (Fig. II.3) pendant un intervalle de temps dt autour de cet
instant t tel que [19] :
r
r r
d 3F(r ,t )
L ( r , s , t )  r r
(s .n )d dtdS
(II.1)
11
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Comme toute forme de rayonnement électromagnétique, la vitesse de propagation du
rayonnement thermique est la vitesse de la lumière c . Ceci en fait un mode de transport
d’énergie thermique qui atteint l’équilibre thermodynamique locale beaucoup plus vite que les
autres modes que l’on
peut rencontrer.
Fig. II.3 : La luminance
II.2.2. Luminance du corps noir
On appelle « corps noir » un corps qui absorbe la totalité du rayonnement qui lui arrive
de toutes les directions de l’espace et à toutes les longueurs d’ondes, et qui, en fonction de sa
température T .La loi de Planck donne la luminance monochromatique du corps noir :
2hc 2 5
L0 
hc
exp[
] 1
k
T
(II.2)
Où h 6.626 10-34 J .s est la constante de Planck et
k b 1.3805 10-23 J .K

1
la constante de Boltzmann.
c 2,996 
108 m .s 1 est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide.
II.2.3. Absorption et Émission
En rayonnement, un milieu semi-transparent est caractérisé par sa capacité à absorber une
r r
certaine quantité d’énergie dL,a ; provenant d’une luminance L( r , s ) sur un trajet ds en
établissant que [19]:
12
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
r r
r r
dL ,a (r , s ) k ,a L (r , s )ds
(II.3)
Puisque le terme dL,a ; correspond à une diminution de la luminance incidente, il est retranscrit
avec un signe "-". k ,a ; est appelé le coefficient d’absorption du milieu à la longueur d’onde .
Une même épaisseur ds de ce milieu aura la capacité d’émettre une certaine quantité d’énergie
dL ,e telle que :
r r
r r
dL,e (r , s ) k ,e L 0(r , s )ds
(II.4)
Ce terme correspond à un gain pour la luminance à la traversée d’un élément d’épaisseur ds ,
d’où le signe "+". k ,e est appelé le coefficient d’émission du milieu à la longueur d’onde .
A l’équilibre thermodynamique local, tout milieu capable d’absorber est susceptible d’émettre
dans les mêmes proportions. On considère donc que :
k ,e k , a k 
(II.5)
II.2.4. Diffusion
Le troisième phénomène caractéristique du rayonnement thermique est le phénomène de
diffusion des photons. Elle se traduit par la déviation de la trajectoire de ceux-ci, à la suite de
chocs, à la traversée d’une épaisseur ds d’un milieu semi-transparent «diffusant». Ceci se traduit
r r
r
par une variation dL,d ( r , s ) de la luminance se propageant selon la direction s . On peut
discerner deux types de variations liées au phénomène de diffusion : le gain de luminance par
diffusion entrante ou «in-scattering» et la perte par diffusion sortante ou «out-scattering» (Fig.
II.4). On notera dL,out-scattering
la diffusion sortante représentant une perte de luminance
proportionnelle à la luminance à l’entrée d’une épaisseur de milieu ds , sans aucun discernement
pour les directions dans lesquelles le rayonnement est diffusé :
r r
r r
dL ,out-scattering (r , s ) ,d L (r , s )ds
(II.6)
,d est appelé le coefficient de diffusion du milieu à la longueur d’onde .
On notera dL,in -scattering la diffusion entrante représentant un gain de luminance, en intégrant les
r
contributions de toutes les luminances provenant des directions s ' qui sont déviés dans la
r
direction s , soit [19]:
13
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
1 4  r r

r r
r
dL,in -scattering (r , s ) 
,d  
(s ', s , ', )L ' (s ')d 'd ' 
ds

40 0


(II.6)
Où d définit un élément d’angle solide d’où peut provenir la luminance obtenue par diffusion
r r
entrante et (s ', s , ', ) représente la fonction de phase de diffusion.
Cette fonction de phase de diffusion représente la densité de probabilité qu’un
r
rayonnement provenant d’une direction s ' avec une longueur d’onde ' soit dévié dans la
r
direction s à la longueur d’onde . La plupart des chocs rencontrés en diffusion étant élastiques
r r
(la fréquence des photons ne varie pas au cours du choc), le terme (s ', s , ', ) devient
r r
simplement (s ',s ) .
1 4  r r

r r
r
dL,in -scattering (r , s ) 
, d  
(s ', s ) L' ( s ')d 'ds
4 0


(II.7)
La fonction de phase étant une densité de probabilité pour qu’un rayon provenant d’une direction
r
r
s ' soit dévié dans la direction s , elle obéit à la relation de normalisation suivante :
4
1
r r
(s ', s )d ' 1

4 0
(II.8)
La variation globale de la luminance liée au phénomène de diffusion s’écrit :
r r
r r
r r
dL ,d (r ,s ) dL ,out-scattering (r , s ) dL , in -scattering (r ,s )
L
Diffusion out-scattering
Diffusion in-scattering
Absorption
Émission
r
s'
r
s
14 Rayonnement incident
L
(II.9)
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
II.3. Équation de Transfert Radiatif (ETR)
II.3.1. Formulation différentielle
Pour obtenir l’expression standard intégrodifférentielle de l’équation de transfert radiatif
prenant en compte toute la complexité du problème physique (émission, absorption, diffusion et
dépendance spectrale), on écrira d’abord la variation totale de la luminance traversant
r
normalement un milieu semi-transparent d’épaisseur ds autour de la position r dans la
r
direction s (Fig. II.4).
Elle est obtenue en sommant les termes liés à chacun des trois phénomènes rencontrés en
rayonnement que nous avons définis ci-dessus :
r r
r r
r r
r r
dL ( r , s ) dL,a ( r , s ) dL,e ( r , s ) dL ,d ( r , s )
(II.10)
En remplaçant ces termes par leur expression (II.3), (II.4) et (II.9) dans l’équation (II.10) et en
divisant par ds , on obtient l’équation de transfert radiatif sous sa forme différentielle :
r r

dL (r , s )  0 r ,d 4 
r r
r r
r r

k L(r ) 

(
s
',
s
)
L
(
r
,
s
')
d

'
(k  )L(r , s )




ds
4 0


(II.11)
On introduit la notation du coefficient d’extinction  représentant l’atténuation du
rayonnement par diffusion sortante et par absorption tel que :
 k  
(II.12)
Et celle de l’albédo de diffusion  obtenu de la façon suivante :

  
k  
(II.13)
r
Ceci nous permet d’écrire plus simplement selon la direction s :
r r

dL( r , s )  0 r ,d 4 
r r
r r
r r

k L(r ) 
(s ', s )L(r , s ')d 'L (r , s )

ds
4 0


(II.14)
Soit :
r r
dL(r , s )
r r
r r
(S ( r , s ) L( r , s ))
ds
(II.15)
Avec
15
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
r r
r
1
r r
r r
S ( r , s ) (1 ) L0( r ) 
L( r , s ')(s ', s )d '

44
(II.16)
II.3.2.Formulation intégrale
r r
r
r r
A partir de L(r0 , s ) la luminance en r0 la solution L(r , s ) de l’équation différentielle
r
r
(II.15) peut être intégrée sur le chemin optique entre les positions r0 et r et s’écrit :
r
r
r
r
r r
r r
r
r
r r T( r '  r )
L(r , s ) L (r0 , s )T (r0  r ) 
(II.17)
r
r S (r , s )
r0 
r '
r
r
Où T (r0  r ) représente la transmittance d’une épaisseur de milieu semi-transparent comprise
r
r
entre deux points de l’espace, P (r ') et P (r ) , obtenue en posant :
r
r
r
r
T (r '  r ) exp((r '  r ))
(II.18)
r
r
Où (r '  r ) est l’épaisseur optique, grandeur sans dimension obtenue par l’intégration
suivante :
r
r
r
r
(r '  r ) 
(x )dx
r 
r ' 
(II.19)
r r
En considérant une épaisseur de milieu homogène l  r r ' , ne dépendant pas de x, on écrit
plus simplement :
(l ) l
(II.20)
Et :
T (l ) exp(l )
(II.21)
L’équation (II.17) constitue ce que l’on appelle la formulation intégrale de l’équation de transfert
radiatif.
II.4. Propriétés Radiatives d’une Pulvérisation
Le coefficient d’absorption k , le coefficient de diffusion , et la fonction de phase ,
interviennent dans l’équation de transfert radiatif (ETR). Leurs connaissances sont primordiales
dans l’évaluation du transfert de chaleur par rayonnement à travers le milieu étudié.
Le rideau d’eau est composé de deux phases : une phase gazeuse (mélange : air, vapeur
d’eau et CO2) et une phase liquide (gouttelettes d’eau). Ces derniers contribuent à une partie du
phénomène d’absorption et à la totalité du phénomène de diffusion. Leurs propriétés radiatives
16
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
sont obtenues par la théorie de Mie. Cette théorie est utilisable quel que soit l’indice et le
paramètre de taille des particules diffusantes, contrairement aux modèles approchés (Raleigh, et
optique géométrique). Pour le transfert radiatif, la phase gazeuse composée essentiellement de
vapeur d’eau et de dioxyde de carbone, absorbe une partie de l’énergie radiative dont les
propriétés sont disponibles dans la littérature.
II.4.1. Modélisation des propriétés radiatives des gouttelettes d’eau par la théorie de Mie
Les propriétés de l’interaction entre une onde électromagnétique, de longueur d’onde ,
et plusieurs particules sphériques, chacune de diamètre a , sont gouvernées par trois paramètres
indépendants et sans dimension :
 l’indice de réfraction complexe, m n ik avec i 2 1 , dépend de la nature du matériau
constituant la particule : Cette expression met en évidence deux effets. Le premier
caractérise la propagation du rayonnement par le changement de vitesse de l’onde
électromagnétique à la traversée d’un milieu. La partie réelle de l’indice de réfraction
complexe m détermine la vitesse de phase d’une onde électromagnétique traversant un
milieu. Sa partie imaginaire k caractérise l’absorption de l’énergie d’une onde incidente
traversant un milieu.
 le paramètre de taille, X 2a , donne la taille de la particule par rapport à la longueur
d’onde du rayonnement incident,
 et la distance entre les particules.
Hale donne des valeurs de cet indice, imaginaires et réelles [20] :
1,6
Indices d'absorption et de Réfraction
1,5
1,4
1,3
n
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
k
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
10
20

[µm]
17
30
40
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Fig. II.5 : Indice d’absorption et de réfraction de l’eau en fonction de la longueur
d’onde 
 md’après Hale et al. [20]
II.4.1.1. Établissement du modèle de Mie
En 1908, Gustave Mie développe une théorie dans le but d'expliquer les couleurs
provoquées par l'absorption et la diffusion de particules colloïdales d'Or en suspension dans
l'eau. Il met en évidence les expressions de sections efficaces d'absorption et de diffusion ainsi
que les fonctions de diffusion qui en dérivent.
La théorie de Mie est basée sur l’intégration des équations de l’électromagnétisme de
Maxwell à l’intérieur et à l’extérieur d’une particule dans le cas où :
 La lumière incidente est une onde plane monochromatique ;
 La particule est sphérique, homogène, isotrope ayant un indice de réfraction n ;
 Le milieu est homogène ;
La résolution de ces équations s’effectue de façon analytique permet de faire apparaitre
les coefficients de diffusions an et bn de Mie qui sont obtenus par les expressions suivantes :
m n ( mX ) 'n ( X ) n ( X )'n ( mX )
an 
m n ( mX )n ( X ) n ( X )n' ( mX )
et
(II.22)
n ( mX ) 'n ( X ) m n ( X ) 'n ( mX )
bn 
m n ( mX )n ( X ) m n ( X )n' ( mX )
(II.23)
n et n sont les fonctions de Riccati-Bessel définies par :
n ( z ) 
z
J
( z)
2 n 1 2
(II.24)
n ( z ) 

N
( z)
2 z n 1 2
(II.25)
n n i n
n (z ) 
(II.26)
z 
n
J n1 2 (z ) i 
1J n 1 2 (z )

2 
(II.27)
Fonctions de Neumann
18
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
N n 1/ 2 ( z ) 
1 J n 1 2 ( z )
n 1
(II.28)
Fonctions de Bessel à demi-entier
J n 1 2 ( z ) et J n 1 2 (z )
(II.29)
Les fonctions de Bessel à demi-entier sont définies par la formule de récurrence suivante :
2n
J n 1 ( z ) J n 1 ( z )  J n ( z )
z
(II.30)
Les fonctions élémentaires sont :
J1 2 ( z ) 
2
sin(z)
z
J 1 2 ( z) 
(II.31)
2
cos(z)
z
(II.32)
Les dérivées des fonctions de Ricatti-Bessel sont accessibles par récurrence :
n
'n ( z )  n ( z ) n1 ( z )
z
(II.33)
n
n' ( z )  n ( z ) n 1 ( z )
z
(II.34)
Avec :
1 ( z ) cos( z ) et 0 ( z ) sin( z )
(II.35)
1 (z ) exp(iz ) et 0 (z ) i exp(iz )
(II.36)
Une autre forme pour calculer les coefficients de Mie an et bn a été présenté par Bohren et
Huffman [21]. Cette forme est plus simple pour la programmation et numériquement plus stable :
X ,m  n
D n 


