équation-inéquation

Chapitre : Equation – Inéquation
I Equation
a ) équations du premier degré
Rappel des règles pour résoudre une équation : Pour résoudre une équation, on peut :
1° ) additionner ou soustraire aux deux côtés un même nombre
2° ) multiplier ou diviser des deux côtés par un même nombre (non nul).
Exemples : ● 8 x + 12 = 9 – 15 x donc 8 x + 12 – 12 + 15 x = 9 – 15 x – 12 + 15 x
–3
◙
23 x – 3
donc
=
donc x =
◙
23
23
23
●4 – 5 ( 3 x + 6 ) = 7 – ( 9 x – 10 ) donc 4 – 15 x – 30 = 7 – 9 x + 10 on développe
donc – 15 x –◙
26 + ◙
26 + 9 x = 17 –◙
9 x + 26 +◙
9x
●
– 43
–6x
43
donc
=
donc x =
●
–
6
6
–6
Vocabulaire : Le degré d’une équation correspond à la plus grande puissance de x qui apparaît quand
l’équation est développée et simplifiée.
Ici, la puissance maximale est 1 car x = x 1
Remarque 1 : Pour résoudre une équation du premier degré, on développe.
Remarque 2 : lorsqu’on résout "pour de vrai" une équation, on n’écrit plus ce qui va se simplifier
Exemple : résolvons l’équation 8 x – 3 = 5 x + 14
présentation d’apprentissage
présentation finale
●
●
8
x
–
3
=
5
x
+
14
8 x – 3 + 3 – 5 x =◙
5 x + 14 + 3 –◙
5x
donc 8 x – 5 x = 14 + 3
donc 3 x = 17
donc 3 x = 17
●
17
3 x 17
donc
=
donc x =
17
●
3
3
3
donc x =
3
b ) équations du second degré
Voici une équation produit : ( x – 8 ) ( 3 x – 15 ) = 0
8 est solution car : ( 8 – 8 ) ( 3 × 8 – 15 ) = 0 × ( 3 × 8 – 15 ) = 0
5 est aussi solution car ( 5 – 8 ) ( 3 × 5 – 15 ) = – 3 × 0 = 0
Règle pour résoudre une équation produit : Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit
qu’un de ses facteurs soit nul.
Exemple : ( x + 12 ) ( 2 x – 4 ) = 0
Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu’un de ses facteurs soit nul.
donc x + 12 = 0 ou 2 x – 4 = 0
donc x = – 12 ou x = 2
Attention : dans une équation produit, on doit avoir " = 0"
Remarque : développons l’équation ci-dessus on obtient : 2 x ² – 4 x + 24 x – 48 = 0
donc 2 x ² + 20 x – 48 = 0. C’est une équation est du 2d degré.
L’équation développée ne nous permet d’isoler x et ce n’est donc pas la bonne manière de procéder.
Méthode pour résoudre une équation: - pour résoudre une équation du 1e degré, on développe
- pour résoudre une équation du 2d degré (ou plus), on factorise.
Exemple : 4 x ² – 36 = 0
donc ( 2 x + 6 ) ( 2 x – 6 ) = 0
on factorise pour obtenir une équation produit
Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit qu’un de ses facteurs soit nul.
Donc 2 x + 6 = 0 ou 2 x – 6 = 0
Donc x = – 3 ou x = 3
II Inéquation
Avec le symbole " = ", on fait des égalités et des équations.
Avec les symboles " < ", " > ", " ≤ ", " ≥ ", on fait des inégalités et des inéquations.
Exemple : 10 – 8 x ≥ 42 est une inéquation.
Le but va être de trouver les solutions d’inéquations.
Règle pour résoudre des inéquations : Pour résoudre une inéquation on peut :
1° ) additionner ou soustraire un même nombre aux deux cotés.
2 ° ) multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux cotés en changeant le sens de l’inégalité si
ce nombre est négatif.
Exemple : Résolvons l’inéquation précédente.
10 – 8 x ≥ 42 donc ◙
10 – 8 x –◙
10 ≥ 42 – 10
donc – 8 x ≥ 32
–●
8x
32
donc
≤
–8
–●
8
donc x ≤ – 4
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à – 4.
