tn n→o `nL! k# $ k ! k $ k ! k %7`

P.Aimé. 12/08/07
Integration/Elements de longueur/1-formes sur un arc, dl
demo20.pdf
Proposition
Soit ([a; b] ; ) une paramétrisation d’un arc C 1 , et une suite (Sn ) de subdivisions de [a; b], (Sn ) étant une liste de (n + 1) points de [a; b] rangés en ordre
croissant, de a à b :
Sn = (a = tn0 ; tn1 ; :::; tnn = b).
Si d(n) est la plus grande des longueurs des segments tnk ; tnk+1 , on suppose
que limn!1 d(n) = 0.
Alors,
! Z
Z b
n
X1
n
n
lim
(tk+1 )
(tk )
=
dl =
k 0 (t)k dt.
n!1
[a;b]
k=0
a
Démonstration
Rb
Pn 1 n
Sachant que a k 0 (t)k dt = limn!1
k=0 tk+1
de prouver que
lim
n!1
n
X1
(tnk+1 )
(tnk )
tnk+1
tnk
k=0
tnk k 0 (tnk )k , il su¢ t
0
k
(tnk )k
!
= 0.
Sur chaque segment de chaque subdivision Sn , l’inégalité des accroissements
0 n
…nis appliquée à la fonction t 7 ! (t)
(tk ) donne
(tnk+1 )
(tnk )
tnk+1
tnk
0
(tnk )
tnk+1
tnk max
k
0
(tnk+1 )
0
(tnk ) .
De plus, la fonction 0 est continue donc uniformémént continue sur chaque
0 n
segment, de sorte que pour tout " > 0, maxk 0 (tnk+1 )
(tk ) est majoré par
" d(n) pour n assez grand.
La majoration
(tnk+1 )
(tnk+1 )
(tnk )
tnk+1
(tnk )
tnk+1
tnk
tnk k 0 (tnk )k
0
(tnk )
donne la conclusion.
Complément. Une démonstration dans le cas particulier d’une paramétrisation cartésienne.
Si l’arc est paramétré par x 7 ! (x; f (x)), on peut conclure sans recours à
l’uniforme continuité.
En e¤et, on a ici
f (tnk+1 )
f (tnk ) = tnk+1
1
tnk f 0 (
n
k)
d’après le théorème des accroissements …nis, avec
(tnk+1 )
(tnk ) = tnk+1
tnk
n
k
2 tnk ; tnk+1 , et donc
q
1 + (f 0 (
la somme est ici une somme de Riemann pour la fonction
conduit directement au résultat.
2
n ))2
k
p
1 + f 0 (t)2 , ce qui