Analyse des images d`IRMf

Mémoire de DESS de Mathématiques Appliquées
Analyse des Images d’IRMf
Modélisation de la réponse hémodynamique et utilisation des
séries de Volterra pour le traitement des corrélations temporelles
Charles B OUVEYRON
Université Lyon 1 – I NSERM U280
Septembre 2002
Licence
Copyright c 2002 Charles B OUVEYRON <[email protected]>. Version 1.0 du 16 décembre 2002. Nouvelles versions de ce document sur http://www.optim.fr.fm/site/work/.
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de page de couverture, cité ci-dessous, et sans texte de dos de couverture.
Texte de couverture :
Analyse de Images d’IRMf -- Modélisation de la réponse hémodynamique et prise en compte des corrélations temporelles
Charles B O U V E Y R O N
3
4
Remerciements
Je tiens à remercier Claude D ELPUECH qui m’a encadré durant ce stage, ainsi que Pierre F ON LUPT ;
tous deux m’ont aider à appréhender les différents aspects d’imagerie et de neuroscience nécessaires à mon travail.
Un grand merci à l’ensemble de l’unité 280 pour leur accueil.
Je remercie également Nicolas T HIÉRY pour son attention et ses conseils toujours opportuns.
5
6
Préface
Ce rapport a pour but de consigner à la fois les choses que j’ai apprises lors de mon stage à l’unité
280 “Processus mentaux et activations cérébrales” de l’I NSERM, et les résultats des mes travaux.
Ce travail a comme sujet le traitement événementiel des signaux en provenance des imageurs IRM.
Pour cela il m’a fallut analyser, programmer et tester des modules de calculs permettant d’extraire
les courbes d’activation IRMf correspondant à des séquences de stimuli imbriqués, en utilisant un
modèle linéaire généralisé. Une autre partie de ce travail a consisté en une analyse bibliographique de
l’utilisation des séries de Volterra pour le traitement des signaux d’IRMf présentant des corrélations
temporelles.
Le travail théorique rapporté dans ces pages s’est doublé de la conception d’un module de calcul,
dénommé “T LM ”, permettant de mener les analyses d’images issues d’IRMf. Ce module a pris place
dans le logiciel ACTIVIS développé par l’unité 280 de l’I NSERM et l’ISC - CNRS.
Ce stage m’a permis de connaître le monde de la neuroscience, où se cotoient des spécialistes
de disciplines différentes, ce qui est un gage d’ouverture à mon sens, et ce qui a été particulièrement
enrichissant. Ce domaine d’application des Mathématiques appliquées m’a particulièrement intéressé,
et j’envisage de poursuivre dans ce domaine de recherche.
7
8
Table des matières
1 Introduction
11
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
13
2.1
2.2
2.3
L’Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.1
Historique de l’Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.2
Principe physique de l’IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Le Modèle Linéaire Généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.1
Prétraitements des images acquises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.2
Le Modèle Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.3
Le modèle linéaire pour l’IRMf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
La détection des activités fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
L’effet de certaines conditions : le test F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
L’effet d’une condition par rapport à une autre : le test T . . . . . . . . . . .
20
3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique
3.1
3.2
Les modèles de réponse hémodynamique
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1.1
Box-car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1.2
Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.1.3
Somme de lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1.4
Modèle canonique de réponse hémodynamique . . . . . . . . . . . . . . . .
25
La design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.1
La design matrix dans le modèle linéaire général . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.2
Construction de la design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique
29
4.1
Le phénomène physiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Modélisation mathématique et implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3
Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra
5.1
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
9
Table des matières
5.2
Théorie générale des séries de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.3
Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des réponses non-linéaires en IRMf .
35
5.4
Discussion et propositions pour un travail futur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
6 Expérimentations
6.1
6.2
6.3
La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6.1.1
6.1.2
La design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
38
Mise en oeuvre et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2.1
Analyse des données simulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Conclusion sur l’expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
7 Conclusion
10
37
43
1 Introduction
Les processus impliqués dans l’activation cérébrale consomment de l’oxygène ; une diminution
locale de la concentration en oxygène induit une dilatation des artérioles, suivie par une augmentation
du débit sanguin et, finalement, une accumulation d’hémoglobine oxygénée dans les capillaires et
veines. Cet effet est appellé la réponse hémodynamique et est particulièrement visible sur les décrois-
sances en du signal IRMf. Ce phénomène entraine une élévation de la proportion d’oxygène dans
le sang veineux, ce qui modifie les caractéristiques magnétiques du sang (moins de déoxyhemoglobine paramagnétique) et génère un signal de Résonance Magnétique Nucléaire augmenté par rapport
au signal de base. Ce signal est appelé BOLD (Blood Oxygen Level Dependent). La méthode BOLD
est la plus utilisée en IRM fonctionnelle ; cependant, les méchanismes précis qui lient le contraste
BOLD à l’activité cérébrale ne sont pas encore totalement connus.
La compréhension des fonctions du cerveau ne requiert pas seulement de posséder des informations sur la localisation spatiale de l’activité neuronale, mais aussi sur son évolution temporelle. Un
certain nombre de modèles de la réponse hémodynamique 1 sont obtenus par une convolution linéaire
de l’activation neuronale avec une fonction de modulation.
1
Nous utiliserons fréquemment par la suite la notation anglo-saxonne HRF (Hemodynamic Response Function).
11
1 Introduction
12
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
2.1
L’Imagerie par Résonance Magnétique
L’Imagerie par Résonance Magnétique, notamment fonctionnelle, a des applications majeures en
médecine. L’apparition de l’IRMf ouvre de nouveaux horizons de recherche dans des domaines médicaux relativement obscurs en matière de connaissance, tels que la gestion de la douleur, la connaissance de la vision humaine, du langage humain, du raisonnement verbal, ... . La neurochirurgie, par
exemple, nécessite de connaître la “carte” personnalisée des fonctions cérébrale du patient, d’autant
plus que la présence d’une tumeur modifie généralement l’emplacement habituelle d’une fonction. On
peut espérer que l’IRMf soit l’outil de demain qui permette d’obtenir ces “cartes”, et ce sans danger
ni douleur pour le patient.
2.1.1
Historique de l’Imagerie par Résonance Magnétique
En 1890, ROY et S HERRINGTON, physiologistes anglais, mettent en évidence la corrélation entre
la variation locale de débit sanguin et l’activité cérébrale. On a, par la suite, remarqué que cette
augmentation locale de débit sanguin allait de pair avec une augmentation du taux d’oxyhémoglobine
local. Ce mécanisme n’est pas encore complètement expliqué ; en particulier, le rôle de l’oxygène
n’est pas tout à fait élucidé.