X
 m
an 
X , m 
D n 
X ,m  n


X
 m
mD X , m n

 n
X
bn 
X , m 
mD X , m n

 n
X


n 
X n 1 
X 


n 1

n 
X n 1 
X



n 
X n 1 
X


n 1
 X  X
 n   n 1  

19
(II.37)
(II.38)
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
II.4.1.2. Sections efficaces et facteurs d’efficacités
La section efficace, schématisée sur la figure II.6, est une grandeur physique
correspondant à la probabilité d'interaction d’un faisceau d’ondes incidentes avec un objet cible.
Si on s’intéresse au flux diffusé par l’objet cible, on parle alors de section efficace de diffusion
(Cd), si on s’intéresse au flux d’énergie absorbée, on parle de section efficace d’absorption (C a),
et ainsi de suite.
Ca
+
Cd
=
Cext
Fig. II.6 : Représentation schématique des sections efficaces.
Les expressions littérales des sections efficaces de rétrodiffusion, diffusion et d’atténuation totale
(diffusion et absorption) sont respectivement :
2 N max
Ca  (1)n (2n 1)(a n bn )
4n 1

2 N max
2
C d  (2n 1) an bn
4 n 1
2
(II.39)

(II.40)
2 N max
C e  (2n 1) Re 
an b n 
4 n 1
(II.41)
Les facteurs d’efficacité sont définis comme le rapport des sections efficaces sur l’aire de la
section transversale de la particule sphérique ( a 2 ), soient :
C
Q k  k2
a
k a ,d ,e
avec :
(II.42)
Le facteur d’efficacité de diffusion de la particule :

2 N max
2
Qd (a)  2 (2n 1) an bn
X n 1
2

(II.43)
20
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Le facteur d’efficacité d’extinction de la particule :
2
Qe (a)  2
X
N max
(2n 1) Re a b 
n
n
1
(II.44)
n
Le facteur d’efficacité d’absorption de la particule :
Qa (a ) Qe (a ) Qd (a )
(II.45)
Avec ces équations, il est donc possible de résoudre mathématiquement le problème de la
diffusion de la lumière par une sphère ; or, comme nous pouvons le constater dans ces équations,
le nombre de sommations à effectuer est grand avant d’obtenir la convergence de la série. Il
existe un critère de troncature permettant d’obtenir une convergence plus rapide [21]:
N max max( X 4X
14
2, m .X )
(II.46)
Plusieurs approximations permettent d’obtenir la section efficace de diffusion pour une particule
seule ; il faut remarquer qu’elles ont chacune leur domaine de validité. Le choix de la théorie
appropriée dépend de la valeur du paramètre de taille X et celle d’un indice optique m :
 Pour X 1 et X m 1 1 : c’est la théorie de Rayleigh ;
 Pour X 1 et X m 1 
1 : c’est la théorie de l’optique géométrique et de la
diffraction;
 Pour m 1 1 et X m 1 
1 : c’est la théorie de Rayleigh Debye Gans;
 Pour X 1 et X m 1 1 : c’est la théorie de la diffraction anormale ;
 Pour X et m arbitraire : c’est la théorie de Mie.
Les quatre premières théories sont des solutions limites de la théorie de Mie. Comme nous
constatons, elles ne sont valables que pour une plage bien définie de valeur de x et de m .
Le diagramme ci-dessous (Fig. II.7) modélise le domaine de validité de chaque approximation en
fonction du paramètre de taille x et d’indice optique m [22] :
21
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Fig. II.7 : Domaine de validité des méthodes d'approximation pour une sphère [22]
II.4.1.3. Fonction de phase
Lorsqu’un rayonnement traverse un milieu semi-transparent, la diffusion est décrite par la
fonction de phase  dont la valeur ((s ', s ) / 4)ds représente la probabilité pour qu’un
faisceau incident dans l’angle solide d ' centré sur la direction ' , soit diffusé dans l'angle
solide d centré sur , Fig. II.8.
Luminance
Diffusée

Luminance
Incidente
ds
'
Fig. II.8 : Diffusion par le milieu de la direction ' vers la direction 
La fonction de phase de Mie pour une particule sphérique est fonction de la longueur
d’onde, du diamètre de la particule et d’un angle de diffusion noté  (angle formé par les deux
r
r
directions  et ' ). Son expression est la suivante [21]:
S () S 2 ()
 (a,) 2 1 2
X Q d (a )
2
2
Mie

(II.47)
S1 et S 2 sont les fonctions d’amplitude complexe qui peuvent être obtenues grâce aux
coefficients de Mie an et bn [21]:
N
max
2n 1
S1 
 
an n () bnn ()
n 1
n 1 n 
(II.48)
22
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
N max
2n 1
S 2 
 
bn n () bnn ( )
n 1
n 1 n 
(II.49)
Avec cos() . Les séries n et n sont données par les expressions suivantes:
0 
 0
(II.50)
1 
 1
(II.51)
2n 1
n
n 

cos 
 n 1 

n 2 
 n 1
n 1
n 1
(II.52)

 cos 

1 
(II.53)
n 
 n cos 
n 
 
n 1
n 1 
 n 2
(II.54)
La fonction de phase de Mie est complexe et délicate à utiliser, c'est pourquoi on préfère
utiliser des fonctions de phase plus simples, contenant peu de paramètres à identifier. Dans ce
qui suit, les fonctions de phase les plus courantes seront présentées.
Polynômes de Legendre
La fonction de phase peut être approchée par une somme de polynômes de Legendre,
(expression (II.55)). Cette représentation permet d’approcher n’importe quelle fonction de phase
lorsque le nombre de termes est assez grand. [51]

() Ai Pi () ,
i0
avec : A0 1
(II.55)
Pi : Polynôme de Legendre d’ordre i ;
Ai : Constante correspondant à l'ordre i, fonction des caractéristiques du milieu, ils peuvent être
déterminés de deux manières différentes, soit par l’intermédiaire des coefficients de Mie ( an et
bn ), soit par la fonction de phase de Mie [13]
2i 1  Mie
Ai 
 Pi (cos())sin()d
0
2 
(II.56)
Fonctions Delta-Eddington
Pour un milieu avec une diffusion très pointue vers l'avant, comme c'est le cas pour les
particules sphériques de grand diamètre, le nombre de termes nécessaire pour la somme de
polynômes de Legendre peut être d'une centaine, ce qui est pénalisant dans les calculs. Pour
23
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
réduire le nombre de termes, ce pic est modélisé par une fonction Delta (appelée aussi fonction
de Dirac). Le restant de la fonction de phase est exprimé sous forme de polynômes de Legendre :
M
() 2 f (1 cos()) (1 f )(1 Ai Pi (cos()))
*
(II.57)
i 1
Où  est la fonction Delta, f représente la fraction du rayonnement diffusée vers l'avant, M
l’ordre d’approximation et A i* des coefficients modifiés. [13]
Fonction de phase de Kagiwada-Kalaba
Le modèle analytique de Kagiwada-Kalaba est basé sur une seule variable qui est l’angle
de diffusion . Il traduit le rapport entre la diffusion dans les directions avant et arrière.
1
 b 1 

2
ln 


b 1 



(cos()) 
b cos()
(II.58)
Avec :
1
b
1
(II.59)
Et :
Mie
0
 
 Mie
 

(II.60)
Modèle D'henyey-Greenstein
Afin de présenter une fonction de phase très pointue vers l’avant ou vers l’arrière, avec
un nombre non excessif de termes, Henyey et Greenstein ont proposé une fonction de phase qui
ne dépend que d’un seul paramètre d’asymétrie g . Le modèle de Henyey-Greenstein, est donné
par l’expression suivante :
1 g 2
(, g ) 
32
2

1

g

2
g
cos(

)



(II.61)
Ou : g est appelé le facteur d’asymétrie, il peut être utilisé pour caractériser la diffusion par une
particule. Il est définit par l’intermédiaire de la fonction de phase et du cosinus de l’angle de
diffusion. Si on pose μ=cosθ,le facteur d’
asymétrie factor of asymmetry s’exprime selon :
24
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
1
g (
) d
(II.62)

1
Il existe plusieurs techniques permettant de calculer la valeur de g. La première est d’utiliser les
coefficients de Mie, en employant la relation [15]:
4
g2
x Qs
n( n 2)


 n 1
n 1

2 n 1

Re 
a
a

Re
a
b
n
1 bn b n1 
n
n
n


 n (n 1)  

(II.63)
Re indique la partie réel du nombre complexe, an 1 est le nombre complexe conjugué de an1 .
La valeur de g est comprise entre –1 et 1 et permet de déterminer la quantité de lumière diffusée
vers l’avant ou vers l’arrière. Pour une valeur positive de g la diffusion en direction de la
lumière incidente sera prépondérante alors que pour une valeur négative, elle sera principalement
dirigée dans une direction opposée à la direction de la lumière incidente (rétrodiffusion). Une
valeur nulle de g indique une diffusion isotrope.
A partir du rapport entre les coefficients de diffusion et d’extinction, il est possible de
déterminer l’albédo de diffusion simple, d , correspondant à la fraction de lumière diffusée par
une particule :
(2 n 1) a
N max
2
n
Q
d  d Nn max1
Qe
bn
(2n 1) Re a
n
n 1
2

(II.64)
b n 
Cette grandeur est particulièrement importante dans la résolution de l’équation du transfert
radiatif puisqu’elle représente la probabilité pour qu’un photon soit diffusé plutôt qu’absorbé lors
de son interaction avec une particule à une longueur d’onde donnée. [23]
Les
Figures
montrent
la
de
de
phase
avec
g.
Pour
(II.10)
0
1.5
330
à
(II.14)
variation de la fonction
30
Henyey-Greenstein
1.0
le
300
paramètre
60
d'asymétrie
0.5
0.0
0.0
270
90
isotrope) :
0.5
240
120
1.0
1.5
210
25
180
150
g 0 (diffusion
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Fig. II.09 : Fonction de phase de Henyey-Greenstein (g = 0.).
Pour g 0.15 (diffusée vers l’avant) et g 0.15 (diffusée vers l’arrière):
0
330
1.6
0
30
300
60
1,2
1.0
300
60
1,0
0.8
0,8
0.6
270
90
0.6
0,6
270
90
0,6
0.8
0,8
1.0
1,0
240
120
1,2
1.4
1.6
30
1,4
1.2
1.2
330
1,6
1.4
240
120
1,4
210
150
1,6
210
180
150
180
Fig. II.10: Fonction de phase de
Fig. II.11 : Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = 0,15).
Henyey-Greenstein (g = -0,15).
Pour g 0.9 (diffusée vers l’avant) et g 0.9 (diffusée vers l’arrière):
26
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
0
330
200
0
200
30
330
30
150
150
300
100
60
100
50
300
60
50
0
0
270
90
0
270
90
0
50
50
100
240
120
100
240
120
150
150
200
210
150
200
180
210
150
180
Fig. II.12: Fonction de phase de
Fig. II.13: Fonction de phase de
Henyey-Greenstein (g = 0,9).
Henyey-Greenstein (g = -0,9).
II.4.1.4. Détermination des propriétés radiatives pour un ensemble de gouttes
(Polydispersion)
Pour modéliser les propriétés radiatives pour l’ensemble des gouttes, nous considérons
que les régimes de diffusion indépendante et simple sont établis. Les coefficients spectraux
globaux sont obtenus par une simple sommation des contributions des différentes classes de
diamètres. On obtient alors [13]:
Le coefficient spectral d’absorption noté k. Son expression est donnée par :
Nc
di2
k   N iQ a (d i )
4
i
1
(II.65)
Le coefficient spectral de diffusion noté . Son expression est donnée par :
Nc
d2
  i N iQ d (d i )
4
i
1
(II.66)
Le coefficient spectral d’extinction noté . Son expression est donnée par :
Nc
d2
  i N iQe (d i )
4
i1
(II.67)
27
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Où N c est le nombre de classes de diamètres de gouttes. Ni est le nombre de particules par unité
de volume de diamètre di .
La fonction de phase de Mie se calcule de la manière suivante:
1
di2
Mie
(

)


Qs ( di ) Mie
) Ni


 ( di , 

4
(II.68)
Afin de simplifier le problème et réduire le temps de calcul, la polydispersion peut être
assimilée à une mono dispersion de diamètre de gouttes moyen. Le coefficient d’extinction 
sera calculé par la relation suivante :
3Q e C
2 d

(II.69)
Avec : Qe est le coefficient d’extinction, d est le diamètre moyen des gouttes,  la densité du
liquide (l’eau) et C est la concentration totale des gouttes par 1m3 d’air on (kg/m3), elle est relie
liée au nombre totale de particules par volume unitaire (N) par la relation suivantes :
C 
d 3 N
6
(II.70)
Les relations précédentes peuvent être démontrées facilement en suivant la démarche suivant :
C 
D’où :
On a :
D’où :
m as s e d e li q u i d e
m
V T o t a l


 V
3
1m d ' ai r
1
1
g o u tte
N  (
4
d
( ) 3 ) N
3
2
d 3 N
C 
6
d2
d 2 6C
 NQ e (d )  (
)Q (d )
4
4 
d 3 e

