199 - ssrdm

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199 - ssrdm

MATH
ECOLE
Les paris de jeunes écoliers
40e
année
199
Vers les nombres irrationnels
La« mise en commun», enjeu des
innovations actuelles dans l'enseignement des mathématiques
octobre 2001
Math-Ecole, pour ceux qui enseignent les mathématiques!
Un ingénieur consulte les revues techniques de sa branche, un médecin ne saurait se maintenir au courant
sans ses revues médicales, un passionné de sport lit la rubrique sportive de son journal. Pourquoi en serait-il
autrement d'un enseignant?
Tous ceux qui enseignent les mathématiques, à quelque niveau que ce soit, sont confrontés quotidiennement
à des questions d'apprentissages, aux erreurs de leurs élèves, aux problèmes d'évaluation, etc.
Leurs questions sont multiples. Pour y répondre, il y a les échanges entre collègues lorsqu'on trouve le temps
de les approfondir, il y a les cours de perfectionnement lorsque leur offre correspond exactement aux besoins,
il y a les conseillers pédagogiques lorsqu'ils sont disponibles, il y a aussi les livres et revues lorsqu'elles existent. Or, précisément, Math-Ecole existe et souhaite être une de ces- bonnes -lectures pour tous ceux qui se
soucient de l'apprentissage des mathématiques. C'est en ce sens qu'elle est une revue pour des professionnels
de l'enseignement des mathématiques.
Dans Math-Ecole, on trouve, pour chaque degré d'enseignement, de la maternelle au secondaire:
-
des comptes rendus et propositions d'activités pour la classe,
des problèmes et jeux,
des notes de lecture,
des suggestions d'évaluation des connaissances des élèves,
des éléments d'histoire des mathématiques,
des articles de didactique,
des actualités: expositions, congrès et rencontres, cours de formation continue, concours de mathématiques,
des reflets sur la mise en pratique de l'outil informatique au service de l'enseignement des mathématiques,
des réflexions pédagogiques,
etc.
1
Abonnement annuel (5 numéros):
Suisse: CHF 30.- compte de chèque postal12-4983-8
Etranger: CHF 35.- par mandat ou virement postal international au compte 12-4983-8
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AI!!Jnnements collectifs (livraison à une même adresse):
de 5 à 9 CHF 22.: par abonnement
Qe 10 à 50 CHF 20.- par abonnement
(Tarifs particuliers pour des commandes collectives supérieures, sur demande.)
Pour toute correspondance ou ~formation:
Rédaction de Math-Ecole, Case postale 54, 2007 Neuchâtel 7,
par courrier électronique E-mail: [email protected]
ou par INTERNET: http: /!www.irdp.ch/math-eco
Bulletin de commandes et d'abonnement en page 3 de couverture.
MATH-ECOLE
199
40e année, cinq numéros par an
octobre 2001
Sommaire
Editorial
2
Espace mathématique
Michel Dorsaz, Hervé Schild
4
10e Rallye Mathématique Transalpin
Annonce et inscriptions
8
Jean-Philippe Antonietti
11
Michel Brêchet
18
16e Championnat International
des Jeux Mathématiques et Logiques
1/4 de finale individuels
26
Questions sur la géométrie
et son enseignement
François Boule
30
La «mise en commun», enjeu des
innovations actuelles dans l'enseignement
des mathématiques
François Jaquet, IRDP
Notes de lecture
MATH-ÉCOLE n" î99/octobre 200î
33
38
en rupture avec ce qui précède. A une exception toutefois, celle de la nouvelle édition de
Mathématiques 5e et 6e.
Dans ce cas précis, c'est le terme «toilettage••
qui est officiellement adopté, vu que l'édition
précédente de ces ouvrages, en 1984 et 85,
avait déjà représenté une rupture par rapport
à ceux des années septante par la réintroduction de problèmes dans le manuel de l'élève.
Dans nos cantons francophones, les innovations se succèdent dans l'enseignement des
mathématiques, depuis plus de trente ans :
fin des années soixante, premier plan
d'études romand (CIRCE 1) avec le passage aux mathématiques modernes;
-
début des années septante, les nouveaux
moyens d'enseignement et leurs «avenues», aux perspectives futuristes comme
les ensembles et les relations, la numération renversant l'hégémonie de la base
dix, la découverte de l'espace et ses ambitions topologiques;
les années nonante, l'irruption du socioconstructivisme avec la résolution de problèmes et le jeu ;
-
les années 2000, un moyen d'enseignement
7-8-9 dépassant simultanément les cantonalismes, les degrés et les filières scolaires 1
Dans cette succession d'innovations, on a souvent balayé le passé, que ce soit au niveau des
contenus ou à celui des moyens d'enseignement, à tel point que chaque réforme apparaît
1. Voir l'éditorial du notre numéro 198
2
Mais, au Grand Salon des innovations, une
reprise d'anciens modèles fait triste figure par
rapport aux nouveaux: les thèmes restent à
peu près les mêmes, la carrosserie est
conservée et le stand n'attire ni les foules ni la
presse.
Pour poursuivre la métaphore, il faudrait soulever le capot pour découvrir les changements et
s'apercevoir que Mathématiques 5e et 6e n'est
pas une simple reprise, mais un pas important vers une approche conceptuelle nouvelle, déjà entrepris par les ouvrages récents de
1P à 4P. Au-delà des contenus ou de la forme,
c'est là que se situe l'innovation, même si elle
en continuité avec ce qui précède: on s'intéresse à la manière dont l'élève construit ses
savoirs, on cherche à l'accompagner dans
cette tâche d 'élaboration, on souhaite créer
un environnement lui permettant de faire son
métier «d 'apprenant», le plus souvent à partir de la résolution d'un problème.
La question que l'on pourrait se poser est de
savoir si un problème ••vieillit», comme ceux
qui le créent, comme ceux qui les proposent
à leurs élèves, année après année. Et encore
faudrait-il savoir s'il vieillit bien ou mal.
Toute l'histoire des mathématiques est pleine
de problèmes, dont certains ne sont pas
encore résolus aujourd'hui mais le seront
peut-être demain. Ils peuvent nous venir des
Grecs ou des Arabes, du Moyen-Age ou du
siècle dernier. Pour autant qu'ils soient intéressants d'un point de vue mathématique, ils
restent passionnants et universels.
MATH-ÉCOLE n" 199/octobre 2001
Certains d'entre nous ont conservé un souvenir douloureux des problèmes de cyclistes
qui se croisent ou de baignoires qui se vident.
Est-ce dû à leur contenu mathématique, à
leurs thèmes, au contexte scolaire dans lequel
ils ont été proposés, aux procédures imposées de leur résolution ou à d'autres dérives
de l'enseignement? Nous devons bien l'admettre, l'aversion qu'on peut ressentir à l'égard
de ces problèmes ne vient pas de leur contenu intrinsèque mais bien des abus et excès
dont ils ont fait l'objet.
On peut, certes, se lasser d'un problème, en
tant qu'enseignant- alors que, pour les élèves,
qui changent chaque année, la situation est
toujours nouvelle. Mais cette« usure "• due au
temps, est largement compensée par les apports
de son analyse.
Dans un processus scientifique, on observe un
phénomène, on le décrit, on cherche à l'expliquer. Puis on le reproduit et on compare les
anciennes et les nouvelles observations. Pour
le faire évoluer, on procède par conjectures,
essais, vérifications, nouvelles conjectures, nouveaux essais ... En fin de compte, on se retrouve
à un niveau supérieur de connaissances sur
le phénomène analysé. C'est un peu ce que
tente de faire la didactique des mathématiques, à propos des problèmes en particulier.
Prenons l'exemple de La course aux œufs 2 un
problème de l'ancienne édition de Mathématiques Se, repris et modifié pour la nouvelle.
2.
Des observations ont montré que les élèves
le résolvaient sans faire appel aux savoirs
visés par ses auteurs: la transformation d'une
somme en un produit. Ils se contentaient
d'effectuer successivement les six additions
conduisant à la réponse. Selon les résultats
de la recherche en didactique, on a pu émettre
l'hypothèse qu'une augmentation du nombre
d'œufs (de 6 à 25) modifierait les procédures
des élèves en rendant nécessaire la transformation de la somme en produit. De nouvelles
observations ont montré que la version modifiée de l'énoncé amenait, chez certains élèves, la
mise en œuvre du savoir visé, alors que d'autres
ne rechignaient toujours pas à effectuer une
addition de vingt-cinq termes.
Le phénomène a été observé et noté, la
connaissance de ce problème s'est enrichie.
Lorsqu'ille présentera à ses élèves, le maître
aura des points de repère nouveaux. Il s'attendra à certaines procédures. Il en saura plus
sur les obstacles et les erreurs des élèves pour
organiser les relances nécessaires. Ces éléments sont aussi essentiels pour l'évaluation
des stratégies, des savoirs mis en œuvre et
des compétences.
Aurait-il fallu balayer les problèmes anciens
pour faire du neuf au lieu de les reprendre et
de les adapter dans une perspective scientifique d'évolution? Pour nous, la réponse est
claire: lorsque c'est possible, l'innovation doit
adopter une perspective d'évolution continue,
plutôt que de ruptures.
Voir Math-Ecole 195 :A propos de variables didactiques,
pp. 32 à 40.
3
Secondaire 1
Différentiation
Organisé par la Commission de mathématique de I'AVECO (Association valaisanne des
enseignants du Cycle d'Orientation), "Espace Mathématique» est une compétition interclasses pour les élèves du C.O. (Cycle
d'Orientation, 12 à 15 ans).
Chacun des trois degrés du C.O. est partagé
en deux niveaux, en fonction des capacités
des élèves. Pour que les activités restent
assez difficiles pour le niveau le plus avancé,
sans être décourageantes pour les élèves du
deuxième niveau, «Espace Mathématique»
propose, depuis sa 5ème édition, une différentiation: si la donnée des problèmes ne
change pas selon les niveaux, des relances
ou des questions intermédiaires sont proposées pour le deuxième niveau. Ces relances
sont définies par les organisateurs; le moment
et la façon dont elles sont transmises aux
élèves sont de la compétence de l'enseignant.
Compétition au second plan
Didactique des mathématiques
En favorisant les travaux de groupes, la
concertation et les débats à l'intérieur de la
classe, en responsabilisant les élèves et en
les mettant en situation de recherche, de découverte, «Espace Mathématique» se veut en totale adéquation avec les résultats récents de la
recherche en didactique des mathématiques.
Place de l'enseignant
La notion de concours joue un rôle important
au niveau de l'émulation, mais elle reste néanmoins relativement secondaire. D'ailleurs les
conditions varient quelque peu d'une classe
à l'autre (relances ou non, passation sur deux
périodes consécutives ou sur deux périodes
séparées). Des prix sont décernés aux
classes victorieuses, mais aussi, par tirage au
sort, à un certain nombre
de classes partici,
pantes.
Pour l'enseignant, qui devient observateur de
sa classe l'espace de deux périodes,« Espace Mathématique» est l'occasion de faire des
découvertes intéressantes sur ses élèves,
leurs façons de travailler, et leur différentes
représentations des problèmes abordés.
-
Stimuler le travail de groupe
En lien avec le programme du C.O.
-
Responsabiliser les élèves
Les activités proposées sont en lien avec le
programme du C.O.; les solutions sont jugées
également sur la rigueur des démarches et des
explications fournies; ainsi l'enseignant pourra
en débattre avec sa classe, connaître les outils
mobilisés par ses élèves pour la résolution
des différents problèmes, analyser la nature
des erreurs commises et tenter d'y remédier.
-
Offrir une activité de recherche mathématique variée
-
Encourager les échanges entre les professeurs de mathématique
-
Offrir aux enseignants un champ d'observation et d'analyse de leurs élèves: utilisation
4
1. Nom du concours et objectifs généraux
ESPACE MATHÉMATIQUE
MATH-ÉCOLE n''199/octobre 2001
des concepts mathématiques étudiés antérieurement, erreurs commises, connaissances mobilisées ...
4. Animateurs
•
2. Historique
-
Février 1997: 1ère édition, ouverte aux classes de 1CO et de 2CO. Participation de 54
classes.
-
Mars 98 et mars 99: augmentation sensible de la participation: 84 classes en 98,
103 classes en 99.
-
Novembre 99: 4ème édition. Tentative de
changement de dates qui se solde par un
échec relatif; la participation retombe à 82
classes. Les enseignants regrettent une
date trop avancée ne permettant qu'une
utilisation réduite du programme de l'année en cours. Ils regrettent aussi la collusion avec les 1/4 de finale du championnat
de la FFJM.
-
Mars 2001 : Sème édition, avec retour aux
dates traditionnelles et plusieurs nouveautés
dont une différentiation en fonction du niveau
des élèves et l'élargissement du concours
aux classes de 3CO. La participation, 116
classes, reprend son augmentation.
Hervé Schild
Coordinateur Math au C.O.
Rte de Rougenan 43
1966 Ayent
tél: 027/398 42 53
fax : 027/398 32 33
e-mail: [email protected]
•
Michel Dorsaz
Rue de Vinseau 31
1926 Fully
tél: 027/7 46 20 42
e-mail: [email protected]
5. Parrains
-
I'AVECO (Association valaisanne des enseignants du Cycle d'Orientation
Banque Raiffeisen
Loterie Romande
6. Exemples de problèmes
• Les cubes d'Aline (1 CO)
-La donnée:
3. Type d'épreuve, degrés concernés
-
Concours interclasses. 6 problèmes à résoudre sur deux périodes, soit consécutives,
soit séparées (3 problèmes par période).
-
Chaque classe fournit un compte-rendu
par problème. Les réponses sont jugées
en fonction de leur justesse, de la rigueur
de la démarche, de la clarté et du soin de
la présentation.
