LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES, INITIATION À

Transcription

ANNEXE A.1
LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES,
INITIATION À LA MODÉLISATION1
Galilée, le père de la science moderne, a déclaré que « les mathématiques sont le langage de
la nature ». Il voulait dire que les phénomènes naturels peuvent se décrire par des équations
et que travailler sur ces équations, c'est observer, comprendre et prévoir ces phénomènes.
Les mathématiques allaient fournir une gamme d'outils pour décrire une multitude de
phénomènes différents et les représenter sous forme d'un modèle mathématique.
Un modèle mathématique est un ensemble d'équations décrivant le mieux possible le
phénomène qu'il représente. Il se situe dans la démarche scientifique classique. C'est ce
qu'on appelle « la mathématisation des situations concrètes ».
D'abord, l'élaboration du modèle découle de l'observation objective du phénomène;
Ensuite, le modèle, une fois élaboré, doit permettre de reproduire le phénomène et
d'en rendre les résultats prédictibles;
Enfin, les résultats obtenus doivent être validés et critiqués pour permettre une
rétroaction afin d'améliorer ou de préciser les limites du modèle.
Les étapes de la modélisation correspondent aux étapes classiques de toute démarche
scientifique : observation, hypothèse, analyse, validation. Si cette démarche a d'abord été
proposée par Galilée, elle a été précisée quelques années après par Descartes et, surnommée
la « méthode cartésienne », elle a été à la base du développement des sciences modernes.
Voici comment Bruno Jarrosson, dans Invitation à la philosophie des sciences, décrit et
commente cette méthode2.
« Descartes définit une méthode en quatre points pour rechercher la vérité :
• douter jusqu'à ce qu'une évidence puisse sortir de ce doute : Ne recevoir
jamais aucune chose pour vraie que je la connusse évidemment être telle;
• diviser les difficultés autant qu'il est possible : Diviser chacune des
difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qu'il se pourrait et qu'il
serait requis pour les mieux résoudre. Cette étape postule que le tout est la
somme des parties, ce qui constitue sans doute l'une des limites de la
1
Cette annexe est extraite des notes de cours de Philippe Etchecopar, Calcul différentiel et résolution de problèmes
avec Mathematica et Maple (chapitre 5, p. 17 à 39), Ed. Le Griffon d’argile et Les Presses pédagogiques de l’Est,
1999.
2
JARROSSON, Bruno, Invitation à la philosophie des sciences, Le Seuil. 1992
DÉMARCHE DE MODÉLISATION EN MATHÉMATIQUES
Activité réalisée au cégep de Rimouski par Philippe Etchecopar et Céline Saint-Pierre. Produite par le Saut quantique.
1
•
•
méthode cartésienne. Il s'agit d'une méthode inverse de celle du syllogisme,
qui va du général au particulier. Descartes est en rupture avec la scolastique
aristotélicienne;
aller du plus simple au plus compliqué. Conduire par ordre mes pensées, en
commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître,
pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu'à la connaissance des plus
composés;
vérifier que l'on n'a rien oublié : Faire partout des dénombrements si entiers
et des revues si générales que je fusse assuré de ne rien omettre. »
Dans la section qui suit, vous allez vous familiariser avec les étapes nécessaires pour
déterminer le modèle mathématique décrivant des phénomènes assez simples. Ici, ces
phénomènes relèveront du « mouvement » et seront décrits grâce à la dérivée. Cette
modélisation de phénomènes permet de résoudre de nombreux problèmes relevant de
différents domaines. Vous aurez à utiliser régulièrement cette méthode.
2.1 L'utilisation de la dérivée
La dérivée permet d'abord de traiter des phénomènes qui « varient ». Elle mesure, comme
nous l'avons vu, le taux de variation instantané de ces phénomènes, elle nous indique le
sens de leurs variations, etc.
Elle permet aussi de déterminer quand les phénomènes passent par des maximums ou des
minimums.
Nous allons donc étudier des phénomènes qui se traitent ou bien par la connaissance de
leurs taux de variation (les taux de variation liés) ou bien par les maximums ou les
minimums qu'ils atteignent (les problèmes d'optimisation).
Nous allons commencer par définir les outils mathématiques, puis nous verrons comment
les utiliser dans le cadre de la « mathématisation de situations concrètes ».
2
2.1.2 Les problèmes de taux de variation liés
Les problèmes qui nécessitent cet outil sont des problèmes où la connaissance du
Taux de Variation Instantané (dérivée) apporte la solution. La fonction à dériver peut
être une fonction régulière y = f(x), elle peut être une fonction implicite, ou elle peut
être une fonction telle que sa dérivée peut faire intervenir d'autres variables ou des
variables intermédiaires. Ce sont ces deux derniers cas qui relèvent des « taux de
variation liés » ou « dérivation composée ».
Méthode conseillée
Pour déterminer l'équation décrivant un phénomène basé sur les taux de variation
liés, il faut :
1. Déterminer les taux de variation connus et inconnus du problème;
2. Déterminer l'équation liant la variable dont on recherche le taux de
variation avec la variable dont le taux de variation est connu;
3. Calculer les dérivées à partir de l’équation précédente.
L’équation obtenue est le « modèle mathématique » de la situation proposée dans ce
genre de problèmes.
Exemple
Le volume d'un ballon dépend du rayon. Si le rayon du ballon varie selon le temps,
comment le volume du ballon variera-t-il en fonction du temps?
4
Autrement dit, si V (r ) = π .r 3 et si r varie selon le temps selon un taux connu
3
dr
dV
, comment évaluer
?
dt
dt
Nous avons vu qu'il fallait alors utiliser la dérivation des fonctions composées :
dV dV dr
(1)
=
×
dr dt
dt
dr
dV
Dans cette équation,
est une valeur connue et
se calcule facilement à partir
dt
dr
4
dV
de V (r ) = π .r 3 . On obtient alors le taux de variation recherché,
, soit :
3
dt
dV
dr
(2)
= 4 πr 2
dt
dt
L’équation (2) est le modèle de ce genre de problème.
3
2.1.3 Les problèmes d'optimisation
Les problèmes d'optimisation sont des problèmes où l'on cherche à savoir à quelles
conditions ou à quels moments un phénomène passera par un minimum ou un
maximum.
Nous avons vu que quand un phénomène décrit par une fonction y = f(x) passe par un
maximum ou un minimum, alors sa dérivée est nulle.
Méthode conseillée
Pour déterminer l'équation décrivant un phénomène basé sur l'optimisation, il faut :
1 Identifier la quantité que l'on cherche à optimiser;
2 Déterminer la fonction traduisant cette quantité : cette quantité est
généralement la variable dépendante et il faut choisir la variable
indépendante parmi les variables inconnues;
3 Dériver cette fonction, identifier les valeurs de la variable indépendante qui
annulent cette dérivée et, par le test de la dérivée seconde, identifier la
nature des extremums.
L’équation de la fonction, l’équation annulant sa dérivée et l’expression donnant le
signe de la dérivée seconde forment le « modèle mathématique » de la situation
proposée dans ce genre de problèmes :
y = f ( x)
f ′( x ) = 0
f ′′( x )
Exemple
Considérons une compagnie qui produit et vend un certain objet.
