TD1 PSI Enoncé Banc hydraulique Rappel sup 2014

RESOUDRE
Réponses temporelles et fréquentielles
MODELISER
des Systèmes Linéaires Continus Invariants (rappel année 1)
SLCI
TD
PSI 1/6
N’imprimez pas ce document, il vous sera remis à la rentrée.
L’exploitation des courbes s’effectuera à partir de l’écran.
Soyez précis, clair et concis dans votre rédaction.
ETUDE 1 : BANC D’EPREUVE POUR TUBES HYDRAULIQUES
1. PRESENTATION
Vallourec & Mannesmann Tubes (V&M Tubes), entreprise du groupe Vallourec, est le leader mondial dans
la production de tubes en acier sans soudure laminés à chaud. Ces tubes sans soudure en acier couvrent
une très large gamme tant sur le plan dimensionnel que dans la nature des matériaux. Ces tubes sont
employés dans des applications très diverses comme la ventilation et la climatisation.
Le site de V&M Tubes situé à Aulnoye-Aymeries produit des tubes de diamètre 114 mm à 508 mm pour
des longueurs variant de 4,40 à 14,20 m. Il possède un banc spécifique de test de pression hydraulique
pour valider la qualité des produits finis exigée par certains clients. Ce banc fait l’objet de cette étude.
2. DESCRIPTION DU BANC D’EPREUVE
Afin de valider la caractéristique de tenue en pression des tubes, ceux-ci sont soumis à une pression
hydraulique donnée durant un temps spécifié, dépendant de la taille des tubes et de leur utilisation.
Les performances attendues par le cahier des charges sont exprimées par le tableau ci-dessous :
Fonctions
Fp1
Tester un tube de dimensions
variables par injection d’eau sous
pression durant un temps imposé
Régler le seuil de pression
Fc1
Fc2
S’intégrer en fin de chaîne de
production des tubes
Critères
Niveaux
Diamètre du tube :
Longueur du tube :
de 110 mm à 420 mm
de 4,4 m à 14,2 m
Consigne :
Temps d’établissement :
Dépassement :
Erreur statique :
Vitesse de déplacement du tube :
de 100 à 820 bars
< 40 s
aucun
<5%
Limitée à 80 mm/s
3. ANALYSE DE LA FONCTION TECHNIQUE « METTRE LE TUBE SOUS PRESSION »
La finalité de la mise sous pression est de vérifier la résistance du tube pour une pression maximale. Le
cahier des charges impose un écart statique en pression inférieur à 5% et aucun dépassement.
Objectifs de cette partie 3 : Modéliser le système de mise sous pression puis étudier les réponses
obtenues afin de vérifier le respect du cahier des charges. Proposer des modifications de la commande
pour pallier les écarts observés.
Le schéma hydraulique simplifié est donné Figure 3 :
Page 8 sur 8
Pr
Ph
Pompe
(a)
Distributeur
hydraulique (c)
h
u
i
l
e
eau
Multiplicateur
de pression
huile/eau (d)
Pe
Outillage avant
mobile (e)
Uc
Régulateur de
pression (b)