-
Aline possède une boite cubique pleine de
petits cubes identiques.
La boite contient moins de 100 petits cubes.
Les deux petits frères d'Aline se sont emparés de la boite, l'ont renversée et se sont partagé les petits cubes:
Avec les siens, Romain réalise une surface
carrée:
6 catégories, selon le degré (1CO -12/13 ans,
2CO- 13/14 ans, 3CO- 14/16 ans) et selon
le niveau (1 ou 2, plus ou moins avancé).
5
Tandis que Hervé forme avec les siens une
surface triangulaire:
9 classes, dont 3 de niveau 2, n'ont proposé
aucune ébauche cohérente de solution.
Tableau des résultats en fonction des niveaux :
Entre les deux formes, tous les cubes de la
boite d'Aline ont été employés.
a) Combien de cubes contenait la boite?
b) Combien Romain en a-t-il pris?
c) Y a-t-il plusieurs solutions? Si oui, les
quelles?
Nombre de classes
Solutions correctes
Résolution partielle
Pas d'ébauche cohérente
Niveau 1
37
15 (40 %)
16 (43 %)
6 (16%)
Niveau 2
12
3 (25 %)
6 (50 %)
3 (25%)
On voit que les relances ont un effet positif sur
le démarrage du problème (75% des classes
de niveau 2 se sont lancées correctement dans
l'activité). Par contre elles n'assurent pas un
taux de réussite élevé, même si celui-ci est
intéressant pour des classes de niveau faible.
- Relances pour classes de niveau 2:
1. Combien faut-il de petits cubes pour
- remplir parfaitement une boÎte cubique?
- former une base carrée?
- former un triangle ?
Chercher toutes les possibilités jusqu'à 100.
2. Comparer ces trois listes de nombres.
-Solution
a) La boÎte contenait 64 cubes
b) Romain en a pris 9, 36 ou 49
c) Il y a 3 possibilités
-Résultats
La mise en corrélation des trois séries de
nombres (cubes, carrés et triangles) a posé
beaucoup de difficultés. Seules 5 classes sur
49 ont obtenu le maximum de points (réponses
correctes présentées avec rigueur et clarté).
13 classes, dont 3 de niveau 2, ont trouvé les
réponses correctes, mais leur présentation
était insuffisante.
22 classes n'ont résolu que partiellement le
problème.
6
• Le zèbre peureux (2CO)
-La donnée:
Lorsque la girafe longe l'enclos du zèbre (12 x
40 m) d'une démarche majestueuse et régulière, l'ombre de son cou est projetée sur le
terrain du zèbre, dessinant un angle de 45°
par rapport à la longueur du terrain. A 15h00,
l'ombre de la girafe passe par le point A et à
15h03, elle passe par le point B.
Le zèbre, qui a peur, recule devant l'ombre
jusqu'à ce que celle-ci coupe le terrain en
deux parties égales. Alors, prenant son courage à quatre pattes, il bondit " par dessus"
l'ombre, pour se retrouver dans la partie
gauche du terrain
A quelle heure, à la seconde près, le zèbre
effectue-t-il son saut?
ombre de la girafe
à 15 h 00
à 15h03
MA1H- ÉCOLE n" 199/octobre 2001
- Relances pour classes de niveau 2
Trouve le point milieu de l'enclos.
Dessine l'ombre de la girafe lorsqu'e/le coupe
le terrain en deux parties égales.
29 classes n'ont résolu que partiellement le
problème.
5 classes, dont 3 de niveau 2, n'ont pas présenté d'ébauche cohérente.
Tableau des résultats en fonction des niveaux :
-Solution
Le zèbre effectuera son saut à 15h 01 ' 03"
Nombre de classes
Solution correcte
Résolution partielle
Pas d'ébauche cohérente
Niveau 1
36
12 (33%)
22 (61 %)
2 (6%)
Niveau 2
12
2 (17%)
7 (58%)
3 (25%)
- Résultats des classes de 2CO
9 classes sur 48, dont 1 de niveau 2, ont obtenu le maximum des points.
5 classes, dont 1 de niveau 2, ont trouvé la
bonne réponse, mais avec une présentation
insuffisante.
Le problème était difficile, le taux de réussite
est relativement faible. Une nouvelle fois, on
remarque l'effet positif des relances: les 3/4
des classes de niveau 2 ont pu se plonger
dans le problème et y travailler, même si elles
ne sont pas parvenues à la solution correcte.
Le Kangourou des Mathématiques
Nos collègues de l'Association Kangourou Sans Frontières (Voir Math-Ecole no195) nous informent
que la prochaine édition du grand jeu-concours <<Kangourou des Mathématiques, aura lieu le jeudi
21 mars 2002.
Renseignements: Association Kangourou Sans Frontières
mailto: [email protected] web: http://www.mathkang.org
12 rue des I'Epée de Bois 75005 Paris FRANCE
Tél : 33 (0)1-43-31-40-30 Fax: 33 (0)1-43-31-40-38
Règlement du concours: http://www.mathkang.org/concours/reglement.html
Calendrier et inscription 2002: http://www.mathkang.org/concours/inscription.html
Bon d'inscription hors métropole: http://www.mathkang.org/concours/ketr2002.pdf
Soutiennent le concours: Ministère de l'Education Nationale- Académie des sciences- Société Mathématique de France (prix d'Alembert 1994)- Inspection Générale de Mathématiques- APMEP- Commission
inter-IREM rallyes- Conseil de l'Europe- Conseils Généraux de Gironde, La Réunion, Saône et Loire.
«Je me réjouis que [le Kangourou des Mathématiques} soit l'occasion d'une célébration des mathématiques, dont l'importance dans le développement de la science comme dans la vie de tous les jours
n'est pas a démontrer, l'intérêt d'opérations comme la votre étant de les rendre aimables, familières
et vivantes aux yeux des élèves.
En vous remerciant de féliciter les concepteurs et les organisateurs ... "
Jack Lang, Ministre de l'Education Nationale
MA1 f-H~COLE: n'' 198/octobre 2001
7
Primaire- Secondaire 1
l'équipe des animateurs et participer ainsi à la
préparation, à la discussion et au choix des
problèmes, à l'évaluation en commun des
copies, à l'analyse des solutions.
Le Rallye établit un contrat entre l'équipe
d'animateurs, les maîtres et les classes participantes, dont voici les termes essentiels:
Le 1Oe Rallye mathématique transalpin est
lancé. Ses responsables se sont rencontrés à
Parma, à la fin de septembre pour examiner
les contenus mathématiques de nouveaux
problèmes et envisager les possibilités de
leur exploitation en classe. Les objectifs du
rallye évoluent progressivement et s'orientent
résolument, au-delà de la confrontation et de
la fête, vers l'apprentissage et l'enseignement
des mathématiques au travers de la résolution de problèmes. Les actes des dernières
rencontres de Siena et Neuchâtel (voir Notes
de lecture, pages 38, 39) en témoignent.
Comme les années précédentes les élèves
des classes inscrites vont faire des mathématiques pleines de sens, apprendre les
règles élémentaires du débat scientifique
pour décider de la solution qu'ils vont choisir
au nom de la classe.
Les maîtres observeront des élèves en activité de résolution de problèmes, évalueront
leurs productions et leurs capacités d'organisation, pourront exploiter largement les problèmes pour leur classe. Ils apprécieront, par
les analyses des résultats d'ensemble, les
différentes procédures mises en œuvre par
les élèves, les obstacles rencontrés, le niveau
de savoirs mathématiques en jeu. Finalement,
ils pourront aussi s'engager eux-mêmes dans
8
-
Lors de chaque épreuve la classe reçoit une
série de problèmes à résoudre, choisis, en
nombre et en difficulté, de telle façon que
chaque élève, indépendamment de son
niveau, puisse y trouver son compte.
-
La classe dispose d'un temps limité, de 50
minutes, pour s'organiser, rechercher les
solutions, en débattre, produire une solution
unique pour chacun des problèmes, avec
les explications et les démarches suivies.
La classe est entièrement responsable des
réponses apportées, sans aucune intervention du maître.
-
La décision de participer au concours est
prise conjointement par la classe et le
maître, après une épreuve d'essai au cours
de laquelle les uns et les autres auront pu
saisir les enjeux d'une résolution collective de problèmes, à la charge des élèves
seulement.
-
Les épreuves qui suivent les essais se font
hors de la présence du maître titulaire de
la classe. Celui-ci est remplacé par un collègue avec qui, si possible, il fait un
échange. Il quitte donc son rôle d'enseignant pour celui d'observateur, s'abstenant de toute intervention, de quelque
nature que ce soit, dans la classe dont il a
le contrôle pendant la durée de l'épreuve.
Son rôle se limite à la distribution des
sujets, au contrôle de la durée et à l'envoi
des copies à l'équipe qui sera chargée de
les évaluer.
-
L'évaluation des copies est faite par des
équipes d'animateurs. Pour chaque catéMATH·ÉCOLE n" 199/octobm 2001
gorie, un classement est établi, sur l'ensemble des deux épreuves 1et Il. C'est lui
qui détermine la participation à la finale.
Les critères d'évaluation et le résultat de
chaque problème, ainsi que les classements, sont communiqués aux classes
dans les meilleurs délais.
-
Après chaque épreuve le maître est invité
à exploiter les problèmes avec l'ensemble
des élèves.
Pour la Suisse romande l'organisation pratique du 1Oe Rallye mathématique transalpin
passera par Internet (afin d'économiser les
photocopies, le papier et les timbres et de
nombreuses manipulations) mais s'articule
toujours en quatre étapes:
-
une finale, le mercredi après midi 29 mai
2002, à Berne, regroupant les classes
ayant obtenu le plus de points lors des
épreuves 1et Il.
Les épreuves seront disponibles sur le site
internet www.irdp.ch/rmt. durant les périodes
déterminées ci-dessus. Chaque maître inscrit
recevra un code et un mot de passe pour lui
permettre d'accéder aux épreuves. Les maîtres
s'organiseront pour la photocopie des problèmes, ils prennent contact avec leurs collègues pour les« échanges de surveillances " •
ils envoient les solutions de leur classe pour
l'évaluation, après les avoir photocopiées
pour les exploiter en classe.
Les animateurs se réunissent en novembre
2001, février et avril 2002, pour les travaux
-
une épreuve d'essai 1 , en décembre 2001,
pour déterminer l'intérêt de la classe et
décider de son inscription. Cette étape est
placée sous l'entière responsabilité des
maîtres qui choisissent les problèmes, les
proposent selon les principes du rallye, en
discutent avec leurs élèves, s'occupent
de l'inscription et de son financement; le
délai d'inscription est fixé au 20 décembre
2001 ; par internet www.irdp.ch/rmt (puis
cliquer sur " Inscription au 1Oe rallye ••).
-
une première épreuve, entre le 15 et le 24
janvier 2002, selon entente entre les maîtres
concernés, titulaires et surveillants;
-
une deuxième épreuve entre le 12 et le 21
mars 2002;
1. Pour constituer une épreuve d'essai, on peut reprendre
des problèmes des Se, Be, 7e, Be ou 9e RMT, publiés de
1997 à 2001 dans Math-Ecole no 176, 177, 181, 182, 186,
187, 188, 190, 191, 192, 195, 196 et 197 ou utiliser l'épreuve
d'essai disponible dès le 20 novembre sur le site Internet
de Math-Ecole: www.irdp.ch/rmt.
MATH-ÉCOLE n" 199/octobm 2001
d'élaboration des problèmes, pour la correction des copies reçues et pour l'analyse des
résultats.
Le site www.irdp.ch/rmt et la revue Math-Ecole
diffusent l'information sur le Rallye mathématique transalpin, en Suisse romande et au Tessin.
Les frais de participation (prix souvenirs, certificats, déplacement et frais des animateurs,
travaux d'élaboration des épreuves, etc.) se
montent à Fr. 35.- par classe 2 •
L'équipe romande actuelle a besoin de renforts pour assurer la préparation des problèmes,
l'évaluation, la correction et l'analyse des résultats. Ce travail est entièrement bénévole mais
l'animation du rallye est une tâche gratifiante
et d'un très grand intérêt professionnel. Il faut
espérer que de nombreux maîtres et maîtresses
des classes inscrites accepteront de venir renforcer l'équipe des animateurs.
2.
A Fr. 45.- pour les classes qui ne peuvent recevoir les informations et les épreuves par Internet
9
Ce bulletin d'inscription est à compléter sur le site www.irdp.ch/rmt (puis cliquer sur cc Inscription au 1Oe rallye»). Jusqu'à la date d'échéance, il est encore possible d'en retourner
une copie par voie postale à Math-Ecole, IRDP, Case postale 54, 2007 Neuchâtel?, avant
le 20 décembre 2000.
Nom et adresse
Nom: ........ .. .......... .. .. ................ Prénom: .... ......... ..... ........ ....... .
Adresse: .................................................. .
(Votre adresse personnelle ou celle de l'école, où vous recevrez tout le courrier postal et où nous pouvons
vous atteindre par téléphone.)
NPA + Localité: ......................... ............... ............. Canton: .......... .
Téléphone(s): ................................ .
Adresse électronique
(pour les informations, les données des problèmes, les résultats de votre classe, les rapports
d'épreuves)
E-mail: ........................... .
(Votre e-mail ou celui de votre école ou d'un collègue) 1
Information sur la classe
Ecole/collège : .............................. .
Nom de la classe: ..... .................... .
(Numéro, degré, section ou filière s'il y a lieu. En particulier pour les écoles où les classes sont nombreuses.)
Nombre d'élèves : ........ .
Degré scolaire: .......... .