Le coût de production, en dollars, de x objets est C = 100 + 1,02x ,
Les ventes de x objets rapportent R = 10x − 0,01x 2 .
Définir les équations permettant de maximiser les bénéfices.
La fonction définissant les bénéfices est Bénéfices = Ventes - Coûts.
Soit ici :
B( x ) = 10x − 0,01x 2 − 100 − 1,02x
Soit :
(1)
B( x ) = 8,98x − 0,01x 2 − 100
La seconde équation du modèle est celle permettant de déterminer les valeurs
annulant la dérivée :
4
(2)
B′( x ) = 8,98 − 0,02x = 0
La solution de cette équation est x = 449.
La dérivée seconde est :
(3)
B′′( 449) = −0,02
La dérivée seconde étant négative, les bénéfices passent par un maximum pour
x = 449.
Les équations (1), (2) et (3) forment le modèle de cette situation.
Remarque
On distingue les cas généraux suivants :
y = f(x) passe par un minimum pour x = a
f ′( a) = 0 et f ′′( a) > 0
y = f(x) passe par un maximum pour x = a f ′( a) = 0 et f ′′( a) < 0
Dans les deux cas, les graphiques sont souvent intéressants à étudier.
5
2.2 La modélisation
Le phénomène à étudier vous est présenté en langage courant. Il faut résister à la tentation
de vouloir trouver immédiatement une solution. Il faut au contraire procéder avec méthode
et suivre les étapes qui vous sont proposées et d'abord résumées sur le tableau ci-dessous :
Cycle de modélisation
Modéliser un phénomène, c'est le traduire sous forme mathématique de façon
à le rendre prévisible et à en donner une connaissance plus approfondie.
1 o Observation
• Faire un schéma et identifier les
variables
• Définir la problématique
- Extraire les éléments connus et
dégager ce que l'on recherche
- Déterminer la nature du problème
2 o Mathématisation
Les éléments cherchés
sont exprimés
en fonction des
éléments connus
• Préparez un protocole de laboratoire
afin d'identifier les calculs à faire, les
simulations à effectuer et les graphiques à faire
Un protocole de laboratoire
est établi
Le modèle peut être généralisé
à des phénomènes apparentés
4 o Interprétation des résultats
• Énoncer les résultats obtenus en
regard du problème
• Commentez l'importance relative des
paramètres et leur influence sur les
résultats
• Faire un rapport
• Établir les équations liant les
variables et exprimer les fonctions
principales
3 o Expérimentation
Les résultats sont
interprétés
• Effectuer les calculs
• Faire une première représentation
graphique du modèle
• Simuler les paramètres afin de juger
de leur importance dans le modèle
Ces étapes de modélisation sont bien décrites et schématisées dans Calculus a graphing approach
, de Finney,
Thomas, Demana et Waits. Ce processus de modélisation découle des travaux du mathématicien George Polya,
qui sont clairement présentés dans L'univers mathématiquede Reuben et Hersh (page 275).
6
2.2.1 L'observation
Avant même de penser à la solution ou aux pistes de solutions, il faut bien observer
les données du problème qui vous est proposé. Une bonne observation des données
du problème inclut, au moins, les éléments suivants :
A) Énumérer les variables et dresser une figure
Il faut d'abord esquisser une figure sur laquelle on identifie les données du problème
ou un plan de la situation décrite.
Il faut ensuite énumérer toutes les variables, connues et inconnues ainsi que les
paramètres, paraissant dans l'énoncé ou découlant de la figure. Les paramètres sont
les quantités considérées constantes dans le cadre du problème. Pour cela, il est
nécessaire de lire très attentivement l'énoncé du problème et de bien observer la
figure.
Il faut enfin, si cela s’applique au problème, indiquer les contraintes qui s’appliquent
aux paramètres et aux variables.
N'oubliez pas de vérifier la cohérence des unités utilisées.
B) Déterminer la problématique et poser une hypothèse sur la nature du problème
Il faut d'abord préciser la question qui est posée, c'est-à-dire identifier la quantité qu'il
va falloir calculer, puis identifier toutes les données qui sont connues.
Il faut ensuite identifier la nature du problème pour pouvoir en déduire la stratégie de
résolution. Il s’agit alors, pour terminer cette étape d’observation, de poser une
hypothèse sur la nature du problème rencontré. À ce stade, nous pouvons rencontrer
deux types majeurs de problèmes : les problèmes de Taux de Variation Liés et les
problèmes d'optimisation. Dans chacun de ces cas, il faudra alors utiliser la méthode
correspondante, qui a été précisée à la section précédente.
2.2.2 La mathématisation du problème
A) Définir et mettre en forme des fonctions ou des équations
Cette étape est cruciale. Il s'agit d'établir une ou plusieurs équations ou de définir une
ou plusieurs fonctions décrivant le phénomène. Pour cela, la méthode à utiliser
dépend de la nature du problème : taux de variation liés ou optimisation?
Les équations ou les fonctions peuvent d'abord s'écrire « en langage courant » puis se
mettre sous forme mathématique en incluant les variables ou paramètres identifiés au
début.
Éventuellement, il faut choisir parmi les variables, une variable indépendante et
vérifier si certaines variables sont liées entre elles. Quand plusieurs paramètres sont
liés, il faut les exprimer en fonction d'un seul. L'étude d'une fonction à une variable
implique que tous les paramètres correspondent à des valeurs données dans l'énoncé
du problème.
7
L'ensemble des équations ou fonctions ainsi obtenues forme le « modèle » lui-même.
Les paramètres doivent, de préférence, paraître sous forme de valeurs algébriques. Ils
seront remplacés par leurs valeurs numériques à l'étape de l'expérimentation ou des
calculs.
Rappelons les modèles mathématiques correspondant aux deux catégories de
problèmes rencontrées.
Optimisation
Il faut optimiser la fonction
y = f ( x)
Taux de variation liés
dx
dy
Il faut évaluer
connaissant
.
dt
dt
Modèle
y = f ( x)
Modèle
dy dy dx
=
dt dx dt
f ′( x ) = 0
f ′′( x )
B) Rédiger un protocole de laboratoire
Les logiciels de calcul symbolique sont d'une grande utilité dans le processus de
résolution de problèmes. Ils permettent d'abord d'effectuer les calculs nécessaires,
puis de tracer les graphiques des fonctions représentant le phénomène étudié et
surtout, d'explorer les solutions beaucoup plus en profondeur en « simulant » le
modèle pour différentes valeurs des paramètres.
Donc, il est nécessaire de rédiger un « protocole de laboratoire » qui indique ce que
l'on compte faire avec un logiciel de calcul symbolique pour étudier le modèle :
effectuer les calculs et déterminer des solutions, les représenter graphiquement, les
analyser, simuler ce que seraient ces solutions pour différentes valeurs des
paramètres et les interpréter en profondeur.
Un protocole de laboratoire est donc une liste d'opérations à effectuer à l'aide d'un
logiciel de calcul symbolique pour compléter l'étude du problème.
