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Université d’Aix-Marseille L2 Semestre 3 Responsable UE : Victoria Paolantoni PEIP - UE : Analyse 2 - Séries et calcul intégral Démonstration à compléter : : r u e t s t i o u a ’ d s e t di Le but est de proposer une démonstration de la propriété suivante reliant l’approche de Darboux et celle de Riemann. En reprenant les notations du cours, nous voulons donc montrer que : r r r d e s t Proposition 0.1 Soit un intervalle fermé borné le [a, b]In(a <teb)u et soit f r u [a, b] → R une application bornée. Alors, onua : n a s ’ o l oi D(fu) s=iI (fd)e l d(f ) = I (f ) et la iff le r a t D lab p é e réa • Montrons que d(f ) = Iég (f ) : n Tout d’abord, remarquons ot quetio. . . r⊂d p . . . et donc : r o t psup u.c. . ≤ccsup ... n d a e ’ l um) ≤eIp(fro). ns autrement ditcd(f a Rappelons si a ∈ R s est tel que ∀ > 0 |a| < alors . . . . Do que R − + − − On veut montrer l’égalité d(f ) = I − (f ), pour cela montrons que : ∀ > 0 | ... |< Soit donc > 0. On veut donc montrer que : ... La quantité I − (f ) − ∃ ... ∈ E([a, b]) On notera (xk )0≤k≤p une 2 < ... + n’est plus un majorant de ... ... ≤f ... telle que I − (f )− < 2 et donc : ... ≤ I − (f ) à la fonction en escalier u . On a donc : Z − I (f ) < u + 2 [a,b] R On est maintenant ramené à comparer [a,b] u et d(f ) et pour cela, on va R commencer par comparer [a,b] u et une somme de Darboux sP (f ). : Démonstration à compléter : 2 Soit donc P une subdivision quelconque de [a, b], notée P = (ai )0≤i≤n . Calculons : Z u − sP (f ) = . . . ... : r u e t [a,b] avec mi = . . . . On peut donc écrire : Z u − sP (f ) = s t i o u a ’ d s e t di r r r d e s t le In teu r use produire n Soit i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Deux cas peuvent : au s ’ alors que o l i • • Soit aucun x n’appartient à l’intervalle [a ,s ai ]. On dira o l fu de i appartient à l’ensemble I. a l le ifque iaappartient b • • Soit . . . . . . . . . . . . Onardira alors à l’ensemble D p l t J. a é e é g r Remarquons que I ∪ J = é . . . et n I ∩dJ p= . . . . t o o i – Dans le premier cas,r si i ∈ I,t la fonction r u est constante sur [a , a ] p ucque cette o et comme . . . , on ten déduira c constante sera . . . et donc on c n e od l’a aura m u epr ns . . . c Do R sa ... [a,b] k i i+1 – Dans le deuxième cas, si i ∈ J, remarquons que : ... et donc : mi = ... ... inf{f (x) / x ∈ [a, b]} = m ce qui implique, en notant M = sup{f (x) / x ∈ [a, b]} : Z ai+1 u − m i ≤ . . . ai où ... est le pas de la subdivision P . On avait donc : Z u − sP (f ) = [a,b] soit donc : ... i i+1 Démonstration à compléter : 3 : Z u − sP (f ) ≤ ... r u e t ... [a,b] u a ’ d Or i ∈ J s’il existe un xk ∈ [ai , ai+1 ] et un élément xk peut appartenir à ... . . . . On en déduit : Z u − sP (f ) ≤ . . . s t i o s e t di r r r d e s t u le le InM 6= mtesinon On peut alors choisir P telle que δ(P ) < (en supposant r u n résultat est immédiat) de façon à obtenir : su a ’ o l oi usi de Z l f) + 2 le u ≤ s (f ) +la < d(f f i r 2 a t D lab p a ce qui montre que : é e é g r té Z ion d p o r ) < ct u +o2r < d(f ) + I (f p nt du ’acc e l et donc I (f ) = m d(f ). ro s u p c e an o R s D [a,b] P [a,b] − [a,b] −