Tube
Figure 3
Le fluide injecté dans le tube est de l’eau sous pression.
Dans un premier temps, l’opérateur règle la tension consigne Uc de mise sous pression par
l’intermédiaire d’un potentiomètre (non représenté), une plage de tension de 0 à 2,5V
correspondant à une consigne de pression d’eau comprise entre 0 et 1000 bars.
La pompe (a) fournit de l’huile dont la pression est réglée par un régulateur de pression (b) piloté
par cette tension consigne Uc.
Un distributeur hydraulique (c) pilote la montée d’un multiplicateur de pression huile/eau (d) ;
Ph désigne la pression d’huile en entrée et Pe la pression d’eau en sortie.
L’eau est injectée par l’outillage avant (e) dans le tube. Sa pression est mesurée par un capteur de
pression de gain Kcap = 2,5.10-3 V/bars (non représenté).
3.1. Mise en place du modèle
3.1.1. Modélisation de la distribution d’huile
Modélisation de l’ensemble {pompe + régulateur de pression}
On négligera, dans un premier temps, le temps de réponse de cet ensemble face à la dynamique du
distributeur, du multiplicateur de pression et de l’outillage avant de mise sous pression. On supposera
donc que la pression en sortie du régulateur est constante, égale à Pr.
Modélisation du distributeur hydraulique
Le distributeur hydraulique fournit un débit d’huile défini par l’équation :
(1)
√
avec Kr constante en m3.Pa-1/2.
avec : Pr(t) : pression en entrée du distributeur (sortie du régulateur)
Ph(t) : pression en sortie du distributeur
Page 8 sur 8
3.1.2. Modélisation du multiplicateur de pression huile/eau
Le multiplicateur, représenté Figure 4, se compose d’un
piston, de masse M, en translation par rapport au bâti,
séparant les chambres Ce et Ch comportant
respectivement de l’eau et de l’huile sous pression :
On note :
 Qe(t) le débit volumique d’eau en sortie du
multiplicateur
 Qh(t) le débit volumique d’huile en entrée du
multiplicateur
 Pe(t) la pression d’eau dans Ce
 Ph(t) la pression d’huile dans Ch
 z(t)
la position du piston
 Ve(t) le volume de Ce
 Vh(t) le volume de Ch
 g
l’accélération de pesanteur
 ⃗
le vecteur vertical unitaire ascendant
Pe(t)
Ve(t)
Se
Piston
(3)
M
𝑧⃗
Les équations du débit sont :
(2)
Chambre Ce
Qe(t)
Sh
z(t)
Chambre Ch
Ph(t) Vh(t)
Qh(t)
Figure 4
Données numériques :
Se :
section du piston dans la chambre Ce = 397,6.10-4m²
Sh :
section du piston dans la chambre Ch = 1288,25.10-4m²
Be :
module de compressibilité de l’eau = 2.109 Pa
Bh :
module de compressibilité de l’huile = 109 Pa
M:
masse du piston = 668 kg
f:
coefficient de frottement visqueux = 106 N/m/s
Ve0 : volume initial de la chambre Ce = 1,2.10-2 m3
Vh0 : volume initial de la chambre Ch = 3,8.10-2 m3
L’application du théorème de la résultante dynamique selon ⃗⃗ sur le piston du multiplicateur conduit à
l’équation du mouvement suivant :
(4) M  z  t   Sh  ph  t   Se  pe  t   M  g  f  z t 
Page 8 sur 8
3.1.3. Modélisation du chariot avant
Le chariot avant comporte (Figure 5) :
 la traverse, mise en position par un vérin hydraulique avant la mise sous pression du tube. Durant
toute la durée de l’épreuve, on supposera que la traverse est immobile par rapport au bâti.
 un équipage mobile sur lequel est monté l’outillage, en translation rectiligne par rapport à la
traverse.
Tube
Ft(t)
Sa
Equipage mobile
Sb
Pe(t)
Pe(t)
L(t)
m
Traverse avant
OUTILLAGE
TUBE TESTE
Figure 5
On note :
 L(t)
 Vt(t)
 Ft(t)
la position de l’équipage mobile repérée par rapport à sa position initiale
le volume du tube
l’effort du tube sur l’équipage mobile, avec Ft(t) = - r.L(t)
On néglige les variations de volume du tube dues à ses déformations. L’équation du débit s’écrit alors :
(5)
Données numériques :
 Sa et Sb :




m
f’
Vt
r
:
:
:
:
sections de l’équipage mobile côté tube et côté opposé au tube,
Sa -Sb = 1,88.10-3 m²
masse de l’ensemble mobile = 25 kg
coefficient de frottement visqueux = 10 N/m/s
le volume du tube = 1,34 m3
le tube est assimilé à un ressort de raideur = 5.108 N/m
L’application du théorème de la résultante dynamique selon l’axe du tube sur le piston du multiplicateur
conduit à l’équation du mouvement :
(6)
̈
̇
Question 1
Les conditions initiales étant supposées nulles, transposer les équations (2) à (6) dans le
domaine de Laplace. Attention : la transformée de Laplace du poids Mg, perçu comme une perturbation
échelon, sera :
Page 8 sur 8
3.1.4. Modélisation de l’ensemble
Question 2
Reporter et compléter sur copie le schéma bloc (dernière page) de l’ensemble (sans le
distributeur hydraulique), l’entrée étant la pression d’huile régulée Pr(p) et la sortie la pression
d’épreuve dans le tube Pe(p).
La Figure 6 représente la réponse de l’ensemble de mise sous pression pour un échelon de 250 bars :
Pr : pression d’huile en sortie régulateur, Ph : pression d’huile dans le distributeur, Pe : pression d’eau dans le tube.
Pression d’eau dans le tube : Pe
Pe
Ph
On suppose que la
courbe Pe a rejoint
son asymptote.
Pr
(bars)
250 bars
Pression d’huile en sortie régulateur : Pr
Pression d’huile en entrée multiplicateur : Ph
On suppose que la
courbe Ph a rejoint
son asymptote.
Figure 6
Question 3
A partir de ces réponses temporelles, proposer une expression numérique des fonctions
de transfert Ph(p)/Pr(p), Pe(p)/Pr(p). Justifier vos valeurs numériques pour les gains et constantes de
temps. Dans la mesure où plusieurs options s’offrent à vous, vous utiliserez obligatoirement T5%.
De nombreuses fuites au niveau de l’outillage avant influent sur la réponse. A cause de ces fuites, le débit
d’eau en entrée du tube est Q’e(t) = Qe(t)-Qe , Qe étant le débit de fuite, supposé constant.
La figure 7 représente la réponse de l’ensemble de mise sous pression à un échelon de 250 bars avec fuite
d’eau à partir de 35 s. Le débit de fuite (échelon) est égal à Qe = 2.10-3 m3/s.
Figure 7
Page 8 sur 8
Question 4
A partir de ces réponses temporelles, proposer une expression numérique de la fonction
de transfert en régulation Pe(p)/Qe(p).
3.2. Mise en place d’un asservissement en pression
Pour limiter l’erreur statique due aux fuites, on envisage d’asservir la pression d’eau dans le tube.
L’objectif est ici de proposer un réglage du correcteur pour répondre aux critères du cahier des charges.
La pression d’eau à l’intérieur du tube est mesurée par un capteur de pression. Le schéma bloc de
l’asservissement est défini Figure 8 :
Hfui(p)
Qe(p)
Pcon(p)
Kcap
+
(p)
C(p)
Uc(p)
Hpom(p)
Pr(p) Hpre(p)
-
Um(p)
Correcteur
Pompe + Régulateur
de pression
Kcap
+
Pe(p)
-
Distributeur +
Multiplicateur + tube
Capteur
Pcon(p) :
Pe(p) :
Uc(p) :
Pr(p) :
Qe(p) :
Um(p) :
Figure 8
pression de consigne d’eau dans le tube (Pa)
pression d’eau dans le tube (Pa)
tension de commande du régulateur de pression (V)
pression d’huile régulée (Pa)
débit de fuite (m3/s)
tension de mesure du capteur (V)
Hypothèses :
 Quels que soient les résultats précédents, l’ensemble de mise sous pression
{tube + distributeur + multiplicateur de pression} est défini par les transmittances suivantes :
et