8
À ce stade, il comprend au moins trois éléments :
1. Les calculs : il est bon d'effectuer ou de valider les calculs algébriques
découlant du modèle et d'effectuer tous les calculs numériques nécessaires;
2. Les représentations graphiques : les logiciels de calcul symbolique sont
particulièrement aptes à effectuer ce genre de travail;
3. La simulation : il est intéressant de reprendre la fonction décrivant le
phénomène pour des valeurs différentes de paramètres inclus dans cette
fonction.
2.2.3 Le traitement en laboratoire
Le travail en laboratoire d'informatique consiste à effectuer le protocole défini et
rédigé à l'étape précédente. Il est nécessaire de structurer les instructions selon les
consignes données dans les premiers chapitres.
A) Effectuer les calculs, algébriques ou numériques
Une attention particulière doit être portée aux unités utilisée.
B) Dresser les graphiques
Le nom des variables propres aux axes doit être mentionné.
C) Effectuer les simulations
Les simulations se font généralement sur un graphique.
2.2.4 L'interprétation des résultats
L'interprétation des résultats consiste à :
1. Énoncer les résultats obtenus en regard du contexte du problème;
2. Commenter l'influence relative des paramètres et leur influence sur les
résultats;
2.2.5 Rédaction du rapport final
Le rapport final porte sur l’ensemble des étapes incluant le traitement en laboratoire.
9
Remarque
La modélisation présentée ci-dessus présume l'utilisation des logiciels de calculs
symboliques. Si on ne dispose pas d'un logiciel de ce type, les étapes sont un peu
simplifiées et le modèle sera plus sommaire. La première étape, celle de
l'observation, est identique. Par contre, la seconde étape se limite à la
mathématisation, il n'est plus question d'un protocole de laboratoire. La troisième
étape en sera une de « calcul » et non plus « d'expérimentation ». La dernière étape
est également identique, mais elle sera plus sommaire.
2.3 Des exemples
Nous allons appliquer cette méthode à différents problèmes relevant soit des taux de
variation liés, soit de l'optimisation. Dans chacun de ces deux cas, nous présenterons un
exemple pouvant être traité sans recours à un logiciel de calcul symbolique et un exemple
traité à l'aide de Mathematica ou de Maple.
Exemple 1 (sans Maple ou Mathematica)
Considérons une échelle de longueur L m appuyée contre un mur et dont le pied glisse sur
le sol avec une vitesse Vs .
a) Déterminez le modèle mathématique permettant de définir la vitesse avec laquelle
le sommet de l'échelle glisse le long du mur en fonction de la vitesse avec laquelle
le pied de l'échelle glisse sur le sol;
b) Si L = 5 m, et Vs = 0,25 m / s , déterminez la vitesse avec laquelle le sommet de
l'échelle glisse le long du mur lorsque le pied de l'échelle est à 2 m du mur;
10
Solution
1 Observation
a) Variables, paramètres et schéma
Variables
x : distance entre le pied de
l'échelle et le mur;
y : distance entre le sommet de
l'échelle et le sol;
Vm : vitesse avec laquelle le
Schéma
sommet de l'échelle se
déplace sur le mur;
Paramètres
L : longueur de l'échelle;
Vs : vitesse avec laquelle le
L
y
pied de l'échelle se déplace
sur le sol;
x
Contraintes
0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ L
L2 = x 2 + y 2
b) Problématique
dx
= Vs = 0,25 m / s .
dt
La quantité recherchée est la vitesse avec laquelle se déplace le sommet de
dy
l'échelle sur le mur, soit Vm =
dt x = 2
1
Les quantités connues sont L = 5 m et
2
La question porte sur le calcul d'un taux de variation
connaissons L et le taux de variation
dy
alors que nous
dt
dx
. Il s'agit d'un problème de taux de
dt
variation liés.
11
2 Mathématisation du problème
dx
dy
et
. Pour établir ce lien,
dt
dt
nous constatons sur la figure que x et y sont liés par le théorème de Pythagore :
(1)
x 2 + y 2 = L2
x et y dépendent du temps. Nous pouvons dériver cette équation par rapport au
temps :
d y2
d L2
d x2
+
=
dt
dt
dt
Nous avons :
d x 2 dx d y 2 dy
+
=0
dx dt
dy dt
Soit :
dx
dy
2x
+ 2y = 0
dt
dt
dy
En isolant
, nous obtenons :
dt
dy
x dx
=−
(2)
dt
y dt
L'équation (2) forme le modèle mathématique demandé.
Il s'agit d'établir un lien entre les taux de variation
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 Calculs
Ramenons la partie droite à la seule variable x, x et y étant liés selon (1) par :
y = L2 − x 2
En reportant cette valeur dans (2), l'équation du modèle devient :
x
dy
dx
=−
2
2
dt
L − x dt
(3)
(4)
dx
= 0,25 m / s
dt
En remplaçant ces valeurs dans l'équation (4), nous avons :
2
0,5
dy
=−
× 0,25 = −
= −0,1091 m / s
25 − 4
21
dt
Ici, nous avons L = 5 m, x = 2 et
12
4 Interprétation des résultats
On constate que les vitesses de déplacement ne sont pas les mêmes. Le haut de
l'échelle glisse le long du mur vers le sol à une vitesse de 0,11 m / s lorsque le pied
de l'échelle est à 2 m du mur.
Exemple 2 (avec Maple ou Mathematica)
Considérons un réservoir conique de h m de hauteur et dont le cercle du sommet a un
rayon de r m.
dV
Le réservoir se remplit d'eau avec un débit constant de
= D m 3 par seconde où V
dt
représente le volume de l'eau dans le réservoir.
1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir la vitesse avec laquelle
le niveau d'eau monte dans le réservoir;
2 Si le réservoir a une hauteur de 19 m et un rayon de 5 m et qu’il se remplit au
rythme de 2 m 3 / s , déterminez à quelle vitesse monte le niveau d’eau lorsque ce
dernier atteint une hauteur de 6 m.
3 Simulez le modèle selon un paramètre de votre choix. Commentez les résultats
obtenus.
13
Solution
1 Observation
a) Variables, paramètres et schéma
Variables
y : hauteur de l'eau;
x : rayon supérieur de la
masse d'eau;
Schéma
Paramètres
V : volume d'eau;
h : hauteur du réservoir;
r : rayon de la surface
supérieure;
Db : débit de l'eau;
r
x
Contraintes
0 ≤ x ≤ r, 0 ≤ y ≤ h
;
1
V = πhr 2
3
y
b) Problématique
1 Les quantités connues sont :
dV
h = 10 m, r = 5 m et
= Db = 2 m 3 / s car le débit est le taux de
dt
variation du volume par rapport au temps.
La quantité recherchée est le taux d'ascension du niveau de l'eau, soit
particulier
2
dy
et en
dt
dy
dt 6
dy
alors que nous
dt
dV
connaissons V ( y) et le débit Db qui est le taux de variation
. Il s'agit
dt
d'un problème de taux de variation liés.
La question porte sur le calcul d'un taux de variation
14
a) Équations représentant le problème
Il faut établir un lien entre le taux de variation
dy
que l'on cherche et le taux de
dt
dV
que l'on connaît. V représente le volume de l'eau et y, la hauteur de
dt
l'eau dans le réservoir.