(3, 4, 5, 6, 7 ou 8. Pour les classes à degrés multiples, indiquer le nombre d'élèves de chaque degré)
J'autorise la diffusion de mon adresse e-mail aux autres participants
oui ...... non ..... .
J'inscris ma classe au 1Oe RMT et je m'engage à en respecter l'esprit et les règles.
Vous recevrez par courrier postal:
-
le numéro qui désignera votre classe durant tout le rallye,
votre mot de passe, vous permettant d'aller chercher les questions et de consulter les résultats,
un bulletin de versement, des instructions et les consignes de passation
Pour chaque épreuve, un message vous parviendra par e-mail pour vous rappeler qu'elle est disponible sur le site www.irdp.ch/rmt.
1.
10
Les personnes qui ne disposeront pas d'une adresse électronique en 2002 peuvent encore participer au RMT, avec
un supplément des frais d'inscription de Fr. 10.- (photocopies, expédition ... )
MATH-ÉCOLE n''199/octobre 2001
Primaire
, Les paris de jeunes
écoliers
l·
J_ean-Philippe Antonietti' ·
En Suisse romande, les probabilités et la statistique ne figurent pas explicitement dans les
programmes scolaires avant la huitième année
selon les cantons et les sections. Il nous est
tout de même paru intéressant de sonder les
connaissances intuitives que possèdent les
jeunes écoliers de ces matières. Piaget et
ln helder (1951) menèrent dans ce domaine
des travaux de pionniers. Ils montrèrent que
la notion du fortuit ne correspond pas à une
intuition première, qu'il n'existe pas chez tout
homme à tous les âges une intuition de la probabilité mais qu'au contraire l'idée de hasard
est le résultat d 'une construction intellectuelle, découverte par opposition aux opérations
rationnelles. Selon ces auteurs: "La notion de
hasard n'est pas une donnée intuitive et élémentaire. Bien au contraire, elle est totalement étrangère à la mentalité du jeune entant
en dessous de 7 ans. Le hasard et le raison'!ement probabiliste se construisent en corrélation étroite avec la formation des opérations
déductives. Durant une première période
(chez l'enfant de 4 à 7 ans), il y a indifférenciation entre le déductible et le non-déductible, le certain et le possible. Durant une
1. Institut de Mathématiques Appliquées, Faculté des SSP,
Université de Lausanne, BFSH 2, CH-1 015 Lausanne.
jean-philippe.antonietti@ip. uni/.ch.
seconde période (de 7/8 à 11 ans), le hasard
est compris par différenciation et antithèse
avec les opérations logico-mathématiques.
L'enfant découvre la notion de multipossibilités. Durant une troisième période (à partir de
11/12 ans) la synthèse se forme entre le
hasard d'une part et les opérations combinatoires d'autre part. Les opérations formelles
permettent de structurer le champ des dispersions fortuites en un système de probabilités». La très lente émergence de l'idée de
hasard chez l'enfant justifie l'absence des
probabilités et de la statistique du cursus
scolaire initial. Il paraît en effet saugrenu d'imposer aux enfants un enseignement qui ne
soit pas en phase avec leur développement
cognitif spontané. Dans d'autres pays pourtant cette pratique est courante (Shulte,
1987; Morris, 1994). Conscients de la place
toujours plus grande qu'occupe la statistique
dans la vie quotidienne, convaincus que la
statistique est une des clés de la compréhension du monde dans lequel nous vivons,
nombreux sont les concepteurs de programmes mathématiques qui recommandent
d'introduire des rudiments de probabilités et
de statistique à l'école primaire déjà. Ils espèrent ainsi doter très tôt les enfants des outils
nécessaires à la compréhension d'un univers
irrésolu. Face à une situation indéterminée,
sans aucune instruction formelle, comment
se débrouillent donc nos jeunes écoliers
romands? Afin d'ébaucher une réponse à
cette question nous avons réalisé de manière
tout à fait exploratoire deux expériences: la
première porte sur des paris simples, la
seconde sur des paris réitérés.
Expérience 1 : Paris simples
Supposons que nous ayons déposé dans une
urne N boules noires et 8 boules blanches.
Nous allons tirer de cette urne une boule au
hasard . Quelle sera sa couleur? Pariez! Si
votre pronostic est correct vous gagnez! Comment procéder pour maximiser son espoir de
gain? Existe-t-il une martingale? La probabilité
11
d'extraire une boule noire s'évalue facilement
en divisant le nombre de cas favorables par le
nombre de cas possibles, elle vaut en
l'occurrence
N
N+B
. De façon similaire, la
probabilité d'extraire une boule blanche vaut
N
B
+B
Sur un deuxième écran (voir fig. 1) apparaissait
une pleine cafetière contenant 80 gouttes,
dont N gouttes de café (0 ::; N ::; 80) et 80- N
gouttes de lait.
. Pour savoir s' il y a plus de chances
de tirer une boule blanche ou une boule noire,
il suffit de comparer les probabilités respectives. En bref, si dans l'urne il y a plus de boules
noires que de boules blanches, il est avantageux de miser sur noir ; dans le cas contraire,
il est judicieux de miser sur blanc! Les jeunes
écoliers sont-ils capables, eux aussi, d'un tel
raisonnement? Notre première expérience
devrait nous permettre de le savoir.
L'enfant disposait de deux boutons pour indiquer son choix. Une fois le pronostic fait,
nous effectuions un tirage stochastique puis
indiquions à l'enfant si le résultat de l'épreuve aléatoire concordait avec son choix. Nous
proposions alors une nouvelle cafetière 3 et
réitérions notre question : lait ou café? L'enfant pariait, l'épreuve était réalisée, nous le
sanctionnions. Puis nous recommencions ainsi
encore huit fois. Ce cycle complet fut répété
au moins deux fois par chaque enfant.
Méthode
Nous avons interrogé les enfants d'une classe de langage 2 • Cette classe était scindée en
deux groupes de 9 enfants chacun. Les enfants
du premier groupe, âgés en moyenne de 7
ans et 9 mois, suivaient un programme de
première année primaire; ceux du second
groupe, âgés en moyenne de 8 ans et 9 mois,
suivaient un programme de deuxième.
La tâche que nous avons proposée aux enfants
se déroula à l'ordinateur individuellement. Sur un
premier écran, nous affichions la consigne que
nous lisions à haute voix: Les nains boivent le
matin du café au lait. Mais leur tasse ne
contient qu'une seule goutte. Dans la cafetière, ce n'est pas très bien mélangé. Alors certains boivent du lait, d'autres du café. Essaie
de prévoir ce que vont boire dix nains!
2. Cette classe appartient au Centre Logopédique et Pédagogique de l'Ouest vaudois (Nyon). Les enfants qui en
font partie manifestent pour la plupart des difficultés
d'apprentissage en écriture et en lecture.
12
o
Lait
• Ca fé
[JUst;) ryaux]'
[ 0
0
fig . 1
Exemple de cafetière de laquelle va être extraite une
goutte de café ou de lait.
Résultats
Pour déterminer si un enfant parie en tenant
compte de la proportion des gouttes de café,
nous avons regardé s' il était possible d'ajuster
3.
Nous avons décidé que le nombre de gouttes de café
dans la cafetière devait suivre une distribution uniforme.
MATH-ÉCOLE n' 199/octobre 2001
ses différentes réponses à une sigmoïde 4 . Un
bon ajustement serait, selon nous, l'indice
qu'il en tient compte 5 . A titre d'exemple voici
les réponses de deux enfants (voir tab. 1).
Loïc (8 ; 0)
N
22 24 28 30 37 40 41 42 43 47 50 53 64 64 63 64 68 69 77 77
Pronostic
L C L L L L L C C C L L L L C C L L C L
Maicol (7; 4)
N
0
Pronostic
L L L L L L L L L L C C C L C C C C C C
4
7 10 16 17 23 25 31 33 37 38 45 46 58 67 70 71 77 80
tab. 1
Pronostics faits par Loïc et Maicol tous deux en première année. N représente le nombre de gouttes de café
dans la cafetière ; L signifie que l'enfant pensait que la tasse allait être remplie d'une goutte de lait; Csignifie qu'il
pensait qu'elle allait être remplie d'une goutte de café.
Loïc
Les réponses de Loïc ne s'ajuste pas à une
sigmoïde (voir fig. 2).
0
~
"'0
~
:0
"'
0
.l'l
K ""
0
4. Une sigmoïde est une courbe en Sdéfinie sur l'ensemble
des nom bres réels et prenant ses valeurs dans l'intervalle
[0 ; 1]. La sigmoïde prototypique s'exprime ainsi:
f(x)
=1
:e-x .Son graph e est le suivant :
"'0
0
0
. .. .. ..
20
40
60
60
nombre de gouttes de calé
fig. 2
Les réponses de Loïc en fonction du nombre de
gouttes de café dans la cafetière. Ce dernier ne tient
pas compte de la proportion des gouttes de café
pour répondre. Dans ce graphique 0 correspond au
choix lait, 1 correspond à café.
5. Nous avons utilisé la technique de la régression logistique
qui permet d'ajuster une surface de régression à des données lorsque la variable dépendante est dichotomique
(Menard, 1995). En bref, cette technique nous permet de
savoir s'il est possible de modéliser, de résumer, les
réponses d'un enfant à l'aide d'une sigmoïde. Comme pour
toute méthode inductive, la conclusion ne peut être garantie. Le risque de se tromper n'est jamais nul, mais il peut
être contrôlé. Ici nous avons choisi un seuil d'erreur de 1%.
MAr H-ÉCOI. En" 199/octobre 2001
Celles de Maicol par contre oui (voir fig. 3). Si
dans la cafetière il y a peu de café et beaucoup
de lait alors il y a de grandes chances pour que
Maicol pronostique lait, par contre si dans la
cafetière il y a peu de lait mais beaucoup de
café alors il y a de fortes chances pour qu'il
pronostique café. De plus nous voyons que la
transition entre les deux réponses possibles a
13
lieu lorsque la proportion de café vaut grosso
modo cinquante pour-cent 6 .
Maicol
.,
0
'~" "'
0
e"'
.0
c.
"
0
N
0
0
0
20
40
60
80
nombre de goultes de café
fig . 3
Les réponses de Maicol. Ce dernier tient compte de la
proportion des gouttes de café pour répondre.
Globalement, parmi les 18 enfants questionnés, 10 parient en tenant compte de la proportion des gouttes de café. Si l'on examine
leur façon de procéder en fonction de leur
niveau scolaire, on constate que l'âge joue un
rôle déterminant (voir tab. 2).
Niveau
1ère année
2ème année
Stratégie
inadéquate
adéquate
7
2
14
Selon Piaget et ln helder, il n'y a aucun doute possible, pour comprendre l'idée de hasard dans
toute sa complexité, il est nécessaire de savoir
comparer différents rapports. Or la tâche que
nous avons proposée aux enfants est plus simple
et ne nécessite que l'estimation d'une fréquence.
8
tab. 2. Type de stratégie en fonction du niveau scolaire. Par stratégie adéquate nous entendons que
l'enfant parie en tenant compte du facteur déterminant qu'est la proportion des gouttes de café.
6.
Alors que les plus jeunes procèdent quasiment tous au petit bonheur, les plus grands mais qui n'ont que 8/9 ans, soulignons-le optent systématiquement pour la meilleure
des méthodes (x 2 = 8,1 ; ddl = 1; p < 0,01) 7 .
Ce résultat est stupéfiant et semble être en
total désaccord avec la théorie de Piaget et
lnhelder. Rappelons que selon ces auteurs les
enfants ne sont pas capables d'évaluer correctement des proportions ni de mener un raisonnement probabiliste avant d'avoir atteint
le stade des opérations formelles (i.e. 12/14 ans).
En fait cette discordance n'est qu'apparente;
elle est due à l'emploi non univoque que l'on fait
du terme de raisonnement ou de jugement probabiliste . Dans la littérature psychologique le
terme de jugement probabiliste s'utilise au moins
dans deux acceptions différentes: cette expression se réfère parfois à la tâche qui consiste simplement à estimer ou à évaluer la fréquence de
différents éléments d'un ensemble, mais il arrive
aussi que cette expression se rapporte à des
tâches de plus haut niveau qui consistent à
comparer entre elles deux fractions ayant un
dénominateur différent (Offenbach et al., 1984).
C'est exactement ce que permet de capter un modèle
log istique. Soit 1t la probabilité que Maicol opte pour
café. Cette probabilité dépend du nombre de gouttes de
café Net satisfait l'équation :
1t
log - - =a t (3 · N
1 - 1t
où a et (3 sont des constantes qui ici valent-7,59 et 0,20
respectivement
Remarquons également que dans la situation
que nous avons créée le succès des enfants
ne dépend pas d'un calcul explicite mais seulement d'une estimation rapide de la proportion
des gouttes de café. li leur suffit de mettre en
œuvre un raisonnement protoquantitatif (Singer et al., 1997) ayant la forme suivante : «Si
dans la cafetière il y a plus de gouttes de café
que de gouttes de lait, alors il y a plus de chances
7. Ces résultats statistiques quelque peu barbares montrent
qu'il y a une dépendance significative entre l'âge et la
stratégie utilisée.
d'extraire de cette cafetière une goutte de café.
Dans le cas contraire, il y a plus de chances
d 'obtenir une goutte de lait"· Quoi qu'il en soit
les performances des enfants que nous avons
observés sont remarquables étant donné
qu'ils agissent visiblement dès 8 ans aussi
rationnellement que des adultes.
Afin de mieux cerner encore leur façon de
procéder nous avons réalisé une deuxième
expérience légèrement plus complexe.
Expérience 2: Paris réitérés
Plaçons dans une urne un très grand nombre
de boules blanches et de boules noires. Choisissons de mettre un excédent de noires. Si
l'on note p la proportion des boules noires,
alors p > 1 -p. Tirons successivement au
hasard de cette urne 10 boules, sans remise.