On demande souvent de représenter les solutions sur une droite graduée :
]
-4
x
0
1
Remarque : Pour dire que le nombre – 4 est solution, on met le crochet tourné vers les solutions
Pour dire que le nombre n’est pas solution, on met le crochet qui tourne le dos aux solutions
Exemple : – 5 < x ≤ 6 est représenté par
]
-5
0
]
1
6
x
Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes.
4
12
– 25
x
a)
=
b)
=
x
7
6
24
c)
5
9
=
8
x
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes.
a)(x+1)(2x–4)+(5x–3)(x+1)=0
c)7(6x–8)–(6x–8)(4x+5)=0
e ) 36 x ² – 81 = 0
f ) 49 x ² – 140 x + 100 = 0
d)
–7
x
=
–12 4
b)x²+6x+9=0
d ) 16 x ² – 40 x + 25 = 0
g)(3x–2)²–4x²=0
Activité 1 : Règles pour les inéquations.
20
7
20 +
7+
On ajoute 5 kg sur
les deux plateaux et
on obtient :
7
6
……
7 + … …… 20 + …
20
–8
………...
………...
On met 3 fois plus
lourd des deux
cotés et on obtient :
…… …… ……
…… …… ……
–9
8
………...
………...
On met – 10 fois
plus lourd des deux
cotés et on obtient :
…… …… ……
Exercice 3 : Représente sur une droite graduée les situations suivantes :
c ) – 12 < x < – 5,4
a) –3≤ x ≤2
b ) 4 ≤ x < 10
…… …… ……
d ) x ≥ – 150,8
Exercice 4 : Résous chaque inéquation puis représente ses solutions sur une droite graduée. (Vue au brevet)
c ) 125 x + 100 < 1 000
a ) 4 – 5 x ≥ 3 x – 20
b ) 70 ≤ 2,5 x + 18
d)–3x +2≥2x–8
Exercices pour préparer le contrôle
(apporter sa calculatrice)
Exercice 1 : exercice de préparation au brevet (7 points).
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes. (Développer pour c et d et factoriser pour f, h, i et j)
a ) 15 x + 18 = 8
b ) 12 x + 3 + 4 x – 9 = – 5 x – 10 + 15 x
c ) 4 ( x + 1 ) = 8 ( 2 – x ) – 20
d ) 5 ( 7 x – 10 ) – 5 x = – 8 ( 6 – 3 x ) – 6
e ) ( 18 x + 12 ) ( 4 x – 3 ) = 0
f) 4(8x–6)+(8x–6)(3x –2)=0
g ) ( 21 x + 14 ) ² = 0
h ) 4 + 12 x + 9 x ² = 0
i ) 16 – 36 x ² = 0
j ) 81 x ² – 108 x + 36 = 0
Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée.
a ) 8 x – 12 < – 20
b ) 9 x + 15 ≥ 11 x + 23
Exercice 4 : exercice 20 P 136.
Solution exercices pour préparer des autres contrôles
Exercice 1 : ce sera un exercice de calcul.
Exercice 2 : Les solutions des équations sont :
–2
–2
3
pour a, b, c, d, f
et pour e, g, h
3
3
4
Exercice 3 : Les solutions des inéquations sont :
a) x <–1
b) x ≤ –4
Exercice 20 P 136 :
Prix d’un CD : x €
Prix de 8 CD : 8 x €
Prix d’un DVD : x + 1,5 €
Prix d’un 6 DVD : 6 ( x + 1,5 ) €
Total : 37 €
On a donc : 8 x + 6 ( x + 1,5 ) = 37 donc 8 x + 6 x + 9 = 37 donc 14 x = 37 – 9 donc 14 x = 28 donc x = 2
Un Cd coûte donc 2 €.
Exercices pour préparer le contrôle
(apporter sa calculatrice)
Exercice 1 : exercice de préparation au brevet (7 points).
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes.
a)4x + 6=7x +8
3
–1
c)
=
27 – 3 x 4 x – 7
e ) 8 x – 6 + ( 8 x – 6 ) ( 17 x – 1 ) – ( 8 x – 6 ) ² = 0
g ) 16 – 36 x ² = 0
b ) 5 ( 7 x – 10 ) – 5 x = – 8 ( 6 – 3 x ) – 6
d)(3x +2)(4x –3) =0
f ) 4 + 12 x + 9 x ² = 0
h ) ( 21 x – 3 ) ² – ( 15 – 3 x ) ² = 0
Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée.
b ) 7 ( 4 x – 5 ) < 2 – ( 40 – 22 x + 1 )
a ) 7 – 5 x + 10 ≤ – 2 x + 19
Exercice 4 : exercice 20 P 136.