Le volume V de l'eau est donné par le volume d'un cône de base circulaire de
rayon x et de hauteur y :
1
(1)
V = πx 2 y
3
Dans cette équation, x et y sont liés car ils dépendent des dimensions du cône.
dx
Comme
n’est pas connu, il s'agit d'exprimer x en fonction de y et de le
dt
remplacer dans (1).
Selon la figure, le théorème des triangles semblables nous permet d'écrire :
x r
r
= , soit x = y .
y h
h
En substituant x par cette valeur dans l'équation (1), nous avons :
πr 2 y3
(2)
V=
3h 2
dV
dy
et le taux de variation
,
Pour établir un lien entre le taux de variation Db =
dt
dt
nous pouvons utiliser le théorème de la dérivée des fonctions composées :
dV dV dy
=
(3)
dy dt
dt
L'équation (3) devient, en tenant compte de l'équation (2) :
dV
3πr 2 y 2 dy
= Db =
dt
3h 2 dt
dy
En isolant
, nous obtenons finalement l'équation traduisant le modèle
dt
demandé :
dy Db h 2
=
(4)
dt πr 2 y 2
L'équation (4) forme le modèle mathématique demandé.
variation
b) Protocole de laboratoire
Calculs
Nous devons déterminer
dy
dV
avec h = 10 m, r = 5 m , Db =
= 2 m 3 / s et
dt 6
dt
y = 6 m.
15
Les calculs sur la vitesse d'ascension
dy
seront effectués à partir de la formule (4)
dt
du modèle.
Graphique
dy
est
dt
exprimée en fonction des paramètres Db , r et h que l'on connaît, et la hauteur de
L'équation (4) est celle du modèle recherché et la vitesse d'ascension
l'eau y que l'on ne connaît pas. Nous allons donc représenter l'évolution de la
dy
vitesse d'ascension
selon la hauteur atteinte par l'eau y qui sera la variable
dt
indépendante.
Simulations
dy
est la fonction décrite par ce modèle et nous avons
dt
dy
choisi la hauteur y de l'eau comme variable indépendante. Mais la fonction
dt
dépend aussi des paramètres Db , r et h. Il serait intéressant de mesurer l'impact de
La vitesse d'ascension
ces différents paramètres sur la vitesse d'ascension de l'eau. Nous pouvons prendre
différentes valeurs du débit Db , ou différentes valeurs de r ou de h, ce qui
modifierait la forme du réservoir. Étudions l'impact du débit par des simulations.
Simulation 1
Pour y parvenir, représentons sur une même figure la fonction traduisant
dy
l'évolution de la vitesse d'ascension
selon la hauteur atteinte y, et cela pour
dt
différentes valeurs du débit Db .
Simulation 2
Il serait aussi intéressant d'étudier l'impact de la valeur du débit sur la vitesse
d'ascension à une hauteur précise, y = 6 m.
Par ailleurs, vous pouvez simuler selon le débit, mais en donnant une valeur
constante à y.
3 Expérimentation
Cette section représente le travail au laboratoire basé sur le protocole de la section
précédente.
16
a) Calculs
dy
selon les conditions indiquées, nous allons
dt
utiliser l'équation (4). Pour cela, nous allons entrer les instructions ci-dessous :
Pour calculer la vitesse d'ascension
Avec Maple, nous obtenons :
Vasc =
2
= 0,07073553 m / s
9π
b) Graphique
Pour représenter la variation de la fonction Vasc selon la variable indépendante y,
nous allons entrer les instructions ci-dessous :
17
c) Simulations
Simulations de la vitesse d'ascension selon le débit
Représentons sur une même figure l'évolution de la vitesse d'ascension selon la
hauteur atteinte y pour différentes valeurs du débit. Prenons une série de valeurs
listedeb pour le débit.
Entrons les instructions ci-dessous :
18
Avec Maple, nous obtenons la famille de courbes suivantes :
Simulations de la vitesse d'ascension à la hauteur y = 6 pour différentes valeurs du
débit.
Les vitesses d'ascension à la hauteur y = 6, Vasc(6) , pour différents débits sont
calculées avec la commande de calcul répétitif seq(). Prenons une série de valeurs
listedeb pour le débit. Représentons le résultat de cette simulation d'abord sous la
forme d'un tableau indiquant la vitesse d'ascencion Vasc pour chaque valeur du
débit, puis représentons graphiquement ce résultat.
Entrons les instructions suivantes :
19
Nous obtenons les valeurs suivantes, ici avec Maple :
Soit, sur une figure :
20
On remarque que la croissance est linéaire, ce qui correspond bien à la forme de la
dy Db h 2
=
fonction
entre la vitesse d’ascension et le débit.
dt πr 2 y 2
dV
= 2 m 3 / s , la vitesse
dt
d'ascension est très rapide au début mais décroît très vite durant les deux premiers
mètres. Par la suite, la vitesse décroît mais beaucoup plus lentement.
Le graphique nous indique qu'avec un débit constant
La première simulation indique que cette propriété se retrouve quel que soit le débit.
La différence c'est qu'au départ, la vitesse d'ascension peut être très élevée selon le
débit, il suffit de regarder les unités de l'axe des ordonnées, mais elle se « stabilise » à
partir de 2 m. Il faudrait effectuer un « zoom » sur cette section pour mieux analyser
les courbes correspondant aux différents débits.
La seconde simulation montre que pour y = 6 m, la variation de la vitesse d'ascension
selon le débit est linéaire. Cela correspond à la forme de l'équation du modèle.
21
Enfin, si h = 10 m , r = 5 m et Db = 2 m 3 / s , la vitesse d’ascension de l’eau lorsque
y = 6 m sera :
Vasc =
2
= 0,07073553 m / s
9π
Exemple 3 (sans Maple ou Mathematica)
Un enclos rectangulaire situé le long d'une rivière doit être clôturé sur ses trois autres
côtés. Pour cela, on dispose de P m de grillage.
1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir les dimensions de
l'enclos rectangulaire pour que les P m de grillage clôturent une surface
maximale;
2 Si P = 200 m , définissez les dimensions de l'enclos correspondant à une surface
maximale.
Solution
1 Observation
a) Variables et schéma
Variables
S : surface de l'enclos;
L : longueur de l'enclos;
l : largeur de l'enclos;
Paramètre
P : longueur de la clôture;
Contraintes
L ≥ 0, l ≥ 0
;
S = L.l
Schéma
L
l
S
Rivière
22
b) Problématique
1 La quantité connue est P = 200 m .
La quantité recherchée est la surface maximale S de l'enclos pouvant être
clôturée sur trois côtés avec P m de grillage;
2 La question porte sur la recherche d'un maximum. Il s'agit d'un problème
d'optimisation.
La surface de l'enclos est donnée par :
S = L.l
La fonction définissant la surface dépend de deux variables et ne peut être
immédiatement utilisée pour répondre à la question. En effet, les deux variables sont
ici liées, car la longueur P de la clôture est donnée. Nous avons donc :
P = L + 2l
(2)
De cette équation, nous pouvons extraire la largeur de l'enclos en fonction de sa
longueur :
P−L
(3)
l=
2
L'équation (1) donnant la surface totale devient donc en remplaçant l par cette
valeur :
( P − L)
S=L
2
Soit :
LP − L2
(4)
S=
2
Ici, S( L ) est la fonction à optimiser.