Comment parier pour maximiser ses chances
de gain? Lors du premier tirage, la probabilité de tirer une boule noire est supérieure à
celle de tirer une boule blanche; en effetp > 1-p.
Il est donc judicieux de miser sur noir. Comme
le nombre de boules dans l'urne est très grand,
l'extraction d'une boule ne change quasiment pas les proportions de boules noires et
de boules blanches. Celles-ci valent toujours
grosso modo p et 1 - p respectivement. Au
deuxième tirage, la meilleure des stratégie
consiste donc également à parier sur noir. Au
troisième aussi. Et ainsi de suite jusqu'au
dixième! En résumé la meilleure stratégie
consiste donc à parier chaque fois sur noir!
Confrontés à une situation analogue, quelles
stratégies développent nos jeunes écoliers?
Optent-ils pour la meilleure des tactiques?
Notre deuxième expérience devrait nous permettre d'éclaircir ces questions.
seconde tâche que les élèves de deuxième
année primaire.
Par rapport au canevas de la première tâche
nous avons effectué quelques modifications.
Nous avons fixé la proportion des gouttes de
café à 3/4. Au début de l'expérience nous remplissions la cafetière une fois pour toutes. Son
apparence restait donc la même du début à la fin
d'une session . Pour parier les enfants disposaient comme précédemment de deux boutons,
l'un pour indiquer qu'ils pensaient que la prochaine tasse serait remplie de café, l'autre pour
indiquer qu'ils pensaient au contraire que la prochaine tasse serait remplie de lait. Après chaque
pari un son retentissait. Si le tirage concordait
avec leur pronostic, l'on entendait alors un DING
encourageant; en cas de discordance l'on
entendait par contre un BOING quelque peu
réprobateur. Les enfants avaient ainsi à faire une
série de 10 paris. Tous réalisèrent deux séries, à
l'exception d'un enfant qui n'en effectua qu'une.
Résultats
D'une série à l'autre les enfants procèdent de
la même façon. Nous analyserons donc leurs
réponses comme si chaque série était une
réalisation indépendante. Examinons les choix
des enfants (voir fig. 4).
5
0
0
3
4
5
6
7
8
9
10
nombre de fois où café a été choisi
Méthode
Parmi les enfants qui participèrent à notre première expérience, nous n'avons retenu pour cette
fig. 4
Distribution du nombre de fois où les enfants pronostiquèrent café lors d'une série de 10 paris avec
p =0,75.
15
Bien que deux enfants optent pour la stratégie la meilleure et parient à dix reprises sur café ,
nous constatons qu 'en moyenne ils choisissent 6,5 fois café- l'intervalle de confiance à
95% s'étend de 5,5 à 7,5 8 . La conclusion qui
s'impose est donc la suivante: les enfants cherchent à reproduire dans leurs réponses les proportions observées dans la cafetière, comme
si tout échantillon devait être représentatif de
la population dont il était issu! Nous pourrions
croire qu'ils raisonnent ainsi : «Dans la cafetière,
il y a environ trois gouttes de café pour une goutte de lait. Mes chances de gagner sont donc
/es plus grandes si parmi mes dix réponses
j'opte 6/7 fois pour café et le reste pour lait».
Il semblerait que les enfants soient ainsi déjà
détenteur d'une croyance que Tversky et
Kahneman (1971) nomme la loi des petits
nombres - loi selon laquelle tout segment
d'une séquence aléatoire refléterait la proportion vraie (ici 0,75) 9 •
Selon Tversky et Kahneman les intuitions
qu 'ont les adultes à propos des processus
stochastiques sont très fortes, mais malheureusement elles sont très souvent fausses!
Nos résultats suggéreraient- Oh! Surprise! qu'à 8 ans les enfants commettent déjà, dans
le champ des probabilités, les mêmes erreurs
que les adultes! Remarquons que si la plupart
des écoliers que nous avons interrogés semblent, pour nous répondre, mettre en application la loi des petits nombres, certains ont été
beaucoup plus sensibles aux renforcements
sonores que nous leur délivrions.
Voici à titre d'illustration l'une des séries de
paris faite par Nelio (9; 1):
Nous constatons alors que la probabilité la plus grande
est celle d'obtenir une séquence contenant 3 gouttes de
café! Le nombre moyen de gouttes de café par séquence
de 4 vaut également 3! N'est-ce pas un bon argument?
D'où vient l'erreur alors?
Ënumérons tous les résultats possibles :
8.
9.
Si dans ces mêmes conditions l'on interrogeait beaucoup
plus d'enfants de 8/9 ans, il y aurait 95 chances sur 100
pour que le nombre moyen de fois où ils pronostiqueraient café soit compris entre 5,5 et 7,5.
Considérons un cas plus simple : celui de quatre tirages
successifs. Nous supposerons que ces tirages sont indépendants les uns des autres. Comment parier pour maximiser ses chances de gain? Si l'on applique la loi des
petits nombres il va falloir parier trois fois sur café et une
fois sur lait puisque dans la cafetière la proportion des
gouttes de café vaut 3/4. Cette stratégie pourrait être justifiée ainsi:
Soit XIa variable aléatoire définissant le nombre de fois
où l'on extrait une goutte de café en quatre tirages. Xsuit
une distribution binomiale de paramètres n=4 et p =3/4.
La probabilité de tirer exactement kgouttes de café vaut
P(X=k)=
n!
k! (n-k)!
16
2
LLLL
LLLC
LLCL
LCLL
CLLL
LLCC
LCLC
LCCL
CLLC
CLCL
CCLL
LCCC
CLCC
CCLC
CCCL
ecce
pk(1-p)n-k .
Dans notre situation :
X=k
0
P(X =k) 1/256
Événement Probabilité
3
4
12/256 54/256 108/256 81 /256
0,25.0,25.0,25.0,25
0,25.0,25.0,25.0, 75
0,25.0,25.0, 75.0,25
0,25.0,75.0,25.0,25
0,75.0,25.0,25.0,25
0,25.0,25.0, 75.0, 75
0,25.0, 75.0,25.0, 75
0,25.0, 75.0,75.0,25
0, 75.0,25.0,25.0,75
0, 75.0,25.0, 75.0,25
0, 75.0, 75.0,25.0,25
0,25.0, 75.0,75.0,75
0, 75.0,25.0, 75.0, 75
0, 75.0, 75.0,25.0, 75
0,75.0,75.0,75.0,25
0, 75.0,75.0,75.0,75
= 1/256
= 3/256
= 3/256
= 3/256
= 3/256
= 9/256
= 9/256
= 9/256
= 9/256
= 9/256
= 9/256
= 27/256
= 27/256
= 27/256
= 27/256
= 81/256
Lorsque nous parions, nous ne pouvons choisir qu'une
seule séquence, qu'un seul événement. L'événement le
plus probable est la séquence CCCC! Il est donc recommandé de parier à chaque fois sur café. Pour dix tirages
successifs, le raisonnement est analogue .
MATH-ÉCOLE n'' 199/octobm 2001
Pari
1
c
2
L
3
L
4
c
5
c
6
7
c
c
8
L
9
c
10
c
Tirage
Son
L
BOING
L
DING
c
BOING
c
DING
c
DING
c
DING
L
BOING
C
BOING
c
DING
Suite à un premier choix conforme au résultat
de l'expérience 1, nous constatons que Nelio
procède de manière très systématique : si sa
réponse est correcte (DING), il maintient sa
réponse ; dans le cas contraire (BOING), il
change. Ce qui donne schématiquement:
i
café
lait
café
lait
i+1
+
+
+
+
DING
DING
BOING
BOING
café
lait
lait
café
Conclusion
Nous nous demandions comment de jeunes
écoliers réagissaient face à une situation où
intervenait le hasard. Les observations que
nous venons de décrire nous conduisent à
d'étranges conclusions. Il semblerait en effet
que les connaissances intuitives - ici mises
en actes- que possèdent les enfants de 8 ans
soient du même ordre de complexité que
celles des adultes et ceci pour le meilleur
(expérience 1), comme pour le pire (expérience 2). Mais ... il est somme toute possible que
nous soyons nous-même tombé dans le même
travers que celui que nous venons de décrire
et ayons succombé au charme irrésistible de
la loi des petits nombres. Étant donné la faible
taille de notre échantillon, il est possible que
nos résultats ne soient dus qu'à une malencontreuse fluctuation d'échantillonnage. Cette
étude ne serait finalement représentative que
de notre faillibilité! Coup de sac!
Bibliographie
MENARD, S. (1995) . Applied logistic regression analysis. Thou sand Oaks, CA : Sage.
MORRIS, R. (Dir.) . (1994). Études sur l'enseignement des mathématiques: L'enseignement de la statistique
(Vol. 7). Paris: UNESCO.
OFFENBACH , S. 1., GRUEN, G. E., & CASKEY, B. J. (1984). Development of proportional response strategies.
Child Development, 55, 963-972.
PIAGET, J. , & IN HELDER, B. (1951 ). La genèse de l'idée de hasard chez l'enfant. Paris: Presses Universitaires
de France.
SHULTE, A. P. (1987). Research report: Learning probability concepts in elementary school mathematics.
Arithmetic Teacher, 34 (5) , 32-33.
SINGER, J. A. , KOHN, A. S., & RESNICK, L. B. (1997). Knowing about proportions in different contexts. ln T. NUNES,
& P. BRYANT (Eds.), Learning and teaching mathematics: An international perspective. Hove: Psychology Press.
TVERSKY, A. , & KAHN EMAN, D. (1971 ). Belief in the law of small nu rn bers. Psychological Bulletin, 76 (2), 105-11 O.
17
Secondaire
dans l'ensemble 7L exige un bond dans l'abstraction: vouloir à tout prix attribuer un sens
concret aux quantités négatives ou encore trouver un modèle tangible pour comprendre une
règle constituent des obstacles à la compréhension des nombres négatifs, comme à celle
d'autres concepts mathématiques d'ailleurs.
L'univers des nombres des élèves s'enrichit
au fil des années scolaires. Jusqu'au degré 4,
seuls les nombres naturels sont étudiés. Les
élèves se familiarisent ainsi tour à tour avec la
numération orale, la décomposition en unités,
dizaines, centaines ... , le sens des chiffres, les
relations existant entre les nombres (additive,
multiplicative) ... La résolution de problèmes
relevant des quatre opérations habituelles
renforce la connaissance de ces nombres. La
plupart du temps, les enjeux portent sur la
signification à accorder à chaque opération et
sur la pratique du calcul réfléchi. Les techniques
algorithmiques passent ainsi au second plan,
sans pour autant disparaître de la liste des
compétences exigibles.
S'ils ont déjà montré à plusieurs reprises le
bout de leur nez au cours des premières années
de la scolarité obligatoire, les nombres rationnels sont abordés de front dès la cinquième
année. Les écritures décimale et fractionnaire sont utilisées parallèlement (avec une place
de choix accordée à la première), l'éventail des
représentations s'élargit, la compréhension de
notre système de numération est approfondie, la comparaison, l'encadrement, l'intercalation de nombres non entiers sont monnaie
courante. L'étude des opérations dans l'ensemble iQ contribue- une fois encore- à l'appréhension de ces nouveaux nombres.
Pour que les élèves aient un aperçu complet
de la variété des nombres réels, les plans
d'études prévoient, vers la fin de la scolarité
obligatoire, une sensibilisation aux nombres
irrationnels. Cette curieuse espèce est difficilement saisissable par la pensée et est généralement source d'étonnement:
-
on ne peut pas les écrire sous forme de fraction; ils ne possèdent donc pas d'écriture
décimale finie ou périodique;
-
on peut en calculer autant de décimales que
l'on veut, mais sauf exception, une infinité
d'entre elles resteront à jamais inconnues;
-
l'ensemble des nombres irrationnels est infini et non dénombrable: contrairement aux
fractions, on ne peut pas les compter un à un;
il est impossible d'associer un nombre
rationnel à chaque point d'une droite sur
laquelle on a déterminé une origine et une
unité (l'intuition est parfois trompeuse ... );
pour ce faire, il faut considérer l'ensemble
des nombres réels, composé des rationnels et des irrationnels;
-
le produit de deux irrationnels n'ayant en
apparence aucun lien entre eux peut être
un entier: par exemple, [2 · [8 = .{16 = 4;
Un peu d'histoire
Le repérage des températures, la mesure des
altitudes et la datation des événements amènent tout naturellement les nombres négatifs.
La majorité des activités relatives aux opérations
18
C'est aux Pythagoriciens (vers le Ve siècle
avant J.-C.) que l'on doit la découverte de
rapports irrationnels. Il faut savoir que, pour
MATH ·ÉCOLE n'' 199/octobre 2001
les mathématiciens grecs, seuls les entiers
naturels étaient des nombres. 1t n'était pas
considéré comme un objet mathématique, bien
qu'Archimède en ait calculé une approximation, mais comme rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. De même,
f2. n'existe pas dans la mathématique grecque.
Ce qui existe, ce sont des grandeurs géométriques (longueurs, aires, volumes ... ) et des
rapports entre les mesures de ces grandeurs,
que l'on ne peut pas toujours exprimer sous
forme de fraction.