C’est justement sur l’augmentation du taux d’hémoglobine local, que se base la méthode qui est
la plus utilisée actuellement : la méthode BOLD 1. Cette méthode repose sur les propriétés magnétiques remarquables de l’hémoglobine. En effet, l’oxyhémoglobine est dia-magnétique, tandis que la
déoxyhémoglobine est para-magnétique, et c’est ce qui permet d’utiliser un scanner IRM, avec des
acquisitions en très sensibles à l’inhomogénéité magnétique locale des tissus, pour déceler les
variations locales de débit sanguin.
2.1.2
Principe physique de l’IRM
Nous ne rentrerons pas dans les détails du phénomène physique de la résonance magnétique.
Pour une information complémentaire, on pourra consulter par exemple les ouvrages [Cou-1986] et
[San-1995].
1
Blood Oxygen Level Dependent
13
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
F IG . 2.1: Effet BOLD : Pas d’activité cérébrale (Fig. de gauche). Augmentation du volume sanguin et
du taux d’oxyhémoglobine du fait d’une activité cérébrale (Fig. de droite).
Nous dirons simplement que la mesure IRM repose sur trois facteurs principaux :
1. l’application d’un champ magnétique intense (0.5 à 5 Tesla),
2. la perturbation de l’aimantation par l’émission d’ondes radio-fréquences, ce qui permet de faire
résonner les molécules d’hémoglobine,
3. l’application d’un gradient de champ qui varie dans l’espace, ce qui permet d’imager le cerveau.
2.2
Le Modèle Linéaire Généralisé
Le scanner IRM fournit une série d’images brutes sur lesquelles on désirerait localiser les zones
d’activation cérébrale, et estimer la corrélation avec le paradigme. Pour cela, les images acquises et
issues du scanner IRM doivent être transformées avant d’être traitées numériquement et statistiquement.
2.2.1
Prétraitements des images acquises
Avant de pouvoir être étudié en vue de déceler les zones d’activations fonctionnelles, le signal brut
issu du scanner IRM nécessite des transformations. Les transformations effectuées dans la pratique
ont les objectifs principaux suivants :
– Rephaser les images. Cette étape est nécessaire du fait que l’acquisition d’un volume cérébral
n’est pas instantanée, ce qui implique de rectifier les décalages engendrés de façon à ne pas
perturber les analyses futures.
– Corriger les effets de mouvements de la tête du sujet en réalignant les volumes cérébraux entre
eux.
– Normaliser éventuellement les images en les remplaçant dans le repères de Talairach.
14
2.2 Le Modèle Linéaire Généralisé
F IG . 2.2: Principe d’acquisition des images en IRMf
– Lissage spatial de manière à améliorer le rapport signal / bruit.
– Lissage temporel éventuel.
Il est a noter que certaines des transformations énoncées ci-dessus peuvent avoir des effets nonnégligeables sur la détection des activations fonctionnelles - éventuellement en trouver où il n’en
existe pas ! -, en particulier la correction des effets de mouvements comme le montre l’article de
Freire & Manguin [Fre-2001].
2.2.2
Le Modèle Linéaire
Pour représenter la réponse hémodynamique et chercher les corrélations avec le paradigme, on
fait le choix le plus souvent d’utiliser le Modèle Linéaire Généralisé, dont nous allons rappeler la
théorie générale ci-dessous. Pour cela, on introduit l’information a priori que l’on possède sur le
paradigme, en choisissant une HRF. Le modèle linéaire va permettre de résumer et de réduire la
masse d’information.
Notations
Nous allons tout d’abord définir les notations qui seront utilisées par la suite.
On appelle session une série de
volumes cérébraux imagés par le scanner IRM au cours du
15
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
temps ; chacun des volumes cérébraux est appelé scan. Un scan est constitué de coupes, qui sont chacunes divisées en petits volumes élémentaires, dénommés voxels (on pourra faire l’analogie avec la
division d’une image en pixels). On s’intéresse à l’évolution temporelle d’un voxel, que l’on représentera par une vecteur colonne
de longueur , correspondant aux
instants d’acquisition des images ;
on peut représenter en un seul ensemble l’évolution au cours du temps de tout un volume cérébral en
rassemblant ces vecteurs colonnes dans une matrice
voxels dans un volume cérébral (environ
de taille
, où
est le nombre total de
dans la pratique).
L’idée générale du modèle linéaire, que nous développerons plus bas, est de s’approcher de l’écriture matricielle :
Pour cela, on utilise les notations suivantes :
!#"$" %'& (!#"$" ) est la matrice des données (fournies par l’imageur), qui est composée
des vecteurs représentant l’évolution temporelle du voxel * ,
– est la matrice d’expérience (Design Matrix en anglais) ; elle contient l’information connue
a priori sur le protocole . est de taille +-, , où , est en général très inférieur à et . La
dimension , est proportionelle au nombre de facteurs (types de stimuli, de tâches) considérés
–
2
3
dans l’étude. Le sujet de notre travail est de générer cette design matrix (DM) à partir des
informations de l’expérience, et les connaissances a priori.
–
est le vecteur contenant les paramètres
. que l’on souhaite estimer. Le but final étant d’esti-
mer leur espérance.
–
8
est le vecteur contenant les résidus (erreurs)
distribués selon une loi normale
02135476
/ ; on les suppose indépendants et identiquement
.
Formulation et principe
Avec les notations ci-dessus, la représentation matricielle suivante illustre le principe du modèle
linéaire générale :
9:: 5#<5 =>=>= 5?)
::
::
:
;
..
..
.
%@
.
A>BB
9:: D # =>=>= D FE A>BB
:
B
BB ::: D . . . ... BBB
B :
B
..
..
.
; ... . . . ... C
. C
D %@
D %(E
=>=>= %)
A>BB 9::: > #G/ >= =>= / ?)
>
=
>
=
=
?) BB :: . .
:: #
.
.
: . . ... B :: ..
; ...
C ; ...
..
.
.
>
=
>
=
=
E
E>)
=
>
>
=
=
#%@
#% )
L’interprétation géométrique de la recherche de cet ajustement linéaire est de tenter de répondre à
la question suivante : “Peut-on confiner l’espace des
2
3
(de dimension ), dans l’hypersurface engen-
Nous utiliserons dans la suite la notation anglo-saxonne DM.