Solution exercices pour préparer des autres contrôles
Exercice 1 : ce sera un exercice de calcul.
Exercice 2 : Les solutions des équations sont :
–2
3
–2
pour a, b, c, d, f
et pour e, g, h
3
3
4
Exercice 3 : Les solutions des inéquations sont :
–2
–2
a) x ≥
b) x <
3
3
exercice 20 P 136 : voir ci-dessus
Devoir : les équations du premier degré
Résous les équations suivantes comme dans les exemples suivants :
a)
8 x + 6 = 5 – 10 x
donc 8 x + 6 – 6 = 5 – 10 x – 6
on soustrait 6 des deux cotés pour les simplifier à gauche
donc 8 x + 10 x = 5 – 10 x – 6 + 10 x on additionne 10 x des deux cotés pour les simplifier à droite
donc
18 x = – 1
on réduit les calculs des deux cotés
18 x – 1
donc
=
on divise par 18 pour les simplifier à gauche
18
18
–1
–1
donc x =
la solution de cette équation est
18
18
b ) 3 ( 7 x – 2 ) + 3 = 15 – ( 10 – 20 x )
donc 21 x – 6 + 3 = 15 – 10 + 20 x
on développe des deux cotés
donc 21 x – 3 = 5 + 20 x
on réduit des deux cotés
donc 21 x – 3 + 3 – 20 x = 5 + 20 x + 3 – 20 x on additionne 3 et on soustrait 20 x des deux cotés
donc x = 8
on réduit et on obtient la solution
4×7
4 10
on fait règle de trois pour les équations :
c ) = donc x =
7
10
x
2× 2 ×7
14
multiplication de la diagonale
donc x =
donc x =
x =
2 ×5
5
le dernier nombre
d ) x – 10 = – 3
e ) x + 12 = 8
h ) 8 x + 5 = 10
i)6x =4x +2
l)4x +5=3x –8
m ) 7 – 6 x = 2 x + 17
p ) 4 ( 2 x – 5 ) = 12
q)2(5x +1)=9x –2
s ) 3 ( – 4 + 5 x ) = 7 – ( 10 – 13 x )
8 7
2
x
u) =
v) =
x 5
3 10
f)6x =7
g ) 18 x = 42
j)3x +6=0
k ) 0 = 10 x – 9
n)9x –3=7+4x
o ) 12 – 15 x = x + 5
r)5–8(3x –4) =5(4–7x )
t)6(4x –6) –9(2x –4)=0
12 18
w)
=
7
x
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Devoir : les équations du second degré
Résous les équations suivantes en factorisant comme dans les exemples suivants :
a ) x ( 4 x – 12 ) – ( 8 – 3 x ) ( 4 x – 12 ) = 0
donc ( 4 x – 12 ) [ x – ( 8 – 3 x ) ] = 0
donc ( 4 x – 12 ) [ x – 8 + 3 x ] = 0
on factorise (factorisation simple ici)
donc ( 4 x – 12 ) ( 4 x – 8 ) = 0
pour qu’un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu’un de ses facteurs soit nul
donc 4 x – 12 = 0 ou 4 x – 8 = 0 donc x = 3 ou x = 2
b ) 16 x ² – 12 x + 9 = 0
donc ( 4 x – 3 ) ² = 0
on factorise (factorisation avec les identités remarquables ici)
donc ( 4 x – 3 ) ( 4 x – 3 ) = 0
pour qu’un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu’un de ses facteurs soit nul
4x 3
3
donc 4 x – 3 = 0 donc 4 x – 3 + 3 = 0 + 3 donc
= donc x =
4
4
4
c) (5x +1) (3x –2) +7(5x +1) =0
d ) 10 x – x ( 9 x – 3 ) = 0
e) (6x –1) (8x –4) – ( x –5) (6x –1) =0 f)7x (8x –2) – (9x +7) (8x –2) =0
g) x²+2x +1=0
h ) 49 – 14 x + x ² = 0
i ) x ² – 16 = 0
j ) 9 x ² – 25 = 0
k ) 81 x ² – 90 x + 25 = 0 l ) 4 + 32 x + 64 x ² = 0
m ) ( 4 x – 2 ) ² – 25 = 0
n) (7x +4)²– (6x –6)²=0