Avec
= 3,24 ;
= 2,55.1010 Pa/(m3/s) ;
T1 = 10 s
L’ensemble {pompe+régulateur de pression} est modélisé par la fonction de transfert :
avec

T2 = 5 s
= 1,234.107 Pa/V;
Le capteur est modélisé par un gain pur :
Kcap = 2,5.10 V/Pa
-8
La pression de consigne est de Pcon = 800 bars et les débits de fuite sont estimés à Qe = 5.10-4 m3/s.
On rappelle que le cahier des charges concernant le réglage de la pression de test est le suivant :
Rapidité :
temps d’établissement te < 40 s
Précision :
erreur statique < 5% soit pour une consigne de 800 bars :
erreur statique relative due à la consigne : con < 5%
erreur statique due à la perturbation pert < 40 bars
Amortissement : pas de dépassement
On envisage tout d’abord un correcteur de type proportionnel :
Page 8 sur 8
Question 5
Analyse de la précision si le débit de fuite est nul :
a. Déterminer la transmittance manquante du schéma bloc ci-dessous afin d’obtenir l’équivalence
avec le schéma bloc de la figure 8, lorsque le débit de fuite est nul.
ϵcon
co
Figure 9
b. Après avoir exprimé con en fonction de Pcon et des transmittances (schéma ci-dessus), utiliser le
théorème de la valeur finale pour déterminer con (définie comme l’erreur statique relative) en
fonction de Kp pour une entrée consigne Pcon de type échelon unitaire. Le débit de fuite étant
toujours nul.
c. Proposer un réglage chiffré de Kp pour limiter con à la valeur spécifiée dans le cahier des
charges.
Question 6
Analyse de la précision si la consigne de pression Pcon est nulle :
a- Le débit de fuite n’est plus nul mais la consigne de pression devient nulle. A partir du schéma
bloc de la figure 8 modifié selon ces nouvelles données, déterminer en fonction de Kp la
fonction de transfert en régulation définie par
(7)
On définit pert (sortie du sommateur) comme l’erreur statique dans le cas où la consigne de
pression est nulle. Après avoir remarqué que pert = Pe(p), en déduire pert en fonction de Kp ,
pour une perturbation Qe de type échelon.
b- Proposer un réglage chiffré de Kp pour limiter pert à la valeur spécifiée au cahier des charges.
Question 7
On se replace dans le cas d’un débit de fuite nul. A partir du schéma de la figure 9,
proposer un réglage de Kp pour vérifier le critère d’amortissement du cahier des charges (conseil :
commencer par exprimer
Pe  p 
sous forme canonique)
Pcon  p 
On se propose de corriger le système avec le correcteur défini sur le schéma bloc ci-dessous :
Ki/p
(p)
Kp
+
+
Uc(p)
Question 8
Analyse de ce nouveau correcteur
a. Déterminer la fonction de transfert C(p) de ce correcteur.
b. Tracer l’allure de son diagramme de Bode en fonction des coefficients Ki et Kp (sans valeur
numérique mais ces données apparaitront sur les diagrammes).
Page 8 sur 8
REPONSE A LA QUESTION 2
Pr(p)
+
-
Distributeur
hydraulique
Pe(p)
Z(p)
Qh(p)
+
-
Ph(p)
+
-
-
Mg/p
+
-
Qe(p)
+
-
L(p)
Page 8 sur 8