Avant les Pythagoriciens, on avait toujours
pensé que, deux segments a et b étant donnés, il en existait toujours un troisième - si
petit soit-il - qui aille un certain nombre de
fois dans le premier et un certain nombre de
fois dans le deuxième (un tel segment est
appelé «commune mesure ,, de a et b) . Or tel
n'est pas le cas. Par exemple, le côté d'un
carré et sa diagonale sont incommensurables,
ce qui paraît à peine croyable. En d'autres
termes, le rapport entre les mesures de ces
segments est irrationnel , comme le montre le
raisonnement suivant1, qui nous a été transmis par Euclide (Ille siècle avant J.-C.):
Construisons un carré ABCD. Sur AC, plaçons un point Etel que AB = AE, et traçons le
segment EF, perpendiculaire à AC:
G
-
L'angle EFC = 45° (180- 90- 45). Donc le
triangle CEF est isocèle et CE = EF.
-
Les triangles rectangles AEF et ABF ont
même hypoténuse (AF). En outre, par
construction, les côtés AE et AB sont isométriques. En vertu du théorème de
Pythagore, les côtés EF et BF sont aussi
isométriques.
Supposons alors qu'un segment u soit une
commune mesure de AB et de AC. On a ainsi
AB= p · u et AC= q · u, avec pet q qui sont
des entiers naturels.
Ce segment u mesure également AE et AC,
ainsi que leur différence CE. Donc il mesure
aussi EF, BF et encore CF (car il mesure BC).
Par conséquent, le segment u est une commune mesure de CE et de CF, côté et diagonale du carré CEFG, dont les dimensions sont
inférieures à celles du carré initial.
On est ici en présence d 'une contradiction.
En effet, on peut recommencer la même
construction dans le petit carré CEFG pour en
obtenir un plus petit, et ainsi de suite. En
poursuivant ce procédé, on finira bien par
obtenir un carré dont les côtés sont plus
petits que le segment u dont on a supposé
l'existence. Cette contradiction mène à refuser l'hypothèse initiale: il n'existe donc pas
de commune mesure entre le côté et la diagonale d'un carré et on ne peut pas écrire
AB p · u p
.
AB
AC = q . u =
avec p et q entters. AC est
q
est en conséquence un rapport irrationnel.
Une approche des irrationnels avec des
élèves de 14-15 ans
1.
La justification présentée ici n'est pas l'exact reflet de celle
effectuée par les disciples de Pythagore. En outre, elle est
transcrite dans les notations en vigueur aujourd'hui.
Le problème ci-dessous a été soumis à des
élèves de 8e et 9e années se destinant pour
la plupart à des études longues. Tous avaient
déjà étudié la relation de Pythagore. Répartis
en groupes de deux, ils ont disposé de 45
minutes pour rédiger un compte rendu sur
19
lequel devaient figurer leurs essais (dessins,
calculs ... ), leur(s) hypothèse(s), leur(s) solutions(s), mais aussi les éventuelles questions
engendrées par cette situation. Lors de la
mise en commun et de la synthèse, plusieurs
travaux ont été présentés au rétroprojecteur.
Une période a été consacrée à cette deuxième phase.
Un pavé dans la mare
ABC est un triangle isocèle rectangle.
B
n
Peux-tu paver exactement les carrés met n
avec un autre petit carré-unité?
Ce problème touche à plusieurs aspects mathématiques:
-
-
se justifier selon deux méthodes bien distinctes. L'une relève de la décomposition en
produit de facteurs premiers d'un nombre et
l'autre de l'irrationalité de .[2.
incertitudes liées à la mesure d'un segment à
l'aide d'un instrument;
distinction entre une longueur mesurée physiquement et une longueur déterminée par
calcul;
plus grand diviseur commun de deux
nombres;
décomposition en produit de facteurs premiers d'un carré parfait;
commune mesure de deux segments ou
de deux surfaces;
nombre irrationnel;
approximation d'un nombre;
justification arithmétique d'une propriété;
Première méthode
AB = AC, car le triangle ABC est rectangle
isocèle. En conséquence:
AB 2 + AC 2
L'aire du carré n est donc le double de celle
du carré m. Pour recouvrir n, il faudra donc le
double du nombre de pavés carrés nécessaires au recouvrement de m. Par ailleurs, ces
nombres doivent être des carrés parfaits.
L'impossibilité de paver exactement les carrés m et n avec des carrés isométriques peut
Procédons par essais successifs :
Nombre de pavés carrés pour recouvrir m
Nombre de pavés carrés pour recouvrir n
20
= AC 2 + AC 2 = 2 · AC 2 = BC 2
2
4
9
16
25
8
18
32
50
rvtATH · ÉCOI_E n'' 199/octobie ;>Q01
Aucun des nombres 2, 8, 18, 32 et 50 n'est le
carré d'un entier. Où cette recherche doit-elle
s'arrêter? A ce stade, les élèves perçoivent
généralement d 'eux-mêmes qu'il est vain de
poursuivre dans cette voie-là et qu 'il faut
recourir à une autre méthode. Pour les mettre
sur la piste de la justification, le maître peut
leur demander de décomposer des carrés
parfaits en produit de facteurs premiers, puis
d'examiner les décompositions obtenues :
4 = 2. 2
9 = 3. 3
16=2 · 2·2 · 2
25 = 5 . 5
36 = 2. 2. 3 . 3
49 = 7. 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
81 = 3 . 3 . 3 . 3
100 = 2 . 2 . 5 . 5
La question est alors la suivante: " Si la rn es ure de AC s'exprime par un nombre entier,
qu'en est-il de celle de BC? " · Pour y
répondre, il est nécessaire d'avoir quelques
connaissances à propos de
Mais comment trouver le nombre dont le carré est 2?
Ce nombre n'est pas égal à:
/2.
1,4
1,5
1,45
1,42
1,41
1,415
1,413
car
car
car
car
car
car
car
1,4 2 = 1,96
1,5 2 = 2,25
1,45 2 =2,1025
1,42 2 = 2,0164
1,41 2 = 1,9881
1,415 2 = 2,002225
1,413 2 = 1,996569
Les élèves poursuivent ainsi et trouvent des
approximations toujours plus précises de
(bien organisé, un groupe arrive assez rapidement aux limites de la machine). Certains
utiliseront peut-être la touche [x . Si, à un
moment donné, ils pensent avoir trouvé le
nombre qui convient, le maître peut leur
demander de procéder à une vérification, en
introduisant ce nombre chiffre par chiffre
dans la machine et en le multipliant par luimême. Certaines machines afficheront 2,
d'autres un nombre tout proche. Quoiqu 'il en
soit, la plupart des élèves sont convaincus
qu'il existe un décimal dont le carré est 2.
/2
On établit ainsi qu'un carré parfait est le produit d 'un nombre pair de facteurs premiers.
Le double d'un carré parfait n'est donc pas un
carré parfait, car sa décomposition contient
un nombre impair de facteur(s). En conclusion, on ne peut pas paver les carrés m et n
avec un petit carré-unité.
Deuxième méthode
2 · AC 2 = BC 2 =>
j2 · AC 2 = BC
=>
j2 ·AC= BC
Pour montrer qu'il n'en existe pas, il suffit
d'établir un lien entre le dernier chiffre d'un
nombre et celui de son carré:
Dernier chiffre du nombre décimal
2
3
4
5
6
7
8
Dernier chiffre de son carré
4
9
6
5
6
9
4
Quelques multiplications écrites effectuées
selon un algorithme permettent de dresser ce
tableau et de conclure que 2,000 .. .0 ne peut
être le produit d 'un nombre décimal par luimême, ni d'ailleurs le produit d'un nombre
MArH-ÉCOLE n" 199/octobre 2001
9
périodique par lui-même. Il n'existe donc pas
de segment qui aille un nombre entier de fois
dans AC et un autre nombre entier de fois
dans BC. Ces deux côtés sont incommensurables.
21
Quelques travaux d'élèves
et des difficultés rencontrées. Ils mettent également en lumière les représentations mentales de certains élèves à propos des nombres.
La brève analyse qui les accompagne a été
rédigée suite à des entretiens individuels.
Les extraits de travaux ci-dessous ont été
présentés au cours de la mise en commun. Ils
illustrent des stratégies de résolution possibles
-
L'élève construit un triangle ABC, mesure le grand côté (BC), puis s'appuie sur des valeurs approximatives
pour conclure. Peut-être y a-t-il confusion entre la mesure physique d'un segment, qui n'est pas exacte,
et sa longueur définie mathématiquement.
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Les mesures approximatives des côtés
sont établies à l'aide de la relation de
Pythagore. Le problème est alors résolu en lien avec l'expérience pratique
quotidienne (à l'image d'un artisan
qui pose des carreaux sur un sol) et
non dans un contexte mathématique
(qui exige, dans ce cas, des résultats
exacts). Ces deux approches méritent
d'être relevées et discutées avec les
élèves.
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L'élève sait que l'écriture décimale affichée par la machine ne correspond pas exactement à ./32. Il ne
soupçonne sans doute pas que cette écriture est illimitée et non périodique.
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22
MATH-ÉCOLE n' 199/octobre 20J1
-
Le plan de résolution est tout à fait correct. La difficulté qui n'a pas été surmontée ici est liée à la démarche
à mettre en œuvre pour trouver un nombre entier dont le double du carré est égal à un autre nombre entier.
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-
Le rapport des aires des carrés (2) est établi par calcul. La recherche se situe alors sur le terrain des carrés
parfaits. Quelques essais conduisent à une réponse qui relève, entre autre, de l'intuition.
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-
L'impossibilité de paver les carrés provient ici de la nature de la racine carrée d'un nombre qui n'est pas
un carré parfait. Lécriture décimale correspondante étant non périodique et<< ne se terminant pas 2 >>, il
n'existe pas de segments qui aille un nombre entier de fois dans a et dans b.
2.
Selon les propos de l'élève
23
-
Il arrive enfin que certaines productions reflètent une très bonne maîtrise des concepts mathématiques
en jeu. Tout commentaire serait donc ici superflus!
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MATH- ÉCOLE n'' 199/octobre 2001
En guise de conclusion
Une telle activité permet de mettre en exergue,
dans un contexte significatif, l'existence des irrationnels. A l'école obligatoire, on se situe dans
une toute première approche de ces nombres,
dont l'étude se poursuivra au fil des années,
pour déboucher au niveau universitaire sur la
construction des nombres réels. Il convient donc
de limiter sérieusement ses ambitions lorsque
l'on aborde ce sujet avec ses élèves et de ne pas
basculer dans un excès d'exercices formels, où
la technique prime sur le sens. Percevoir l'irrationalité ou, dit autrement, qu'une droite est infiniment plus riche en points que l'ensemble des
rationnels n'est riche en nombres n'est pas
une mince affaire. Cela demande du temps et
exige une grande capacité d'abstraction.
Bibliographie
Thomas-Van Dieren F., Rouche N., Mesures, pavages et nombres irrationnels, GEM 1985, Louvain-la-Neuve
Deledicq A., Casiro F., Apprivoiser l'infini, ACL-Editions, 1997
Chouchan N., Les mathématiques, Flammarion, 1999, Paris
La Recherche, hors série W 2, août 1999
Suite de la page 40 «Questions sur la géométrie et son enseignement,,- Note de lecture
Exemple 2 (Chapitre 6. Pliages, une géométrie sans instrument, p. 91)
Triangle équilatéral, gabarit à 60°
La construction suivante permet de réaliser un triangle équilatéral à partir d'une feuille rectangulaire.
A l'école élémentaire, cette construction est proposée telle quelle, et permet d'établir un gabarit à 60°. Elle
ne peut être justifiée que plus tard (au collège) par l'analyse qui va suivre. Elle est intéressante en ceci que
la définition utile du triangle équilatéral n'est pas la plus simple (équilatéral H côtés égaux H angles
égaux). Les propriétés qu'on va utiliser sont celles-ci:
-un triangle équilatéral est deux fois isocèle;
-dans un triangle isocèle, la hauteur relative à la base est aussi médiane ;
-dans un triangle isocèle, deux hauteurs sont égales.
A"
1
1
____ .!.
1 ________ _
,
1
\
A
II!J 14 a
A
llg 14 c
... (suit la démonstration que le triangle ABC obtenu après les trois pliages des figures 14 a, 14 b et 14 c
est équilatéral)
Là aussi on voit tout l'intérêt d'une construction qui permet d'obtenir un gabarit de l'angle de 60° à
l'école primaire pour aboutir à une démonstration à l'école secondaire. C'est un exemple du passage
de l'expérience, à l'intuition puis à la déduction, dans un va-et-vient entre objets sensibles, notions
géométriques et système formel.
MAr H É.Cül.E n" 199/octobre ;JQ01
4. Visite éclair au musée (coefficient 4)
16e Championnat
International des Jeux
Mathématiques et
Logiques
Le plan de ce musée indique le nombre de
tableaux exposés dans chacune des douzes
salles. Mathias n'a le temps de visiter que six
salles et il veut voir le plus grand nombre
possible de tableaux. Dessinez son trajet.
Début catégone CE
•·
'
...
1. Les carrés (coefficient 1)
5. La tablette de Mathilde (coefficient 5)
Comptez tous les carrés de
la figure ci-contre.
Mathilde a une tablette de chocolat constituée
de 5 x 8 carrés. A chaque fois qu'elle rencontre
une amie, elle lui offre du chocolat en cassant
une rangée horizontale ou verticale du reste de
la tablette. A combien d'amies, au maximum,
peut-elle offrir du chocolat, si elle se garde le
dernier carré?
2. Le carrefour (coefficient 2)
••••••••
••••••••
••••••••
••••••••
••••••••
Audrey arrive à un carrefour où elle peut lire les
deux indications suivantes: << Mathville 88 km ••
et <<Calculcity 40 km••. Quelle est la distance
entre Mathville et Calculcity, au maximum?
Début catégone CM
3. Le cube incomplet (coef. 3)
6. Les bougies (coef. 6)
Mathias voulait construire un grand cube de
5x5x5 petits cubes (sans trous). Il n'a pas pu le
terminer. Combien de petits cubes lui manquait-il?