Ensemble de tâches effectuées par le sujet, ou ensemble de stimuli auquel est soumit le sujet.
16
A>BB
9::
BB
BB
C
BB
B
2.2 Le Modèle Linéaire Généralisé
F IG . 2.3: Fonctionnement général du traitement des images d’IRMf. [Fri-1997]
17
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
drée par les
D , de dimension inférieure ou égale à ,
Estimation des paramètres
(on rappelle que
,
) ?”
Comme nous l’avons dit plus haut, on cherche à s’approcher de la décomposition linéaire exacte
suivante :
L’idée est donc de partir de l’équation matricielle du modèle linéaire et de minimiser l’erreur ;
l’utilisation de la méthode des moindres carrés s’impose donc pour estimer les paramètres
revient à minimiser sur
, ce qui
la fonction des Moindres Carrés :
13 8 31 8
Ce qui nous amêne, par dérivation matricielle, aux équations normales :
dont la solution correspond à un minimum car la matrice Hessienne
On a alors le vecteur , estimé des Moindres
Carrés 4
de
1 8 (2.1)
est définie positive.
:
(2.2)
et les valeurs ajustées sont :
nécessite le calcul explicite de la
8
matrice 1 , ce qui8peut
entraîner des erreurs de calculs importantes si la matrice est mal
). Or c’est le cas fréquemment
conditionnée (>1 pour ce qui nous intéresse ; on aura
8
Remarque : Le calcul de l’estimé des Moindres Carrés de
donc recours à l’utilisation du pseudo-inverse
est définit pour une matrice
de taille
4
1 de Moore-Penrose [Pen-1955]. Ce dernier
par :
1 8 L’estimé des moindres carrés est un estimateur BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).
18
2.3 La détection des activités fonctionnelles
2.2.3
Le modèle linéaire pour l’IRMf
Dans le cas de l’IRMf, on a vu que le processus ne correspond pas exactement à l’observation ; il
y a, en particulier, une réponse temporelle du signal. Pour prendre en compte cette spécificité, on va
convoluer chaque terme du modèle linéaire par un noyau
modélisant cette réponse hémodynamique
temporelle.
On peut alors écrire le modèle linéaire général sous la forme :
, qui est de toute façon le signal recueillit par l’imageur,
– , qui est la design matrix spécifique de l’IRMf ,
– 8 , qui reste un vecteur d’erreurs indépendantes et identiquement distribuées de loi
0 1354 6 .
ce qui peut également prendre la forme du modèle linéaire vu ci-dessus en posant :
–
5
Avec ce notations, on retrouve le modèle linéaire décrit ci-dessus, sous la forme :
et l’estimé au moindre carrés de
2.3
est :
1 8 (2.3)
La détection des activités fonctionnelles
Le but final de cette étape est d’offrir au clinicien et au chercheur une carte des zones d’activations
cérébrales ; pour ce faire, les paramètres
.
calculés précédemment sont à présent les données de
tests statistiques. Un test statistique de Fischer fournit des cartes qui mettent en évidence l’effet de
certaines conditions (en particulier les conditions d’intérêt) sur le modèle. D’autre part, un test de
Student permet de s’intéresser à l’effet d’une condition par rapport à une autre.
2.3.1
L’effet de certaines conditions : le test F
: (pas d’activation cérébrale due
*
@ (activation cérébrale). En effet,
)
intuitivement, si dans les paramètres estimés il y a une ligne nulle, on peut considérer que la ) facteur) n’a aucune influence sur le modèle. Le test paramétrique
colonne de la Design Matrix (le Pour chacun des voxels, on va tester l’hypothèse nulle
au facteur , au voxel ) contre l’hypothèse alternative
employé dans la pratique est un test de Fisher.
5
Nous verrons plus bas la construction de cette matrice.
19
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
Supposons que la matrice de d’expérience soit réordonnée de façon à pouvoir la partitionner en
deux parties :
avec correspondant aux facteurs d’intéret , correspondant aux facteurs confondants. On
peut alors partitionner chaque de la même manière :
On va donc tester, grâce au test de Fischer, l’hypothèse nulle ! , c’est à dire que les
6
facteurs d’intérêt n’ont pas d’effet significatif. Pour celà, nous allons poser :
, ,
1
1 8 8 1 8#8 1 , 8 , 8
1 1 ,
et de sa partie , est le nombre
8
d’images acquises au cours du temps (dimension de ) et 1 est le résidu de la somme des carrés
où et
sont les rangs respectifs de la matrice d’expérience
définit par :
1 8 1 8 1 8
Avec ces notations, on a que
On choisit alors un pourcentage
suit une loi de Fischer de paramètres
E E & % E
:
de tolérance (en général %), et on calcule le seuil de signifi-
cativité d’activation.
Le calcul de
1 ,, 4 , 8
E E & % E 1 8
*
* ) 8 voxel
sur tous les voxels donne une carte, sous forme d’image, qui met en évidence la
, on peut conclure qu’il y a un effet des conditions d’intérêt à ce voxel de niveau 1 présence d’un effet des conditions d’intérêt sur le modèle. En effet, si on a par exemple au
2.3.2
L’effet d’une condition par rapport à une autre : le test T
Il nous faut tout d’abord estimer la variance résiduelle
son estimée 6 variance de l’erreur
6
6 *
pour chaque voxel , c’est à dire la
dans le modèle linéaire. Le résidu des moindres carrés, nous permet de calculer
:
facteurs que l’expérimentateur estime comme ayant une influence sur le modèle.
20
.
2.3 La détection des activités fonctionnelles
où
est le nombre d’images acquises,
sans biais de
6
,
6 ,
le rang de la design matrix ; alors
6 est un estimateur
(cf [Chr-1996] pour la démonstration).
On veut alors pouvoir tester les effets d’une des conditions par rapport à une autre. Pour ce faire,
on introduit la notion de contraste en considérant un vecteur
de
poids ; chacun des poids corres-
.
pondant à un des facteurs. Si l’on veut tester par exemple les effets de la condition
ceux de la condition , on utilisera le vecteur
On a alors :
G
6 1 8 par rapport à
% E
1 , 8 degrés de liberté.
@ , ce qui se traduit, dans notre exemple, par
On souhaite donc tester l’hypothèse nulle le fait que la condition 1 n’a pas d’effet par rapport avec la condition 3. Pour vérifier cette hypothèse,
8
on compare avec une distribution de Student à 1 , degrés de liberté.
