courant induit dans une spire mobile

courant induit dans une spire mobile
une spire circulaire (1) de rayon b est parcourue par un courant i constant on rappelle que le champ
magnétique sur l'axe Oz de la spire s'écrit :
r µ i
µ i
r
b2
B = 0 sin 3 αu z = 0
2b
2 b2 + z2
(
)
3/ 2
r
uz
Oz
(2)
1. étude du champ au voisinage de l'axe Oz
r
1.1 montrer qualitativement que le champ B possède une
composante radiale Br en dehors de l'axe Oz
1.2 en utilisant une propriété du champ magnétique, trouver une
relation entre la composante Br , la dérivée
∂B z
∂z
et r, distance à
i
(1)
l'axe Oz
1.3 calculer Br en fonction de i, r, b, z et µ0.
2. une seconde spire (2) très petite, de rayon a, est "enfilée" sur l'axe Oz, sur lequel elle ne peut se
mouvoir que verticalement en restant horizontale.
2.1 en choisissant un sens que l'on définira clairement sur un schéma, et en faisant une hypothèse
simplificatrice, exprimer le flux du champ magnétique à travers la spire maintenue à la côte z.
2.2 on lache la spire qui tombe, comment évolue le flux ? en déduire le sens du courant induit qui
apparaît.
2.3 calculer le courant induit i' en fonction de i, a, b, z, dz/dt, µ0 et R résistance de la spire (2).
3. lorsque la spire (2) est en mouvement, elle est parcourue par le courant i' calculé précédemment.
Pour les questions suivantes, on utilisera simplement la notation i'.
3.1 calculer la résultante des forces de Laplace sur la spire (2), dues à Bz.
3.2 calculer la résultante des forces de Laplace sur la spire (2), dues à Br.
en quoi la loi de Lenz est-elle satisfaite ?
3.3 écrire l'équation du mouvement de la spire (2) de masse m en projection sur l'axe Oz
(on ne cherchera pas à résoudre cette équation)
4. la petite spire est remplacée par un échantillon sphérique de
matériau supraconducteur.
4.1 quelle est la caractéristique principale d'un supraconducteur ?
4.2 interpréter qualitativement la lévitation de l'échantillon au
dessus de la spire parcourue par le courant i constant.
(on ne cherchera pas à discuter de la stabilité)
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corrigé : courant induit dans une spire mobile
1. étude du champ au voisinage de l'axe Oz
r
1.1 le champ B possède une composante radiale Br en dehors de l'axe Oz car les lignes de champ ne sont pas
parallèles à l'axe en dehors de l'axe.
1.2 Calculons le flux de B à travers un petit cylindre d'axe Oz, qui forme une surface fermée:
r
r
Bz
dΦtotal= SBz(z+dz) - SBz(z) + 2πr dz Br =0
soit avec S = πr² πr² dBz/dz = - 2πr dzBr
ou encore B r = −
B
r
Br
r ∂B z
2 ∂z
1.3 calcul de Br : en reprenant l'expression du champ créé par une
r µ i
µ i
r
b2
B = 0 sin 3 αu z = 0
2b
2 b2 + z2
spire circulaire :
Br = −
soit :
(

r ∂  µ 0i
b2

2 ∂z  2 b 2 + z 2

(
Br =
)
3/ 2
3µ 0 ir
b2z
4 b2 + z2
(
r
uz
)
3/ 2


r µ 0i  3
b2

 = − 2 2  − 2 2
b + z2


(
)
5/ 2


2z 


)
5/ 2
Oz
(2)
sens choisi
pour (2)
2.1 choisissons pour la spire (2) le même sens que (1) :
r
r
le flux de B à travers (2) est positif, et s'écrit, en supposant B uniforme sur
l'étendue de la spire : Φ =
∫∫
( 2)
µ 0i
b2
2 b2 + z2
(
)
3/ 2
r r µ i
b2
u z .d s = 0
2 b2 + z2
(
sens de i'
πa 2
)
3/ 2
i
(1)
soit
µ0i
b2
2 b2 + z2
Φ=
(
)
3/ 2
πa 2
2.2 si la spire tombe, le flux (>0) augmente car B augmente.
r
le courant induit i' qui apparaît doit créer un champ B' dirigé vers le bas pour
s'opposer à cette augmentation de flux (loi de Lenz), donc i' est de sens
opposé au sens choisi.
2.3 la spire possède une résistance R, donc i' = e/R avec e = -dΦ/dt
i' = −
µ iπa 2 ∂ 
1 ∂Φ
b2
=− 0

R ∂t
2R ∂t  b 2 + z 2

(
)
3/ 2




soit
i' =
µ 0 iπa 2 3
2zb 2
∂z
∂z
(i'<0 car
< 0)
2R 2 b 2 + z 2 5 / 2 ∂t
∂t
(
)
r
Bz
r
dF
3.1 résultante des forces de Laplace dues à Bz
r
i' d l
r
r r
dF = i ' d l ∧ B z
on voit que quel que soit le sens de i', ces forces seront radiales, et donc s'annuleront.
r
dF
3.1 résultante des forces de Laplace dues à Br
r
r
r
i' d l
r
Br
r
on a maintenant dF = i' d l ∧ B r ce qui donne :
r
r
r
r
dF = i' adθu θ ∧ B r u r = −i' B r adθu z (ici i' <0, d'où le sens sur la figure )
r
r
pour toute la spire F = −i' B r 2πau z = −i'2πa
3µ 0 ir
b2z
4 b2 + z2
(
)
5/2
r
r
3πa 2
b2z
u z soit avec r = a : F = −µ 0 ii'
2 b2 + z2
(
)
5/ 2
r
uz
avec i'<0 (voir au-dessus) cette force est dirigée vers le haut, et s'oppose à la chute, c'est à dire à la cause qui lui a
donné naissance; c'est bien en accord avec la loi de Lenz.
3.3 équation du mouvement de la spire (2) de masse m en projection sur l'axe Oz
m&z& = −mg − µ 0 ii'
3πa 2
b2z
2 b2 + z2
(
)
5/ 2
d'où l'équation :
remplaçons i': m&z& = −mg − µ 0 i
&z& + µ 02 i 2
π2a 4 9 b 4z 2
mR 4 b 2 + z 2
(
)
5
µ 0 iπa 2 3
2zb 2
∂z 3πa 2
b2z
5
/
2
2R 2 b 2 + z 2
∂t 2 b 2 + z 2
(
z& + g = 0
4.1 caractéristique principale d'un supraconducteur :
la résistivité s'annule au dessous d'une température critique.
4.2 placé au-dessus de la spire (1), il apparaîtra des courants induits
surfaciques (voir effet Meissner) qui formeront des "spires" à
la surface de l'échantillon;
la résultante des forces de Laplace agissant sur ces courants
aura pour effet de le maintenir en lévitation
elle est dirigée vers le haut si la sphère descend, et vers le bas si
la sphère monte : il y aura donc possibilité d'équilibre stable,
c'est ce que confirme une étude plus détaillée du phénomène.
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)
(
)
5/ 2