3Q e C
2 d
II.4.1.5. Notions de diamètres moyens
L’étude des sprays utilise plusieurs types de diamètres moyens spécifiques qui n’ont pas
toujours d’équivalent statistique [24]. Le choix de l'un ou l'autre comme critère de comparaison
dépend du phénomène que l'on étudie (transfert de masse, de chaleur, combustion etc.).
Un diamètre moyen en général est une valeur conventionnelle qui caractérise un
ensemble de gouttes identiques que l'on substitue à l’ensemble réel. En fonction du mode de
28
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
calcul, le diamètre moyen donne des renseignements sur des caractéristiques différentes du spray
(nombre de gouttes, diamètre, surface, volume).
La moyenne arithmétique simple est appelée diamètre moyen numérique (D 10) lorsqu’elle
est appliquée à une distribution de taille des gouttes. Le diamètre moyen numérique se définit
comme le diamètre des gouttes d'un ensemble uniforme (toutes les gouttes sont identiques)
équivalent à l’ensemble réel qui a le même nombre de gouttes que celui-ci et qui a la même
somme des diamètres.
m
d
D10 
i
i
1
m
Ni
N
m
f i d i
(II.71)
i
1
i
i
1
D20 : Le diamètre moyen surfacique correspond à l’ensemble uniforme qui a la même surface
totale des gouttes que l’ensemble réel :
m
d
D20 
2
i
Ni
i
1
m
N

m
f d
i
1
i
2
i
(II.72)
i
i
1
D20 est utilisé pour l'étude des phénomènes surfaciques, vaporisation, absorption etc. Le
diamètre moyen volumique (massique) D 30 correspond à l’ensemble de gouttes équivalent qui a
le même volume total que l’ensemble réel.
m
d
D 30 
i
1
3
m
3
i
Ni

3
N
i
1
m
f d
i
1
i
3
i
(II.73)
i
Le diamètre moyen surfacique relatif D21 correspond à l’ensemble équivalent qui à la même
surface totale des gouttes et la même somme des diamètres de gouttes.
m
d
D21 
i
1
m
d
2
i
Ni
(II.74)
i
Ni
i
1
D21 est utilisé pour caractériser la formation de gouttes secondaires car il intervient naturellement
dans l’expression du rapport entre les forces aérodynamiques et les forces de tension
superficielle.
29
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Le diamètre volumique relatif D31 correspond à l’ensemble équivalent ayant le même rapport
entre le volume total et la somme des diamètres que l’ensemble réel:
m
D31 
d
i
1
m
d
i
1
3
i
Ni
(II.75)
i
Ni
D31 est caractéristique du taux d'évaporation ou de combustion par unité de volume. Le diamètre
moyen de Sauter (volumique-surfacique) D32 correspond à l’ensemble équivalent qui a le même
rapport entre le volume total et la surface totale que l’ensemble réel:
m
d
D32 SMD 
i 1
m
d
i 1
3
i
Ni
2
i
D3
 302
D20
Ni
(II.76)
D32 est très utilisé parce qu'il caractérise à la fois la pénétration des gouttes dans l'air, le transfert
de chaleur et le transfert de masse.
Les diamètres caractéristiques spécifiques aux distributions de taille des gouttes des sprays
peuvent être résumés par une unique formule, tel que décrit par Mugele et Evans [25]:
m
N d
1
Dqpq p SMD  i
m
i
q
i
(II.77)
N d
i
1
i
p
i
Tous les calculs de diamètres moyens se font à partir de la distribution numérique du spray. Les
indicateurs statistiques de tendance centrale peuvent s’appliquer à la distribution volumique bien
que celle-ci ne soit pas une vraie série statistique.
Les distributions des diamètres de gouttelettes on fonction de la fraction volumique de chaque
class de diamètre sont représentés par les figures. II.15 et II.16 pour les deux types de spray
étudiés ci-après. En remarque que l'augmentation de la pression favorise la génération d'un
nombre important de gouttelettes de petit diamètre.
30
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
-7
5,0x10
-7
Fraction Volumique
3
3
[ m d'eau / m d'air ]
4,0x10
-7
3,0x10
-7
2,0x10
-7
1,0x10
0,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Diamètre des gouttes [µm]
Fig. II.15. Distribution des diamètres d’un spray ‘‘TG03–1 bar’’ d'après Dembélé [15]
2,5x10 -6
Fraction Volumique
3
3
[ m d'eau / m d'air ]
2,0x10
-6
1,5x10 -6
1,0x10
5,0x10
-6
-7
0,0
0
50
100
150
200
250
Diamètre des gouttes [µm]
Fig. II.15. Distribution des diamètres d’un spray ‘‘TG03–3 bar’’ d'après Dembélé [15]
Les deux distributions ci-dessus permettent de calculer les différents diamètres moyens qui sont
représentés sur le tableau ci-dessous :
31
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Diamètre moyen (µm)
D10
D20
D30
D21
D31
D32
TG03–1 bar
75,0
82,3
87,9
90,2
95,2
100,4
TG03–3 bar
66,6
74,9
82,8
84,3
92,4
101,2
Type de Spray
Tableau II.1. Diamètres moyens des sprays TG03-1bar et TG03-3bar
II.4.1.6. Résultats de la modélisation numériques des propriétés radiatives des gouttelettes
II.4.1.6.1. Variation en fonction du paramètre de taille X
Chaque particule est caractérisée par un coefficient d’extinction Qe , qui est l’énergie
perdue dans la direction de propagation, rapportée à l’énergie géométriquement incidente reçue
par la particule. Notons que dans le cas d’une particule non absorbante, d’après la définition de
la diffusion (énergie dispersée par rapport à la direction incidente), les deux coefficients Qe et
Qd sont égaux.
Qe
3,5
Qa
Qd
Facteurs d'efficacité
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
10
100
1000
(X) Paramètre de taille
Fig. II.16 : Variation des facteurs d’efficacité en fonction du paramètre de taille
X avec (m=1.2- i 0.01)
32
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Lorsque les
particules
sont
Chapitre II
de grandes
tailles,
leur coefficient
d’extinction tend
asymptotiquement vers 2. Par conséquent, ces particules atténuent deux fois plus d’énergie que
le ferait leur section droite géométrique.
II.4.1.6.2. Variation en fonction de l’indice de réfraction complexe de l’eau
Les variations des efficacités d’extinction, d’absorption, de diffusion ainsi que celles de l’albédo
et du facteur d’asymétrie en fonction du paramètre de taille sont reportées sur la figure II.17 pour
trois longueurs d’onde correspondant à des coefficients d’absorption faible, moyen et forte
( k 1010 (absorption négligeable), k 103 (absorption faible) et k 0, 43 (absorption forte)),
dans le cas d’une particule unique.
1,5
1,2
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
-10
k=10
-03
k=10
k=0,43
3,5
Efficacité d'extinction, Qex
k=10
-03
k=10
k=0,43
1,3
Efficacité d'absorption, Qa
4,0
-10
1,4
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,1
0,0
0,0
1
10
100
1000
1
10
100
Paramètre de taille, x
Paramètre de taille, x
(b)
(a)
33
1000
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
1,0
4,0
3,0
-10
k=10
-03
k=10
k=0,43
0,9
-10
k=10
-03
k=10
k=0,43
Albedo de diffusion simple, s
Efficacité de diffusion, Qs
3,5
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
10
100
1000
1
10
Paramètre de taille, x
100
Paramètre de taille, x
(c)
(d)
1,0
0,9
Facteur d’asymétrie, g
0,8
0,7
0,6
-10
k=10
k=10-03
k=0,43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
10
100
Paramètre de taille, x
(e)
Fig. II.17 : Variations des efficacités d’absorption (a), d’extinction (b), de diffusion (c),
d’albédo (d)est
et caractérisée
du facteur d’asymétrie
(e)d’oscillations
en fonction duconvergeant
paramètre de
taille
L’efficacité d’extinction
par une série
vers
uneXvaleur
limite de 2 pour des particules de grandes tailles, quel que soit l’indice de réfraction complexe de
l’eau. La particule intercepte alors deux fois plus de lumière qu’il n’en arrive sur sa section
géométrique. La diffraction de la lumière sur les bords de la particule contribue, en effet, pour
moitié à l’extinction totale. Les oscillations résultent, quant à elles, de phénomènes
d’interférences entre les rayons transmis sans déviation à travers la particule et les rayons
diffractés [23]. En revanche, l’efficacité d’absorption de la particule augmente avec le paramètre
de taille selon une loi puissance. D’autre part, l’absorption, négligeable à k=10 -10, devient
significative lorsque la partie imaginaire de l’indice complexe de réfraction augmente.
II.4.1.6.3. Variation en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la particule
34
1000
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Afin de localiser le diamètre optimum donnant la plus forte extinction (meilleure protection
contre les incendies) pour chaque longueur d’onde, on a représenté les efficacités ainsi que
l’albédo et le facteur d’asymétrie dans des diagrammes λ-d, longueur d’onde-diamètre (Fig.II.18
à Fig.II.22).
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Fig. II.18 : Variations de l’efficacité d’absorption en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule
35
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Fig. II.19 : Variations de l’efficacité d’extinction en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Fig. II.20 : Variations de l’efficacité de diffusion en fonction de la longueur d’onde et du
diamètre de la particule
36
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Fig. II.21 : Variations de l’albédo en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de la
particule
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Fig. II.22 : Variations du facteur d’asymétrie en fonction de la longueur d’onde et du diamètre de
la particule
37
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
L’analyse de ces figures nous permet de tirer les conclusions suivantes :
1. Le diamètre des gouttes influe sur le processus de diffusion et d’absorption: une
diffusion maximum pour les petites gouttes et une absorption maximum pour les grandes
gouttes. [52]
2. Les processus de diffusion et d’absorption présentent une forte dépendance spectrale pour
les fines gouttelettes d’eau. On distingue trois régions du spectre (λ=3μm, λ=6μm et
10μm<λ<40 μm) où l’absorption est prépondérante, en dehors de ces régions (où l’indice
d’absorption est négligeable), la diffusion est maximale. Pour les diamètres importants,
l’absorption et la diffusion sont dans des proportions semblables. [52]
3. Pour chaque longueur d’onde, on a un diamètre optimum qui assure le maximum
d’atténuation. La valeur de ce diamètre est toujours proche de la valeur de la longueur
d’onde considérée. [52]
4. Pour les deux types de spray TG03 où le diamètre moyen D32 est proche de 100µm, le
facteur d’asymétrie est presque constant (g=0,8), cela nous conduit a l’utilisation de la
fonction de phase de Henyey-Greenstein afin de simplifier les calculs.
II.4.1.6.4. Calcul des fonctions de phase de Mie
En fonction de la taille particules et de la longueur d’onde du rayonnement incident, chaque
particule possède un schéma de diffusion qui lui est propre. La valeur mesurée va dépendre de
l'angle de mesure θformé entre la direction du rayon incident et celle de la radiation mesurée.
Fig. II.23 : Répartition angulaire de la lumière diffusée pour différents rapports longueur d'onde
et la taille de particule. [26]
38
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
0 Diffusion vers l'avant
90 Néphélométrie
180 Rétrodiffusion
Les différentes fonctions de phase de Mie pour différents valeurs de diamètre et une longueur
d'onde de 10µm sont représentées sur la figure .II.24 ci-dessous :
90
10000
120
d=300µm
d=100µm
d=10 µm
60
1000
100
10
30
150
1
=10µm
0,1
Rayonnement
incident 0,01
1E-3
1E-4
180
0
1E-3
0,01
0,1
1
210
330
10
100
1000
10000
240
300
270
Fig. II.24 Fonctions de phase de Mie pour une longueur d'onde de 10µm
Afin d’étudier la variation de la fonction de phase de Mie avec la longueur d’onde ou avec
l’indice complexe de l’eau, on fixe le diamètre de la particule d’eau à une valeur de 10µm et on
fait varier la longueur d’onde avec un pas constant égal à 5µm, les variations de la fonction de
phase pour chaque longueur d’onde sont représentées sur la figure .II.25 :
39
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
10000
0.5µm
05µm
10µm
15µm
20µm
Fonction de phase, 

1000
100
10
1
0,1
0,01
1E-3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180