La surface sera maximale lorsque sa dérivée première sera nulle (extremum) et sa
dérivée seconde négative (maximum). Soit :
d 2S
dS
= 0 et
>0
(5)
dL
dL2
Les équations (4) et (5) forment le modèle mathématique de la situation proposée.
3 Calculs
Nous avons P= 200 m.
Les équations du modèle deviennent :
23
200L − L2
2
dS 200 − 2L
=
= 100 − L = 0
2
dL
d 2S
= −1
dL2
S=
(6)
L'équation (4) indique que la surface est nulle lorsque L = P ou L = 0.
L'équation (6) indique que la surface sera maximale lorsque la longueur L de l'enclos
sera telle que L = 100.
L'équation (3) indique que la largeur l de l'enclos sera alors l = 50.
La surface S sera donc S = 100 × 50 = 5000 m 2 .
24
Exemple 4 (avec Maple ou Mathematica)
Considérons un réservoir cylindrique en métal de volume V m 3 , de hauteur de h m et dont
le cercle de base a un rayon de r m. Le réservoir est muni d'un couvercle de métal.
1 Déterminez le modèle mathématique permettant de définir les dimensions du
réservoir pour que sa surface métallique totale soit minimale pour une valeur
donnée du volume V;
2 Si V = 5 m3 , définissez les dimensions du réservoir correspondant à une surface
minimale;
3 Simulez le modèle selon un paramètre de votre choix. Commentez les résultats
obtenus.
Solution
1 Observation
a) Variables et schéma
Variables
h : hauteur du réservoir;
r : rayon de la surface de
base;
S : surface totale du
réservoir;
Schéma
Paramètre
V : volume du réservoir;
r
h
Contraintes
V = πhr 2 ;
25
b) Problématique
1 La quantité connue est V = 5 m3 .
La quantité recherchée est la surface minimale S du réservoir, côté, fond et
couvercle;
2
La question porte sur la recherche d'un minimum. Il s'agit d'un problème
d'optimisation.
a) Équations représentant le problème
La surface totale du réservoir est celle de la paroi verticale ajoutée à celles du fond
et du couvercle. La surface de la paroi verticale est celle d'un rectangle de largeur
h et de longueur 2 πr.
La surface totale est donc :
S = 2 πr 2 + 2 πrh
(1)
La fonction définissant la surface dépend de deux variables et ne peut être
immédiatement utilisée pour répondre à la question. En effet, les deux variables
sont ici liées, car le volume V est donné. Nous avons donc :
V = πr 2 h
(2)
De cette équation, nous pouvons extraire la hauteur en fonction du rayon :
V
(3)
h= 2
πr
L'équation (1) donnant la surface totale devient donc, en remplaçant h par cette
valeur :
V
S = 2 πr 2 + 2 πr 2
πr
Soit :
V
(4)
S = 2 πr 2 + 2
r
La surface sera minimale lorsque sa dérivée première sera nulle (extremum) et sa
dérivée seconde positive (minimum). Soit :
d 2S
dS
= 0 et
>0
(5)
dr
dr 2
Les équations (4) et (5) forment le modèle mathématique de la situation proposée.
b) Protocole de laboratoire
Calculs
26
V
, nous
r
devrons choisir r comme variable indépendante, puisque la valeur du volume V est
donnée.
Comme il s'agit d'un problème d'optimisation, nous devrons effectuer les calculs
suivants :
dS
1 Calcul de la dérivée
;
dr
dS
2 Résolution de l'équation
=0
dr
d 2S
3 Détermination du signe de
pour les racines de l'équation précédente.
dr 2
Graphique
La fonction est la surface S et la variable indépendante est le rayon r. Nous
représenterons donc le graphique de la fonction S(r ) .
La fonction à optimiser étant la surface S définie par S = 2 πr 2 + 2
Simulations
Le rayon r étant la variable indépendante, le seul paramètre est le volume V. Nous
effectuerons des simulations pour évaluer l'impact de V sur la surface S(r ) . Pour
cela, nous représenterons une famille de courbes correspondant à différentes
valeurs de V.
3 Expérimentation
Cette section représente le rapport de laboratoire basé sur le protocole de la section
précédente.
a) Calculs
Nous devons :
dS
1 Calculer la dérivée
;
dr
dS
2 Résoudre l'équation
= 0 et obtenir la valeur du rayon correspondant à
dr
la surface minimale;
3 Déterminer le signe de la dérivée seconde;
4 Déterminer la hauteur du réservoir.
Nous devons entrer les instructions ci-dessous :
27
Sp et Ss sont respectivement les dérivées première et seconde de la fonction S(r).
28
b) Graphique
Pour représenter la variation de la fonction S(r ) selon la variable indépendante r,
nous allons entrer les instructions ci-dessous :
S
r
c) Simulations
Simulations de la surface du réservoir selon son volume
Pour évaluer l'impact du volume sur la surface du réservoir, nous allons
représenter sur une même figure les graphiques de la fonction S(r ) pour
différentes valeurs du volume.
Entrons les instructions ci-dessous :
29
Avec Maple, nous obtenons la famille de courbes suivante :
La surface est minimale lorsque le rayon vaut 0,927 m et la hauteur 1,853 m. La
surface vaut alors 16,187 m2.
Le graphique confirme ces valeurs et montre que pour un volume de 5 m3 la
surface grandit très vite lorsque le rayon tend vers 0 (le réservoir devient un tube
effilé) et un peu moins vite lorsqu'il augmente (le réservoir devient un disque très
large).
30
Les simulations montrent que lorsque le volume varie, les dimensions changent,
mais que la tendance reste la même, surtout lorsque le rayon augmente.
2.4 La modélisation en mathématiques
Nous venons de voir comment « mathématiser une situation », c'est-à-dire comment la
représenter sous forme d'un modèle mathématique.
Galilée, le fondateur de la science moderne, a dit que « les mathématiques sont le langage
de la nature ». Il est le premier à avoir décrit un phénomène physique, la chute des corps, à
l'aide d'une équation. Ce langage mathématique permet de prévoir quantitativement le
déroulement d'un phénomène. Il permet de passer de la description verbale d'un phénomène
à une description quantitative, comme le dit Giorgo Israël(1) . Si les équations représentent
fidèlement le phénomène, il devient alors possible d'expérimenter sur le phénomène par le
seul biais des équations, de le reproduire et d'en prévoir le déroulement.
Cette utilisation du langage mathématique pour représenter, expérimenter ou prévoir un
phénomène physique, c'est ce qu'on appelle le modéliser.
Pour leur part, dans « L'Univers mathématique », Reuben et Hersh présentent le principe de
la modélisation mathématique de la façon suivante :
Un modèle mathématique est un ensemble complet et consistant d'équations
mathématiques qui sont destinées à correspondre à une autre entité, son prototype.
Le prototype peut être une entité physique, biologique, sociale, psychologique ou
conceptuelle, peut être même un autre modèle mathématique. Au mot « équation »,
on peut substituer « structure », car on ne travaille pas toujours avec un modèle
numérique.
Quelques-uns des objectifs pour lesquels on construit des modèles sont :
1
Obtenir des réponses sur ce qui va se passer dans le monde physique
2
Influer sur une expérimentation ou une observation ultérieure
3
Développer le progrès et la compréhension conceptuels
4
Aider l'axiomatisation de la situation physique
5
Développer les mathématiques et l'art de fabriquer des modèles mathématiques.