On calcule pour tous les voxels * , ce qui fournit une carte qui représente un processus statistique
où
% E
est une distribution de Student à
spatial reflétant l’importance des effets choisis par le contraste .
D’autres tests peuvent être envisagés dans le but d’avoir une meilleure compréhension de l’expérience, notament un test de l’intensité de l’activation ou de l’étendue spatiale de l’activation. Il est bon
de rappeler que ces test statistiques sont sensibles aux procédés de normalisation effectués auparavant
sur les images, et peuvent révéler des activations erronées si les paramètres des pré-traitements étaient
non adaptés.
21
2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf
22
3 Modèle linéaire général et réponse
hémodynamique
3.1
Les modèles de réponse hémodynamique
Les modèles de réponse hémodynamique que nous avons choisit d’implémenter dans le module
de calcul “T LM ” 1 , développé dans le cadre de ce stage, sont les suivantes :
– le box-car standard,
– la Gaussienne,
– la somme de trois lois Gamma,
– le modèle canonique de réponse hémodynamique.
Les paramètres de chacune des fonctions proposées, malgré l’existence de paramètres par défaut, sont
entièrement modifiables le cas échéant par l’utilisateur souhaitant spécifier ses propres paramètres.
Pour cela, cet utilisateur devra se repporter au manuel de “T LM ”.
3.1.1
Box-car
Le Box-car est la fonction la plus simpliste possible pour modéliser la réponse hémodynamique.
En effet, elle représente cette réponse comme d’intensité constante non nulle dans un certain intervalle
de temps, nulle en dehors du reste de cet intervalle. Cette fonction est définie par :
1 4 8 où & est la fonction indicatrice de l’intervalle 4 .
3.1.2
Gaussienne
La fonction Gaussienne, proposée par Rajapakse & al [Rap-1998], présente plusieurs avantages :
– sa moyenne et sa variance sont indépendantes,
– la fonction est très flexible et bien connue mathématiquement.
Elle est définie par :
1
Temporal Linear Model
23
3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique
Intensité
1
1
0
temps (sec.)
0
F IG . 3.1: Réponse hémodynamique modélisée par la fonction Box-car.
Intensité
0
1
2
Temps (sec.)
F IG . 3.2: Réponse hémodynamique modélisée par une fonction gaussienne.
24
3.1 Les modèles de réponse hémodynamique
F IG . 3.3: Figure de gauche : les trois fonctions figées. Figure de droite : la fonction modèle de
la réponse hémodynamique, somme des trois fonctions précédentes avec les coefficients
et .
respectifs
4 4 Les paramètres
8
8
1
D
1 4 , définissent chacun un aspect de la fonction de réponse hémodynamique :
–
: définit le gain, l’amplitude de la réponse hémodynamique,
–
: la dispersion, proportionnelle à la “durée” de la réponse,
–
3.1.3
: le délai de temps du maximum de la réponse.
Somme de lois Gamma
La fonction Gamma que nous avons implémenter est une version plus simple et plus facile à
modeliser que la fonction de réponse hémodynamique canonique introduite par Friston. Elle est définit
de la manière suivante à partir de la densité de probabilité de la loi
1 (4 8 1 (4
4 8 1 4 4 8 :
1 4 4 8
où est ladensité de probabilité de la loi , définie par :
3.1.4
1 (4 4 8 1 8 Modèle canonique de réponse hémodynamique
La fonction modèle de la réponse hémodynamique qui sera sûrement la plus utilisée dans la pratique est celle proposé par Friston & al. [Fri-1994]. Cette fonction est la somme de deux densités de
25
3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique
HRF canonique
Dérivée temporelle
Dérivée de dispersion
1
0
F IG . 3.4: A gauche : Aspect de la fonction modèle canonique de la réponse hémodynamique. A droite :
Modèle canonique de réponse hémodynamique et ses deux dérivées : dérivée de temps et de
dispersion.
probabilité de la loi . Elle est définit par :
1 4 8 1 (4 4 8 1 (4 4 8
Cette fonction est celle qui modélise le mieux, pour la plupart des cas, la réponse hémodynamique
observée. Elle est composée, d’une part, d’une forte augmentation d’amplitude commençant vers
sec. et culminant vers sec., et correspondant à l’augmentation du débit sanguin local, et d’autre part,
d’une petite diminution de ce même débit sanguin avant un retour à la normale. Dans la littérature,
la première augmentation est dénommée par abus de langage “réponse”, tandis que la diminution est
appelée “undershoot”2 .
Les paramètres
–
–
–
–
–
: délai entre la stimulation et le maximum de la réponse,
! par défauts prennent les valeurs suivantes :
: délai de temps entre la stimulation et le maximum de l’undershoot,
: dispersion de la réponse,
: dispersion de la l’undershoot,
: rapport d’amplitude entre la réponse et l’undershoot.
Il peut être utile de considérer dans le modèle linéaire, non seulement la réponse en elle même, mais
également sa dérivée de temps et sa dérivée de dispersion. De cette manière, le modèle linéaire pourra
faire jouer ces deux dérivées de façon à modifier légèrement le délai de temps délai entre la stimulation
et le maximum de la réponse (dérivée de temps), la “largeur” de la réponse (dérivée de dispersion).
2
Nous utiliserons ces deux appellations par la suite par souci de simplicité.
26
3.2 La design matrix
20
40
60
80
100
120
140
160
2
4
6
8
10
12
F IG . 3.5: Design matrix obtenue grâce au module “T LM ” en ayant choisit comme fonctions de base
le modèle canonique de réponse et ses deux dérivées.
3.2
3.2.1
La design matrix
La design matrix dans le modèle linéaire général
La design matrix est l’information a priori sur l’expérience que l’on introduit dans le modèle
linéaire général. Cette design matrix est la combinaison des informations que l’on a à propos de
l’expérience :
– instants d’acquisition des images,
– instants de présentation des stimulations de type 1, 2, ..., n,
et du choix d’une fonction modélisant la réponse hémodynamique estimée.
3.2.2
Construction de la design matrix
Pour obtenir cette matrice, on récupère les données de l’expérience sous la forme :
Tps (ms)
%
Image
Cond. 1
Cond. 2
....
Cond. n
0
1
0
....
1
1
0
1
1
0
0
1
....
1
27
3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique
I
Choix d’une HRF
(Basis functions)
I
Données de l’expérience
(Stimulations de type i)
Convolution
0
Time
0
Time
Colonne de la Design Matrix
correspondant à la condition i
F IG . 3.6: Principe de création de la matrice d’expérience (DM) à partir des dates de stimulation et du
modèle de réponse hémodynamique choisit.
