Master Physique Exercices de physique subatomique

Master Physique
π−
p
π0
π0
π−
(b)
n
π+
p
π−
(c)
p
Exercices de physique subatomique
Bertrand Berche
Groupe M
Laboratoire de Physique des Matériaux
Université Henri Poincaré, Nancy 1
Mise à jour le 27 Février 2008
0
Physique subatomique
Sommaire
Covariance relativiste
1.
2.
3.
4.
Equation
Equation
Equation
Equation
de
de
de
de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
1
1
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Klein-Gordon et potentiel
Weyl . . . . . . . . . .
Dirac . . . . . . . . .
Dirac sous champ . . .
Lois de conservation
de Yukawa
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Diagramme d’émission du proton dans la désintégration Λ0 → p + π − .
Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagrangien de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interactions fortes, formalisme d’isospin et diffusions nucléons-mésons pi
Moments magnétiques des nucléons . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
4
4
5
5
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
10. Brisure spontanée de symétrie globale discrète . . . . . . . . . . . . . .
11. Brisure spontanée de symétrie globale continue . . . . . . . . . . . . . .
9
9
5.
6.
7.
8.
9.
Symétrie de jauge
.
.
.
.
.
Covariance relativiste
1. Equation de Klein-Gordon et potentiel de Yukawa
En 1935, Yukawa a proposé une relation entre la portée d’une interaction et la
masse des particules échangées lors de cette interaction (les “bosons d’échange” ou
les “bosons médiateurs”).
⊲ Particule virtuelle et portée de l’interaction. Supposons qu’un proton
interagisse avec un méson-π comme sur la figure ci-dessous. Qu’en est-il des lois
de conservation de la charge électrique, de l’impulsion et de l’énergie ?
π−
p
π0
π0
π−
(b)
n
π+
p
π−
(c)
p
Figure 1.1 Echange des mésons π pendant l’interaction pion-proton
On parle de particule virtuelle lorsque l’échange de particule s’accompagne d’une
violation de l’énergie pendant une durée assez faible pour ne pas être observable,
c’est-à-dire telle que ∆E∆t < h̄. En prenant le cas limite ∆E∆t ∼ h̄, montrer qu’on
en déduit la portée de l’interaction si la masse de la particule échangée est connue.
Discuter la portée des interactions électromagnétique, gravitationnelle, forte et
faible et la masse attendue des bosons d’échange associés.
⊲ Equation de Klein-Gordon. Rappeler comment on retrouve l’équation de KleinGordon de la particule libre
2 2
2
~ 2 ψ(r, t) − 1 ∂ ψ(r, t) = m c ψ(r, t).
∇
c2 ∂t2
h̄2
On cherche une solution statique à symétrie sphérique, ψ(xµ ) = U (r). Calculer la
composante radiale de la fonction d’onde associée et commenter en quoi l’équation
de Klein-Gordon est un bon candidat à la description des bosons d’échange de
l’interaction forte.
2. Equation de Weyl
⊲ Forme attendue pour une équation covariante de fermions non massifs. On
cherche une équation relativiste pour décrire des fermions sans masse de spin 21 .
Pourquoi doit-on s’attendre à retrouver l’équation des ondes sous la forme
~2
∇
2
. = 0.
. − 1 ∂
2
2
.
.
c ∂t
1
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ψ
On note χ = ψ1 un spineur à deux composantes. Montrer que les équations
2
suivantes satisfont aux contraintes
1 ∂
(+)
~
1l
+ σ · ∇ χ(+) = 0,
D+ χ =
c ∂t 2×2
1 ∂
~ χ(−) = 0.