Avant d'indiquer les étapes nécessaires pour établir un modèle, il convient d'en indiquer les
limites. Le modèle est au phénomène ce que la carte est au territoire : c'est une copie
(2)
ISRAEL, Giorgo, La mathématisation du réel, Le Seuil, 1996
31
simplifiée qui ne peut le reproduire exactement. Si ce que prédit le modèle ne coïncide pas
avec l'observation du phénomène, c'est le modèle qui a tort! Quand on a défini un modèle,
il faut donc le valider et en préciser les limites. Ainsi, dans le film L'erreur boréale, il est
mentionné que les droits de coupe accordés chaque année aux compagnies forestières sont
établis à partir d'un modèle mathématique qui prévoit les quantités de bois disponibles pour
les 130 prochaines années. Si le modèle dit que cette année, on peut couper tant de millions
de tonnes sans que cela affecte la regénération future, c'est parce que « les mathématiques »
le disent. C'est évidemment un abus, car comme vous venez de le voir, les résultats obtenus
d'un modèle dépendent des paramètres qu'on a bien voulu y mettre. En fait les multiples
approximations d'un modèle par rapport à la réalité rendent ses résultats à long terme bien
discutables, surtout lorsqu'il y a un très grand nombre de paramètres (économiques,
météorologiques, biologiques, etc.).
Reuben et Hersh précisent les limites des modèles mathématiques :
La compréhension du fait que les théories physiques peuvent changer ou être
modifiées (mécanique classique contre mécanique relativiste, par exemple), qu'il peut
exister des théories concurrentes, que les mathématiques disponibles peuvent ne pas
être adaptées pour venir à bout d'une théorie au sens plus large, tout ceci a conduit à
une acceptation pragmatique d'un modèle comme "une chose du moment", une
approximation convenable pour un état de fait plutôt qu'une expression d'une vérité
éternelle. Un modèle peut être jugé bon ou mauvais, simpliste ou sophistiqué,
esthétique ou laid, utile ou inutile, mais on est moins penché à l'étiqueter comme
"vrai" ou "faux". La focalisation contemporaine sur les modèles plutôt que sur les
théories a conduit à l'étude de la création des modèles comme un art en soi avec une
diminution correspondante de l'intérêt pour la situation spécifique qui a été
modélisée.
Avec leur puissance de calcul, les ordinateurs sont particulièrement utiles pour établir un
modèle et simuler un phénomène. Mais ils en indiquent aussi les limites. C'est en effet
grâce à leur puissance de calcul que la théorie du chaos a pu établir que les modèles les plus
précis pouvaient être sensibles à d'infimes différences numériques dans les données de
calcul.
L'importance prise actuellement par la modélisation mathématique ne présume pas de la
réponse au vieux débat : les mathématiques ont-elles une réalité ou ne sont-elles qu'un
langage?
32
ANNEXE A.2
EXEMPLE DE LABORATOIRE3
Le traitement par ordinateur
6.1 Les objectifs
À la fin de cette section, vous devriez :
•
être familier avec la feuille de calcul;
•
maîtriser les opérations de base et les principales commandes de calcul algébrique;
•
avoir bien compris ce que sont les variables, les expressions et les fonctions;
•
pouvoir représenter le graphique d'une fonction sur des intervalles particuliers de son
domaine et de son image.
6.2 Les outils nécessaires
6.2.1 Les outils de base
Pour cette section, vous devez connaître les opérateurs et quelques commandes de
calcul :
1 Les opérateurs arithmétiques sont les symboles de l'addition, de la soustraction,
du produit, de la division et de la puissance. Les symboles sont identiques dans
Maple et dans Mathematica. Portez une attention particulière à la multiplication et
n'hésitez pas à utiliser le symbole *. N'oubliez pas que pour un logiciel de calcul
symbolique, ab ne signifie pas le produit de a par b, mais une variable ab.
2 Quelques commandes de calcul algébrique de base comme :
3
Cette annexe est extraite des notes de cours de Philippe Etchecopar, Calcul différentiel et résolution de problèmes
avec Mathématica et Maple (chapitre 5, p. 57 à 64), Ed. Le Griffon d’argile et Les Presses pédagogiques de l’Est,
1999.
1
Mathematica
Maple
Expand[]
expand()
Simplify[]
simplify()
N[]
evalf()
•
•
•
les éléments compris entre les crochets d'une commande dans le cas de
Mathematica, ou dans les parenthèses dans le cas de Maple, sont des arguments.
Chaque commande a ses arguments obligatoires et aussi une série d'arguments
optionnels;
les commandes N[A] ou evalf(A) permettent de calculer la valeur décimale du
nombre A;
il est également utile de connaître les options de ces commandes. Il suffit de se
référer aux guides d'accompagnement.
6.2.2 Les concepts de base : variables et fonctions
En mathématiques, il est important de bien distinguer les concepts comme la variable
indépendante, la variable dépendante et la fonction au sens mathématique du terme.
Quand on écrit y = f ( x ) = x 2 + x + 1
• x est la variable indépendante;
• y est la variable dépendante;
• f est la fonction.
En informatique, une variable est une quantité élémentaire ou paramètre que l'on a
« nommé » pour pouvoir l'utiliser plus facilement. Une expression est généralement
une combinaison de variables. Nous pouvons aussi dire qu’une expression est
l’image de la fonction.
Chaque logiciel a son écriture spécifique pour définir une « expression » ou une
« fonction ».
2
Mathematica
Maple
Expression
exp = x2+x
exp := x2+x
Fonction
f[x_]:=x2+x
f:=x->x2+x
Dans ce qui précède, exp est une expression, tandis que f est une fonction.
Les logiciels de calcul symbolique comportent surtout une banque de commandes qui
effectuent une tâche précise.
Consultez votre Guide pour bien comprendre les différences entre une expression,
une variable et une fonction.
6.2.3 La résolution d’équations
Mathematica et Maple possèdent des commandes qui permettent de résoudre des
équations. Ces commandes possèdent des options selon la nature des équations.
Nous définirons ici la commande de base.
Mathematica
Maple
Les instructions précédentes permettent de résoudre l’équation x 2 − 4x + 3 = 0 .
1 Vous remarquez que les instructions dans Mathematica et dans Maple se
ressemblent beaucoup. La commande est Solve[] ou solve() et elle inclut
deux arguments : l’équation à résoudre et l’inconnue;
3
2 Dans le cas de Mathematica, vous remarquez que le symbole d’égalité pour
une équation est le signe « == ».
6.2.4 La représentation graphique
Une des grandes utilités des logiciels de calcul symbolique est de pouvoir représenter
les graphiques des fonctions. Les commandes permettant de représenter ces fonctions
ont de nombreuses options.