Fig. II.25. Fonctions de phase de Mie, pour différents longueurs d’onde.
Les différentes fonctions de phase montrent qu’une augmentation de la longueur d’onde
provoque une diminution de la quantité d’énergie diffusée vers l’avant (0°<θ<5°).
Lorsque la longueur d’onde augmente, la partie de la fonction de phase correspondant à la
diffusion latérale (65°<θ<140°) augmente et le pic de diffusion arrière (θ~180°) diminue. Dans
ce cas là, les effets d’absorption, provoqués par l’augmentation de la partie imaginaire de
l’indice de réfraction complexe des particules, sont les principaux responsables du comportement
particulier de la fonction de phase. Néanmoins, la diminution du paramètre de taille joue
également un rôle dans l’augmentation de l’énergie diffusée latéralement.
En fonction du rapport entre le diamètre des particules et la longueur d’onde de la lumière
incidente, la diffusion est plus ou moins importante. Ainsi, pour de très fines particules (de
diamètre inférieur au dixième de la longueur d’onde), l’intensité de la lumière rétrodiffusée est
du même ordre de grandeur que celle diffusée en avant et elle est encore deux fois plus forte que
celle diffusée selon un angle de 90° avec la direction de la lumière incidente.
Au fur et à mesure que le diamètre de la particule augmente, la lumière rétrodiffusée diminue de
plus en plus au bénéfice de la lumière diffusée vers l’avant. [26]
40
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
II.4.2. Modélisation des proprietes radiatives de la phase gazeuse
II.4.2.1. Modèles de rayonnement des gaz
La modélisation des coefficients d’absorption de la phase gazeuse, composé de la vapeur
d’eau, le mono et le dioxyde de carbone, est complexe de fait que cette phase est un mélange
composé de plusieurs éléments qui peuvent interagir les uns avec les autres, et les
caractéristiques radiatives de chaque composante varient de façon très forte en fonction de la
longueur d’onde [13]. De ce faite, il est nécessaire de définir comment varie réellement le
coefficient d’absorption des gaz en fonction de la longueur d’onde. Pour cela, il existe de
nombreux modèles de rayonnement des gaz plus ou moins appropriés à un besoin donné en
précision et/ou en temps de calcul, élaborés et étudiés aux cours des trente dernières années.
Nous distinguerons quatre catégories de modèles allant du plus précis, le modèle raie par raie,
aux plus grossiers, les modèles globaux. [19]
II.4.2.1.1. Modèle “Raie-par-Raie” (LBL pour Line-By-Line)
La modélisation raie par raie est la méthode de référence pour les calculs des transferts
radiatifs dans les gaz non gris. Il permet de reconstruire le spectre d’absorption/émission d’un
mélange de gaz en déterminant à une fréquence donnée le coefficient d’absorption k résultant
du recouvrement de l’ensemble des raies.
II.4.2.1.2. Modèles à bandes étroites (Narrow Band Models)
Dans les modèles de bandes étroites (MBE), le spectre utile du mélange de gaz est
subdivisé en bandes suffisamment étroites pour que la fonction de Planck et les propriétés
radiatives des parois ou des particules puissent être considérées comme constantes sur chaque
bande spectrale. La largeur d’une bande étroite est généralement prise égale à 25 cm−1.
II.4.2.1.3. Modèles à bandes larges
Les modèles à bandes larges découpent le spectre en un plus petit nombre de bandes dont
la largeur  est de plusieurs centaines de cm -1, se plaçant au delà de la limite de validité de
l’hypothèse d’indépendance fréquentielle de la fonction de Planck sur une bande. Obtenus à une
autre échelle, les modèles à bandes larges ont pour objectif de décrire les variations des
paramètres moyens tels que l’intensité de raie moyenne ou le coefficient d’absorption moyen sur
toute la bande large. Les deux modèles les plus connus sont : le modèle à bande large d’Edwards
41
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
et le modèle théorique dit “Rigid Rotator, Harmonic Oscillator”. On ajoutera les modèles
formulés en k-distribution appliqués sur des bandes spectrales très larges.
II.4.2.1.4. Modèles globaux
Les modèles globaux permettent de représenter tout le spectre d’un gaz avec un minimum
d’informations telles que l’émissivité totale ou la transmittance totale du gaz. Parmi ces modèles
on peut citer le modèle « somme pondérée de gaz gris » (WSGG pour « weighted sum of grey
gas ») de Modest [27] amélioré par Denison et Webb dans le modèle SLW (pour «Spectral Linebased Weighted-sum-of-grey-gas») [28] [29]. Ce modèle consiste à représenter le comportement
d’un gaz par rapport aux variations des grandeurs thermodynamiques comme une somme
pondérée des grandeurs représentatives de plusieurs gaz gris. Une logique similaire a donné
naissance à des modèles plus récents tels que l’ADF (Absorption Distribution function) et
l’ADF-FG (Absorption Distribution function - Fictitious Gas) développés par Pierrot et al. [30]
[31].
On dispose donc d’un grand éventail de modèles permettant de représenter les propriétés
radiatives de mélanges de gaz de façon plus ou moins précise mais aussi, en contrepartie, plus ou
moins coûteuses en temps de calcul.
II.4.2.2. Détermination des propriétés radiatives des gaz par le modèle statistique à bandes
étroites SNB
Dans notre étude, nous avons fait le choix d’utiliser le modèle à bandes étroites. Pour pouvoir
calculer directement la transmittance moyenne pour une longueur d’onde donnée. L’expression
de la transmissivité moyenne sur une largeur de bande étroite  pour un milieu d’épaisseur s
(en cm), contenant un gaz homogène et isotherme à une pression totale Pr (en atm) est :
 

 



Tr exp 2
1 xplk 1 
 
 


 

(II.78)

1
Dans cette expression  (en cm-1),  (en cm) et k (en cm-1 atm-1), qui correspondent
respectivement à la largeur moyenne des raies, à l'espacement moyen entre deux raies et au
coefficient moyen d’absorption, sont les paramètres du modèle.
42
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
II.4.2.2.1. Banque de données SNB
Pour nos applications, les espèces rayonnantes qui a priori pourraient contribuer aux transferts
radiatifs sont H2 O, CO2 et CO. Les deux premières espèces citées ayant les contributions les plus
importantes. Pour modéliser le rayonnement des gaz nous avons utilisé les données
spectroscopiques fournies par Soufiani et Taine du laboratoire EM2C de Paris [32]. Cette banque
de données fournit deux des trois paramètres importants du modèle de Malkmus : k et . Ces
données ont été obtenues par une méthode d’ajustement aux moindres carrés de la transmittance
moyenne sur une bande étroite calculée à différentes épaisseurs optiques à partir d’un modèle
Raie-par-Raie (LBL) [19]. Dans le cas de la vapeur d’eau, la banque de données fournit les

1
paramètres intensifs k et  pour des valeurs discrètes de température allant de 300K à 2900K
par pas de 200K, et ce pour 367 bandes étroites de largeur 25cm 1 découpant une plage du
spectre comprise entre 150 cm-1 et 9300 cm-1 . Pour CO2, les mêmes paramètres ne sont fournis
que sur 96 de ces 367 bandes étroites (sur 4 plages spectrales : 450  1200 cm-1, 1950  2450
cm -1, 3300  3800 cm -1 et 4700  5250 cm-1). Le CO2 peut être considéré comme étant
transparent dans les régions manquantes. Pour le CO, les paramètres sont fournis pour 48 de ces
bandes étroites s’étalant sur deux courtes plages spectrales : 1750  2325 cm-1 et 3775  4350
cm -1.
Le paramètre  est supposé identique pour toutes les bandes étroites d’un gaz absorbant. Les
auteurs de cette banque de données proposent de calculer ce paramètre à l’aide des trois
formulations suivantes en fonction de la température T, de la pression totale P, et des fractions
molaires X des principaux gaz d’un mélange: [32]
0.5


Tréf  
T réf  


0.462
X

0.079
1

X

X

0.106
X

0.036
X

 (II.79)
H 2O 



CO
O
CO
O
2
2
2
2 

T
T








P

H 2O 
Préf

P
CO2 
Préf
P

CO 
Préf
0.7

Tréf 
0.07X CO2 0.058 1 X CO2 X H2 O 0.1X H 2O 
  


T
 


0.6
0.7
0.82

Tréf 
Tréf 
Tréf  

0.075XCO2   0.06 1 XCO2 X H 2O   0.12 X H 2O   

T 
T 
T  




(II.80)
(II.81)
Où les X CO2 , X CO et X H 2O représentent respectivement les fractions volumiques (ou molaires)
du dioxyde de carbone, de monoxyde de carbone et de la vapeur d’eau présents dans l’air étudié.
Les grandeurs de références sont : P ref = 1 atm et Tref = 296 K. [13]
43
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Connaissant la fraction volumique de la vapeur d’eau, le taux de présence des autres éléments
sera donné par les relations [14]:
X CO2 3.22 10
X CO 1.9 10
1 X 
1 X 
4
7
(II.82)
H2 O
(II.83)
H2 O
II.4.2.2.2. Validation du modèle SNB
Pour valider notre code de calcul, nous avons utilisé les données des travaux de Soufiani
et Taine [32] sur l’étude de quelques mélanges gazeux, comme références. L’intérêt est de
retrouver plusieurs transmittances pour des mélanges différents de N2-CO2 et N2-H2O
Le premier mélange est constitué de H2O et de N2, où la fraction volumique de H2O est de 0,5,
la température de 1000 K, la pression de 1 atm et l’épaisseur de milieu gazeux est de 0,5 m. Le
résultat obtenu pour ce cas est illustré sur la figure ci-dessous (Fig. II.26).
1,0
Transmittance [-]
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2000
4000
6000
8000
-1
Nombre d'onde [cm ]
Fig. II.26 : Transmittances d’un mélange gazeux H2O et N2
Les différentes positions des pics d’absorption de la vapeur d’eau sont :
1. Nombre d’onde : 7500 cm−1 ou longueur d’onde : 1,33 µm ;
2. Nombre d’onde : 5350 cm−1 ou longueur d’onde : 1,87 µm ;
3. Nombre d’onde : 3760 cm−1 ou longueur d’onde : 2,66 µm ;
4. Nombre d’onde : 1600 cm−1 ou longueur d’onde : 6,3 µm ;
Le deuxième mélange est constitué de CO 2 et de N2, où la fraction volumique de CO2 est de
0,05, la température de 1000 K, la pression de 1 atm et l’épaisseur de milieu gazeux est de 0,5 m.
La transmittance est représentée sur la Figure II.27 ci-dessous.
44
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
1,0
Transmittance [-]
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2000
4000
6000
8000
10000
-1
Nombre d'onde [cm ]
Fig. II.27 : Transmittances d’un mélange gazeux CO2 et N2
Les différentes positions des pics d’absorption du dioxyde de carbone :
1. Nombre d’onde : 3700 cm−1 ou longueur d’onde : 2,7 µm,
2. Nombre d’onde : 2330 cm−1 ou longueur d’onde : 4,3 µm,
3. Nombre d’onde : 656 cm−1 ou longueur d’onde : 15,25 µm,
Le troisième mélange est constitué de CO et de N2 , où la fraction volumique de CO est de 0,05.
La température de 1000 K, la pression de 1 atm et l’épaisseur de milieu gazeux est de 0,5 m. La
transmittance est représentée sur la Figure II.28 ci-dessous.
1,1
1,0
Transmittance [-]
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
2000
4000
6000
8000
10000
-1
Nombre d'onde [cm ]
Fig. II.28 : Transmittances d’un mélange gazeux CO et N2
45
Transfert radiatif dans les milieux semi-transparents
Chapitre II
Les différentes positions des pics d’absorption du monoxyde de carbone :
1. Nombre d’onde : 2200 cm−1 ou longueur d’onde : 4,54 µm,
2. Nombre d’onde : 4240 cm−1 ou longueur d’onde : 2,36 µm,
Après comparaison de ces graphes avec ceux de la référence [32], nous pouvons conclure que
nos résultats sont en parfaite concordance.
II.4.3. Propriétés radiatives total du spray
Pour combiner les différents processus d’absorption au sein du rideau d’eau, le coefficient
d’absorption est calculé de la manière suivante :

k  k , goutte  X H 2O k , H 2O X CO 2 k ,CO 2 X CO k ,CO

(II.84)
L’absence de diffusion dans les gaz, à notre échelle, nous permet de garder comme coefficient de
diffusion global celui calculé par la théorie de Mie pour l’ensemble des gouttelettes dans le vide.
 , goutte
(II.85)
Le coefficient d’extinction du spray est :