D− χ(−) =
1l2×2 − σ · ∇
c ∂t
2
⊲ Equation covariante. On introduit un objet à quatre composantes (spineur de
Dirac)
ψ=
χ(+)
χ(−)

ψ1
ψ 
=  ψ2 
3
ψ4

et des matrices 4 × 4 (appelées les matrices de Dirac, ici dans la représentation
chirale)
γ µ = (γ 0 , γ),
0
1l2×2
0
γ = 1l
,
0
2×2
i
γ=γ =
0
σ
−σ
0
Que vaut
ih̄γ µ ∂µ ψ =?
⊲ Particule libre. On fait agir sur la solution libre
 
A1
(+)
 A2  h̄i pµ xµ
χ
= A  e
ψ=
χ(−)
3
A4
Montrer qu’on en déduit
E = ±|p|c
et commenter ce résultat. Sur l’équation de Weyl, manifestement covariante,
ih̄γ µ
∂ψ
= 0,
∂xµ
faire agir l’opérateur ih̄γ ν ∂ν = ih̄γ ν (∂/∂xν ) pour en déduire la forme
µ
p pµ ψ =
E2
2
− p 1l4×4 ψ = 0.
c2
Physique subatomique
3
On utilisera la propriété suivante des matrices de Dirac, γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν .
3. Equation de Dirac
⊲ Equation covariante pour des fermions massifs de spin 12 . Comment modifier
a priori le “carré covariant” de l’équation de Weyl,
2
E
µ
2
p pµ ψ =
− p 1l4×4 ψ = 0,
c2
pour décrire des fermions massifs ? Cela suggèr de coupler les équations de Weyl
par un terme de masse,
ih̄γ µ
∂ψ
= γ µ pµ ψ = mcψ.
∂xµ
Développer cette expression en faisant agir sur la particule libre.
⊲ Représentation de Dirac. La représentation de Dirac des matrices γ µ est la
suivante :
γ µ = (γ 0 , γ),
1l2×2
0
0
γ =
0
−1l2×2 ,
i
γ=γ =
0
−σ
σ
0
.
Montrer que l’action sur la particule libre conduit à l’équation
u
E − mc2
−cσ · p
v =0
cσ · p
−E − mc2
(+)
(−)
u , où u et v sont des spineurs à deux
χ
+
χ
−1/2
avec ψ = 2
=
v
χ(+) − χ(−)
composantes. En déduire que
c2 p2 − (E 2 − m2 c4 ) = 0.
4. Equation de Dirac sous champ
L’équation de Dirac sous champ s’obtient par couplage minimal,
pµ → pµ − qAµ ,
soit ih̄γ µ ∂µ ψ = mcψ que l’on transforme en
γ µ (pµ − qAµ )ψ = ih̄γ µ ∂µ ψ − qγ µ Aµ ψ = mcψ.
(0.1)
Pour comparer cette forme à l’équation de Klein-Gordon sous champ par
exemple, on multiplie par γ ν (pν − qAν ). On introduit les matrices
1 µ ν
i(γ γ − γ ν γ µ ),
2
γ µ γ ν = g µν − iσ µν .
σ µν =
4
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L’opérateur de spin σ µν est antisymétrique.
Montrer qu’on obtient finalement
1
(pµ − qAµ )(pµ − qAµ )ψ + qh̄σ µν Fµν ψ = m2 c2 ψ.
2
Commenter.
Lois de conservation
5. Diagramme d’émission du proton dans la désintégration Λ0 → p + π −
La particule Λ0 peut se désintégrer par interaction faible selon les deux modes
principaux suivants :
Λ0 → n + π 0
Λ0 → p + π −
Le but de ce problème est d’étudier le diagramme d’émission du proton.
On considère un Λ0 immobile (on travaille donc dans son référentiel propre) dont
le spin +1/2 est orienté dans la direction Oz. La désintégration conduit à un couple
π − − p de moment cinétique orbital relatif L̂. Le spin du pion est nul.
⊲ Etats propres du moment cinétique total. Etablir la forme des états propres
| ℓ, j, mj ) du moment cinétique total Jˆ = L̂ + Ŝ du système (π − − p) pour les valeurs
ℓ = 0 et ℓ = 1 du moment orbital relatif en fonction des états |ℓ, mℓ , ms i où ms est
l’orientation de spin du proton.