Voici les commandes et les options essentielles :
Mathematica
Maple
Plot[f[x],{x,a,b}]
plot(f(x),x=a..b)
Plot[f[x],{x,a,b},PlotRange->{c,d}]
plot(f(x),x=a..b,y=c..d)
Plot[f[x],{x,a,b},AspectRatio->Automatic]
plot(f(x),x=a..b,scaling=constrained)
Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
plot([f(x),g(x)],x=a..b)
1 Dans la première ligne, les commandes plot() et Plot[] sont présentées avec
les deux arguments obligatoires : la fonction à représenter et le domaine
utilisé;
2 L'option représentée dans la seconde ligne, dans Mathematica, PlotRange>{c,d}, comme dans Maple, y=c..d, est celle qui permet de définir
l'intervalle de l'image de la fonction f;
3 Dans la troisième ligne les options utilisées donnent sur le graphique un
rapport de proportion égal à 1 entre l’axe des abscisses et celui des
ordonnées;
4 La quatrième ligne indique comment obtenir les graphiques de plusieurs
fonctions sur une même figure;
5 Dans chacun des cas, f et g sont définies comme des fonctions et non des
expressions.
4
6.2.5 La structuration des instructions
Quand on doit utiliser plusieurs instructions successives, il est nécessaire de respecter
un certain ordre pour que le logiciel puisse bien les traiter.
1 Initialiser l'environnement. Il est conseillé de débuter par une commande
qui efface tous les noms utilisés antérieurement pour éviter des confusions :
restart; pour Maple et Clear[] pour Mathematica;
2 Nommer et initialiser les variables. Vous entrez les données du problème,
c'est-à-dire les valeurs des variables données en hypothèse, les fonctions,
etc;
3 Définir les fonctions ou les « expressions » qu'il faut soi-même définir à
partir des données;
4 Décrire le traitement de ce qui précède à l'aide des commandes du logiciel
pour résoudre le problème.
Comme exemple, prenons la définition et la représentation de la fonction
correspondant à la droite d'équation y = f ( x ) = mx + b pour une valeur de l'ordonnée
à l'origine b et différentes valeurs de la pente m.
Mathematica
Maple
5
Dans les deux cas :
• m et b sont des paramètres;
• x est une variable au sens mathématique;
• f est une fonction;
• Vous remarquez qu’avec Maple si la ligne d’une commande se termine par
« : », le résultat n’apparaît pas.
Il est important de bien faire la différence, au sens informatique, entre une fonction,
comme nous venons de le voir, et une expression.
Consultez votre Guide, ou l'aide en ligne du logiciel, pour des explications plus
détaillées sur les variables, les fonctions et les expressions au sens informatique.
6.2.6 Le commentaire et le titrage
Vous devriez aussi pouvoir écrire les étapes de solutions ainsi que des
« commentaires » dans les instructions pour en expliquer le sens, sans que ces
commentaires apparaissent dans les résultats. Vous devriez également pouvoir
« titrer » les réponses pour mieux les identifier.
Mathematica
Maple
Description d'instructions
Description d'instructions
Pour qu'une description d'instructions ne
soit pas interprétée comme une
instruction, il faut écrire :
Pour qu'une description d'instructions
ne soit pas interprétée comme une
instruction, il faut écrire :
#Commentaire;
#Commentaire
Titrage
Titrage
Pour faire apparaître un titre dans les
résultats :
Pour faire apparaître un titre dans les
résultats :
"Titre"
"Titre";
6
6.2.7 Attention!!!
•
Sauvegardez régulièrement votre travail (au moins toutes les 5 minutes) et
n'oubliez pas de sauvegarder avant d'imprimer;
•
Pour déclancher les calculs, appuyez sur la touche Retour (Maple) ou Entrée
(Mathematica), tandis que pour passer d'une ligne à l'autre, appuyez sur la touche
Majuscule-Retour (Maple) ou Retour (Mathematica);
•
Dans le cas de la commande plot() si vous voulez que le domaine de la fonction
f(x) aille de a à b et que l'image aille de c à d, écrivez :
plot(f(x),x=a..b,c..d)
Avec Mathematica, vous devez écrire :
Plot[f[x],{x,a,b},PlotRange->{c,d}]
Pour avoir les mêmes échelles sur les deux axes, il suffit de prendre des longueurs
égales pour le domaine et l'image.
N'oubliez pas que c'est à vous de choisir les bonnes valeurs!
•
Toujours dans le cas de la commande plot(), si vous voulez représenter les
fonctions f(x) et g(x) sur un même graphique, écrivez :
plot([f(x),g(x)],x=a..b)
Avec Mathematica, vous devez écrire :
Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
•
Pour économiser du papier, avant d'imprimer, vous pouvez diminuer la taille des
graphiques. Il suffit de pointer la souris sur une des « poignées » du cadre du
graphique et de le « rétrécir » en tenant le bouton de la souris enfoncé.
•
Le séparateur décimal est le point et non la virgule.
6.3 Les manipulations
Expérience 1 : Les calculs algébriques
Vous allez d'abord vous familiariser avec le calcul numérique, puis vous allez vous
confectionner un « aide-mémoire » sur quelques identités remarquables qui vous
seront utiles.
7
Le calcul numérique
1 Soit la variable 2 − n . En utilisant si nécessaire les commandes N[] ou evalf(),
calculez la valeur de cette variable quand n varie de 0 à 10 par valeur entière.
Concluez.
Imprimez et conservez les résultats de ces calculs.
Le calcul algébrique
2 Calculez les développements des expressions suivantes avec les commandes
Expand[] ou expand(), imprimez-les et conservez-les :
( a + b )3 , ( a + b ) 4 , ( a + b ) 5
( a − b )3 , ( a − b ) 4 , ( a − b ) 5
À partir des résultats obtenus, entrevoyez-vous une loi qui vous permettrait de
prévoir les développements de ces facteurs à des degrés supérieurs?
3 Mettez les expressions suivantes en facteurs avec les commandes Factor[] ou
factor(), imprimez-les et conservez-les :
a2 − b2 , a3 − b3 , a 4 − b 4 , a5 − b5 , a6 − b6
Expérience 2 : La représentation de fonctions
Il est important de « visualiser » l'allure générale des différents types de fonctions, de
bien définir leurs domaines et leurs champs ou images. Pour cela, il faut s'assurer que
les valeurs où les intervalles intéressants sont utilisés et que tous les éléments
importants de la fonction seront bien en évidence sur le graphique obtenu.
Le domaine
1 Déterminez les domaines et images des fonctions suivantes, de façon que leurs
éléments importants y figurent. Validez ces réponses en représentant les
graphiques de ces fonctions.
10x
a) y = f ( x ) = x − 10 + 10 b) y = f ( x ) =
( x − 10)( x + 25)
5
c) y = f ( x ) = + 25
d) y = f ( x ) = 3 x − 1
x
8
La droite
2 À la suite de l'exemple ci-dessus sur la définition et la représentation d'une droite,
représentez les droites définies de la façon suivante :
a) La droite de pente 2 et d'ordonnée à l'origine -2;
b) La droite de pente 0 et d'ordonnée à l'origine -2;
1
c) La droite de pente
et d'ordonnée à l'origine -2 et la droite parallèle
2
d'ordonnée à l'origine 2;
1
d) La droite de pente et d'ordonnée à l'origine -2 et la droite perpendiculaire
2
d'ordonnée à l'origine 5.
La parabole
3 Représentez la parabole y = ax 2 pour des valeurs positives et négatives de a. Que
concluez-vous sur le rôle du signe de a?
