La méthode d`Euler en Terminale S
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La méthode d`Euler en Terminale S
La méthode d’Euler en Terminale S Il s’agit de la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Elle est introduite dans le programme de Terminale pour plusieurs raisons : - L’étude de l’évolution des systèmes mécaniques ou électriques conduit tout naturellement à des équations différentielles. - En mathématiques, nos élèves seront familiarisés plus ou moins tardivement avec la résolution analytique de ces équations, à condition qu’elles aient le bon goût de rester simples. - Les équations auxquelles nous aboutirons n’ont malheureusement pas toujours de solutions analytiques et seul le calcul numérique permet d’accéder au graphe de la fonction solution. - La méthode d’Euler est d’approche très facile et permet de s’affranchir de tout un arsenal mathématique. En contrepartie, elle exige un apprentissage à l’utilisation d’un tableur de type Excel, Lotus, ou autre ….. - Cet apprentissage, actuellement nécessaire, permettra d’aborder en « physiciens » d’autres problèmes posés en terminale, comme les lois de la désintégration radioactive. Résolution d’une équation différentielle en classe de terminale S Problème physique posé Nous allons travailler sur un sujet simple : la décharge d’un condensateur. Nous voulons connaître l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps. Pour cela, nous appliquons les lois de l’électricité et nous parvenons à la relation uC +Ri = 0 qui conduit à l’équation différentielle : uC + RC.duC /dt = 0 ( 1 ) Nous connaissons la solution analytique de cette équation. C’est une fonction exponentielle qui exprime uC = f(t). Elle répond au problème. Mais nos élèves n’auront peut-être pas encore étudié cette solution en mathématique. La méthode numérique d’Euler leur permettra pourtant de tracer le graphe de u C = f(t) avec une excellente précision. Principe de la résolution par la méthode d’Euler. Il est très simple : Imaginons qu’on connaisse u C à la date t, la relation (1) permet de calculer du C , variation de uC pendant une durée dt u suffisamment petite devant la durée totale du phénomène : du C = - C RC .dt La connaissance de du C permet alors de calculer une nouvelle valeur de u C à la date t+dt : uC(t+dt) = uC(t) + duC. duC uC uC + du C La nouvelle valeur de u C permet de recalculer du C pendant la durée dt suivante, donc de recalculer, par itérations successives, autant de valeurs de u C que l’on voudra, donc d’obtenir u C en fonction du temps….. ce qui répond bien au problème 1) 2) 3) 4) Il est évident qu’il faudra : Connaître les conditions initiales pour amorcer la première itération. Fixer une valeur de dt « bien choisie » Fixer un nombre d’itérations suffisant pour que le phénomène soit étudié sur une durée conséquente. Que le résultat de la méthode d’Euler est forcément « approché », mais l ‘approximation peut devenir excellente. D’autres méthodes plus précises existent ( hors programme ! ! !) Préparation du fichier Excel L’intérêt n’est pas de présenter un tableur « tout fait ». Il faut donc que les élèves élaborent le fichier, alors qu’ils n’auront le plus souvent aucune formation en informatique. Ce travail est heureusement très simple, mais il exige un petit investissement intellectuel la première fois. Nous allons procéder par itération dans un tableur comme Excel. Nous aurons besoin de 3 colonnes au moins : une pour t, une pour u C et une pour du C. ( Ici colonnes B, C et D ) D’autre part, nous placerons les valeurs de RC dans la case B2 et de dt dans la case B3. En changeant les valeurs écrites dans ces cases, nous pourrons ajuster ces deux paramètres. Attention : Excel doit comprendre ces valeurs comme des nombres. Il faut alors commencer la frappe par un signe »= » ( dans B2, on a tapé =0.01 ) Première ligne de calcul ( ligne 5 ci-dessous ) : Elle « contient » les conditions initiales : t = 0s, u C = 5V. Il suffit de taper les valeurs dans les cases. ( =0 ; =5 ) u Dans la troisième colonne, il faut maintenant écrire la formule qui permet de calculer du C ( du c = - C RC .dt ). Elle est reproduite dans la case « Formule » au-dessus de la colonne C. Explication de la formule = : car la case contient un nombre ou une formule. -C5 : -opposé du contenu de la case C5 ( -uC ) (*) / $B$2 : diviser par le contenu de la case B2 ( RC ) (*) *$B$3 : multiplier par dt. (*) Ecrire C5 ou $C$5 n’est pas équivalent. Excel dispose en effet de plusieurs modes d’adressage des cases, c’est à dire de plusieurs façons d’aller lire leur contenu. $C$5 est un adressage direct. Ecrire =$C$5 dans une case quelconque demande à Excel de lire le contenu de C5 et de le ramener dans cette case. Ecrit en D5, =C5 demande à la machine d’aller chercher le contenu de la case de la même ligne 5 située un cran à gauche. C’est un adressage relatif. Intérêt : si vous recopiez cette case D vers D6, D7, etc.., ces cases contiendront automatiquement l’ordre d’aller chercher le contenu de la première case à gauche, c’est à dire C6, C7 etc… On peut évidemment adresser x lignes et y colonnes dessus ou dessous, à gauche ou à droite… Seconde ligne Case B6 : =B5+$B$3 Case C6 : =C5+D5 Case D6 : inutile de l’écrire. Il suffit de recopier le contenu de la case D5. On remarque que C5 se transforme automatiquement en C6 Il reste à recopier cette ligne autant de fois qu’on désire de points sur la future courbe. On sélectionne la ligne 6 : clic gauche enfoncé et maintenu jusqu’à la ligne 100 par exemple. Puis « Edition », « Recopier vers le bas »… C’est fini. Tracé du graphe de la fonction Sélectionner les colonnes B et C de la 6 ième à la centième ligne. Appeler l’assistant graphique Choisir « Nuage de points » Cliquer sur « Suivant » puis sur l’onglet « séries » Supprimer la série 2. « Suivant ». Donnez un titre si vous voulez. « Suivant » et « fin ». Le graphe apparaît. Décharge d'un condensateur Uc (V) 6 5 4 3 2 Série1 1 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 t(s) Exploitation Deux types d’exploitation sont envisageables dans toutes les études faisant intervenir la méthode d’Euler en terminale S 1) Valider le modèle théorique de l’équation différentielle en comparant la courbe donnée par la méthode d’Euler et la courbe expérimentale ( en les superposant par exemple ). Il faut donc acquérir grâce à un interface la courbe expérimentale. La transférer dans Excel ( C’est possible en passant par un fichier au format .txt, à partir de Regressi, Généris ou autre ) et comparer au modèle. 2) Simuler l’influence des paramètres sur la décharge. Par exemple, la courbe ci-dessous est obtenue pour RC = 0.02s et dt = 0.001s 100itérations 7 6 5 4 Série1 3 2 1 0 0 Attention : Il est souhaitable de montrer que la méthode d’Euler fonctionne bien mais seulement si dt est petit devant la constante de temps du phénomène. 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 6 5 4 Série 1 : Euler Série 3 : courbe analytique u C = U0* exp(-t/RC) RC = 0.02s dt = 0.01s 15 itérations Série1 3 Série3 2 1 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2