Le moment cinétique total devant se conserver, quels sont les états | ℓ, j, mj )
vers lesquels le Λ0 peut transiter par désintégration ?
⊲ Amplitude d’émission du proton. On note respectivement a0 et a1 les
amplitudes de transition vers les états ℓ = 0 et ℓ = 1. L’état final s’écrit donc
de manière générale :
1 1
1 1
+ a1 1
.
|F i = a0 0
2 2
2 2
Montrer que l’amplitude associée à l’émission d’un proton de spin ↑ dans la direction
(θ, ϕ) est donnée par :
1
Ap (θ, ϕ, ↑) = a0 Y00 (θ, ϕ) − √ a1 Y10 (θ, ϕ).
3
Exprimer de même Ap (θ, ϕ, ↓).
⊲ Probabilités d’émission. On donne les harmoniques sphériques :
Y00 (θ, ϕ)
1
=√ ,
4π
Y10 (θ, ϕ)
=
r
3
cos θ,
4π
Y11 (θ, ϕ)
r
=−
3
sin θeiϕ .
8π
Calculer les probabilités Pr(θ, ϕ, ↑) et Pr(θ, ϕ, ↓) associées aux deux types de
processus (on supposera a0 et a1 réels).
Physique subatomique
5
Calculer les probabilités intégrées sur l’angle ϕ : Pr(θ, ↑) et Pr(θ, ↓).
Si l’on ne tient pas compte de l’état de spin du proton, quelle est la probabilité
d’émission à l’angle θ ? Dessiner l’allure du diagramme d’émission dans ce cas (on
représente un diagramme d’émission en coordonnées polaires en portant dans la
direction θ un vecteur de longueur proportionnelle à la probabilité d’émission dans
cette direction).
6. Théorème de Noether
Considérons le lagrangien
Z
~ d3 r
L(ψ, ψ̇, ∇ψ)
L=
3
IR
où ψ(r, t) est un champ qui varie dans l’espace et le temps. Supposons une
transformation, gouvernée par un paramètre ǫ, au cours de laquelle les champs
~
varient de ψ → ψ + δψ = ψ + ∂ψ
∂ǫ dǫ au premier ordre. Le lagrangien L(ψ, ψ̇, ∇ψ, ǫ)
varie de dL sous l’effet des variations des champs, de leurs dérivées et éventuelement
d’une dépendance explicite en ǫ.
Exprimer dL en fonction de dǫ. Si la transformation générée par la variation du
paramètre ǫ est une symétrie du problème, dL
dǫ = 0. En déduire
dρ ~
∂L
+ ∇j = −
dt
∂ǫ
avec
ρ=
∂L ∂ψ
∂ ψ̇ ∂ǫ
j=
∂L ∂ψ
.
~
∂ǫ
∂(∇ψ)
C’est le théorème de Noether.
Appliquer ce résultat au cas où la paramètre ǫ est le temps pour un système
conservatif. Montrer que
Z
dH
H d3 r, H = π ψ̇ − L
= 0, H =
3
dt
IR
7. Lagrangien de Schrödinger
La densité lagrangienne de Schrödinger (due à Jordan-Wigner) est donnée par
2
~ ∇ψ
~ ⋆ ) = ih̄ψ ⋆ ψ̇ − h̄ (∇ψ
~ ⋆ ) · (∇ψ)
~
L(ψ, ψ̇, ψ ⋆ , ψ̇ ⋆ , ∇ψ,
− V (r, t)ψ ⋆ ψ
2m
Les champs ψ et ψ ⋆ sont fonction de l’espace et du temps, ψ = ψ(r, t).
⊲ Equations d’Euler-Lagrange. Que déduit-on des équations d’Euler-Lagrange ?