4 Soit la parabole y = f ( x ) = x 2 . Représentez-la.
a) Que devient cette parabole si on ajoute une constante c à la partie droite
pour obtenir y = f ( x ) + c = x 2 + c ? Pour répondre à cette question,
représentez la parabole y = x 2 + c pour différentes valeurs de c.
b) Que devient cette parabole si on remplace la variable x par la variable
x + d .? Pour répondre à cette question, représentez la parabole
2
y = f ( x + d ) = ( x + d ) pour différentes valeurs de d;
Commentez les résultats obtenus.
La fonction h = 2 − n
5 Représentez la fonction h = 2 − n sur le domaine [0, 20] . Comparez ce graphique
avec les valeurs obtenues à la réponse de la question 1 de l'expérience 1.
9
Expérience 3 : La validation et les corrigés
Vous allez utiliser les commandes montrées dans cette section pour compléter le
corrigé des exercices et problèmes de ce chapitre.
6.4 Les procédures
Procédure : La définition et la représentation d'une droite
Durant ce premier cours de calcul différentiel, nous aurons à établir les équations
d'une série de droites particulières. Dans cette première section, il s'agit de droites
passant par deux points donnés. Vous allez donc établir une première fois les
procédures permettant d'obtenir l'équation de cette droite, connaissant deux points par
où elle passe.
Comme vous allez définir d'autres procédures et qu'elles vous seront utiles dans vos
travaux, ouvrez un dossier que vous intitulerez Librairie dans lequel vous
conserverez vos procédures. Intitulez celle-ci Droite passant par deux points et
déposez-la dans ce dossier Librairie.
N'oubliez pas de commenter vos instructions.
La droite passant par deux points donnés
En vous basant sur la procédure permettant d'obtenir l'équation d'une droite sous
forme développée, établissez une procédure permettant de définir l'équation de la
droite passant par les points ( x1 , y1 ) et ( x2 , y2 ) et de la représenter. Cette
procédure repose donc sur le calcul de la pente m et le calcul de l’ordonnée à
l’origine b. Validez la procédure obtenue en déterminant l'équation de la droite
passant par les points ( −2, −1) et (2,6) et en la représentant sur un graphique.
6.5 L'exploration
Face à un problème, la démarche classique consiste à l'étudier, le résoudre, puis, souvent,
en conclusion, à en proposer une représentation graphique. Avec les logiciels de calcul
symbolique, la démarche est parfois un peu différente; on peut d'abord représenter le
problème, puis l'étudier sur le graphique obtenu et enfin, en tirer des conclusions que l'on
vérifie ou valide par calcul.
Ainsi dans le cas d'une fonction, généralement, on l'étudie d'abord et on la représente
ensuite. Avec les logiciels de calcul symbolique, la démarche peut être inversée : on trace la
fonction, on étudie ses propriétés sur le graphique et on les vérifie par calcul.
10
Exploration 1 : La résolution graphique d'équations et d'inéquations
Vous pouvez, sur un graphique, déterminer les solutions d'une équation comme
f ( x ) = g( x ) . Il suffit d'effectuer des « zooms » de plus en plus proches du point
d'intersection en jouant avec l'intervalle du domaine et avec l'intervalle de l'image.
La résolution de l'inéquation f ( x ) > g( x ) revient à résoudre l'inéquation
f ( x ) − g( x ) > 0 . Il s'agit alors de représenter la courbe de la fonction y = f ( x ) − g( x )
et de vérifier sur quels intervalles cette courbe est positive, donc au-dessus de l'axe
des x, ou négative, donc au-dessous de l'axe des x.
Résolution d'équations
1 Par une série de « zooms » sur l'intersection de la fonction y = f ( x ) = x 2 − 2 avec
l'axe des x, établissez la valeur de la racine positive de l'équation x 2 − 2 = 0 avec
une précision de quatre chiffres significatifs après la virgule.
a) Résolvez graphiquement l'équation x 4 − 45x 2 + 324 = 0 ;
b) Résolvez graphiquement l'équation x 2 + 1 = x 3 ;
Résolution d'inéquations
2 Déterminez graphiquement les solutions des inéquations suivantes :
a) x 2 − 4 ≥ 0
b) −x 2 + 4 ≥ 0
c) x 2 − 6x + 5 ≤ 0
d) −x 2 + 2x + 8 ≤ 0
e) x 2 + 2x − 8 ≤ 0
f) Des résultats précédents, pourriez-vous énoncer une règle permettant de
déduire, en fonction de la variable x, le signe de la quantité ax 2 + bx + c
selon les valeurs des constantes a, b et c?
Détermination de domaines
3 Par résolution graphique d'inéquation, indiquez le domaine des fonctions
suivantes :
a) y = f ( x ) = x 2 − 7x + 6 b) y = f ( x ) = −x 2 + 7x − 10
x
x
c) y = f ( x ) =
d) y = f ( x ) =
2
x −9
9 − x2
Exploration 2 : La fonction valeur absolue
Pour étudier la fonction y = f ( x ) = x 2 − x − 2 , représentons-la sur un graphique,
ainsi que la fonction y = g( x ) = x 2 − x − 2 . Pour cela, utilisez les commandes
y = Abs[g( x )] avec Mathematica ou y = abs( g( x )) avec Maple :
11
Mathematica
f[x_]:=Abs[x^2-x-2]
Plot[f[x],{x,a,b}]
Maple
f:=x->abs(x^2-x-2);
plot(f,a..b)
Nous obtenons les graphiques ci-dessous :
Il est clair que la fonction y = f ( x ) = x 2 − x − 2 = g( x ) , où g( x ) = x 2 − x − 2 , est
toujours positive. Elle correspond à la fonction g(x) quand elle est positive et à la
fonction −g( x ) quand elle est négative, c'est-à-dire entre -1 et 2.
Cela correspond bien à la définition de la valeur absolue :
f ( x ) = g( x ) si g( x ) ≥ 0
f ( x ) = −g( x ) si g( x ) < 0
Représentation graphique
1 Représentez et imprimez le graphe de y = f ( x ) = ( x − 4)( x − 1)( x + 3) . Sur ce
graphique, indiquez à la main ce que devrait être le graphique de
y = g( x ) = ( x − 4)( x − 1)( x + 3) .
Vérifiez.
12
Résolution d'équations et d'inéquations
2 Résolvez graphiquement les inéquations suivantes :
a) x − 5 < 2
b)
x + 2 <1
c)
2x − 5 < 1
d)
x + 2 >1
6.6 Les applications
Les échelles de température
Dans la plupart des pays, la température est mesurée dans des unités appelées
Celsius. Aux États-Unis, les unités utilisées sont les Farenheit.
Sachant que la relation entre les deux systèmes d'unités est linéaire, que l'eau gèle
à 0 oC et 32 oF et qu'elle bout à 100 oC et 212 oF, établissez une fonction
représentant les unités F en fonction des unités C.
Représentez le graphique de cette fonction et commentez-le.
Selon le graphique, quelle température s'exprime par les mêmes unités dans les
deux systèmes?
Reprenez ces questions en établissant une fonction représentant les unités 0C en
fonction des unités 0F .
6.7 La librairie
Votre librairie contient la procédure Droite par deux points.
13

LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES, INITIATION À

Transcription

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