On choisit d’autre part, un modèle de réponse hémodynamique (modèle canonique de Friston,
Gaussienne, Box-car, ... . (cf. 3.1) et l’on génère la ou les fonctions dénommées “de base” dans la
littérature. Il se peut, en effet, que l’on fasse le choix d’utiliser plus d’un fonction de base. On considère alors le modèle de réponse proprement dit, mais aussi sa dérivée de temps, voir sa dérivée de
dispersion.
On convolue ensuite chaque vecteur colonne, correspondant à une condition, un type de stimulation, par la ou les fonctions de bases précédemment générées. Enfin, on ne récupère que les lignes
correspondantes aux instants où il y a eu une acquisition d’image par le scanner.
Dans le cas d’une analyse multi-sujets et/ou multi-session, on réitère l’opération décrite ci-dessus
pour chaque sujet et/ou chaque session, et l’on dispose ensuite les design matrix obtenues dans une
“méta-matrice”.
On peut conclure à ce propos en disant que construire une design matrix, c’est choisir, dans ce
type d’analyse, un modèle.
28
4 Considération de l’historique des stimuli méthode empirique
4.1
Le phénomène physiologique
Les expérimentations menées par Huettel & Mechelli [Hue-2000] ont mis en évidence l’existence
d’une période réfractaire de la réponse hémodynamique (cf. Fig. 4.1), et donnent des résultats numériques permettant de modifier le modèle de la HRF dans ces cas. Dans cet article, les auteurs relatent
une expérience menée sur six sujets, dans laquelle on présentait aux sujets des stimuli visuels à des
intervalles variables. Le but est d’établir des relations empiriques entre le délai de temps
les deux stimuli, et les effets de
séparant
sur, d’une part, l’amplitude de la seconde réponse, et d’autre part,
le délai de réponse. La figure 4.2 donne les principaux résultats de cette étude ; on voit clairement que
la présentation rapprochée de deux stimuli a comme effet une diminution de l’amplitude de la seconde
réponse et un décalage temporel de l’apparition de cette même seconde réponse.
4.2
Modélisation mathématique et implémentation
Nous désirons donc modifier le modèle de réponse hémodynamique, construite précédemment,
en fonction des observations de Huettel & Mechelli. Pour cela, nous nous sommes principalement
basé sur leurs résultats numériques ; ceux-ci décrivent le facteur de délai comme une fonction linéaire
du décalage de temps
, le facteur de réduction de l’amplitude de la réponse comme une fonction
vraisemblablement polynomiale. Dans un souci de souplesse de notre module “T LM ”, nous avons
choisit d’interpoler les données numériques résultantes de leur expérience (voir 4.2), de façon à ce
qu’un utilisateur, qui ne souhaiterait pas utiliser ces données, puisse entrer ces propres observations.
Cette possibilité d’entrer ses propres paramètres est importante, car ce phénomène ne se manifestant
pas de la même manière dans toutes les zones cérébrales, quelqu’un qui s’interressera au cortex visuel
n’utilisera surement pas les mêmes paramètres qu’une autre personnne s’interressant au cortex visuel.
La méthode d’interpolation qui a été retenue est l’interpolation linéaire du fait de ses qualités de
stabilité vis-à-vis des phénomènes physiques.
29
4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique
F IG . 4.1: Modifications de la réponse hémodynamique entraînées par un second stimulus. [Hue-2000]
F IG . 4.2: Effets de sur l’amplitude du modèle de réponse hémodynamique (fig. de gauche) et sur le
décalage en temps de l’apparition de la réponse (fig. de droite). [Hue-2000]
30
4.3 Résultats et discussion
F IG . 4.3: Comparaison du signal BOLD estimé avec et sans prise en compte des stimuli précédents.
La courbe supérieure est la réponse estimée sans prendre en compte l’historique des stimuli ;
la courbe inférieure est la réponse estimée avec prise en compte des stimuli précédents ; les
stimuli sont représentés par des impulsions bleues sur le graphe.
4.3
Résultats et discussion
Nous avons donc implémenté la méthode décrite ci-dessus dans notre module “T LM ” ; comme à
l’habitude, l’utilisateur peut choisir d’activer ou de ne pas activer ce traitement.
La figure 4.3 illustre les résultats obtenus avec l’implémentation faite de cette méthode dans le
module “T LM ” ; l’implémentation réalisée permet donc bien de modifier l’aspect de la réponse hémodynamique en fonction de l’historique des stimuli. On voit nettement que la réponse relative au
premier stimulus n’est pas modifié ; en revanche, la réponse relative au deuxième stimulus est décalé
en temps et modifié en amplitude.
Cependant, il convient d’être prudent quant à l’utilisation de cette méthode, car elle est basée sur
des résultats empiriques relatifs au cortex visuel. Il conviendra donc à l’expérimentateur de fournir
ses propres paramêtres s’il travaille sur une partie du cortex n’ayant pas les mêmes caractéristiques
de réponses que le cortex visuel. Les séries de Volterra pourront peut-être répondre à la limitation de
cette méthode. Nous développerons au chapitre suivant la théorie de cette autre méthode basée sur
l’utilisation des séries de Volterra.
31
4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique
32
5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra
Nous avons jusqu’ici estimé la réponse hémodynamique des séries temporelles d’IRMf sur un
modèle linéaire, mais nous avons vu à la section précédente qu’il est préférable de prendre en compte
l’historique des stimuli. L’idée qui vient est donc de considérer la réponse hémodynamique sur un
modèle non-linaire. Pour ce faire, Friston & al. [Fri-2000] propose d’étendre le modèle linéaire pour
prendre en compte les réponses non-linéaires grâce aux expansions en séries de Volterra. L’utilisation
des séries de Volterra permettra donc de continuer à utiliser le modèle linéaire général que nous avons
décrit plus-haut pour résoudre le problème non-linéaire que nous considérons désormais.
5.1
Historique
Le mathématicien espagnol Vito VOLTERRA fut le premier à introduire la notion de ce qui est aujourd’hui connu sous le nom de Séries de Volterra dans son ouvrage Theory of Functionals Equations
[Vol-1959]. La première application remarquable du travail de VOLTERRA est due au mathématicien
N. W IENER, du M.I.T., qui utilisa les séries de Volterra pour analyser des systèmes non-linéaires.
Depuis, les séries de Volterra sont principalement utilisées pour résoudre des systèmes non-linéaires,
et c’est l’utilisation que nous allons en faire dans ce travail.