Les bougies d'Alain et de Béatrice ont la
même taille. Celles de Béatrice et de Claire
ont la même couleur. Celles de Claire et
Daniel n'ont pas la même taille. Enfin, celles
de Daniel et d'Alain n'ont pas la même couleur. Quelle est la bougie d'Elodie?
26
gauche à droite et de droite à gauche, est un
nombre palindrome. Quelle sera la date palindrome suivante?
7. La ficelle de Ludo (coef. 7)
Ludo a une ficelle sur
laquelle il a fait trois nœuds
fulll.Urunwaf
B
umuu~.
A,
B et C. Le morceau de
lin~
ficelle AB correspond à un
quinzième de la longueur
totale de la ficelle et AC à
un sixième. S'il enroule le
morceau AB autour d'un
tronc d'arbre, Ludo fait
exactement deux tours.
Combien de tours Ludo peut-il effectuer sur
le même tronc avec BC?
"~~"""'
~
~
10. Les maisons amies (coefficient 10)
Ma rue comprend exactement 99 maisons
numérotées de 1 à 99, les numéros pairs étant
situés d'un côté et les impairs de l'autre. Il se
trouve que lorsque deux maisons sont numérotées à l'aide de numéros à deux chiffres utilisant les deux mêmes chiffres dans un ordre
différent, et que la différence entre les deux
numéros (le plus grand moins le plus petit) est
égale à 45, alors les familles qui habitent ces
maisons sont amies. Combien y a-t-il de paires
de familles amies dans ma rue, au minimum?
8. Le plan du musée (coefficient 8)
Ce musée expose dans neuf salles. La salle
Braque (B) est indiquée. On trouve des cartes
postales dans la salle Ernst (E). De la salle
Van Gogh M. on peut se rendre directement
dans les salles Picasso (P), Cézanne (C) et
Kandinski (K). De la salle Kandinski, on peut se
rendre directement dans les salles Braque,
Matisse (M) et Renoir (R). De la salle Dali (D),
on ne peut pas se rendre directement dans
la salle Braque. De la salle Matisse, on peut
se rendre directement dans les salles Picasso
et Dali. Complétez le plan à l'aide des initiales des peintres.
..
~
~
9. Février palindrome (coefficient 9)
11. Bon pour un 421 (coefficient 11)
Mathias et Mathilde jouent au jeu suivant. Ils
ont écrit, dans cet ordre, les neuf chiffres 1 2
3 4 5 6 7 8 9 et ils essaient, en intercalant
entre certains chiffres, une ou plusieurs fois,
un ou plusieurs de symboles +, -, x et /,
d'obtenir 421. Mathilde a écrit 1 + 2 x 3- 45
+ 6 x 78- 9 =421, tandis que Mathias a trouvé 12 x 34-56 + 78-9 = 421. Proposezleur une autre solution.
Fin catégone C1
12. La cible (coefficient 12)
Dans cette cible, le cercle moyen a un rayon
double de celui du petit et le grand cercle a
un rayon triple de celui du petit cercle. La
cible a une aire totale égale à 1113 cm 2 •
Quelle est l'aire de la zone blanche? On
pourra prendre 22/7 pour n.
On écrit les dates sous la forme «jjmmaaaa,
(par exemple 01 092001 pour le 1er septembre
2001). Le 20 février 2002 s'écrira 20022002.
Un tel nombre, qui se lit de la même façon de
27
13. Le parallèlogramme (coefficient 13)
16. Le retour de Pent'x (coefficient 16)
Mathias a devant lui un parallélogramme de
papier. Il le plie selon un segment [AE] de telle
sorte que D vienne en D', puis le déplie et le
plie à nouveau selon [CF] de telle sorte que B
vienne en B'. On constate alors que (EF) est
perpendiculaire aux côtés [AB] et [OC]. De
plus, on sait que AD = 10 cm et AF = 5 cm.
Quelle est l'aire du parallélogramme? On
pourra prendre, si besoin est, 1,414 pour -J2;
1, 732 pour ;/3 et 3,14 pour 1t, et on arrondira
si besoin est au cm 2 1e plus proche.
Pour que Pent'X puisse loger dans une maison, on doit pouvoir l'y poser de telle façon
que ses contours coïncident avec les contours
des petits carrés de la maison, sans qu'il
recouvre un petit carré grisé. Il suffit de griser
4 cases d'une grille à 5 lignes et 6 colonnes
pour qu'elle devienne «inhabitable» par Pent'X,
comme le rappellent les deux exemples cidessous.
8
Fm catégorie C2
Mais combien existe-t-il de façons différentes (y compris les deux précédentes) de
griser ainsi 4 cases pour qu'elle devienne
inhabitable par Pent'X? Des grilles identiques par symétrie ou retournement seront
comptées pour une seule.
Fm catégorre L1 GP
14. Rectangle de hasard (coefficient 14)
Je lance deux dés à six faces, numérotées
de 1 à 6. Les deux nombres obtenus sont la
longueur et la largeur (en cm) d'un rectangle
que je construis. Je m'aperçois alors qu'en
augmentant d'un même nombre entier de
cm la longueur et la largeur de ce rectangle,
son aire double. Quelle est l'aire, en cm 2 , du
rectangle doublé?
17. Le polygone mystérieux (coefficient 17)
Ludo vient de calculer le côté d'un polygone
régulier à douze côtés (un dodécagone) inscrit
dans un cercle de rayon 1. Il a trouvé ;/(2 - '13)
cm. Papy Georges, qui passait par là, lui indique
qu'un polygone régulier inscrit dans le même
cercle a un côté mesurant, en cm:
~2 - ~2 + -/2 + .J2+T3.
15. Le vélo sans chaîne (coefficient 15)
Combien ce polygone compte-t-il de côtés?
Léa a trouvé un petit vélo auquel il manque la
chaîne. Le grand pédalier denté a un rayon de
21 cm et la petite roue dentée un rayon de 3 cm,
la distance entre les deux centres étant de
36 cm. Quelle est, au minimum, la longueur de
la chaîne que Léa doit acheter? On prendra
3,1416 pour 1t et 1, 732 pour -J3. On arrondira
au mm le plus proche.
28
18. Le terrain du père C. Cussion
(coefficient 18)
Charles Cussion possède un terrain triangulaire sur lequel se trouve une mare parfaitement circulaire et tangente aux trois côtés du
terrain, de diamètre 42 m. Charles clôt entièrement son terrain et remarque qu'un des
points de tangence de la mare partage le côté
correspondant du triangle en deux segments
de longueurs respectives 23 m et 27 m.
Quelle est la longueur totale de la clôture
du terrain du père C. Cussion? On donnera
une réponse éventuellement arrondie au cm
le plus proche.
Ful Clllégorle!; L2 HC
Comment participer au seizième Championnat International des Jeux Mathématiques
et Logiques?
1) Repérez les problèmes que vous avez à résoudre (de 5 à 12 problèmes selon votre catégorie) .
catégorie CE: Cours Elémentaire 2 (3e année de l'école primaire)
catégorie CM: Cours Moyen 1 et 2 (4e et 5e années de l'école primaire)
catégorie C1 : classes de 6e et 5e des collèges (2 premières années du secondaire)
catégorie C2: classes de 4e et 3e des collèges (3e et 4e années du secondaire)
catégorie L1 :classes de 2e et 1e et Term 1• des lycées (3 dernières années du secondaire)
catégorie L2: 2 premières années de l'enseignement post-baccalauréat
catégorie GP: grand public (les ex-participants à une finale internationale sont en HC)
catégorie HC: haute compétition
2) Essayez de résoudre ces problèmes et complétez le bulletin-réponse que vous trouverez sur le site
http ://www.ffjm.cijm.org pour les catégories autres que CE et CM (chaque problème peut avoir une
ou plusieurs réponses; si l'emplacement pour deux réponses est prévu, cela n'implique pas qu'il y
en ait forcément plusieurs).
3) Joignez le montant de votre adhésion:
France
Suisse
CE/CM
5 euros (32 FF)
7 FS
C1/C2
8 euros (53 FF)
15 FS
L1
L2
GP/HC
10 euros (66 FF) 12 euros (80 FF) 16 euros (1 05 FF)
20 FS
23 FS
30 FS
4) Postez le tout avant le 31 décembre 2001 à: F.F.J.M. 1 Avenue Foch, 94700 MAISONS-ALFORT
Pour la Suisse: FFJM-Suisse B.P.
91 CH1008 PRILLY
Bonne participation!
MATH-ÉCOLE n'' î 99/octobre 2001
29
Primaire -Secondaire
des mathématiques. Ces deux mouvement
empruntent au logicisme (Frege, Russel) du
début du XXe siècle. Il convient toutefois de
remarquer que la réforme des "mathématiques modernes,, en recouvre en fait deux,
homonymes, mais d'inspiration et d'évolution assez distinctes.
A l'école, cette réforme a surtout porté
sur la construction du nombre; elle a eu
pour conséquence par défaut un retrait de
la géométrie vers l'arrière-plan.
La géométrie demeure un domaine majeur de
l'enseignement des mathématiques depuis
des siècles. Mais depuis quelques dizaines
d 'années sa part et son rôle ont connu des
variations importantes et suscité des incertitudes. Que faut-il enseigner? Dans quel but
et de quelle façon? Quels objectifs et quels
contenus au long de la scolarité? On observe
souvent des ruptures importantes entre
maternelle et élémentaire, entre école et collège; comment les éviter?
A la fin du XIXe siècle, en France, la géométrie est une "leçon de choses ,: il s'agit de
faire reconnaître les figures régulières, d'acquérir quelques notions sur les solides, de les
appliquer aux calculs d'aires et de volume.
Pendant plus d'un demi-siècle, les instructions prescrivent une "géométrie concrète,,,
c'est-à-dire l'utilisation des instruments de
mesure ou de tracé, conduisant " naturellement ,, à une intuition des notions de point,
ligne, surface, volume et non pas à leur définition. Ce point de vue se retrouve jusqu'au
collège. Il est clairement inscrit dans une
orientation instrumentale et utilitaire.
Ce sont les années 60-70, avec les «mathématiques modernes ••, qui introduisent une
rupture décisive dont l'origine est assurément
la rencontre - non fortuite - du constructivisme (Piaget) et de la refonte contemporaine
1.
30
Voir aussi «Notes de lecture», pp. 39,40
Au collège et au lycée, l'introduction de
notions ensemblistes va de pair avec une
géométrie résolument axiomatisée et abstraite qui s'inspire du courant formaliste issu
de la " critique des fondements,, (Frege,
Peano, Hilbert).
L'enseignement à l'école n'a pas connu ultérieurement de vraie rupture: la démultiplication des étapes du calcul demeure, même
après élagage des notions qui se sont avérées superflues; la géométrie, comme activité constructive, a retrouvé une place plus
étendue, tout en mettant à jour les interrogations qui sont l'objet de ces pages.
En revanche, au collège et au lycée, le rejet de
l'intuition et la ferveur axiomatique ont très
rapidement montré leurs limites, pour ce qui
concerne l'enseignement ; le recentrage, dans
les années 80, sur l'activité de résolution de
problèmes rapproche du point de vue constructiviste, édulcoré de ses excès logicistes. Dans la
résolution de problèmes, une attention croissante est donnée à la méthode, au détriment
du répertoire des connaissances exigibles.
C'est une façon de redonner place à l'intuition, sans revenir toutefois à la construction
fortement déductive, celle de la "géométrie
des Traités ••, qui avait caractérisé l'enseignement de la géométrie pendant des siècles. Ce
qui, du reste, ne dissipe pas les questions en
suspens : quel rôle laisser à l'intuition? Comment passer du concret à l'abstrait? Comment
MATH-ÉCOLE n'' 199/octobre 2001
articuler observation et déduction, et à partir
de quand?
A ces incertitudes pédagogiques s'ajoutent
depuis quelques années, sous prétexte d'allègement, une réduction de la géométrie
dans les programmes, principalement au
lycée. Au collège, l'on observe ou bien l'on
admet, plutôt que l'on démontre. Alors que la
raison d'être majeure de la géométrie dans
l'enseignement, surtout depuis le XVIIe
siècle, est d'opposer à l'autorité un art de raisonner juste. Les incertitudes pédagogiques
consécutives expliquent probablement que
la géométrie laisse si peu de souvenirs, ou de
si mauvais, dans la mémoire des anciens
élèves et notamment chez les futurs professeurs. On observe en effet au mieux un déficit de connaissances, au pire une attitude
négative vis-à-vis de la géométrie, et à coup
sûr une insuffisance de la formation des professeurs. La création des IUFM n'a rien amélioré à cet égard, puisque la géométrie n'est
plus guère enseignée à l'université, ce qui ne
manque pas de retentir en retour sur l'enseignement lui-même ...
Une question centrale consiste à se demander si, au long de la scolarité, il y a continuité
ou bien ruptures entre les différentes formes
d'activités géométriques et les objectifs
poursuivis. La rupture didactique a certainement des effets dévastateurs, particulièrement au collège: s'agit-il d'observer ou de
démontrer? En fonction de quelles prémisses
supposées acquises? Faute d'un contrat
clair, explicite et justifié (à quoi bon démontrer
ce que l'on voit?), l'enseignement de la géométrie est privé de boussole. L'un des objets
de cet ouvrage est de convaincre de la possibilité de réduire les discontinuités d'un point
de vue à un autre, au long d'un même thème.
Ce que propose ce livre
Un traité de géométrie se propose de rassembler de façon ordonnée et déductive des
MATH-ÉCOLE n" 199/octobm 2001
résultats, à partir de la définition des objets les
plus simples. Ce n'est pas le but de cet ouvrage; il serait vain de chercher ici une définition
d'un point, d'une ligne ou d'un plan. On pourra cependant trouver des énoncés de théorèmes, et leur démonstration.
