correction - Rallyes mathématiques du Puy de Dôme

Rallye mathématique 2010/2011 des écoles du Puy-de-Dôme
Cycle 3 – Troisième manche
Solutions
1. Les trois lapins
(20 points)
Trois lapins mangent des légumes dans mon jardin potager.
- Chaque soir, le lapin blanc mange une carotte.
- Chaque soir, le lapin marron mange un navet. Quand il n’y a plus de navet, il mange 3 carottes.
- Chaque soir, le lapin noir mange un chou. Quand il n'y a plus de chou, il mange 3 navets ; et,
quand il n'y a plus de navet, il mange 5 carottes.
Ce matin, j'ai récolté une partie des légumes de mon potager. J'ai laissé pour les lapins 45
carottes, 21 navets et 5 choux.
Pendant combien de jours les trois lapins vont-ils pouvoir se nourrir ?
Réponse :
Les trois lapins peuvent se nourrir pendant 13 jours.
Pour bien résoudre ce problème, il convient de s'organiser. Le plus simple est de faire l'état
des provisions de légumes jour après jour.
2. Le ruban
Le ruban-cadeau qui entourait le gros cube était adhésif.
Tous les petits cubes qui étaient en contact avec le
ruban sont restés collés lorsque je l'ai enlevé !
Combien reste-t-il de petits cubes ?
Réponse :
Il reste 83 petits cubes.
Il y a deux méthodes possibles:
(25 points)
- calculer les petits cubes restants:
(8x8) + (27 - 8) = 64 + 19 = 83
- calculer les petits cubes enlevés:
(3x16) - 6 = 42
Le nombre de petits cubes du gros cube est 125. 125 - 42 = 83
3. Les dates de naissance
(25 points)
Arnaud, Benoît, Carine, Dorothée et Élodie ont écrit leur année de naissance sur une étiquette.
Ces étiquettes sont placées côte à côte selon la disposition ci-dessous :
- Les années d'Arnaud et d'Élodie sont côte à côte.
- Benoît est né une année impaire.
- Carine est plus jeune que Dorothée.
- Dorothée et Élodie ont une année d'écart.
- Arnaud est né entre 1993 et 1996.
Quelles sont les années de naissance de chacun des enfants ?
Réponse :
Arnaud : 1995 ; Benoît : 1997 ; Carine : 1998 ; Dorothée : 1994 ; Élodie : 1993
Il ne faut pas oublier que si Carine est plus jeune que Dorothée, c'est qu'elle est née après
(son année de naissance est plus grande que celle de Dorothée).
4. Les trois nombres
(15 points)
Mathilde a écrit trois nombres entiers à 3 chiffres en utilisant tous les chiffres de 1 à 9.
Elle additionne ces trois nombres et obtient 1575 comme résultat.
Quels nombres Mathilde a-t-elle écrits ? Trouver deux solutions possibles.
Réponse :
Il existe de très nombreuses solutions à ce problème. Toutes les solutions se déduisent des
18 additions de base suivantes sur lesquelles il est possible de modifier la place des chiffres des
unités ou (au sens mathématique, c’est-à-dire soit l’un, soit l’autre, soit les deux) de modifier la
place des chiffres des dizaines.
5. Les balances
(20 points)
Mathilde possède cinq masses A, B, C, D et E toutes différentes les unes des autres.
Ces masses sont de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg ou 5 kg.
Avec une balance, Mathilde observe que :
- A et B, à elles deux, sont plus lourdes que C, D et E, à elles trois ;
- B et C, à elles deux, équilibrent E seule.
Quelle est la valeur de chaque masse ?
La réponse est:
A = 5kg; B = 3kg; C = 1kg; D = 2kg; E = 4kg
Le raisonnement qui peut être conduit ici est le suivant:
A est plus lourde que 2 masses C et la masse D (car E est égale à B + C et A est plus lourde
que C + D + E). Il en résulte que A est supérieur à 4 kg (avec C = 1 kg et D = 2 kg; on ne peut pas
faire moins). Donc: A = 5 kg, C = 1 kg et D = 2 kg
On en déduit B = 3 kg et E = 4 kg.
6. Les grilles
L'une des grilles ci-dessous a été obtenue par déformation
de la grille ci-contre :
Quelle est la lettre de cette grille ?
(15 points)
Réponse :
C’est la grille E. La grille F serait bonne si l’encoche de la grille était bien placée, ce qui n’est
pas le cas.
Pour choisir la bonne grille, il convient de bien observer les côtés du polygone et les repérer
par rapport aux quadrillages des différentes grilles.