Exprimer l’hamiltonien.
⊲ Invariance de jauge globale. Considérons la transformation qui modifie la
fonction d’onde par un facteur de phase globale
ψ(r, t) → ψ ′ (r, t) = eiqα ψ(r, t).
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Cette transformation n’affecte pas les propriétés physiques qui dépendent du module
de la fonction d’onde et pas de sa phase, |ψ ′ (r, t)| = |ψ(r, t)|. Appliquer le théorème
de Noether pour exprimer la quantité conservée associée à cette symétrie.
8. Interactions fortes, formalisme d’isospin et diffusions nucléons-mésons
pi
En  Heisenberg a introduit la notion d’isospin consistant à traiter le proton
et le neutron comme deux états quantiques d’une seule particule, le nucléon. Ce
formalisme s’est avéré très fructueux dans l’étude des réactions entre particules
élémentaires régies par des mécanismes d’interactions fortes et il a été par la suite
généralisé aux autres particules.
⊲ Isospin du nucléon et du méson π. Le proton (p) et le neutron (n) peuvent
être considérés comme les deux états d’une même particule, le nucléon (N ) auquel
on attribue (par analogie avec le spin) un isospin 21 (on dit que le nucléon est un
doublet d’isospin). On construit alors un opérateur Î(Iˆ1 , Iˆ2 , Iˆ3 ) ayant les propriétés
d’un moment cinétique tel que |pi et |ni soient les deux états propres communs de
Iˆ3 et Î2 = Iˆ12 + Iˆ22 + Iˆ32 :
1
Iˆ3 |pi = |pi
2
et
1
Iˆ3 |ni = − |ni
2
Le méson π (ou pion) est le boson médiateur de l’interaction forte entre nucléons,
responsable en particulier de la cohésion des noyaux. (Il fut introduit théoriquement
par Yukawa en  et découvert expérimentalement en ). Il peut exister sous
trois formes π + , π 0 et π − , ce qui conduit à lui attribuer un isospin 1 représenté par
l’opérateur Jˆ3 dont les trois états |π + i, |π 0 i et |π − i sont vecteurs propres. Quelles
sont les valeurs propres de Jˆ3 ? Déterminer l’action des opérateurs Jˆ± = Jˆ1 ± iJˆ2
sur les trois états propres observables.
⊲ Etats propres d’isospin du système pion–nucléon. On considère l’ensemble
constitué d’un nucléon et d’un méson π. Déterminer les états propres communs
des opérateurs K̂2 et K̂3 où K̂ = Î + Ĵ est l’isospin total. Exprimer ces états sous la
forme de combinaisons linéaires du type :
3 1
+
0
,
2 2 = α|π ni + β|π pi
où |π + ni représente l’ensemble méson π + -neutron etc. Inverser les relation
précédentes pour exprimer les états |π + ni, etc. comme combinaisons linéaires des
états |K, K3 ).
⊲ Interactions fortes nucléons–mésons π. On montre expérimentalement que les
interactions fortes entre nucléons et mésons π :
• conservent l’isospin total K̂2 et sa composante K̂3 ,
• ont des amplitudes indépendantes de K̂3 .
Il suffit ainsi de deux amplitudes a3/2 et a1/2 pour caractériser les interactions fortes
du système pion-nucléon. Par exemple :
3 3
3 3 = a3/2 ,
Û
2 2 int 2 2
1
1
1 1
− Ûint −
= a1/2
2
2
2
2
...
Physique subatomique
7
On considère les réactions de diffusion
(a)
(b)
π + + p −→ π + + p
π − + p −→ π − + p
et de transfert de charge :
(c)
(d)
π − + p −→ π 0 + n
π + + n −→ π 0 + p
L’amplitude associée au processus (a) pendant le temps dt de l’interaction s’écrit :
Aa = hπ + p|Ûint |π + pi,
où les états d’entrée et de sortie, ici écrits de la même façon, sont différents
(transferts d’impulsion et d’énergie entre les particules au cours de la collision),
donc orthogonaux. Interpréter cette expression et montrer que l’on peut exprimer
l’amplitude sous la forme :
ih̄Aa = hπ + p|Ĥint |π + pidt.
