Alg`ebre : Série 3

Licence de Mathématiques
Année Universitaire 2012-2013
Algèbre : Série 3
Exercice 1 : Question de cours
1. Montrer que Z/2Z × Z/2Z n’est pas isomorphe à Z/4Z.
2. Montrer que Q8 est un sous-groupe de GL2 (C) en explicitant les éléments de Q8 vu comme
éléments de GL2 (C).
3. Donner 5 groupes d’ordres 8 non isomorphes.
Exercice 2
1. Montrer que si pgcd(n, m) = 1, alors Z/nZ × Z/mZ est isomorphe à Z/nmZ.
2. Montrer que l’ordre de [k] ∈ Z/dZ est
d
pgcd(k,d) .
Exercice 3
Considérons Rn muni de sa norme euclidienne usuelle. Une isométrie de Rn est une application bijective f : Rn → Rn telle que ||f (x)−f (y)|| = ||x−y|| pour tous x et y. Montrer que toute
isométrie f : Rn → Rn est affı̂ne, c’est-à-dire qu’elle peut s’écrire de la forme f (x) = Ax + b avec
A ∈ O(n) et b ∈ Rn . (Indication : Poser g(x) = f (x) − f (0) et montrer qu’il existe A ∈ O(n)
telle que g(x) = Ax.)
Exercice 4
Soit f une isométrie de R2 préservant l’orientation. On veut montrer que f est soit une
translation, soit une rotation. Plus précisément, montrer que :
1. si f possède un point fixe, alors f = t · A · t−1 avec A ∈ SO(2) et t une translation ;
2. si f est sans point fixe, alors c’est une translation.
Exercice 5
1. Soit H un sous-groupe de G tel que [G : H] = 2. Montrer que H est normal dans G.
2. Classifier tous les groupes d’ordre 2p où p est un nombre premier.
Exercice 6
1. Vérifier que le logarithme ln : R∗+ → R est un isomorphisme de groupes.
2. L’application R −→ C∗ définie par θ 7→ eiθ est-elle un homomorphisme de groupes (le
premier additif et le deuxième multiplicatif) ? Si oui, quels sont son image et son noyau ?
3. Même question avec exp : C −→ C∗ définie par z = a + ib 7→ exp(z) = ea eib .
4. Montrer que le module C∗ −→ R∗+ , défini par z 7→ |z| est un homomorphisme de groupes
multiplicatifs. Déterminer son image et son noyau.
a −b
| a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0 . Montrer que G avec la multiplication des
5. Soit G =
b a
matrices est un groupe abélien isomorphe au groupe multiplicatif C∗ .
a −b
| a, b ∈ R, a2 + b2 = 1 . Vérifier que H = SO2 (R), que H est un
6. Soit H =
b a
sous-groupe de G isomorphe au sous-groupe S1 des nombre complexes de module 1.
7. Montrer que {1, i, −1, −i} est un sous groupe de S1 . A quel sous-groupe de G correspondil ?
8. Les groupes Z, Q, R muni de l’addition sont-ils isomorphes ?
Exercice 7
Soit Ĉ = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu en ajoutant au plan complexe un point à l’infini, noté
∞. Une transformation de Möbius est une application f : Ĉ → Ĉ définie par
f (z) =
az + b
cz + d
où a, b, c, d ∈ C et ad − bc 6= 0. On pose de plus
f (∞) =
a
,
c
d
f (− ) = ∞.
c
1. Montrer que l’ensemble des transformation de Möbius est un groupe avec la loi de composition.
2. Montrer que ce groupe est engendré par :
· Tk (z) = z + k, k ∈ C (translations)
· Sk (z) = kz, k ∈ C \ {0} (dilatations ou rotations)
· J(z) =
1
z
(une inversion)
3. Sur GL2 (C), on définit une relation d’équivalence suivante :
Pour tout A =
ARB ⇔ il existe λ 6= 0 ∈ C tel que A = λB.
a b
∈ GL2 (C), on associe
c d
fA (z) =
az + b
.
cz + d
Montrer que ceci définit une bijection entre l’ensemble des transformations Möbius et
l’ensemble de classes d’équivalences, qu’on note P GL2 (C).