Terminales S - Spécialité/Divisibilité et congruence

Terminales S - Spécialité/Divisibilité et congru
1. Introduction :
Exercice 5701
Exercice 5702
Une frise est constituée de carrés, triangles, cercles et trapèzes
se succédant régulièrement. Ces élèments sont successivement
peints en blanc, avec des rayures ou en noir.
Le début de la frise est représenté ci-dessous :
Un système de codage permet de transformer toute lettre d’un
texte en un autre rendant ainsi le texte illisible.
Pour cela, il numérote les lettres de l’alphabet en commençant par 0. Une transformation sur le nombre permet alors
de changer la lettre.
Voici le tableau de correspondance de ce codage :
Début de
la frise
1. Donner les caractéristiques du 113ième élément de cette
frise.
2. Quel est l’élément suivant le 113ième élément et ayant les
mêmes caractéristiques.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V WX Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425
C F I L ORUXADG
Quelle a-été la transformation utilisée sur les nombres ?
2. Division euclidienne :
1. Déterminer la division euclidienne de 1 038 par 17.
Exercice 3328
1. A l’aide de l’algorithme d’Euclide, compléter le tableau
ci-dessous afin de déterminer le PGCD des nombrse 240
et 36 :
Dividende Diviseur
Reste
240
36
...
240 = . . . × 36 + . . .
...
...
...
... = ... × ... + ...
...
...
...
... = ... × ... + ...
240
2. Rendre la fraction
irréductible en effectuant une
36
unique simplification. Par quel nombre avez-vous simplifier ? Justifier votre démarche.
Exercice 3329
1. Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de
496 et de 806.
496
2. Ecrire
sous la forme d’une fraction irréductible.
806
496
3
3. Calculer
−
806 26
(on donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible)
Exercice 3330
2. En étudiant le carré (61×17+1)2 , déterminer le reste de
la division euclidienne de 1 0382 par 17.
3. En déduire une conjecture sur le reste, pour tout entier
naturel n, la division euclidienne de 1 038n par 17.
Exercice 3339
¸ et ˛ représentent deux entiers ; on considère les quatre
phrases suivantes :
1. ¸ est un multiple de ˛ ;
2. ¸ a pour multiple ˛ ;
3. ¸ est un diviseur ˛ ;
4. ¸ a pour diviseur ˛.
Les phrases ci-dessus sont équivalentes deux à deux ; retrouver les phrases équivalents.
Exercice 4696
L’année 2012 était une année bissextile et le 1er Janvier 2012
était un dimanche.
1.
a. Combien de jour sépare le 1er Janvier 2012 et le 20
Janvier 2012.
b. Donner la division euclidienne de 19 par 7.
c. Quel jour de la semaine était-on le 20 Janvier 2012.
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net
2. Déterminer le jour de la semaine du 25 Mars 2012.
Dividende Diviseur
Exercice 4995
1. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide le P GCD
des nombres 410 et 246 :
2.
Reste
410
246
...
410 = . . . × 246 + . . .
...
...
...
... = ... × ... + ...
...
...
...
... = ... × ... + ...
a. Simplifier la fraction
246
.
410
b. Effectuer les calculs suivants :
246 8
1
1
−
;
−
410 5
246 410
3. Divisibilité :
Exercice 3332
Exercice 3490
1. Compléter intuitivement les deux tableaux à double entrée suivants :
+
Pair
Impair
×
Pair
Pair
Impair
Impair
Pair
Impair
1. Pour tout entier relatif n différent de 1, on considère le
nombre :
2n2 − n − 11
An =
n−1
a. Déterminer la valeur des entiers relatifs a, b, c vérifiant
la relation suivante pour tout entier naturel n distinct
de 1 :
c
An = a·n + b +
n−1
2. En remarquant les deux caractérisations suivantes :
Si n ∈ Z est pair, il existe k ∈ Z tel que :
n = 2·k
Si n ∈ Z est impair, il existe k ∈ Z tel que :
n = 2·k + 1
Répondre aux questions suivantes :
a. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est
pair.
b. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est
impair.
Exercice 3334
1.
b. En déduire les valeurs de n telles que le nombre An est
un nombre entier.