Calculer les amplitudes Aa , etc. de ces quatre processus.
Déterminer les probabilités Pa , etc. correspondantes en fonction de a3/2 et a1/2
et indiquer les probabilités relatives de ces quatre réactions si a3/2 ≫ a1/2 .
⊲ Quelques conséquences de la conservation de l’isospin par interaction forte.
Sachant que le seul état stable observable constitué de deux nucléons est le deuton
|di ≃ |p ni, déterminer l’isospin du deuton.
La réaction entre deux deutons conduisant à une particule α (noyau d’hélium
4
He)
et un méson π 0 est interdite. Pourquoi ?
2
A 600 MeV, l’expérience montre que les sections efficaces σ + et σ 0 des réactions
(+)
(0)
p + p −→ π + + d
n + p −→ π 0 + d
valent : σ + = (3.15 ± 0.22) mb et σ 0 = (1.5 ± 0.3) mb. Jutifier le rapport de ces
résultats.
9. Moments magnétiques des nucléons
On étudie dans ce problème une conséquence de la conservation du moment
cinétique total, cette fois dans l’espace de spin. La composition de trois spins 21
permet de déterminer la structure en quarks des nucléons. Cela permet en particulier
d’expliquer l’origine du moment magnétique du neutron.
⊲ Composition de trois spins 1/2. On se propose de composer trois spins 1/2,
soit S = s1 + s2 + s3 , ce qui conduit pour le moment cinétique de spin total à un
quadruplet et deux doublets (les notations vectorielles sont à comprendre au sens des
opérateurs). Les opérateurs s1 , s2 et s3 se rapportent aux spins 1/2 de trois particules
distinctes. Un état de spin de ces trois particules avec par exemple ms1 = +1/2,
ms2 = −1/2, ms3 = −1/2 sera noté | ↑, ↓, ↓i.
8
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z
Soit S12 = s1 + s2 . Ecrire les états propres | S12 , m12 ) des opérateurs Ŝ212 et Ŝ12
2
z
2 z
en fonction des états propres | ↑↓, ↑↓i des opérateurs ŝ1 , ŝ1 , ŝ2 ŝ2 . On construit
maintenant l’opérateur S = S12 + s3 . Les états propres de Ŝ2 et Ŝ z seront notés
| S12 , S, ms ) où S12 prend les valeurs 1 ou 0 et S peut valoir 3/2, 1/2, 1/2.
• Construire les états du quadruplet | 1, 3/2, ms ) en fonction des états
|ms1 , ms2 , ms3 i.
• Construire les états du doublet | 0, 1/2, ms ).
• Il manque alors les deux états | 1, 1/2, ms ) qui sont des combinaisons linéaires
du type (à justifier) :
| 1, 1/2, 1/2) = a+ | ↑, ↑, ↓i + b+ | ↑, ↓, ↑i + c+ | ↓, ↑, ↑i
| 1, 1/2, −1/2) = a− | ↓, ↓, ↑i + b− | ↓, ↑, ↓i + c− | ↑, ↓, ↓i
En orthogonalisant ces états avec ceux du quadruplet et ceux du doublet déjà
construit, puis en les normalisant, déterminer les coefficients a± , b± et c± .
⊲ Moments magnétiques des nucléons. Vers les années  a été proposé un
modèle de quarks constituants rendant compte de certaines propriétés des nucléons.