5.2
Théorie générale des séries de Volterra
Un système linéaire causal avec mémoire peut-être décrit par l’équation de convolution suivante :
81 1 8 D 1 8 (5.1)
8
8
8
où D 1 est le signal d’entrée, .1 le signal de sortie, et 1 la réponse impulsionnelle du système.
D’autre part, un système non-linéaire sans mémoire peut-être décrit grâce aux séries de Taylor :
8
.1 '% D 1 8 %
%!
8
8
où, cette fois encore, D 1 est le signal d’entrée, 1 le signal de sortie. Les %
(5.2)
sont les coefficients
de la série de Taylor considérée.
33
5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra
F IG . 5.1: Comparaison de la réponse hémodynamique estimée par les modèles linéaires et nonlinéaires pour la présentation de deux stimuli à 1 sec. d’intervalle. [Fri-2000]
Les séries de Volterra permettent de décrire un système non-linéaire avec mémoire (ce qui nous
intéresse dans ce travail) en combinant les deux représentations ci-dessus. La combinaison des équations 5.1 et 5.2 grâce aux séries de Volterra, permet d’écrire :
81 1 8D 1 8 8
1 /4 4 D 1 ce qui s’écrit également :
8
.1 %! 1 >4 8 D 1 8 D 1 8 8 D 1 8 D 1 8 (5.3)
% D
8
8 !%
(5.4)
% 1 4 4 4 % ! 1 !
8
8
8
avec, comme précédemment, D 1 signal d’entrée, .1 signal de sortie, et les %.1 >4 4 4 %
sont appelés noyaux de Volterra . Les sont des variables temporelles.
Pour , le noyau peut-être reconnu comme la réponse impulsionnelle de l’équation 5.1, et
donc, par extension, on peut assimiler le noyau % à la “réponse impulsionnelle d’ordre ”. Le premier
terme de l’équation 5.3 est clairement la convolution de cette “réponse impulsionnelle d’ordre ” avec
) terme de cette équation peut donc être considérée comme la convolution
le signal d’entrée ; le
1
croisée d’ordre
Le coefficient
1
de la “réponse impulsionnelle d’ordre ” avec l’historique des signaux d’entrée.
%
est omis par la plupart des auteurs, et nous ferons de même car de toute façon le
on trouvera plutôt dans la littérature l’appellation anglo-saxonne Volterra kernels
34
5.3 Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des réponses non-linéaires en IRMf
coefficient du signal sera déterminé par le modèle linéaire. Nous considérerons donc la formulation
suivante pour décrire un système non-linéaire avec mémoire :
81 %
! 5.3
% D
8
.% 1 >4 4 4 !%
1 8
!
%
(5.5)
Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des
réponses non-linéaires en IRMf
Une série de Volterra de
D #1 8
tâches
peut modéliser les réponses liées aux tâches et les interac-
*
tions d’une série temporelle mesurée, tel que le signal BOLD pour le voxel , comme suit :
'1 8 1 8 8
8 1 D #1 ! 8 D 1 8 D 1 8 1
/4
! % ordre ; le noyau de À ce jour, on n’utilise dans la pratique que les noyaux de et de (5.6)
ordre
est bien entendu un modèle de réponse hémodynamique (cf. 3.1), puisque l’on reconnaît clairement
le produit de convolution de cette réponse par le signal des stimuli. On peut toutefois remarquer que
l’aspect de la réponse hémodynamique est légèrement différent de celle estimée dans les modèles de
réponses hémodynamiques.
%
Le noyau de second ordre, ainsi que les autres, est déterminé directement à partir des images
elles-mêmes. Le noyau de
ordre se compose d’une partie négative en haut à gauche, suivie de
2 petits ressauts positifs ; la partie négative s’interprete aisément comme la diminution d’intensité
de la seconde réponse si le
< 6-8 sec. Pour ce qui est des ressauts positifs, il sont particulierement
intéressants, car ils signifient qu’après la phase de diminution de l’intensité, il y aurait une courte phase
d’augmentation. Ce phénomène est plutôt surprenant et mérite d’être considéré avec précaution.
%
On pourra consulter [Fri-1998] pour se faire une idée précise de la méthode de calcul de ces
noyaux à partir des images. La figure 5.2 montre les noyaux de
pour un voxel particulier.
5.4
et
ordre estimés par Friston
Discussion et propositions pour un travail futur
L’intérêt de cette méthode par rapport à celle que nous avons mis en oeuvre précedemment serait
de ne pas avoir à introduire d’informations a priori supplémentaires. En effet, cette méthode serait
vraiment intéressante si les noyaux de Volterra pouvaient être calculés directement à partir du signal
issu de l’imageur. Dans le cas où le calcul de ces noyaux nécessitent des expériences indépendantes
35
5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra
F IG . 5.2: Les noyaux de Volterra de
et de
%
ordre estimés pour le voxel (-56,-28,12) [Fri-1998]
et fonction de la fonction cérébrale considérée, l’utilisation de ce puissant outil mathématique me
semble démesurée par rapport aux approximations faites d’autres part.
La réponse à cette question semble être donnée dans l’article [Fri-1998] auquel je n’ai pas pu
avoir accès en intégralité. Dans cet article, Friston décrit en détail la méthode de calcul des noyaux
d’ordre supérieur “basés sur les paramètres estimés”. Il conviendrait donc d’étudier spécifiquement
les qualités de cette méthode pour pouvoir dire s’il est possible de tenir compte des corrélations
temporelles en se basant uniquement sur les séries d’images elles-même.
D’autre part, il est intéressant de remarquer que le calcul des noyaux de Volterra sont indépendants
les uns des autres, ce qui autorise l’utilisation de méthodes de calculs parallèles, ce qui permettrait des
optimisations. Pour des considérations plus avancées sur ces méthodes, notamment sur l’utilisation
des configurations multi-processeurs, on pourra consulter [Kol-2000].
36
6 Expérimentations
Ce stage à été concrétisé par la création d’un module de calcul, programmé en C P OSIX, baptisé
“T LM”, qui met en oeuvre la théorie développée jusqu’ici. Ce module est à présent inséré dans un
logiciel d’analyse des images issues d’IRM, développé conjoitement par l’unité 280 de l’INSERM et
l’ISC du CNRS, dénommé ACTIVIS. Pour tester la validité des calculs éxécutés par le module “T LM ”,
nous avons analysé des données d’imagerie grâce à ce logiciel ; nous avons pu recouper nos résulats
avec ceux précedemment obtenus et publiés par Wicker et Fonlupt [Wic-2002]. Les données que nous
avons traitées au cours de ce stage sont de deux styles différents :
– les premières sont des données simulées,
– les secondes sont des données réelles, issues d’expérimentations.