2. On considère pour tout entier relatif, le nombre Bn défini
par :
2n2 − 3n − 15
Bn =
2n + 3
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles Bn est un
entier relatif.
Exercice 4999
1. On considère
A défini par :
( le nombre
)
A = m× 4·n + 1 où m; n ∈ N.
On cherche à déterminer les valeurs de m et n réalisant
l’égalité A = 45.
a. Pour k un entier naturel non-nul développer l’ex(
)2
pression : A = 2·k+1 −1.
a. En étudiant la relation 45 = m×(4·n+1), donner un
ensemble de valeurs possibles de m.
b. Justifier que A est un multiple de 8.
2. On considère l’expression B = n2 −1 pour n ∈ N∗ :
b. En déduire l’ensemble des couples (m ; n) réalisant
A = 45.
a. Démontrer que pour n pair, B est impair.
b. Démontrer que pour n un entier impair strictement
supérieur à 1, B est pair et divisible par 8.
2. On considère
le )nombre
(
( ) B définie par :
B = 2·m + 3 · 2·n où m; n ∈ N
Déterminer l’ensemble des couples (m ; n) d’entiers vérifiant la relation B = 70.
Exercice 3335
1.
a. Déterminer la valeur de a et b deux entiers relatifs
tels que, pour tout entier relatif n, on a :
b
4n + 1
=a+
n+1
n+1
4n+1
b. En déduire les valeurs de n pour laquelle
est un
n+1
entier.
2. Déterminer, si elles existent, les valeurs de n ∈ Z tels que
les fractions suivantes aient des valeurs entières :
6n + 9
9 − 6n
a.
b.
2n + 1
3n − 4
Exercice 5035
Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs
est un nombre impair
Exercice 5036
1.
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de 102
par 3.
b. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer
que pour tout entier n naturel, le reste de 10n par la
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net
division euclidienne par 3 vaut 1.
2. Justifier que le nombre 4×10n −1 est, pour tout entier
naturel n, divisible par 3.
4. Nombres premiers :
Exercice 3361
Exercice 3363
1. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres suivants :
a. 2 016
b. 2 100
a. 37
c. 864
2. Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat
sous forme simplifiée :
a.
2 016
2 100
b.
1
1
+
2 100 864
Simplifier l’écriture des nombres suivants sous forme de produit de facteurs premiers :
d.
52 ×32
(
)
55 · 34 + 34
b. 127
c. 541
d. 2×3×5×7 + 1
Exercice 5038
1. Soit n un entier naturel. Exprimer le reste de la division
euclidienne de n2 par 8 en fonction du reste de la division
euclidienne de n par 4.
2. Soit a et b deux entiers. Etablir la propriété suivante :
Exercice 3362
a. 18×152 ×9×82
Préciser si les nombres suivants sont premiers ou non :
b. 92 ×15−2 ×44
e.
c.
5× 34 ×122
212 ×153
22 ×5−4
221 + 222
“Si a2 +b2 est un entier divisible par 8 alors a et b
sont des entiers pairs”
Exercice 5039
(
)
Déterminer l’ensemble des couples a ; b d’entiers relatifs vérifiant l’égalité :
a2 − b2 = 11
5. Reste de la division euclidienne :
3. On
note r)n le reste de la division euclidienne de
(
195 695×n par 3. Compléter de tête le tableau suivant :
Exercice 3331
On donne la division euclidienne de 195695 par 3 :
n
195 695 = 65 231×3 + 2
1. Justifier
que
(
) le reste de la division euclidienne de
195 695×2 par 3 est 1.
2. Déterminer
(
) le reste de la division euclidienne de
195 695×3 par 3.
1
2
3
4
5
6
7
rn
Exercice 3359
Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le quotient de la division euclidienne de n par 5 soit égal au reste
par la même division.