 , goutte k , goutte  X H 2O k , H 2O X CO 2 k , CO 2 X CO k , CO

(II.86)
II.5. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons défini toutes les notions nécessaires à la compréhension du
sujet, plus quelques définitions et concepts en
rayonnement. Ainsi, nous avons présenté
l’équation du transfert radiatif sous ses deux formulations intégrales et différentielles. Comme
nous avons aussi introduit les différentes méthodes de calcul des propriétés radiatives du milieu
considéré. La théorie de Mie et le modèle SNB nous a permet de déterminer respectivement les
coefficients d’absorption et de diffusion (éventuellement la fonction de phase) pour les gouttes et
les gaz. De même, nous avons ainsi, dans cette deuxième partie, entièrement développé et
élaboré plusieurs programmes en langage Fortran permettant de calculer les propritées radiatves
d’une pulvérisation. Le problème radiatif sera traité par la méthode de Monte Carlo analogue qui
sera présentée dans le chapitre suivant.
46
Chapitre III
Résolution du Transfert Radiatif par la
Méthode de Monte Carlo
Sommaire
III.1. Méthodes numériques de résolution de l’ETR ……………………...……………….....46
III.2. Méthode de Monte Carlo (MMC)……………………………………...…………..…...48
III.3. Présentation de MMC par une approche analogue…………………...………………...49
III.4. Développement d'un algorithme analogue appliqué au rideau d'eau………………...…52
III.5. Validation du modèle radiatif……………………………………………………..……57
III.6. Caractérisation du rideau d'eau……………………………………………………........66
III.6.1. Influence de la taille des gouttes………………………...…………………….…..66
III.6.2. Influence de la densité de tuyères…………………………………………..…..….67
III.6.3. Influence de la densité de rampes…………………………..………………..…….69
III.7. Détermination d’une corrélation applicable au rideau d’eau……………………...…...70
III.8. Conclusion……………...…………………………………………………………..….73
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Chapitre III
Résolution du Transfert
Radiatif par la Méthode de
Monte Carlo
III.1. Méthodes Numériques de Résolution de l’ETR
De nombreuses méthodes de résolution numérique ont été développées pour
résoudre l’ETR [19]. Des hypothèses simplificatrices telle que la stationnarité
(régulièrement utilisée car les échanges radiatifs sont souvent beaucoup plus rapides
que les échanges par d’autres modes de transfert d’énergie), la non prise en compte de
certains phénomènes physiques ou la simplification des propriétés spectrales des
milieux de propagations permettent le développement de nouveaux modèles radiatifs
et de nouvelles méthodes numériques plus efficaces. Dans d’autres contextes tel que
l’étude des transferts radiatifs dans des systèmes en combustion, les phénomènes de
diffusions peuvent être négligés si les fractions volumiques et le diamètre des
particules en suspension dans le milieu sont faibles [35], [36] ce qui réduit très
significativement le niveau de difficulté.
Nous avons vu dans le précédent, chapitre II, que l’équation de transfert
radiatif peut être formulée sous une forme différentielle ou sous une forme intégrale.
46
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
A partir de cette observation, nous pouvons regrouper les méthodes permettant de
modéliser les transferts radiatifs en 4 classes [37,38]: les méthodes de type
différentiel, les méthodes de type intégral, les méthodes de type statistique et les
méthodes dites "hybrides". Cependant, il est à noter qu’une telle classification ne peut
être qu’indicative (de par la grande quantité de méthodes rencontrées dans la
littérature). Nous avons trouvé de nombreux tests dans la littérature comparant
différentes méthodes de résolution et discutant de leur efficacité pour un type de
problème radiatif précis [39,40,41,42], certaines méthodes pouvant être plus
particulièrement adaptées aux configurations testées. Il n’existe pas de comparaison
directe de l’ensemble des différentes méthodes existantes. On ne mentionnera ici que
les méthodes les plus communément utilisées.
Parmi les méthodes numériques résolvant l’ETR sous sa forme différentielle,
on peut citer les méthodes aux ordonnées discrètes (DOM) introduite par
Chandrasekhar [43]. Les DOM sont basées sur une discrétisation de l’espace des
directions et une discrétisation spatiale (type volumes finis) de l’ETR. Sa rapidité et sa
précision satisfaisante dans de nombreuses configurations [44] en font une des
méthodes les plus utilisées. On peut citer à titre d’exemples des travaux récents
associés à cette méthode [45] proposant des solutions effectives pour le couplage avec
des codes de dynamique des fluides. Cependant, la discrétisation angulaire reste un
problème sous certaines conditions induisant des erreurs numériques comme “l’effet
de rayon” [45]. Quant à la discrétisation spatiale, il est connu qu’elle induit de la
diffusion numérique. De plus, les DOM deviennent coûteuses en temps de calcul
lorsque l’on doit tenir compte de manière précise des propriétés spectrales des gaz, ou
des phénomènes de diffusion et de réflexions multiples.
On peut aussi citer la méthode aux harmoniques sphériques introduite par
Jeans [46] (pour l’étude des transferts radiatifs en astrophysique) ou méthode PN,
régulièrement utilisée pour résoudre l’ETR, qui est basée sur une décomposition en
harmoniques sphériques de la luminance. Le nombre N détermine l’ordre de
l’approximation. Le premier niveau d’approximation, P1, est couramment utilisé et
donne des résultats précis pour de fortes épaisseurs optiques. Les niveaux
d’approximations supérieurs permettent de traiter des milieux plus minces et de mieux
rendre compte des distributions angulaires à la paroi [42].
47
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Une autre catégorie de méthodes consiste à résoudre l’ETR sous sa forme
intégrale. Parmi celles-ci, la méthode du lancer de rayon est basée sur une
discrétisation de l’espace des directions [47]. Pour chaque direction, le principe
consiste à découper le rayon en segments supposés homogènes et isothermes pour
lesquels on calcule une transmitivité moyenne. Cette méthode devient rapidement
coûteuse en temps de calcul quand on considère les phénomènes de diffusions et de
réflexions multiples.
La méthode de Monte-Carlo fait partie de cette catégorie de méthodes
résolvant l’ETR sous sa forme intégrale que nous présentons maintenant.
III.2. Méthode de Monte Carlo (MMC)
La méthode de Monte Carlo a été largement utilisée pour la résolution de
l’ETR dans les années 70 (notamment par Siegel et Howell [48]), car elle fournit
des solutions pouvant atteindre le même niveau de précision que les méthodes
exactes. Un de ses atouts majeurs réside dans son adaptation aisée aux cas de
géométries complexes et de milieux non gris semi-transparents émissifs. La
méthode de Monte Carlo largement étudiée par Veach [49] dans le cas de
transport de lumière consiste en une simulation directe de la phénoménologie
liée au transfert radiatif, au moyen d’échantillonnages statistiques. L’énergie
radiative émise par le milieu ou par les frontières qui l’entourent, est simulée à
l’aide de rayons que l’on appelle par commodité "photons". Le principe de la
méthode consiste alors à suivre dans son parcours, chaque photon depuis
l’endroit où il est émis jusqu’au lieu où il est absorbé soit par le milieu, soit par
une surface, ou encore jusqu’à l’endroit d’où il sort du système énergétique
étudié et où il est éventuellement détecté.
La trajectoire de chaque photon est construite à partir de tirages aléatoires
reproduisant des densités de probabilité relatives aux particules considérées.
Chacune de ces densités de probabilité modélise une loi physique : distance
parcourue par le photon avant de rencontrer une particule, absorption par une
particule, direction de diffusion, réflexion,... Elles sont présentées comme une
48
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
suite d’événements élémentaires. Chaque événement doit être indépendant du
précédent.
Les résultats fournis par la méthode de Monte Carlo sont très précis à
condition de générer correctement les nombres aléatoires (importance capitale du
générateur aléatoire) et de prendre un nombre suffisamment grand d’événements
pour avoir une bonne statistique. La grande précision de cette méthode conduit à
la considérer comme une référence. Un de ces inconvénients majeurs est son
coût en temps de calcul. Cependant la puissance des machines ne cessant
d’augmenter, cet inconvénient s’estompe progressivement.
Nous choisissons dans cette présentation de MMC de distinguer deux
approches différentes :
1. Une approche analogue consiste à considérer MMC comme une méthode de
simulation numérique de phénomènes statistiques.
2. Une approche intégrale consiste à considérer MMC comme une méthode
numérique de calcul intégral. Cette approche a donc comme préalable la
proposition d’une formulation intégrale pour chaque grandeur physique
étudiée.
III.3. Présentation de MMC par une Approche Analogue
L’approche analogue, qui nous s’intéresse, est souvent mise en avant dans la
littérature concernant la simulation numérique des transferts radiatifs par MMC.
Les méthodes de Monte-Carlo dites analogues consistent à reconstruire
cette statistique par la simulation d’un grand nombre de trajectoires de particules
dans le système considéré. On peut décrire cette approche selon les étapes
suivantes :
Etape 1 :
Un photon est émis d’un point de la source, dans une direction tirée aléatoirement
selon une indicatrice d’émission. Le photon est associé à un quantum d’énergie. Il est
ur
ur
représenté par deux vecteurs, un pour sa position x et l’autre pour sa direction . Si
besoin, on propage le photon jusqu’au milieu diffusant.
49
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
a. Générations pseudo-aléatoires d’une variable aléatoire
La simulation de la trajectoire optique d’un photon est fonction des probabilités
d’occurrence des divers évènements pouvant intervenir dans le système (comme
l’émission, l’absorption ou des diffusions de photons). Chaque évènement est généré
aléatoirement selon une densité de probabilité. Cette génération aléatoire s’effectue
selon un processus numérique permettant de simuler une suite de nombre aléatoire
distribués uniformément sur un intervalle donné (dans notre cas, nous nous
intéressons à des générateurs aléatoires sur l’intervalle [0, 1]). Cette suite de nombres
est dite pseudo-aléatoire puisque divers algorithmes mathématiques permettent de
“simuler le hasard”.
b. Localisation du point de départ
La position du point de départ (x,y,z) est liée aux nombres aléatoires R1 , R2 , R3 par:
x x 0 R 1x
(III.1)
y y 0 R 2 y
(III.2)
z z 0 R 3z
(III.3)
Où:
x : Point de localisation de la zone de volume (sens X)
y : Point de localisation de la zone de volume (sens Y)
z : Point de localisation de la zone de volume (sens Z)
x : Dimension de la zone selon X
y : Dimension de la zone selon Y
z : Dimension de la zone selon Z
c. Direction de l'émission
Si le point d'émission est situé sur une surface, alors l'angle polaire est lié à un
nombre aléatoire R 4 par :
sin 2 ( ) R 4
(III.4)
Si le point d'émission est à l'intérieur d'un volume, alors l'angle polaire  est lié à un
nombre aléatoire R 5 par :
cos( ) 1 2R 5
(III.5)
L'angle plan  est le même que ce soit pour l'émission à partir d'une surface ou d'un
volume, il est lié à un nombre aléatoire R 6 par :
50
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
2R 6
Chapitre III
(III.6)
Etape 2 :
Suivi d’un photon dans le milieu de propagation : Une fois que la direction de
propagation du photon est connue, il faut déterminer une position d’extinction l
suivant la loi d’atténuation exponentielle de Beer-Lambert. Cette position définie par
son abscisse curviligne notée l le long du de la trajectoire optique est générée
aléatoirement selon la densité de probabilité :
(ln( R 7 ))
l

(III.7)
Où k est le coefficient d’extinction.
Etape 3 :
On calcule la nouvelle position du photon à partir de sa position précédente, de sa
direction et de la distance l et on effectue un premier test :
 si le photon est à l’extérieur du milieu, on applique un test pour savoir si
le photon est détecté ou pas; puis on passe au photon suivant (retour
en1).
 si le photon est toujours à l’intérieur du milieu, il reste à savoir si cette
extinction a lieu par absorption ou par diffusion.
Etape 4 :
On détermine si le photon est diffusé ou absorbé. La probabilité pour un photon d’être

absorbé par une particule est l’albédo de diffusion 
.On génère alors
k
aléatoirement un nombre R  
0,1
.
 Si R  > ωalors l’
extinction a lieu par absorption. Dans ce cas, le photon
n’est pas transmis et on passe à la simulation de la trajectoire optique
d’un autre photon.
 Si R < ω alors l’
extinction a lieu par diffusion et on passe au tirage
aléatoire d’une direction de diffusion.
Etape 5 :
On détermine alors une nouvelle direction de propagation pour le photon, en tirant les
51
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
angles de diffusion θet  d’après la fonction de phase. Après, on tire aléatoirement
une nouvelle position d’extinction de la même manière que précédemment.
Etape 6 :
Ces opérations sont répétées pour un grand nombre de photons afin d’assurer la
convergence du calcul.
III.4. Développement d'un Algorithme Analogue Appliqué au Rideau d'Eau
Le milieu à étudier est un MST, non gris, isotherme, absorbant et diffusant
d’une manière fortement anisotrope placé entre deux parois noires de dimensions
infinies. L’hypothèse d’unidimensionnalité est adoptée. La configuration étudiée est
décrite figure III.1. L’objectif est de calculer le rapport entre le flux traversé à P2 et le
flux émis par la paroi P1, ainsi, on peut calculer la répartition de la température dans
le rideau on connaissant l’énergie absorbé dans ce dernier. Pour cela, nous divisons le
milieu en i max tranches de même largeur x .
P1
P2
l

x0 =0
x xi
L
x
Fig. III.1 : Schéma représentant lame de MST
Algorithme
L’algorithme consiste à calculer en premier temps la transmittance moyenne
du gaz par le modèle SNB, après une simulation de Monte Carlo est performé à fin de
calculer la transmittance moyenne des gouttes. La transmittance moyenne globale du
gaz sur une bande spectrale est calculée comme le produit des transmittances des
espèces prises individuellement
Tgaz , TH2 O,* TCO2 ,* TCO,
(III.8)
52
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
La méthode de Monte Carlo décrite est détaillée par les étapes suivantes:
1- On choisit le point d’émission x0 0 : Le parcours du quantum débute en P1 ;
2- On fixe N le nombre de paquets de photons à émettre ;
3- On choisit la direction d’émission : L’angle d’émission est déjà définit par
l’équation III.9.
1
arcsin( R6 2 )
(III.9)
4- Détermination des propriétés radiatives des gouttes ;
5- Détermination de la longueur du parcours dans le rideau avant extinction : Après
son émission, chaque paquet de photons va parcourir une distance l dans le MST
avant extinction par celui-ci. On considèrera que l’extinction a lieu dans un
volume élémentaire V du gaz ayant la forme d’une couche de MST plane et
isotherme d’épaisseur x , parallèle aux plans P 1 et P2 et distante de P 1 d’une
abscisse x , où x et l sont liées par la relation :
ln R
l  l