L’expérimentation en question, celles menée par Blakmore et al. [Bla-2001], comprend 4 sessions de
178 scans chacunes, et 4 types d’évènements différents ont été considérés. Un des 4 types d’événement
n’a aucun effet, et sera donc un évènement témoin. Lors de chaque session d’imagerie, un des 4
événements, choisit aléatoirement, se produit tous les 2 scans.
6.1
La méthode
6.1.1
La design matrix
Tous les calculs ont été réalisés en fonction des conditions et des données de l’expérimentation
menée par Blakmore et al. [Bla-2001]. De ce fait, nous avons créé la design matrix, grâce au module
“T LM ”, à partir du fichier1 consignant les conditions de l’expérimentation. Nous avons choisit de
modéliser la réponse hémodynamique à chacune des stimulations, par le modèle canonique proposé
par Friston et al.[Fri-1997], et ses dérivées de temps et de dispersion. Nous avons séparé le traitement
des images par session, et donc la design matrix générée correspondant à la session comporte
-
colonnes, correspondant aux événements étudiés, et lignes, chaque ligne correspondant à
un scan.
1
cf. section 3.2.2 pour le format de ce fichier.
37
6 Expérimentations
F IG . 6.1: Design matrix correspondant à la
session de l’expérimentation, avec le modèle canonique de réponse et ses deux dérivées. Cette DM a été visualisée avec ACTIVIS.
6.1.2
Les données
Les données simulées
Les valeurs des données simulées sont calculées directement à partir des conditions de l’expérience (dates d’acquisition des images, dates des stimulations de type 1, ..., 4). En effet, ces données
sont la somme des réponses à l’évènement de type 1 avec celles relatives à l’évènement de type 2 ;
en pratique on fait la somme des colonnes
et de la design matrix 6.1. L’intéret de cette simulation
est de pouvoir vérifier la validité des analyses ; en effet, les stimulations de type et doivent induire
une réponse sans effet temporel ni de dispersion, alors que les stimulations
et ne doivent pas en
induire.
Les données expérimentales
Les données réelles que nous avons analysées sont celles de l’expérience de Blakmore et al.
[Bla-2001] ; elles ont été obtenues sur un sujet auquel on présentait 4 types de stimuli visuels, 3
des stimuli étant d’intérêt. Après la présentation d’un des 4 type de stimulation, le sujet devait dans
les 2 sec. suivantes presser un bouton en fonction du type du stimulus présenté.
Les données issues de l’imageur n’ont pas été toutes conservées ; on a gardé uniquement des
régions intéressantes vis-à-vis du protocole, et d’autres dont on sait qu’elles ne seront pas sensibles
aux stimulations, de façon à avoir des zones de référence. Au total, on a conservé
>
38
zones différentes (
voxels issus de
voxels par zone). La figure 6.2 indique la localisation des zones considérées.
6.2 Mise en oeuvre et résultats
F IG . 6.2: Localisation des
6.2
>
zones cérébrales d’où provienent les données analysées [Wic-2002].
Mise en oeuvre et résultats
Nous avons donc mis en oeuvre les analyses grâce au module “T LM ” et au logiciel ACTIVIS sur
les données qui ont été préalablement analysées par ailleurs ; nous avons ainsi pu vérifier la véracité
de nos résultats à chaque étape. Pour obtenir des résultats cohérents, nous nous sommes placés dans
les mêmes conditions de calculs que ceux effectués préalablement ; en particulier, il nous faut dire
qu’un facteur
> joue un rôle non négligeable lors du calcul du rang d’un matrice (pour nos analyses,
nous l’avons fixé à 6.2.1
).
Analyse des données simulées
La figure 6.3-(i) donne le résultat du test F correspondant aux données simulées, qui dénote plusieurs activations spécifiques (cf 2.3.1).
Les figures 6.3-(ii) et 6.3-(iii) donnent quant à elles les résultats des tests T (cf 2.3.2), menés sur
ces même données, en voulant tester les effets de la condition 1 par rapport à la condition 2, d’une
part, ceux de la condition 1 par rapport à la 3, d’autre part. Ces données étant simulées, on connaît les
effets d’une condition par rapport à une autre ; on sait en l’occurence que la condition 2 ne doit pas
avoir d’effet sur la 1 (test T proche de 0 pour chaque voxel, et de moyenne nulle sur l’ensemble de
l’échantillon), tandis que la condition 3 doit avoir un effet sur la 1, car on “compare” une condition
d’intéret par rapport à une condition nulle (test T positif et “grand” pour presque tous les voxels, de
moyenne non nulle sur l’ensemble de l’échantillon).
En observant les cartes satistiques obtenues, on retrouve les résultats attendus.
39
6 Expérimentations
(i) Test F
(ii) Test T − Condition 1 contre 2
0
−5
(iii) Test T − Condition 1 contre 3
+10
0
+5
Significativité des couleurs
F IG . 6.3: Résultats des analyses des données simulées. (i) Test F qui dénote plusieurs activations spécifiques. (ii) Test T de la condition 1 par rapport à la 2 (toutes deux d’intéret) : pas d’effet
remarquable. (iii) Test T de la condition 1, d’intérêt, par rapport à la 3 qui est confondante :
des effets sont remarquables sur la plus part des voxels.
40
6.3 Conclusion sur l’expérimentation
Test F obtenu avec le module TLM
Test F issu des expérimentations de référence
Minimal value
=
−0.013
Maximal value =
+0.009
−0.013
0
+0.009
Résultat de la soustraction des deux images ci−dessus
F IG . 6.4: Comparaison des résultats obtenus avec le module “T LM ” avec les résultats des expérimentations de références.
Nous avons également analysé les données réelles, mais nous n’en donnons pas les résultats de
façon à ne pas surcharger inutilement ce rapport. Il convient de dire que ces analyses sont aussi
concluantes que celles effectuées sur les données simulées.
6.3
Conclusion sur l’expérimentation
Nous avons donc pu comparer les résultats obtenus grâce à notre module de calcul et les tests
statistiques implémentés dans le logiciel Activis, avec les résultats des expérimentations précédentes.