6. Premiers exercices de congruences :
quelle l’égalité est vraie :
Exercice 3402
Vérifier la véracité de chacune des égalités suivantes :
a. 15 ≡ 27 (mod. 3)
b. 17 ≡ 11 (mod. 4)
c. 153 ≡ 237 (mod. 12)
d. −5 ≡ 8 (mod. 13)
e. −81 ≡ 224 (mod. 6)
f. 374 ≡ 1 (mod. 4)
Exercice 3365
[
]
1. Déterminer une valeur de l’entier a ∈ 10 ; 20 pour la-
a. 25 ≡ a (mod. 4)
b. 37 ≡ a (mod. 10)
c. 52 ≡ a (mod. 7)
d. 5 ≡ a (mod. 14)
e. 1 ≡ a (mod. 9)
f. 13 ≡ a (mod. 5)
2. Déterminer une valeur de n pour laquelle l’égalité est
vraie :
a. 21 ≡ 1 (mod. n)
b. 14 ≡ 4 (mod. n)
c. 9 ≡ 14 (mod. n)
d. 10 ≡ 25 (mod. n)
7. Manipulation algébrique :
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net
3. Etudier en fonction du reste de la division euclidienne de
n par 4, la divisibilité de (n+3)4 par 4.
Exercice 3468
On considère les nombres :
A = 8 387 592 115
1.
;
Exercice 3278
B = 9 276 312 516
Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers
naturels.
a. Montrer que 1 000 est divisible par 8.
b. Montrer que A est congru à 3 modulo 8.
c. Donner l’entier naturel b strictement inférieur à 8 tel
que B soit congru à b modulo 8.
2. Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8
qui sont congrus respectivement à A+B et à A·B
3.
a. Montrer que B 2 est divisible par 8.
2. Démontrer que 7 divise x2 +y 2 si, et seulement si, 7 divise
x et 7 divise y.
Exercice 3598
Soit n un entier relatif. Indiquer si la proposition suivante
est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse
choisie :
b. Montrer que A2 n’est pas divisible par 8.
c. Montrer que A100 n’est pas divisible par 8.
n2 + n + 3 ≡ 0 (mod.5) si, et seulement si, n ≡ 1 (mod.5).
Exercice 3493
Exercice 3632
Soit n un entier naturel.
1. Montrer que pour tout entier naturel n, 3 divise le
nombre 22n −1.
1. Développer (n+3)4 .
2. Montrer que :
1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne
de x2 par 7 ?
(n + 3)4 ≡ n4 + 2n2 + 1 (mod. 4)
2. Soit p un entier naturel. Montrer que parmi les entiers p,
p+10, p+20, un et un seul d’entre eux est divisble par 3.
8. Puissances congrus à 0 :
Exercice 738
Soit p une entier naturel supérieur ou égal à 2 et a un entier
naturel non-nul
Montrer que si il existe un entier naturel n tel que
an ≡0 (mod. p) alors pour tout entier naturel k, on a l’implication : k ⩾ n =⇒ ak ≡0 (mod. p)
Exercice 5453
1. Déterminer le plus petit entier k réalisant l’équivalence :
6k ≡ 0 (mod. 4)
2. Pour tout entier naturel a, à l’aide d’un raisonnement par
récurrence, établir la congruence ci-dessous pour tout entier naturel n non-nul :
(a + 6)n ≡ an + 6·n·an−1 (mod. 4)
Exercice 5454
1. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n réalisant la congruence :
6n ≡ 0 (mod. 8)
2. Pour tout entier naturel n, déterminer la valeur du reste
de l’entier A défini ci-dessous par la division euclidienne
par 8 :
A = 6n + 9n
9. Puissances, congruences et cyclicité :
Exercice 3403
1.
Exercice 5037
a. Compléter le tableau ci-dessous où rn représente le
reste de la division euclidienne de 7n par 4 :
n
0
1
2
3
4
5
rn
b. En déduire le reste de la division euclidienne de 7235
par 4.
2.
a. Compléter le tableau ci-dessous où rn représente le
reste de la division euclidienne de 12n par 5 :
n
0
1
2
3
4
5
rn
(
)
b. Etablir que le nombre 1239 −3 est divisible par 5.
1. Compléter le tableau de valeurs suivant :
n
Reste de 3n
par 5
0
1
2
3
4
2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a :
20084·n ≡ 1 (mod. 5)
3. En déduire que 20082008 −31 est divisible par 5.
Exercice 3571
1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009
par 11.
2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net
par 11.
modulo 7.
3. Déterminer le reste dans la division euclidienne de
22 009 +2 009 par 11.