(III.10)
et
cos
x x 0 l cos x 0 
ln R l

(III.11)
6- Evaluation de la position d’arrivée du paquet de photons et vérification si le
paquet de photons est absorbé par les parois du système ou par le MST. On
affectera un compteur à chaque surface limite.
7- Dans le cas où la longueur obtenue se trouve dans le MST, il faut vérifier si le
paquet de photons est absorbé ou diffusé. Dans le cas ou le milieu est purement
absorbant, l’histoire du paquet s’arrête. Si en plus il y a diffusion, il faut vérifier
si le paquet incident est absorbé ou diffusé (on comparant R et ω). En cas de
diffusion, on doit tirer à partir de ce point, une nouvelle direction respectant la
fonction de phase normalisée et une nouvelle longueur.
Le numéro d’ordre i de la couche élémentaire où a lieu l’absorption du paquet
de photons est fournie par :
x 
i P.E  1
x 
(III.12)
53
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
P.E : est la “partie entière de“
8- On affecte un compteur Ni à chaque couche élémentaire i. Ce compteur sert à
totaliser le nombre de paquet de photons absorbés dans cette couche. L’histoire
de paquets de photons émis se termine lorsqu’il y a absorption par l’un des
éléments. Sinon le paquet de photons atteint l’un des deux plans noirs où il est
absorbé. Cela se produit si x L ou x 0 . On incrémente alors d’une unité un
compteur N p1 et N P2 . Un nouveau paquet de photons est alors émis par le même
élément que le précédent, lorsque les N paquets de photons ont été émis, on
passe à l’élément d’émission suivant.
9- Calcul de la transmittance totale des gouttelettes d’eau dans le milieu pour une
longueur d’onde donnée.
10- Calcul de la transmittance totale moyenne du milieu (gouttelettes d’eau +gaz)
pour une longueur d’onde donné.
Trideau , Tgoutelettes ,* Tgaz ,
(III.13)
54
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
L’organigramme ci-dessous, montre les différentes étapes du calcul.
DEBUT
Lecture des données:
XH2O , XCO2, XCO, L, R, C, D32, Imax,
N, P, T
Détermination de la
transmittance
spectrale totale du
gaz pour chaque
longueur d'onde :
on fait appel au
soubroutine SNB
Modèle SNB :
Détermination de la transmittance totale du gaz
pour chaque longueur d'onde :
T gaz=TH2O* T CO2* T CO
Détermination de la transmittance du l'eau pour
chaque longueur d'onde:
WN=6475, WN min=800cm-1
WN= WN-25
Variation de la
longueur d’onde de
1,55 à 12,5 avec un
pas de (1 /25)
Est-ce que la
longueur d’onde
est
comprise
entre 1,55 et
12,5 (1 /25)
OUI
WN< WNmin
NON
Initialisation des compteurs:
Nj =0 (J=1, Imax)
n = 0, Np2=NP1 = 0
Emission d’un
nouveau
quantum par la
surface P1
n=n+1
Est-ce que tous
les
quanta
prévus ont déjà
été émis ?
OUI
n> N
NON
2
3
55
1
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
2
3
Le
parcours
du
quantum débute en P1
X0 = 0
Choix d’un R θ
θ= arcsin
Détermination de la
direction d’émission à
partir de P1
(Rθ1/2)
Calcul de : Albédo, 
Détermination
des
propriétés
radiatives
des gouttes: on fait
appel au soubroutine
water1
Choix d’un R l
Détermination de la
longueur du parcours
dans le rideau avant
extinction.
X=X0-cos (θ
)*ln (R l) / 
OUI
Np 2=Np2+1
X> L
Décompte des
quanta
NON
OUI
X< 0
Np1=Np 1+1
NON
Choix d’un Rw
OUI
Rw < Albedo
i = PE(X/Dx) + 1
Ni = Ni + 1
NON
5
4
56
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
4
5
1
X0 =X
Choix d’un R θ
Normalisation de la fonction de phase
Détermination de θcorrespondantes à Rθ
* on fait appel au soubroutine water
Impression des Résultats
T water= Np2/N
Trideau= Twater*Tgaz
FIN
Fig. III.2 : organigramme de calcul des Transmittances spectrales d’un rideau d’eau
III.5. Validation du Modèle Radiatif
Afin de valider notre modèle radiatif, nous avons suivi les étapes de référence
[50]. Une première validation a été effectuée, examinant la capacité du code actuel à
simuler la transmitance d'un spray en fonction de la longueur d'onde. Des
comparaisons ont été effectuées avec des données expérimentales de Dembélé [15].
Les conditions numériques sont les suivantes: le spray est désigné comme TG03-1bar
est décrit dans la référence mentionnée ci-dessus, le diamètres des gouttelettes variant
entre 15 et 170 µm, avec un diamètre moyen de Sauter (D32) calculé de 100,4 µm et
une concentration calculée de gouttelette de 8,28x10-6 m 3 de gouttelettes/m3 d'air, la
température et l’humidité à l'intérieur du spray sont 300K et 60% respectivement. Les
fractions volumiques de H2O et CO 2 ont été fixées à 2,11x10-2 et 2,93x10 -4 m3 de
gaz/m3 d'air respectivement. L’épaisseur du spray est de 0.24m. Les résultats prévus
sont la transmitance spectrale directionnelle T  dans la direction d'incidence. Cette
dernière est calculée comme le rapport entre les intensités sortantes et entrantes. Par la
57
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
suite, l'intégration de toute la gamme de longueurs d'onde apporterait toute la
transmitance moyenne du spray.
Flux spectral transmis
T 
Flux spectral incident
(III.13)
Les résultats sont présentés dans la gamme spectrale [1,5 à 12,5 µm]
correspondant à la partie principale du rayonnement entrant, où les résultats
expérimentaux sont disponibles pour permettre une comparaison. La figure III.3
présente une comparaison entre les données expérimentale de Dembélé [15], et notre
modèle radiatif avec une discrétisation spectrale de 367 bandes. Noter que la courbe
expérimentale a été reconstruite en utilisant les figures de la référence [50], qui peut
induire quelques erreurs. On remarque que les deux courbes se superposent et suivent
la même allure.
1,00
0,95
0,90
0,85
T [-]
0,80
0,75
0,70
0,65
Modèle radiatif (N= 100000)
Courbe expérimentale
0,60
0,55
0,50
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.3: Transmitance spectrale d’une tuyère TG03-1bar : comparaison entre les
données expérimentale de Dembélé [15], et notre modèle.
Les piques d’absorption d’ H2O (à 2,7 µm et autour de 6,5 µm) et de CO 2 (à
4,3 µm) sont reproduits. On peut observer de petites variations locales dans les
intensités maximales mais le résultat reste très satisfaisant. Une transmitance
58
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
moyenne de 91,74% a été obtenue numériquement, intégrant les résultats spectraux
entre 1.5 et 12,5 µm, alors qu’une valeur de 92,04% a été citée dans l'étude
expérimentale. Ces résultats sont très satisfaisants en tenant compte des incertitudes
possibles dues, par exemple, à la distribution exacte des gouttelettes ou la
reproduction numériques des données expérimentales.
Un deuxième essai a été réalisé dans des conditions semblables mais avec un
deuxième spray désigné comme TG03-3bar, le diamètre des gouttelettes variant entre
20 et 250 µm, avec un diamètre moyen de Sauter (D32) calculé de 101,2 µm et une
concentration calculée de gouttelette de 24,4x10-6m3 de gouttelettes/m3 d'air. Les
fractions volumiques de H2O et CO 2 ont été fixées à 2,11x10 -2 et 2,93x10-4 m3 de
gaz/m3 d'air respectivement. Les résultats sont représentés sur figure III.4. On peut
remarquer que les données expérimentales sont bien reproduites par la simulation
numérique.
1,00
Modèle radiatif (N= 100000)
Courbe expérimentale
0,95
0,90
0,85
T [-]
0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
0,50
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.4 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : comparaison entre les
données expérimentale de Dembélé [15], et notre modèle.
59
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
En fait, l'augmentation de la pression favorise la formation des petites
gouttelettes avec une concentration plus élevée. De petites gouttelettes sont connues
pour augmenter les capacités de diffusion du spray avec une diminution du pic de
diffusion vers l’avant. De plus, l'augmentation de la concentration impose également
l'extinction du rayonnement. Ces caractéristiques sont clairement montrées ici. La
transmitance moyenne prévu est 82,42%, avec la discrétisation spectrale à 367
bandes, tandis que la valeur expérimentale indiquée dans [15] était 82.72%. Ceci
confirme l'exactitude de la prévision.
Les deux essais précédents démontrent que notre modèle radiatif peut être
utilisé comme un modèle unidimensionnel de référence, qui permet de prévoir
exactement les mêmes caractéristiques de transmitance du spray dans d’autres
conditions d’essai.
Les figures III.5 et III.6 présentent les transmittances spectrales d’une tuyère
TGO3-1bar et TGO3-3bar pour des monodispersions de différentes diamètres
moyens, et une polydispersion réelle.
0,95
0,90
T [-]
0,85
Polydispersion
D10
D20
D30
D21
D31
D32
0,80
0,75
0,70
0,65
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.5 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : comparaison entre
des monodispersions de différentes diamètres moyens, et une polydispersion.
60
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
0,90
0,85
T [-]
0,80
0,75
Polydispersion
D10
D20
D30
D21
D31
D32
0,70
0,65
0,60
0,55
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.6: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar :
comparaison entre des monodispersions de différentes diamètres
moyens, et une polydispersion.
Les résultats présentés sur des figues III.5 et III.6 prouvent que l'utilisation de
D32 pour caractériser la distribution réelle donne des très bons résultats, au moment où
les autres valeurs moyennes sont moins satisfaisantes. L'erreur entre la distribution
réelle et ceux obtenues en utilisant D32 est égale à 0.04% dans le cas de 1bar et 0.17%
dans le cas de 3 bar. Par comparaison, L'erreur induit avec l'utilisation de D10 dans les
mêmes conditions était plus grande de 1,88 et 7,55, respectivement. Le gain en temps
de calcul avec D32 peut être vraiment important, puisque les propriétés radiatives
basées sur la théorie de Mie doivent être calculées une fois, au lieu d'une fois pour
chaque classe de taille. En dépit de ça, l'exactitude dans la prévision de la
transmitance demeure satisfaisante. Il n’est pas recommandé vraiment une telle
approche, cependant la taille de la distribution est une source importante
d’information. Dans la perspective d'un modèle complet comportant la simulation de
la dynamique, la taille de la gouttelette sera par exemple un paramètre principal car la
réponse de la gouttelette à l'écoulement change fortement selon leur inertie (et donc
leur taille). [50]
61
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Afin de déterminer le nombre de paquète N optimum en terme de précision et
temps de calcule. Les figures III.7 et III.8 représentes les transmittances spectrales
d’une tuyère TGO3-1bar et TGO3-3bar pour différentes valeurs du nombre de
paquette N à envoyer. On remarque que a partir de N=10000, les résultats sont
satisfaisantes.
1,00
0,95
T [-]
0,90
N 1000
N 10000
N 100000
N 1000000
N 10000000
N 100000000
0,85
0,80
0,75
0,70
0,65
2
4
6
8
10
12


m 
Fig. III.7: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar pour différentes valeurs de N
0,95
0,90
0,85
T [-]
0,80
N1000
N10000
N100000
N1000000
N10000000
N100000000
0,75
0,70
0,65
0,60
0,55
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.8: Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-7bar pour différentes valeurs de N
62
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Le graphe (Fig. III.9) ci-dessous permet de déduire la relation entre le temps
d’exécution en seconde et le nombre de paquette N à envoyer :
Temps d'exécution (seconde)
14000
TG03-1bar
TG03-3bar
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
-2000
1000
10000
100000
1000000
1E7
1E8
N
Fig. III.9: Temps d’exécution en seconde et le nombre de paquette N à envoyer
T éxe a* ( 1 - e -b* N )
Avec :
a 93057.46558 et
seconde 
(III.14)
b=1.3827E-9
Les figures III.10 et III.11 représentent l’influence de l’approximation par le
modèle Henyey-Greenstein avec un facteur d’asymétrie (g=0,8) pour les deux types
de polydispersions TG03-1bar et TG03-3bar. Des erreurs négligeable sont induites
lors de l’approximation avec un gain de temps de calcul de 56 fois (12 seconde lors de
l’approximation par le modèle d'Henyey-Greenstein, 666 seconde par la fonction de
phase de Mie, 52 fois (13 seconde lors de l’approximation par le modèle d'HenyeyGreenstein, et 671 seconde par la fonction de phase de Mie.
63
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
1,0
0,9
T [- ]
0,8
0,7
Modèle D'henyey-Greenstein (g=0,8)
Fonction de Phase de Mie
0,6
0,5
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.10 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : comparaison entre
l’approximation par le modèle Henyey-Greenstein et la fonction de phase de Mie.
0,9
T  [ -]
0,8
0,7
0,6
Modèle D'henyey-Greenstein (g=0,8)
Fonction de Phase de Mie
0,5
2
4
6
8
10
12



m
Fig. III.11 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : comparaison entre
l’approximation par le modèle Henyey-Greenstein et la fonction de phase de Mie.
64
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Les figues III.12 et III-13 représentent le flux incident spectrale d’un corps
noir à T=1300K et le flux sortant après atténuation par des tuyères TGO3-1bar et
TGO3-3bar avec les mêmes données précédentes. L’allure particulière de la courbe de
flux sortant est due principalement à la variation de l’indice complexe de l’eau. La
contribution de la phase gazeuse provient essentiellement de la vapeur d’eau issue du
phénomène d’évaporation des gouttelettes.
8
7
C o n trib u tio n
F lu x In cid e n t
F lu x S o rtan t (G o utte lle te + G a z)
F lu x S o rtan t (G o utte lle te )
2
I [kW/m .µm]
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12


µm 
Fig. III.12 : atténuation spectrale d’une tuyère TGO3-1bar
8
7
C ontribution
Flux Incident
Flux Sortant (G outtellete +G az)
Flux Sortant (G outtellete)
6
2
I[kW/m .µm]
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12


µm 
Fig. III.13 : atténuation spectrale d’une tuyère TGO3-3bar
65
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
III.6. Caractérisation du Rideau d'Eau
III.6.1. Influence de la taille des gouttes
Maintenant traitons la capacité réelle du spray à atténuer le rayonnement
thermique. Dans la section précédente, on a observé des niveaux de transmittance
relativement élevés (supérieure à 80% dans le cas TG03-3bar). Une des façons
d'augmenter les capacités d'atténuation est de diminuer la taille des gouttelettes. Les
courbes de la transmittance représentées sur les figures III.14 et III.15 mettent en
évidence les résultats obtenus par le calcul des efficacités des gouttes utilisant la
théorie de Mie. L’étude de ces courbes montre que l’atténuation du rayonnement par
diffusion (gouttelettes fines,
d=10µm) est plus importante que par absorption
(grandes gouttelettes, d=200µm). La transmittance de la polydispersion se situe entre
les deux extrêmes que sont les monodispersions à 10µm et 200µm.
1,0
0,9
T  [-]
0,8
0,7
d=10µm
d=20µm
d=50µm
TG03-01bar
d=200µm
0,6
0,5
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.14 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la taille des gouttes.
66
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
1,0
0,9
0,8
0,7
T [-]
0,6
0,5
0,4
0,3
d=10µm
d=20µm
d=50µm
TG03-03bar
d=200µm
0,2
0,1
0,0
2
4
6
8
10
12




m
Fig. III.15 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la taille des
gouttes.
III.6.2. Influence de la densité de tuyères
Une deuxième manière d'améliorer l'atténuation de rayonnement est
d'augmenter la concentration de gouttelette. Les simulations réalisés sur les cas TG031bar et TG03-3bar sont présentés sur des figures III.16 et III.17 respectivement. Ces
figures représentent des courbes de transmitance pour différentes densités de tuyères
sur une seule rampe, il correspond à une densité de buses de 4.2, 8.3, 16.6 et 33.3
buses par mètre. Il est possible de noter que la transmitance moyenne diminue avec
la densité de tuyères, ce qui augmente l'efficacité de notre rideau d'eau. La raison est
l’augmentation de la fraction volumique des gouttelettes, ce qui agit sur le niveau
moyen de la transmittance.
67
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
1,0
0,8