Le résultat d’une de ces comparaisons est illustré par la figure 6.4. Les tests de Fischer obtenus respectivement grâce à notre module de calcul et à partir des expérimentations de Wicker et Fonlupt sont
quasi-identiques d’un point de vue visuel ; l’image du dessous est la soustraction, voxel par voxel, des
deux images et permet de visualiser les différences, si faibles soient-elles.
On peut donc conclure à la validité des calculs et analyses effectués par le module “T LM ” et les
tests statistiques D ’ACTIVIS.
Il est à noter que lors des tests T sur les données, nous avons remarqué un phénomène non-attendu
en comparant les valeurs, d’une part du test T portant sur un facteur d’intérêt contre un facteur nul, et
41
6 Expérimentations
(i) Test T d’un facteur d’intéret seul
(i) Test T de ce facteur d’intéret par rapport à un facteur confandant
F IG . 6.5: Différences observées entre un test T d’un facteur d’intéret seul (i) et un autre test T entre
ce même facteur et un facteur confondant (ii). L’échelle des couleurs est la même que celle
de la figure 6.3
d’autre part du test de ce même fateur d’intérêt mais seul. En effet, on s’attend en théorie à trouver les
mêmes valeurs, mais on obtient un test beaucoup plus “fort” si on teste le facteur d’intérêt contre un
facteur nul, que seul. Ce phénomène participe, semble-t-il, du bruit supposé gaussien du facteur nul.
Un explication théorique de ce phénomène serait à coup sûr appréciée par les utilisateurs de ce type
de test statistique.
42
7 Conclusion
Après une brève présentation de la méthode d’analyse des images d’IRMf et un rappel théorique
des outils mathématiques permettant d’obtenir des résultats interprétables, nous nous sommes interressés plus particulièrement au traitement des signaux d’IRMf présentant des corrélations temporelles.
Nous avons étudié deux méthodes permettant de prendre en compte ces corrélations dans le modèle
linéaire généralisé : la première, basée sur des résultats empiriques, a été implémentée dans notre
module de calcul “Tlm”, la seconde, fait appel à un outil mathématique que sont les séries de Volterra.
La première de ces méthodes est basée sur des résultats empiriques obtenus sur une zone cérébrale
particulière, le cortex visuel, ce qui limite tout de suite cette technique, du fait qu’il faille à chaque
nouvelle expérience sur un cortex différent recalculer les données permettant d’extraire les paramètres
de décalage temporel et de diminution de l’amplitude.
La seconde méthode, basée sur les séries de Voterra, paraît plus prometeuse, en ce sens qu’il
semblerait que les noyaux d’ordre supérieur puissent être calculés directement à partir des images
elles-mêmes. Si tel était le cas, cela permettrait d’avoir des noyaux estimés plus proches encore de la
réalité de la série temporelle étudiée.
Ce travail d’étude s’est doublé de la réalisation d’un module de calcul permettant d’analyser les
images issues d’IRMf, ainsi que la prise en compte des corrélations temporelles par une méthode empirique. Ce module de calcul a été inclus dans le logiciel ACTIVIS, ce qui permet de mener entièrement
des analyses d’images d’IRMf (des prétraitements aux cartes statistiques paramétrées).
43
7 Conclusion
44
Table des figures
2.1
Effet BOLD : Pas d’activité cérébrale (Fig. de gauche). Augmentation du volume
sanguin et du taux d’oxyhémoglobine du fait d’une activité cérébrale (Fig. de droite).
14
2.2
Principe d’acquisition des images en IRMf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Fonctionnement général du traitement des images d’IRMf. [Fri-1997] . . . . . . . .
17
3.1
Réponse hémodynamique modélisée par la fonction Box-car. . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Réponse hémodynamique modélisée par une fonction gaussienne. . . . . . . . . . .
24
3.3
Figure de gauche : les trois fonctions
figées. Figure de droite : la fonction modèle
de la réponse hémodynamique, somme des trois fonctions précédentes avec les coefficients respectifs
3.4
4 4 et .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A gauche : Aspect de la fonction modèle canonique de la réponse hémodynamique. A
droite : Modèle canonique de réponse hémodynamique et ses deux dérivées : dérivée
de temps et de dispersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
26
Design matrix obtenue grâce au module “T LM ” en ayant choisit comme fonctions de
base le modèle canonique de réponse et ses deux dérivées. . . . . . . . . . . . . . .
3.6
25
27
Principe de création de la matrice d’expérience (DM) à partir des dates de stimulation
et du modèle de réponse hémodynamique choisit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.1
Modifications de la réponse hémodynamique entraînées par un second stimulus. [Hue-2000] 30
4.2
Effets de
sur l’amplitude du modèle de réponse hémodynamique (fig. de gauche) et
sur le décalage en temps de l’apparition de la réponse (fig. de droite). [Hue-2000] . .
4.3
30
Comparaison du signal BOLD estimé avec et sans prise en compte des stimuli précédents. La courbe supérieure est la réponse estimée sans prendre en compte l’historique
des stimuli ; la courbe inférieure est la réponse estimée avec prise en compte des stimuli précédents ; les stimuli sont représentés par des impulsions bleues sur le graphe.
5.1
Comparaison de la réponse hémodynamique estimée par les modèles linéaires et non-
5.2
Les noyaux de Volterra de %
et de linéaires pour la présentation de deux stimuli à 1 sec. d’intervalle. [Fri-2000] . . . .
31
34
ordre estimés pour le voxel (-56,-28,12)
[Fri-1998] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
45
Table des figures
6.1
Design matrix correspondant à la
session de l’expérimentation, avec le modèle
canonique de réponse et ses deux dérivées. Cette DM a été visualisée avec ACTIVIS.
6.2
Localisation des
>
38
zones cérébrales d’où provienent les données analysées [Wic-2002].
39
6.3
Résultats des analyses des données simulées. (i) Test F qui dénote plusieurs activations
spécifiques. (ii) Test T de la condition 1 par rapport à la 2 (toutes deux d’intéret) : pas
d’effet remarquable. (iii) Test T de la condition 1, d’intérêt, par rapport à la 3 qui est
6.4
6.5
confondante : des effets sont remarquables sur la plus part des voxels. . . . . . . . .
40
Comparaison des résultats obtenus avec le module “T LM ” avec les résultats des expérimentations de références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Différences observées entre un test T d’un facteur d’intéret seul (i) et un autre test
T entre ce même facteur et un facteur confondant (ii). L’échelle des couleurs est la
même que celle de la figure 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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