L'objet de ce livre n'est pas non plus de délivrer des séquences «prêtes à l'emploi"· Il
existe déjà de nombreux ouvrages qui le font,
et de qualité. Mais ce qui manque à chacun
d'eux c'est précisément ce qui pourrait les
lier aux autres, une ligne directrice qui donne
sens à telle activité, à tel moment, et inscrit
cette activité dans une continuité.
La mise en œuvre d'une séquence est chose
personnelle: chacun y imprime son style, et
adapte en fonction du groupe avec lequel il
travaille, à un moment donné; cette mise en
œuvre relève des choix et de la responsabilité de chacun. Si l'on peut énoncer des précautions à prendre ou des risques à éviter, on
ne saurait décrire une modalité universellement efficace.
Les manuels sont liés par des programmes.
Ces programmes, on le sait, changent au gré
de l'histoire mais ces turbulences sont
contingentes: une question n'est jamais
abordée une fois pour toutes. Selon la classe,
le professeur et le moment, des amorces,
ajustements, ou retours sont souhaitables ou
non, utiles ou non. Le programme n'est
qu'une indication moyenne. L'intérêt d'une
approche thématique est précisément dans
cette transversalité inter-niveaux.
La plupart des notions géométriques sont
abordables selon plusieurs points de vue ou
bien en mettant en œuvre des supports différents. C'est précisément cette pluralité d'approche qui est constitutive de l'objet géométrique. On peut alors envisager une approche
par thème ou par type d'activité: c'est l'approche choisie dans plusieurs cas: puzzles,
pliages, pavages, etc. Mais l'on risque alors
de perdre de vue les notions derrière les
31
ustensiles. C'est pourquoi les chapitres
empruntent à ces deux approches, par activité et par notion.
Un enseignement met en jeu en première
approximation un savoir à enseigner, un professeur et des élèves. Le savoir à enseigner
n'est pas exactement le savoir savant; les
professeurs comme les élèves sont porteurs
de conceptions propres et s'inscrivent dans
des réseaux d'interprétations (familiales,
sociales, psychologiques). Tous ces éléments interfèrent fortement, donnent forme
ou déforment les modalités possibles de
transmission de savoir ou d'acquisitions de
connaissance. La didactique a pour noble
ambition d'élucider scientifiquement ce
réseau complexe. Ses progrès et leurs
conséquences pratiques sont en mesure
inverse de cette ambition, qui est grande. On
peut dire que, pour l'essentiel, la didactique
de la géométrie reste à faire. Ce qui ne doit
pas décourager les professeurs d'enseigner,
ni les élèves d'apprendre; c'est ce que les
uns et les autres continuent de faire, sans
attendre.
La succession des chapitres ne constitue en
rien une progression chronologique ou
notionnelle. Chaque chapitre est organisé
autour d'un support, d'un thème pratique ou
d'un objet théorique et tente d'exposer son
développement longitudinal à l'aide d'activités réalisables en classe, ou de problèmes de
niveaux divers.
Ainsi les agencements de figures (puzzles)
conduisent naturellement à la notion d'aire, et
celle-ci au théorème de Pythagore. Celui-ci
ne figure qu'au programme de Quatrième,
mais rien n'interdit - bien au contraire d'évoquer cette question plus tôt, sans la formaliser. De la même façon, les questions
d'agrandissement/réduction étudiées au
cycle Ill contiennent en germe le théorème de
Thalès et des propriétés des homothéties.
32
Les programmes n'en font apercevoir la
cohérence qu 'en Première ou en Terminale.
C'est pourquoi une partie est consacrée, en
annexe, aux transformations géométriques
dont la place dans les programmes est de
plus en plus réduite.
En revanche, plusieurs points figurant au programme du collège ne sont pas, ou presque
pas, abordés, comme la géométrie vectorielle ou analytique; non pas qu'elles paraissent
manquer d'importance ou de portée, mais
parce que la géométrie de l'école ne les
annonce guère. Elles appartiennent à un tout
autre champ, celui du calcul et de l'algèbre,
qui procède d'une autre représentation de
l'objet et de la preuve.
L'ouvrage est découpé en nombreux petits
chapitres de façon à permettre une lecture
plus fluide, au gré des choix et des goûts du
lecteur. Une note en fin de chapitre suggère
des applications pédagogiques et les niveaux
d'utilisation. Des renvois entre chapitres indiquent des passerelles possibles. Le dernier
chapitre est consacré à des annexes des
chapitres précédents. Il s'adresse directement aux professeurs et suppose donc
connues les notations habituelles de la géométrie et de la trigonométrie. Il propose des
prolongements ou des justifications qui excèdent la pratique de la classe aux niveaux évoqués par les autres chapitres. Il s'agit de
compléments de formation ou de réponses
(partielles ... ) à quelques légitimes curiosités.
Un index permet de circuler à travers les
notions et les activités évoquées dans les différents chapitres, de retrouver un résultat ou
une démonstration.
Une bibliographie propose au lecteur d'approfondir tel ou tel aspect quand il le souhaite.
Nathan Pédagogie, 336 pages, 135FF, 2001
-----1--
La cc mise en ·commun»,
enjeu des.innovations
actuelles dans l'enseignement des mathématiques
L'enseignement des mathématiques a vu se
succéder de nombreux modèles de l'apprentissage: «socratique>>, <<platonique ••, «transmissif ••, «empiriste>>, «béhavioriste ••. L'innovation romande qui atteint actuellement le
degré 5 de l'école primaire et va s'étendre
prochainement sur l'ensemble de la scolarité
obligatoire, repose sur des conceptions que
1'on qualifie de " socio-constructivistes >>.
"Constructiviste>> parce que les connaissances nouvelles sont construites à partir de
ce que l'on sait déjà, par action sur les informations reçues, par transformations et adaptations successives.
'' Socio >> parce que la construction se fait en
interaction avec d'autres partenaires, ce qui
en assure le sens, par la validation et la communication.
Dans une leçon magistrale, le maître a la faculté
de modifier l'exposé qu'il a préparé selon les
réactions de son auditoire. Dans l'enseignement
programmé, le cours prévoit un découpage
minutieux de la progression par des questions
intermédiaires qui sont autant de contrôles
ponctuels et qui en assurent le déroulement sans
ruptures. Dans une conception socio-constructiviste, les premières responsabilités de l'apprentissage passent du maître, ou du cours,
à l'élève lui-même. Il en découle une organisation du travail bien différente.
MATH-ÉCOLE
n" 199/octobre 2001
Puisqu 'on veut laisser à l'élève la charge de la
construction de ses nouvelles connaissances, il
faut le placer dans des situations favorables à
leur émergence, c'est-à-dire lui proposer des
problèmes à résoudre. Mais par n'importe
lesquels! Leur choix requiert une analyse a priori des représentations et connaissances antérieures, des procédures et stratégies probables,
des obstacles et des éventuelles relances à
apporter pour les surmonter.
La mise en scène de la situation est alors très
précise:
- une phase d'appropriation du problème,
pour pouvoir " Y entrer>>;
- une phase de recherche, avec interactions
et échanges, appelant une démarche scientifique faite d 'hypothèses, essais, vérifications et justification;
- une "mise en commun >>, ainsi nommée dans
les ouvrages romands de 1 P à 4P.
Le maître qui, jusque là s'était refusé «à intervenir comme proposeur des connaissances qu'il
désire voir apparaître 1 >>, va reprendre, en fin ou
en complément de cette mise en commun , certaines des responsabilités dévolues aux élèves
dans les phases précédentes. Il redevient animateur, apporte sa caution, développe, établit
les synthèses, dresse les bilans, donne un statut
social et scientifique aux nouvelles connaissances apparues en les institutionnalisant.
C'est ici que se situe le défi! Va-t-on pouvoir
s'assurer que l'activité a abouti à la connaissance visée, que celle-ci est reconnue par
tous et que le moment est venu de la rend re
opérationnelle?
Nous sommes ici au coeur des futurs débats
et formations liés à l'innovation actuelle de
l'enseignement des mathématiques.
1. Brousseau Guy. Fondements et méthodes de la didactique
des mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques. 1986. Vol7.2 pp 33-115.
33
Un exemple
Nous allons illustrer les enjeux de la mise en commun par un problème de la finale du 6e Rallye mathématique transalpin (RMl) et repris ensuite dans les nouveaux moyens d'enseignement romands 2 •
TABLE DE MULTIPLICATION
Alain a construit une petite table de multiplication, des nombres de 1 à 6 (dans la ligne du haut) par
les nombres de 1 à 4 (dans la colonne de gauche).
Dans sa table, Alain a écrit trois fois le nombre 12.
x
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
Berthe a construit une grande table de multiplication, des nombres de 1 à 25 (dans la ligne du haut)
par les nombres de 1 à 70, (dans la colonne de gauche).
Combien de fois a-t-elle écrit le nombre 72?
Justifiez votre réponse.
On se situe ici en arithmétique, le concept en
jeu est celui de diviseur. Il y a 9 produits égaux
à 72 figurant dans la table de Berthe: 2 x 36,
3 x 24, ... 24 x 3, dont les facteurs sont les
diviseurs de 72 respectant les contraintes de
l'énoncé.
Le problème a été proposé aux classes de 3e
à 5e primaire. Dans l'ensemble, la réussite est
bonne: sur les 11 classes romandes concernées, le nombre 72 apparaît 6 fois (dans 1
cas), 8 fois (1 ), 9 fois (3), 10 fois (4) et 11 fois
(1 ). L'erreur la plus fréquente, 10, consiste à
compter les deux permutations 2 x 36 et 36 x 2
alors qu'il n'y en a qu'une seule dans la table
de Berthe.
2.
34
M. Chastellain, F. Jaquet. Mathématiques, cinquième année
Livre de l'élève (Th 5. p. 49) CO ROME. 2001
Mais si la réponse donne un premier indice de
réussite, c'est seulement la justification qui
permet d'en savoir plus. Dans le RMT, elle est
rédigée par le groupe d'élèves ayant répondu
au problème. Dans le contexte ordinaire de la
classe, elle apparaît lors de la mise en commun.
C'est cette justification qui permet de connaître
les stratégies adoptées et d'évaluer si les
connaissances visées ont bien été construites,
ou pour le moins mises en œuvre.
Par exemple, voici deux solutions de classes
de fin de quatrième année:
Dans la première (figure 1), tous les produits
avec le premier facteur variant de 1 à 25 ont
été essayés, puis effacés au cas où "on ne
peut pas faire le calcul"·
Dans la seconde (figure 2), la table de 25 sur
70 a été construite.
iVlATl-1-f'COUë. n'' 199/octobre 2001
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Figure 1
Les concepts de multiples et diviseurs figurent explicitement dans les programmes et
les moyens d'enseignement de 5e année.
Nous examinerons donc les protocoles des
quatre classes de ce degré auxquelles le problème était proposé 3 :
A: 9 fois.
On a divisé 72 par tous les nombres de 1 à 25.
Si le résultat n'obtenait pas de virgule et ne
dépasse pas 70 (nous aurions aussi pu diviser
72 par les nombres de 1 à 70 mais ça aurait
pris plus de temps).
3.
B: 9 x 8 ; 8 x 9; 2 x 36; 36 x 2; 18 x 4; 4 x 18;
12 x 6 ; 6 x 12; 3 x 24; 24 x 3.
Nous avons conservé l'orthographe et la ponctuation des
textes d'origine, en italique.
MATH-ÉCOLE n" 199/oct.obre 2001
35
Premièrement on a divisé 72 par des nombres
pairs comme 8, 2, 4, 6, 12, 18, 24 et 36.
Deuxièmement nous avons essayé avec des
nombres impairs comme 9 et 3, mais 5, 7, 11,
13, 15, 17, 29, 31, 33 et 35 ne marchait pas
car le résultat était des nombres à virgule.
72 7 5 = 14,4; 72 7 7 = 10,2; ... (suit l'énumération de toutes ces divisions, avec les quotients
arrondis à un chiffre après la virgule et l'usage du
signe «7» de la calculatrice, voir figure 3)
Figure 3
C: 8x.
On a fait 72 : 1, 72 : 2, etc. et après on a pris
les nombres entiers et on les a compté.
D: Nous avons commencés de diviser 1, 2,
3 etc ... par 72
Puis nous avons trouvé 3 · 2412 · 3614 · 181
6·1218·91
Puis nous avons trouvé qu'on peut aussi inverser les chiffres et ça donne le même résultat.
36
Manifestement, le concept de diviseur n'apparaît pas clairement dans ces protocoles, à
l'exception de B où il est peut-être considéré
comme implicite. En revanche, un algorithme
de recherche de tous les quotients entiers de
72 par les premiers nombres naturels Ousqu'à
25, 36, 70 ou 72) est bien là. Mais ces procédures sont encore bien coûteuses et par
conséquent peu sûres (C et D). Que de vérifications inutiles et inopportunes!
Alors, imaginez la situation: en fin d'année
scolaire, quatre groupes de vos élèves apportent ces justifications pour une mise en commun. La balle est dans votre camp. Qu'allezvous dire? qu'allez-vous faire?
Allez-vous engager une discussion pour déterminer, avec les élèves, les ressemblances et
différences, les avantages et inconvénients
des différentes stratégies? Allez-vous renvoyer certains groupes à leurs recherches
pour mieux faire émerger le concept des
"diviseurs de 72 » ou au contraire décider de
l'institutionnaliser, de montrer son efficacité
dans cette situation, d'enseigner un algorithme économique pour le «cas général»?
