ETUDE DES PERFORMANCES DaUNE AUDI TT A B G a b h I J

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ABC
PSI/MP
DS SII du 6 Déc. 2008: EXERCICE 2
Lycée Paul Valéry
CONTRÔLE DE VITESSE D'UN REACTEUR D'AVION
Le système étudié est un mécanisme d’asservissement en vitesse de l’arbre de puissance d’un réacteur
d’avion (voir annexe). Le pilote en agissant sur la manette de commande solidaire du levier 1 déplace le tiroir du
distributeur 5. Ce distributeur pilote la position de la tige de vérin 7 qui commande l’arrivée du kérosène.
Le régulateur permet le contrôle de la vitesse de rotation de l’arbre du réacteur, à l’aide d’un dispositif composé
de 2 masselottes 4 et 4’, et agit également sur le tiroir du distributeur.
ETUDE DE LA TRANSMISSION DE LA COMMANDE DU PILOTE AU REGULATEUR
L’utilisateur impose la commande en fixant la position angulaire du levier 1 qui est solidaire d’un pignon de rayon
primitif R1 . Ce dernier est en liaison pivot d’axe ƎO , ƌz Ə avec le bâti 0. La transmission de puissance entre le
n , ƌx ƏƤ .
pignon 1 et la crémaillère 2 s’effectue sans frottement avec un angle de pression Ƥź0 tel que Ǝ ƌ
Paramétrage:
Solide
Caractéristiques géométriques
1: Pignon + Levier OA
ƌ
Ǝ ƌx , xƌ1 Əƫ ; OAl
ƌ1 ;
1. x
ƌ
y
IOR
1. ƌ
2: Crémaillère
ƌ
IBx
x
2 Ǝt Ə. ƌ
‚F 1 . ƌx
L'ensemble 1 est en liaison pivot d'axe ƎO , ƌz Ə avec le
bâti 0.
La crémaillère 2 est en liaison glissière de direction ƌx
avec le bâti 0.
‚F 62 . ƌx La liaison entre l'ensemble 1 et la crémaillère 2 est une
liaison ponctuelle de normale Ǝ I , ƌn Ə .
Cela implique que l’action mécanique s’exerçant de 1 sur 2 est un glisseur d’axe Ǝ I , ƌn Ə s'écrivant:
T 1ƀ 2 F 12 .ƌn ƌ
0 I .
Actions mécaniques:
Le pilote exerce un effort en A sur l'ensemble 1 modélisé par le glisseur suivant:
T p ƀ1 ‚F 1 . ƌx ƌ0 A .
Le ressort 6 exerce une effort sur la crémaillère 2 modélisé par le glisseur suivant:
T 6 ƀ2 ‚F 62 . ƌx ƌ
0 I .
Pour écrire tout torseur de l'action mécanique dans une liaison entre le solide i et le solide j en
X ij 0
T
Y ij 0
devrez utiliser la notation problème plan ƎO , ƌx , ƌyƏ suivante :
iƀ j
0 N ij
A , vous
.
A
Le poids des pièces est négligé.
Question 1:
En écrivant l'équilibre de l'ensemble 1 puis de la crémaillère 2, déterminer les composantes du torseur statique
de la liaison glissière de 2/0 pour ƫ{
FBK
Ƴ 3Ƴ
,
en fonction de F 1 , l 1 , R1 , Ƥ , ƫ et x 2 .
2 2
PSI/MP
DS SII du 6 Déc. 2008: EXERCICE 2
Lycée Paul Valéry
ETUDE DU CONTRÔLE DE LA VITESSE
Le capteur de vitesse du réacteur est basé sur un régulateur
centrifuge constitué de deux masselottes 4 et 4' montées sur
un axe 3 en liaison pivot avec le bâti. La vitesse angulaire de
3/0 ƻ 3 0 est proportionnelle à celle du réacteur.
La vitesse ƻ 3 0 définit la position angulaire des masselottes
qui provoque la translation du plateau 5.
B
Ce mouvement provoque une variation de débit dans le circuit
hydraulique qui commande l'ouverture de la pompe à kérosène
(voir annexe). L'objectif de cette partie est de déterminer
l'équation reliant ƻ 3 0 , l'angle des masselottes ƫ4 et la
position du plateau 5.