Exercice 3408
1.
a. Déterminer les restes de la division euclidienne par
7 des nombres 3n pour n ∈ N, n ⩽ 6.
On complétera le tableau suivant :
Puissance de 3
30
31
32
33
34
35
36
Reste modulo 7
b. En déduire que, pour tout k ∈ N, 36k est congru à 1
2.
a. Déterminer le plus petit entier naturel congru à 1515
modulo 7.
b. Après avoir remarqué que 2004 = 6×334, déduire de
la question 1. le reste de la division euclidienne de
15152004 par 7.
c. Montrer que dans la division euclidienne de 15152006
par 7, le reste est 2.
Exercice 4309
On considère l’entier N =112011 . Montrer que l’entier N est
congru à 4 modulo 7.
10. Equations :
Exercice 3599
{
}
On considère l’ensemble A7 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
1. Pour tout élément a de A7 , écrire dans le tableau cidessous l’unique élément y de A7 tel que ay ≡ 1 (mod.7).
a
1
2
3
4
5
y
6
6
relatifs x solutions de l’équation a·x ≡ 0 (mod. 7) sont
les multiples de 7.
Exercice 5455
Soit x un entier relatif.
1. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne
d’un entier x par 7, résoudre dans Z les équations suivantes :
a. 4·x ≡ 1 (mod. 7)
2. Pour x entier relatif, démontrer que l’équation :
3x ≡ 5 (mod. 7) équivaut à x ≡ 4 (mod. 7).
3. Soit a un élèment de A7 , montrer que les seuls entiers
b. 6·x ≡ 3 (mod. 7)
2. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne
de x par 6, résoudre dans Z les équations suivantes :
a. 5·x ≡ 2 (mod. 6)
b. 2·x ≡ 3 (mod. 6)
11. Raisonnement par récurrence :
Exercice 3294
( )
On considère la suite un d’entiers naturels définie par :
u0 = 14
;
un+1 = 5un − 6 pour tout n∈N
Montrer que, pour tout entier naturel n, un+2 ≡ un (mod.4).
Exercice 3457
Montrer par un raisonnement par récurrence que pour tout
entier naturel n, l’entier 5n −1 est un multiple de 4.
Exercice 3494
Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que
pour tout entier naturel n non-nul, on a :
(
)(
)
xn − 1 = x − 1 1 + x + x2 + · · · + xn−1
255. Exercices non-classés :
3. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente
le résultat fourni par cet algorithme ?
Exercice 5820
On considère l’algorithme suivant :
Exercice 5826
A et X sont des nombres entiers.
Saisir un entier positif A.
Affecter à X la valeur de A.
Tant que X supérieur ou égal à 26
Affecter à X la valeur X−26.
Fin du tant que.
Afficher X.
Utiliser les congruences pour calculer les restes de la division
euclidienne par 7 des nombres suivants :
a. 56
b. 56p ; pour p∈N∗
c. 3338
Exercice 5830
1. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
2. Qu’affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
1. Etudier, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste
de la division par 7 du nombre :
A = n2 − n + 1
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net
2. En déduire les entiers n tels que le nombre A soit divisible par 7.
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en
indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
3. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre :
B = 2 7532 − 2 753 + 1
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Exercice 5979
Exercice 5840
On considère l’algorithme suivant :
Variables : a est un entier naturel
b est un entier naturel
c est un entier naturel
Initialisation : Affecter à c la valeur 0
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Traitement Tant que a > b
Affecter à c la valeur c+1
Affecter à a la valeur de a−b
Fin de Tant que
Sortie : Afficher c
Afficher a
n est un entier naturel.
Dans la division euclidienne de n par 7, n peut s’écrire :
n = 7q + r où q et r sont des entiers naturels.
1. Que représente r ? Quelles sont les valeurs possibles pour
r?
2. On divise n2 par 7. Quels sont les valeurs possibles pour
r?
3. En déduire que si 7 divise n2 alors 7 divise n.
4. n et m sont deux entiers naturels. On divise n2 +m2 par
7. Quels sont les restes possibles ?
5. En déduire que si 7 divise n2 +m2 alors 7 divise n et m.
Terminales S - Spécialité - Divisibilité et congruence - http://chingatome.net