Les réponses sont multiples, elles dépendent
du moment, du temps à disposition, de la
classe, des élèves, des besoins en connaissances et savoirs pour la suite du programme, etc. Dans tous les cas, le rôle et l'action
du maître durant la synthèse de cette "mise
en commun,, seront déterminants pour que,
chez ses élèves, le concept de diviseur accède au statut de savoir ou de connaissance
reconnue et efficace dans d'autres situations.
Pour relever le défi, il faudra bien que chacun,
dans une perspective socio-constructiviste,
construise sa connaissance de cet objet d'enseignement, de sa genèse et de ses liens avec les
autres savoirs mathématiques indispensables.
Fête de Math-Ecole
Samedi 1 décembre 2001, Neuchâtel.
ateliers et expositions du matin:
Rivages mathématiques
Atelier-exposition 7-8-9
Présentation de la journée •• Fête de la géométrie, (Le Locle, juin 2001)
Atelier sur le jeu (François Boule)
Animations
Stands de livres
conférence de l'après-midi:
La géométrie et la nature des choses, par Nicolas Rouche
Bulletin d'inscription:
Participation
journée entière (de 9h30 à 16h45)
repas (12h30 à 14h30)
ateliers et exposés du matin (9h30 à 12h15)
conférence et partie officielle (14h45 à 16h45)
nombre de personnes
0
0
0
0
Nom, prénom :
Adresse :
Tél, ou e-mail :
Une participation financière de 10 Fr sera demandée pour couvrir les frais de la journée. Le prix du repas
ne dépassera pas 40 Fr. Bulletin à faire parvenir à Math-Ecole, Case postale 54, 2007 Neuchâtel 7 ou par
internet: http//www.irdp.ch/math-eco
37
RMT: ÉVOLUTION DES CONNAISSANCES
ET ÉVALUATION DES SAVOIRS MATHÉMATIQUES
Actes des journées d'études sur le Rallye
mathématique transalpin de Siena (1999)
et Neuchâtel (2000)
L. Grugnetti, F, Jaquet, C. Crociani, L. Doretti,
L. Salomone (Eds)
Università di Siena, IRDP Neuchâtel (2001)
Brigue 1 , (1997 et 1998), Siena (1999), Neuchâtel
(2000), Parma (2001 ), les rencontre internationales du Rallye mathématique transalpin
(RMT) répondent à un besoin essentiel de ses
animateurs: celui de s'accorder un temps de
réflexion sur les finalités de cette confrontation, qui prend des dimensions gigantesques
et dont la gestion exige, par conséquent, un
grand investissement en temps et énergie.
d'origine, la Suisse romande, une réflexion sur
les problèmes et l'étude systématique des
solutions proposées sont devenues systématiques. Afin de permettre la comparaison des
résultats et, surtout, des stratégies de résolution, il a fallu développer, pour la construction
de chaque problème, une analyse a priori, en
préciser les rubriques, l'affiner, élargir le cercle
de ses concepteurs. Les outils nécessaires à
ce travail préalable viennent de l'expérience
et la pratique de chaque animateur, de la littérature sur le sujet, des résultats de la
recherche en didactique. Mais on les trouve,
aussi et surtout, dans les résultats des analyses a posteriori. Celles-ci permettent de
juger de la validité des problèmes proposés
et de leur analyse a priori, elles constituent
une évaluation que l'on pourrait qualifier de
«formative» du processus de construction des
problèmes. Sans les analyses a posteriori, il
n'y aurait pas moyen de progresser, d'améliorer le choix des problèmes, de préciser les
savoirs en jeu, de distinguer les représentations sous-jacentes à chaque procédure de
résolution ...
Les actes des rencontres de Sien a et de Neuchâte sont le reflet de ce processus continu
d'élaboration et d'analyse de problèmes, au
travers d'une quinzaine d'exemples et de
quelques réflexions théoriques:
Communications
Ces rencontres ont permis peu à peu de dégager les priorités d'une activité dédiée à la résolution de problèmes, pour les classes participantes, et à leur analyse, pour les maîtres et
animateurs.
Dès la quatrième édition du concours, (1995) au
moment de son extension au delà de sa région
1. Les rencontres de Brigue, en 1997 et 1998, ont aboutit à la
publication d'un premier volume des actes: Le rallye mathématique transalpin. Quels profits pour la didactique ? (présenté dans le numéro 189 de Math-Ecole)
38
RMT et théorie des situations didactiques
Chantal Tièche Christinat
"Démonstration" et preuves empiriques dans
les problèmes de géométrie du RMT
Lucia Grugnetti
Le traitement d'une fonction, obstacles et
représentations
François Jaquet
Un problème de logique: Le rapt de Jasmine
Lucia Salomone
Le marchand de soie: analyse d'un problème
et présentation des stratégies de résolution
des élèves
Joëlle Cretton
Le cahier de quinze, une occasion de réfléchir
sur la problématique de la démonstration
Maria Gabriella Rinaldi, Chantal Tièche Christinat et al.
Travaux de groupes
Les savoirs mathématiques et les difficultés
d'un problème de logique
Lucia Grugnetti, Angela Rizza et al.
Les timbres: savoirs mathématiques imprévus et leur évaluation
Les élèves sont imprévisibles: combien de
savoirs émergent du problème Les timbres!
Daniela Medici, Vincenza Vannucci et al.
De l'analyse des stratégies à la reconnaissance des savoirs en ;eu dans un problème:
La collection de boÎtes
Lucia Doretti et al.
Un problème de type géométrique: La traversée du quadrillage
Carla Crociani, Lucia Salomone et al.
Les problèmes analysés ont été résolu par
des classes des degrés 3 à 8 (8 à 14 ans) dans
les conditions de passation du RMT: en l'absence du maître, sous l'entière responsabilité
des élèves.
L'ouvrage est bilingue italien-français. On
peut l'obtenir auprès de I'IRDP, par l'intermédiaire de la rédaction de Math-Ecole (V. bulletin de commande. p. 3 de couverture)
Analyse des stratégies de résolution d'un
problème: La cible
François Jaquet et al.
Destinataires: tous les maîtres, en particulier
ceux des classes participant au RMT, formateurs
et étudiants en didactique des mathématiques
Le nez de Pinocchio, un problème "inverse"
d'arithmétique
Lucia Grugnetti, Catherine Dupuis et al.
Mots-clés: mathématiques, résolution de problèmes, analyse a priori, procédures de résolution, évaluation
Analyse a posteriori d'un problème de logique :
Gourmands
Carla Crociani et al.
F.J .
Les deux magots
Lucia Salomone et al.
Les savoirs dans un problème du RMT
François Jaquet et al.
La problématique des conditions d'existence
d'un triangle
Daniela Medici, Chantal Tièche Christinat et al.
Stratégies utilisées dans la résolution d'un
problème de similitude
Lucia Doretti, Michel Dorsaz, Annie Peix, Maria
Gabriella Rinaldi et al.
QUESTION SUR LA GÉOMÉTRIE
ET SUR SON ENSEIGNEMENT
François Boule
Nathan Pédagogie, Paris, 2001.
[ndlr] Cet excellent ouvrage est présenté par
son auteur, dans ce numéro, en pages ....
Mais, aussi bien construit soit-il, un texte sur
un livre de géométrie, fourmillant de propositions d'activités, laisse le lecteur sur sa faim.
Voici donc quelques illustrations tirées de
l'ouvrage, et quelques exemples de pistes
qu'on imagine immédiatement pour la classe.
39
Exemple 1. (Chapitre 9. Descriptions et constructions, p.159)
La règle simple
Elle permet d'aligner des points. Puisque l'on écarte (provisoirement) tout autre instrument on utilise
un quadrillage.
1
1
1
1
1
1
------r-----1
1
1
1
1
1
fig 28
Prenons pour exemple un carré divisé par ses médianes (fig. 28). On considère comme disponibles
les neuf points de la figure 29. Quels sont les points que la règle permet d'atteindre?
En traçant les diagonales du grand carré et des petits, on dispose de quatre nouveaux points, les
centres des petits carrés. Mais ce n'est pas tout.
t
1
1
1
1
1
1
1
1
--•---+--•---<
1
1
1
-- i--- ~ -- i --1
t
1
1
1
1
--1---t--t---<·
1
1
1
1
1
llg 31
1
llg 32
llg 33
Par alignement, on obtient les milieux des côtés des petits carrés (fig. 31 ), c'est-à-dire une subdivision que l'on peut poursuivre. Ce n'est pas encore tout. Les diagonales des rectangles fournissent
deux nouveaux ensembles de points .... (en grisé, fig, 32 et fig 33) ...
On voit tout de suite, à partir de cet extrait, les
questions qui pourraient devenir de nouveaux
problèmes:
Dans le carré initial, combien de points de
départ, autres que les sommets, seraient-ils
nécessaires pour construire les 13 points de
la figure 30 à la règle seulement?
Dans la figure 32, deux points grisés situés sur
une même diagonale du grand carré la divisent en trois parties. Ces trois parties semblent
isométriques. Le sont-elles vraiment ou ne
s'agit-il que d'une illusion?
Destinataires: tous les maîtres enseignant
les mathématiques, du primaire au secondaire, formateurs, conseillers pédagogiques
Mots-clés: mathématiques, géométrie, primaire et secondaire inférieur
F.J .
Suite p. 25, Exemple 2.
MATI1 ~ ÉCOLE
n" 199/octobre 2001
0 Veuillez m'abonner à Math-Ecole (tarifs en page 2 de couverture).
Veuillez me faire parvenir :
Encyclopédie kangourou, ACL
Mathématiques du kangourou, ACL
Exos-ma/ices, ACL
Histoire de Maths, ACL
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La magie du calcul, ACL
Pythagore et Thalès, ACL
Le monde des pavages, ACL
Les maths & la plume, ACL
Jeux et découvertes mathématiques, ACL
Jeux mathématiques pour tous, ACL
Pliages mathématiques, ACL
Apprivoiser l'infini, ACL
100 Jeux mathématiques du «Monde», POLE
10 expériences mathématiques (HyperCube 32/33)
Jeux mathématiques du «Scientific American", ADCS
Les mathématiques de la maternelle jusqu'à 18 ans, N. Rouche, CREM
Mille ans d'histoire des mathématiques (Tangente HS 10)
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
(ex. à
PROBLÈMES DE RALLYES ET CONCOURS:
Actes des rencontres internationales de Brigue sur le RMT
Actes des rencontres internationales de Siena et Neuchâtel sur le RMT
Actes de Brigue et actes de Siena et Neuchâtel
Fichier Evariste 1 APMEP (degrés 5-9 ... )
Fichier Evariste Il APMEP (degrés 5-9 .. .)
Fichier Evariste 1 +Il APMEP
Panoramath 96, APMEP (degrés 4-12 ...)
Panoramath 2, CIJM, APMEP, ACL (degrés 4-12 ...)
Panoramath 96, Panoramath 2
50 Enigmes mathématiques pour l'école (degrés 4-5 ... )
50 Enigmes mathématiques faciles (degrés 6-7 .. .)
52 Nouvelles énigmes mathématiques faciles, POLE (degrés 6-7 . .. )
50 Enigmes mathématiques pour tous (degrés 8-9 ... )
52 Nouvelles énigmes mathématiques pour tous, POLE (degrés 8-9 . .. )
50 Enigmes mathématiques pour lycéens (degrés 1O... )
(ex. à Fr. 18.-)
(ex. à Fr. 25 .-)
(ens. à Fr 40.-)
(ex. à Fr. 25.-)
(ex. à Fr. 25.-)
(ens. à Fr. 40.-)
(ex. à Fr. 12.-)
(ex. à Fr. 18.-)
(ens. à Fr. 25.-)
(ex. à Fr. 14.-)
(ex. à Fr. 16.-)
(ex. à Fr. 16.-)
(ex. à Fr. 16.-)
(ex. à Fr. 16.-)
(ex. à Fr. 16.-)
Anciens numéros de Math-Ecole
(ex. à Fr. 4.-)
Fr. 28.-)
Fr. 28.-)
Fr. 29.-)
Fr. 19.-)
Fr. 18.-)
Fr. 19.-)
Fr. 19.-)
Fr. 19.-)
Fr. 19.-)
Fr. 19.-)
Fr. 19.-)
Fr. 17 .-)
Fr. 25 .-)
Fr. 27.-)
Fr. 20.-)
Fr. 38.-)
Fr. 26.-)
Fr. 20.-)
Nom et prénom: 0 Mme/0 M.............. ............... ........ .. ...... ........ .............. .. ...... .
Adresse (rue et numéro): .......... .. ....... ............ ... ...... ....... .... ..... ........ .......... ... .. ..
Localité (avec code postal): ................ ...... ... ....... ... .... ......... .... .. ..... ............ ..... ..
Date: ........ ............. ............ Signature : ... ... ...... .... ........... ... ...... ... ... ..... ... ........ ..
Les frais de port ne sont pas inclus dans les prix indiqués.
Bulletin à retourner (photocopié) à: Math-Ecole, CP 54, 2007 Neuchâtel 7
JAB
1950 Sion 1
Madame N 506 1
JAQUET Liliane
Recorne 21
230 o La Chaux-de-Fonds
envois non distribuables
à retourner à
Math-Ecole, CP 54
2007 Neuchâtel 7
Editorial
2
Espace mathématique
Michel Dorsaz, Hervé Schild
4
1Oe Rallye Mathématique Transalpin
Annonce et inscriptions
8
Jean-Philippe Antonietti
11
Michel Brêchet
18
16e Championnat International
des Jeux Mathématiques et Logiques
26
Questions sur la géométrie
et son enseignement
François Boule
30
La cc mise en commun», enjeu des
innovations actuelles dans l'enseignement
des mathématiques
Notes de lecture
33
38

199 - ssrdm

Transcription

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Énigme 03 réponse