Paramétrage:
Solide
3: Axe
Caractéristiques géométriques et cinétiques
Repère R3ƎC , ƌx xƌ3 , yƌ3 , zƌ3 Ə avec Ǝ ƌy , yƌ3ƏƎ ƌz , zƌ3 Əƫ3
ƌ
Vitesse angulaire ƣƎ30Əƻ
x ƫ63 .ƌx
3 0 . ƌ
ƌ . yƌ3d
DC
5: Plateau
Masse négligeable
6: Ressort
Raideur k N.m‚1
Pour x 2 x 5 le ressort n'est pas sollicité
ƌ . ƌx x 5 Ǝt Ə. ƌx
BF
4: Ensemble masselotte + barre ED + barre DF Masse volumique ƴ
ƌ 4 a. xƌ4Ÿb. yƌ4
Centre de gravité G 4 tel que DG
Repère R4 ƎC , xƌ4 , yƌ4 , zƌ4 zƌ3Ə avec Ǝ yƌ3, yƌ4ƏƎ xƌ3, xƌ4 Əƫ4
Masselotte:
sphère
ƌ
GDƎ
rŸl D Ə. xƌ4 .
centrée
en G de
rayon r avec
Barre ED: cylindre d'axe Ǝ E , xƌ4 Ə de rayon nul de hauteur
lD .
Barre DF: cylindre d'axe
lF .
FBK
Ǝ D , yƌ4 Ə de rayon nul de hauteur
PSI/MP
DS SII du 6 Déc. 2008: EXERCICE 2
Lycée Paul Valéry
Liaisons:
L'axe 3 est en liaison pivot d'axe ƎC , ƌx Ə avec le bâti 0.
Le plateau 5 est en liaison glissière de direction ƌx avec le bâti 0.
L'ensemble 4 est en liaison pivot d'axe Ǝ D , zƌ3Ə avec l'axe 3.
Le plateau 5 est en liaison ponctuelle de normale Ǝ F , ƌx Ə avec l'ensemble 4.
Le ressort 6 exerce une effort sur le plateau 5 modélisé par le glisseur suivant: T 6 ƀ5 F 65 . ƌx ƌ
0C .
Pour écrire tout torseur de l'action mécanique dans une liaison entre le solide i et le solide j en A , vous
X ij 0
0
devrez utiliser la notation problème plan ƎO , ƌx , ƌyƏ suivante : T i ƀ j Y ij
0 N ij
.
A
Question 2:
Déterminer la matrice d'inertie en D dans la base B 4 de l'ensemble 4 en fonction de ƴ , r , l D , l F .
Pour la suite du problème, nous prendrons comme matrice d'inertie en D de 4 la matrice suivante:
A4
I Ǝ D,4Ə 0
0
0 0
B4 0
0 C4
. On note m 4 la masse de l'ensemble 4.
B4
Question 3:
Quel(s) solide(s) isoler, quel théorème écrire, en quel point et sur quel axe de projection pour déterminer l'angle
ƫ4 en fonction de ƻ 3 0 ?
Question 4:
Ƨ Ǝ D ,4 0Ə . zƌ3 .
Calculer la projection sur zƌ3 du moment dynamique en D de 4/0: ƌ
Montrer que l'on peut le mettre sous la forme suivante:
Identifier C 1 et C 2 en fonction des paramètres.
2
ƌ
ƧƎ D ,4 0Ə. zƌ3C 1. ƻ3 0ŸC 2 . ƫ!4 .
Pour la suite du problème, nous supposerons que ƫ4 reste constant.
Question 5:
Déterminer F 65 en fonction de k , x 5 , x 2 .
Question 6:
En écrivant l'équilibre du plateau 5 (il y a deux masselottes 4 et 4'), déterminer X 45 en fonction de F 65 .
Question 7:
Écrire le théorème du moment dynamique en D en projection sur zƌ3 au solide 4.
Déterminer la relation entre ƻ 3 0 , ƫ4 , x 2 et x 5 en tenant en compte la présence de deux masselottes 4
et 4'.
On se place autour de la position d'équilibre suivante:
ƻ 3 0ƻ 0 ,
x 2 x 20 , x 5 x50 .
Une petite variation de vitesse intervient, on a donc: ƻ 3 0ƻ 0Ÿƚ ƻ3 0 , x 2 x 20 Ÿƚ x 2 , x 5 x50 Ÿƚ x 5
L'expression du moment dynamique reste valable pour cette légère variation de vitesse.
Question 8:
En effectuant un développement limité à l'ordre 1, déterminer l'expression de ƚ x 5 en fonction de ƚ ƻ3 0 ,
ƻ 0 , ƚ x 2 et C 1 .
FBK
2
x1
A
I
O
C o ns ig ne
n
1
2
4
6
F
4'
R é g ulate ur
D
5
D'
7
q
V é rin hyd rauliq ue
q'
alim e ntatio n
D is trib ute ur
0
C
x
V anne
D
A lim e ntatio n d u ré ac te ur
ram p e d 'inje c tio n
d u ré ac te ur
p o m p e à ké ro s è ne
3
re to ur ve rs
le ré s e rvo ir
d 'h uile
ANNEXE
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