Dans ce modèle, le proton et le neutron sont tous deux constitués de trois quarks
(p = uud, n = udd). Les quarks sont des fermions ponctuels de spin 1/2. Leurs
charges électriques valent qu = + 23 | qe | et qd = − 13 | qe | et leurs masses sont
approximativement égales mu ≃ md ≃ 31 mN où mN est la masse du nucléon
(mp ≃ mn ≃ mN ). On admet que les moments magnétiques des quarks sont donnés
q
sz (q, m et sz sont respectivement la charge, la
par la formule de Dirac : µz = 2 2m
masse et la composante du spin du fermion dans la “direction” de mesure).
On se propose de déterminer la structure en quarks du proton et du neutron à partir
de la donnée expérimentale des moments magnétiques de ces deux particules :
µp = 2.79
| qe | h̄
,
2mN
µn = −1.91
| qe | h̄
2mN
P
que l’on peut comparer aux valeurs propres de l’opérateur µz = 3i=1 µzi , l’indice i
se référant aux différents quarks.
Un proton de spin ↑, |p ↑i, peut être décrit par l’un des deux états | 0, 1/2, 1/2)
ou | 1, 1/2, 1/2). Pourquoi a-t-on d’ores et déjà exclu le quadruplet ? Le “difermion”
de spin S12 peut de plus être du type uu ou ud. Il existe donc quatre combinaisons
possibles parmi lesquelles une seule est à retenir. Calculer le moment magnétique
correspondant à chacune de ces combinaisons en complétant le tableau ci-dessous :
proton |p ↑i
| 0, 1/2, 1/2)
S12 = uu
µd
| 1, 1/2, 1/2)
S12 = ud
Laquelle de ces combinaisons donne le résultat le plus proche de la valeur
expérimentale pour µp ? En déduire la structure complète de l’état |p ↑i sous forme
d’une combinaison linéaire d’états du type |u ↑, u ↓, d ↑i . . ., puis celle de l’état |p ↓i.
Physique subatomique
9
Procéder de même pour le neutron |n ↑i en complétant le tableau :
neutron |n ↑i
| 0, 1/2, 1/2)
| 1, 1/2, 1/2)
S12 = dd
S12 = ud
Ecrire complètement les états |n ↑i et |n ↓i.
Symétrie de jauge
10. Brisure spontanée de symétrie globale discrète
Let us consider spontaneous breaking of a global discrete symmetry. It is illustrated
by the case of the real scalar field,
L = 12 ∂µ φ∂ µ φ − V (φ(x)),
where V (φ(x)) is a potential which depends on the field configuration. We will
consider two cases
V (φ) =
λ2 4 µ2 2
φ ± φ,
4
2
λ, µ > 0.
Build the Hamiltonian, H and find the field with the lowest energy in the two
cases with signs ±.
Analyze the field fluctuations around the ground state v. For this purpose, we
let
φ = v + h,
h ≪ v,
(v = λ/µ is chosen positive without loss of generality) and we calculate V (h). Give
an interpretation for the quadratic term.
11. Brisure spontanée de symétrie globale continue
Spontaneous breaking of a global continuous symmetry can be encountered in the
SO(2) model (rotations in the plane). We consider now a theory with two real scalar
fields φ1 (x) and φ2 (x), and with the potential
V (φ1 , φ2 ) = 14 λ(φ21 + φ22 − v 2 )2 = 41 λ(|φ|2 − v 2 )2 .
10
Mise à jour le 27 Février 2008
Figure 11.2 The “Mexican hat potential” (from E.A. Paschos, Electroweak
theory, Cambridge University Press, Cambridge 2007.
The fields φ1 and φ2 are massless (the coefficients of the quadratic terms are
negative) and the theory is invariant under rotations in the plane.
Find the minima of the potential. In order to analyze the field fluctuations around
the minimum, we choose a particular vacuum state φ10 = v, φ20 = 0 and denote the
fluctuations by
φ1 = v + h1 ,
φ2 = h2 .
Calculate the potential V (h1 , h2 ), expand it, and discuss the masses of the amplitudes
fluctuations h1 and h2 .