T [-]
0,9
0,7
4.2 spray nozzles/m
8.3 spray nozzles/m
16.6 spray nozzles/m
33.3 spray nozzles/m
0,6
2
4
6
8
10
12


m 
Fig. III.16 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la densité de tuyères.
T [-]
1,0
0,8
sans spray
4.2 spray nozzles/m
8.3 spray nozzles/m
16.6 spray nozzles/m
33.3 spray nozzles/m
0,6
2
4
6


m
8
10
12
Fig. III.17 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la densité de tuyères.
68
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
III.6.3. Influence de la densité de rampes
La troisième manière d'améliorer l'atténuation de rayonnement est
d'augmenter l’épaisseur de rideau. Les simulations réalisés sur les cas TG03-1bar et
TG03-3bar sont présentés sur des figures III.18 et III.19 respectivement. Ces figures
représentent des courbes de transmittance pour différentes densités de rampes 1, 2, 3
et 4 rampes correspond à des épaisseurs de 0.24, 0.48, 0.72 et 0.96m respectivement.
Il est possible de noter que la transmittance moyenne diminue avec la densité de
rampes, ce qui augmente l'efficacité de notre rideau d'eau.
1,0
0,9
T [-]
0,8
0,7
0,6
L=0.24m
L=0.48m
L=0.72m
L= 0.96m
0,5
0,4
2
4
6



m
8
10
12
Fig. III.18 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-1bar : Influence de la densité de rampes.
69
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
0,9
0,8
T [-]
0,7
0,6
0,5
L=0.24m
L=0.48m
L=0.72m
L= 0.96m
0,4
0,3
0,2
2
4
6
8
10
12


m
Fig. III.19 : Transmitance spectrale d’une tuyère TGO3-3bar : Influence de la densité de rampes.
III.7. Détermination d’une Corrélation Applicable au Rideau d’Eau
Cette corrélation permet de calculer précisément la transmittance moyenne à
travers un rideau d’eau d’épaisseur x (m) avec un diamètre moyen de gouttes d en
(µm) et une concentration C :
Tr ,moy A B 
EX P (K 
x)
(III.15)
Avec :
A A 1 B 1 
EX P ( K 1 
C)
(III.16)
B A 2 B 2 
C C 2 
C 2 D 2 
C3
(III.17)
K A 3 B 3 
C
(III.18)
70
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Détermination des coefficients de A :
A 1 5,9153 
10 
d
-7
1.93724
B 1 0,05049 0,00097 
d 0.00001 
d 2 3,6678 
10 -8 
d3
K 1 280070,36363 440742,10224 0,99482d
Détermination des coefficients de B :
A 2 0.93004 0.00046d - 0.00002d 5.8404.10 d
2
-8
3
B 2 151123,57233 242740,56842 
0,99086d
C 2  -29886137732,83847 32430741670,51099 
0,99603
d
D 2 6,6059 
1013 347500970849,22516 
d 38594612241,03359 
d 2 127139411,8307 
d3
Détermination des coefficients de K :
A 3 0,22321 1,60198 
EX P ( 
0,04811 
d)
B 3 3811,14231 54288,6454 EX P (0, 0106 d )
Validation de la corrélation avec les données expérimentale de Dembélé
TG03-1 bar
TG03-3 bar
D32 (µm)
C (m3 /m3 )
Epaisseur (m)
101,2
100,4
24,4 .10-6
8,28.10-6
0,24
0,24
T moy
(corrélation) %
92,88%
82,71
T moy
(expérimental) %
92,04%
82.72%
Tableau III.1 : Validation de la corrélation avec les données expérimentale de Dembélé
Cette corrélation est valable pour les hypothèses imposées au
début de
travail ; Afin de rendre cette corrélation plus pratique (pour réaliser des rideaux d’eau
avec des tuyères de type TG03), les simplifications suivantes sont introduites en
fonction du nombre de rampes n et des sprays nozzles (buses) m à placer pour
atteindre un niveau d’atténuation donné :
71
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
Tr ,moy A B 
EX P (0, 24 
K
n)
(III.19)
Avec :
n est le nombre de rampes ; (n=1,2,3…….)
m est le nombre de spray nozzles/m ; (m=1,2,3…….)
A A 1 B 1 
EXP ( K 1 
Cm)
B A 2 B 2 
C m C 2 
C m 2 D 2 
C m3
K A 3 B 3 
Cm
C m m 
C
Coefficients de A :
TG03-1 bar
TG03-3 bar
A1
B1
K1
0,00446494
0,00453412
0,2115597
0,2130541
54172,7824
54064,2953
Coefficients de B :
TG03-1 bar
TG03-3 bar
A2
B2
C2
D2
0,8337
0,8323
5456,8085
5527,4747
-81337073,6206
-82028205,5160
361317940762,659
364720004735,042
A3
B3
C
0,236
0,236
22540,2203
22382,0693
24,4 .10-6
8,28.10-6
Coefficients de K et Cm :
TG03-1 bar
TG03-3 bar
Remarque : Pour un rideau d’eau réalisé avec une combinaison de rampes déférentes,
la transmittance totale du rideau est le produit des transmittances de chaque rampe.
72
Résolution du Transfert Radiatif par la Méthode de Monte Carlo
Chapitre III
III.8. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons développé un algorithme de résolution du
problème radiatif par la méthode de Monte Carlo Analogue. Pour valider ce
travail, on a appliqué l'algorithme à des problèmes tests et on a comparé nos
résultats avec les données expérimentales de Dembélé [15]. Une étude de sensibilité
est également menée pour tester l’influence de différents paramètres sur l’atténuation
du rayonnement, afin de mieux optimiser des dispositifs de protection plus efficace.
Cet algorithme nous permet maintenant de traiter un problème réel lié au
dimensionnement d’un rideau d’eau pour la protection des bacs de stockage des
hydrocarbures contre les incendies, ce que nous présenterons au chapitre suivant.
73
Chapitre IV
Application des rideaux d’eau pour la
Protection des bacs de stockage des
hydrocarbures
Sommaire
IV.I. Introduction……….………………...…………………………………………………..74
IV.2. Equipements de sécurité sur un bac de stockage……………...………………………..74
IV.3. Modélisation des effets thermiques……………………………...…….……………….75
IV.4. Dimensionnement du Rideau d’eau…………………………….....……………………76
IV.5. Conclusion……………...…………………………………………...………………....79
Protection d'une Installation
Chapitre IV
Chapitre IV
Application des rideaux
d’eau pour la Protection
des bacs de stockage des
hydrocarbures
IV.1. Introduction
Le 4 octobre 2005 à 10h00, un incendie s’est déclaré sur le bac de pétrole brut
S106 au terminal de stockage de Skikda. L’incendie s’est répandu plus tard au bac
S105 adjacent. Il fut complètement circonscrit le 12 octobre et les deux bacs furent
totalement détruits. Le bilan des pertes humaines s’est élevé à deux fatalités.
Les mesures de sécurité sur le bac S105 ne comportent qu’une couronne
eau/mousse pour refroidir et éteindre le feu. La présence d’un bouclier thermique bien
dimensionné constitué par un rideau d’eau aurait pu empêcher la propagation du
rayonnement issu des flammes du bac S106.
Cette partie de notre travail sera consacré au dimensionnement d’un rideau
d’eau constitué de plusieurs rampes pour la mitigation des conséquences des feux
des bacs de stockage qui représentent une grande inquiétude en matière de sécurité
dans l’industrie pétrochimique et gazière.
74
Protection d'une Installation
Chapitre IV
IV.2. Equipements de Sécurité sur un Bac de Stockage
Les bacs de stockage sont conçus pour résister à des contraintes mécaniques
importantes, liées notamment au lieu d’implantation du réservoir et à la nature du
produit stocké, ces stockages peuvent être particulièrement fragilisés, en cas
d’exposition à une agression thermique extérieure (rayonnement, feu de torche
direct…).
A fin de faire face à ces risques, des mesures de prévention et de protection équipant
chaque bac de stockage des hydrocarbures sont mise en place et sont représentées sur
la figure IV.1:
Équipements de sécurité sur les bacs
Fig. IV.1 : Equipements de sécurité sur un bac de stockage [33]
IV.3. Modélisation des Effets Thermiques
Dans la littérature on trouve plusieurs modèles pour caractériser le
rayonnement issu des feux d’incendie en fonction de la température de la flamme.
On peut ainsi exprimer la densité de flux émise par la flamme par :
0 F
Avec
(IV.1)
Φ: énergie surfacique reçue par un élément par unité de temps (W/m²)
F : facteur de vue entre l’élément extérieur et la flamme.
τ: transmittance dans l’air (on considère  1 ).
Φ0 : pouvoir émissif de la flamme (W/m²)
75
Protection d'une Installation
Chapitre IV
Il est difficile de donner des valeurs universelles à ces paramètres pour
différents types de feux. Cependant les valeurs typiques des densités de flux reçus par
la cible, de 30 à 50kw/m 2 sont souvent retenues pour les feux de nappes et 200300kW/m2 pour les feux de jet [53].
Le tableau IV.1 illustre les données typiques pour les feux de GPL et GNL.
FACTEUR (F)
0 [kW/m2]
Température de flamme [0C]
GNL (feu de nappe)
0,15
200
1300
GNL (feu de jet)
0,20
200
1600
GPL (feu de nappe)
0,15
150
1300
GPL (feu de jet)
0,20
150
1550
Tableau IV.1 Donnée typique pour des feux de GPL et GNL
Le cas des réservoirs d’hydrocarbures est ici traité de façon spécifique. En effet, nous
disposons de données issues d’auteurs proposant des distances minimales de
séparation entre ces équipements. On pourra retenir les ordres de grandeur affichés
dans le tableau IV.2.
Flux thermique (KW/m2)
Entrepôts de pétrole
Propagation probable de l’incendie même
dans le cas de refroidissement des
36
réservoirs menés
Propagation
improbable
lorsque
le
refroidissement est suffisant ,c'est-à-dire
Si le maintien de l’équilibre thermique est
12
assuré
Propagation improbable du feu sans
8
mesure de protection particulière.
Tableau IV.2 : Estimation du risque incendie dans le cas des entrepôts de pétrole [54]
Afin de mieux comprendre ce que représentent ces flux thermique, voici quelques
exemples de valeurs de références relatives aux seuils d’effets thermiques. (D’après
76
Protection d'une Installation
Chapitre IV
l’arrêté du 22 octobre 2004 de la république française relatif aux valeurs de référence
de seuils d’effets des phénomènes accidentels des installations classées.) [55]
Pour les effets sur les structures
 5 kW/m², seuil des destructions de vitres significatives ;
 8 kW/m², seuil des effets domino et correspondant au seuil de dégâts graves
sur les structures ;
 16 kW/m², seuil d'exposition prolongée des structures et correspondant au
seuil des dégâts très graves sur les structures, hors structures béton ;
 20 kW/m², seuil de tenue du béton pendant plusieurs heures et correspondant
au seuil des dégâts très graves sur les structures béton ;
 200 kW/m², seuil de ruine du béton en quelques dizaines de minutes.
Pour les effets sur l'homme
 3 kW/m², seuil des effets irréversibles correspondant à la zone des dangers
significatifs pour la vie humaine ;
 5 kW/m², seuil des premiers effets létaux correspondant à la zone des dangers
graves pour la vie humaine ;
 8 kW/m², seuil des effets létaux significatifs correspondant à la zone des
dangers très graves pour la vie humaine.
Fig. IV.2. Seuils d’effets thermiques
77
Protection d'une Installation
Chapitre IV
IV.4. Dimensionnement du Rideau d’Eau
Dans cette partie de dimensionnement, le scénario suivant a été choisi : Un bac de
stockage de 20 m de hauteur et d'un diamètre extérieur de 20 m, reçoit un flux de
chaleur de 40 kW/m 2 d'un feu à 1600K correspondant au plus grand flux qui peut être
généré par un feu d’hydrocarbure (voir Tableau IV.1).
Pour protéger l'intégrité totale du bac, le flux thermique reçu par la surface latérale du
bac doit être réduit à une valeur minimum inferieure à 3 kW/m² correspondant à la
zone des dangers significatifs pour la vie humaine. La température et l’humidité
relative du milieu sont constantes et fixées respectivement à 300K et 60%.
L’étude réalisée par Buchlin [9] montre l’applicabilité des rideaux d’eau comme un
dispositif de protection des bacs de stockage. La simulation sur un rideau d’eau placé
sur une hauteur de 10m montre qu'avant 4m et au-delà de 8m de hauteur, le rideau
n'expose pas des capacités d'atténuation suffisantes comme le montre la figure IV.4.
Ceci nous amène à dire que le design considéré implique l’installation de trois
niveaux de rampes circulaires (le nombre de rampes sur chaque niveau sera déterminé
par la suite). Le premier niveau des rampes sera placé à 2m au-dessus du toit du bac
alors que le deuxième et le troisième niveau seront installés à des intervalles verticaux
de 7m et 14 m en-dessous du premier niveau respectivement.
Cette étude a montré que le rideau conserve son intégrité hydrodynamique sur une
distance de 7m pour des vitesses de vent inferieure à 4m/s [9].
78
Protection d'une Installation
Chapitre IV
Fig. IV.3. Atténuation verticale et spectrales d’un rideau d’eau [9]
Afin de dimensionner ce rideau, nous avons utilisé la corrélation développée dans le
chapitre IV. Le tableau IV.3 présente les résultats de simulation pour différents
configurations.
Type de
buses
Nbre de rampes
sur chaque
Rampe
TG03-1bar
08
04
TG031bar
TG03-3bar
Nbre totale
de buses
Rampe 1
Rampe 2
Rampe 3
Rampe 4
Rampe 5
Rampe 6
Rampe 7
Rampe 8
599
587
575
563
551
539
527
514
Rampe 1
413
Rampe 2
404
Rampe 3
Rampe 4
Rampe 1
395
386
Rampe 3
Rampe 5
06
TG033bar
mixt
e
Nbre de buses
par Rampe
Rampe 2
Rampe 4
Rampe 6
386
404
422
395
413
431
Flux sur la
sur la surface
du bac (flux
atténué)
Efficacité
d’atténuation
(%)
3268
x
3
=
9804
2,8kW/m2
91,56%
2451
x
3
=
7353
2,51kW/m2
96,01%
4901
x
3
=
14703
1,95kW/m2
96,74%
Tableau IV.3 : Résultats du dimensionnement du Rideau d’eau de protection du bac
de stockage.
Remarque : on note que le Rampe 1 se situe à l’extérieur, la distance entre une rampe
et une autre est de 0,24 mètre.
IV.5. Conclusion
79
Protection d'une Installation
Chapitre IV
Dans ce chapitre nous avons pu dimensionner un bouclier thermique pour
protéger un bac de stockage d’hydrocarbure contre un incendie de flux de chaleur de
40 kW/m 2 à une température de 1300K. Une efficacité d’atténuation de plus de 95% a
été atteinte.
80
Conclusions et Perspectives
Sommaire
Conclusions et Perspectives…..………………………………………………………...…… 80
81
Conclusion
Conclusions et Perspectives
Conclusions et perspectives
Ce travail a été consacré à l’étude des rideaux d’eau utilisés comme protection contre
le rayonnement thermique dans un milieu non gris, absorbant et diffusant d’une manière
anisotrope, en géométrie unidimensionnelle.
Dans ce travail, nous avons accompli plusieurs objectifs. Nous avons tout d'abord
modélisé les propriétés radiatives du rideau. On a utilisé la théorie de Mie pour déterminer les
coefficients spectraux d’absorption et de diffusion ainsi que la fonction de phase de la phase
liquide (gouttelettes d’eau). Le modèle SNB est utilisé pour modéliser la phase gazeuse
composée d’un mélange d’air, vapeur d’eau, CO2 et CO. Par la suite, nous avons développé
un code de calcul basé sur la méthode de Monte Carlo analogue pour calculer les
transmittance spectrales du rideau en fonction, notamment, de son épaisseur, de la densité et
de la taille des gouttelettes qui le composent. Afin de valider notre modèle, les résultats
obtenus sont comparés avec les données expérimentales de Dembélé [15]. Une transmitance
moyenne de 91,74% a été obtenue numériquement, intégrant les résultats spectraux entre 1.5
et 12,5 µm, alors qu’une valeur de 92,04% a été citée dans l'étude expérimentale. Ces résultats
sont très satisfaisants en tenant compte des incertitudes possibles dues, par exemple, à la
distribution exacte des gouttelettes ou la reproduction numériques des données
expérimentales. Une étude de sensibilité a été également menée afin de tester l’influence de
différents paramètres sur l’atténuation du rayonnement. Nous avons développé une corrélation
82
Conclusion
capable de prévoir, directement, le pouvoir d’atténuation d’un rideau d’eau en fonction,
notamment, de son épaisseur, de la concentration et du diamètre moyen des gouttelettes qui le
composent. Finalement, nous avons mis en application notre code de calcul pour
dimensionner un bouclier thermique avec des données réelles des feux des hydrocarbures.
Cette application montre qu’un rideau d’eau peut atténuer environ 95% du rayonnement
incident.
Ces résultats sur le transfert radiatif doivent être couplés à l’équation de conservation
de l’énergie dans un premier temps pour déterminer le champ de température caractéristique
du rideau d’eau, puis avec les équations de la dynamique afin de prendre en compte
parfaitement les caractéristiques hydrodynamiques du spray.
83
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88
Annexe :
Généralité sur les rideaux d’eau
1. Description des Rideaux d'Eau
Un rideau d’eau est un système de protection utilisant le principe d’un écran d’eau. Il peut être
fixe ou mobile avec une pulvérisation soit ascendante, soit descendante [56] :
1.1. Rideau d'Eau Fixe
Un rideau d'eau fixe est constitué, en bout de chaîne, par une tuyère sur laquelle sont fixées
des buses à intervalle régulier. L'ensemble des pulvérisations forme l'écran d'eau, constitué
d'une multitude de gouttelettes. Dans la plupart des cas, la géométrie obtenue pour chaque
pulvérisation est conique avec un angle d'ouverture de 30 à 120° suivant les propriétés des
buses.
Figure A-1 : Rideau d'eau pulvérisée fixe vue de face [56]
1.2. Rideau d'Eau Mobile :
Un rideau d'eau mobile est constitué par un ensemble lance-déflecteur qui transforme le jet
bâton en jet "queue de paon" (180 ou 360°). Dans ce cas, l'écran d'eau est un film très fin,
différent du rideau d'eau obtenu par pulvérisation (buse). Cette différence suggère que les
rideaux d'eau mobiles ne peuvent pas être traités avec la même approche que les rideaux d'eau
pulvérisés.
89
2. Le Mécanisme de Formation du Spray
Selon Ramsden [57], un spray est caractérisé par une fine distribution granulométrique où le
diamètre moyen est situé entre 80 et 200 µm et le diamètre médian volumique DV 0,99 (99% de
la fraction volumique du spray à un diamètre inférieur au D V0,99) est plus petit ou égal à 500
µm.
Figure A-2 : Spectre des différentes tailles de particules selon Jones et al. [58]
Il existe deux méthodes pour générer ces particules d’eau : les pulvérisateurs (ou buses à
pression) et les atomiseurs. Les pulvérisateurs utilisent la différence de pression entre
l’intérieur et l’extérieur de la buse pour fragmenter la masse de fluide qui se transforme en de
très fines particules. Les atomiseurs utilisent deux fluides (air et eau) qui sont mis en contact à
l’intérieur de la buse. Cette technique permet d’obtenir une zone de fragmentation réduite
(puisque la fragmentation se fait à l’intérieur de la buse), ce qui permet à la fois de maîtriser
l’empreinte du spray ainsi que les diamètres des particules. [13]
3. Les Buses de Pulvérisation
Les buses sont l’organe essentiel des pulvérisateurs : elles se présentent sous la forme
d'orifices calibrés au travers desquels doit passer le liquide, l'air, le mélange, etc. sous
pression. À sa sortie dans l'atmosphère, le jet de liquide se désintègre en gouttelettes qui
relève du micron, qui, atteignant la cible, donnent lieu à une répartition plus ou moins
uniforme.
90
En conditions statiques, la répartition peut varier selon le type de buse qui détermine le type
de jet (Cônes pleins, jets plats, jets rectilignes, cônes creux...), mais également la pression. La
hauteur de la buse par rapport à sa cible à également une influence notoire sur la répartition
[59] :
3.1. Le Cône Plein : illustré sur la figure ci dissous
3.1.1. Cônes Pleins Axiaux à Effet de Turbulence
La mise en rotation du liquide est provoquée par un insert en forme d’hélice. La turbulence est
contrôlée par la forme et les dimensions de la chambre. La surface couverte est en forme de
cercle plein avec une distribution uniforme des gouttelettes. En fonction du profil de l'orifice
de sortie, l'angle de pulvérisation est plus ou moins large. Un usinage spécifique de l'orifice de
sortie permet de couvrir une surface pleine proche du carré.
3.1.2. Cônes Pleins Axiaux à Effet d'Impact
La veine de liquide, à la sortie de l'orifice est projetée sur une surface en forme de spirale et se
désagrège en fines gouttelettes. L'empreinte formée est proche d'un cône plein mais la
répartition n'est pas parfaitement uniforme.
3.1.3. Cônes Pleins Tangentiels à Effet de Turbulence
Cette technique permet d'obtenir un cône creux. Un usinage spécifique du fond de la chambre
" casse " une partie du flux en rotation pour combler la partie centrale du jet et former le cône
plein. Sans insert, ces buses sont peu sensibles au bouchage.
91
3.2. Le Jet Plat : illustré sur la figure ci dissous :
3.2.1. Jets Plats Standards
Le liquide sous pression est guidé axialement dans la chambre de la buse et traverse un orifice
de forme elliptique.
3.2.2. Jets Plats " Miroirs " à Effet d'Impact
Le liquide sous pression est guidé dans la chambre de la buse, traverse un orifice cylindrique
et se réfléchit sur la surface d'un déflecteur. Le profil du déflecteur permet le renvoi du jet
presque tangentiellement et produit une empreinte en forme de rectangle long et étroit dont la
répartition des gouttelettes est uniforme.
3.2.3. Jets Plats "Cuillères" à Effet d'Impact
Leur fonctionnement est proche des jets plats mais le déflecteur utilisé ne dévie que très peu
le jet de sa trajectoire pour lui conserver toute sa vitesse. A pression, angle, et débit égal,
l'impact du jet engendré par ces buses est supérieur aux autres buses à jet plat.
3.2.4. Jets Rectilignes
Contrairement aux autres types de buses, la pulvérisation d'un jet rectiligne doit être la plus
tardive possible de manière à conserver l'effet d'impact maximum. La qualité du jet dépendra
essentiellement du profil interne de la buse. Un flux de liquide bien stabilisé et guidé
permettra de retarder au maximum la dispersion du jet.
92
3.3. Cônes Creux : illustré sur la figure ci dissous :
3.3.1. Cônes Creux Tangentiels à Effet de Turbulence
Le liquide est introduit tangentiellement dans une chambre de turbulence pour être mis en
rotation. Sous l'effet centrifuge il se plaque à la paroi interne de la chambre avant d'être éjecté
par l'orifice de sortie. L'écran de fines gouttelettes forme ainsi une empreinte circulaire creuse.
3.3.2. Cônes Creux Axiaux à Effet d'Impact
La veine de liquide, à la sortie de l'orifice est projetée sur un déflecteur conique, dont le profil
permet d'obtenir un cône creux à grand angle de dispersion. L'effet d'impact garantit une
pulvérisation fine. Grâce à un excellent coefficient de contraction, à section égale, leur débit
est supérieur aux autres cônes creux. Si le déflecteur est pourvu de rainures, une partie du
liquide est projetée dans la partie centrale du cercle, formant ainsi une empreinte proche d'un
cône plein.
3.3.3. Cônes Creux Axiaux à Effet de Turbulence
Les cônes creux axiaux à effet de turbulence peuvent aussi servir à " atomiser " un liquide. Le
principe est identique, mais pour obtenir une grande finesse de gouttelettes, les débits assurés
par ces buses sont faibles .De part leur finesse, les gouttelettes manquent d'énergie cinétique
et sont donc très sensibles aux frottements et courants de l'air. La portée du jet atomisé est
faible mais sa dispersion dans l'air est rapide.
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4. Fonction de Distribution de Taille des Gouttes: Lois Théoriques Usuelles
Les gouttes d’un spray sont représentées à l’aide de fonctions de distributions de diamètre.
D’un point de vue théorique, l’utilisation du paramètre ‘diamètre’ supposent que les gouttes
sont sphériques. La plupart des diagnostics de mesure rapportent également ce type de
distribution [24] :
4.1. Rosin-Rammler
La loi de Rosin-Rammler, initialement développée pour décrire les distributions de taille de
particules solides, est largement utilisée dans l’étude de la pulvérisation. Elle est bien adaptée
pour décrire les distributions obtenues par pulvérisation sous pression. La fonction de
distribution pour la loi de Rosin-Rammler (développée pour suivre la distribution volumique)
est :
 d R 
Fv (d ) 1 exp   
  


s
Où δest un diamètre caractéristique et s R une mesure de la dispersion.
4.2 Log-normale
La loi log-normale est dérivée de la loi de distribution normale de probabilités (courbe de
Gauss) en utilisant comme variable le logarithme du diamètre. Si on l’applique à la
distribution volumique :
2

ln d
ln d ln 
1
Fv (d ) 
exp 

d (ln d )

 2s 2

s 2


Où δest le diamètre moyen volumique et s l’écart type de la distribution volumique.
4.3 Racine-normale
La loi racine-normale (root-normal) est aussi dérivée de la loi de distribution normale de
probabilités en utilisant comme variable la racine carrée du diamètre. Si on l’applique à la
distribution volumique :


 d  2 
ln d
1

Fv (d ) 
exp 
d( d )

2



s 2
 2s



Où δest un diamètre caractéristique et s l’écart type de la distribution volumique.
94
4.4 Limite supérieure
La loi limite supérieure (upper-limit) est une variante de la loi log-normale pour laquelle on
spécifie le diamètre maximum possible max d à la place du diamètre moyen δ:
2


ln Cd ln 
d max d 



Fv (d ) 
exp
d (ln d )
2
 
2s

s 2 


1
ln d
Où C est une constante.
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