I- La propulsion par réaction : conservation de la quantité de

CORRECTION Chapitre 11 : Quantité de mouvement, travail, énergie … une histoire de
conservation
Jusque là, nous avons étudié la mécanique newtonienne, la description du mouvement en
termes de quantité de mouvement. C'était le formalisme théorique incontesté aux 18ème et
19ème siècles. Mais au cours du 19ème, une alternative puissante, basée sur la notion
d'énergie, a commencé à se développer et l'une des grandes réalisations théoriques de ce
siècle a été la formulation de la loi de conservation de l'énergie. Au vingtième siècle, après la
formulation de la théorie de la relativité, il est devenu clair que la quantité de mouvement et
l'énergie sont deux grandeurs complémentaires enracinées dans la nature même de l'espace et
du temps.
I- La propulsion par réaction : conservation de la quantité de mouvement :
1- Expérience de cours : le lance patate :
a- Réaliser un schéma de l'expérience et noter les observations.
Observation : voiture à l'arrêt au début, lorsque la patate est lancée la voiture recule. On
remarque que la patate est plus lourde que la voiture et la voiture a une vitesse 2 fois plus
importante …
Le système considéré est {catapulte+patate}. Ce système est isolé, c'est à dire que la somme
des forces extérieures est nulle.
b- A partir de la deuxième loi de Newton, énoncer le principe de conservation de la quantité de
mouvement.
d ⃗p
dt
Si un système est isolé, sa quantité de mouvement se conserve.
2ème loi :
∑ F⃗ext = ddt⃗p
ici somme des forces = 0 d'où :
0=
c- Réaliser un bilan de quantité de mouvement : quantité de mouvement du système avant le
lancé ? Quantité de mouvement du système après le lancé ?
Dans notre cas : avant le lancé : ⃗p =⃗0 (système voiture+patate à l'arrêt)
Après le lancé : ⃗p =mc v⃗c +m p v⃗p
7
d- En déduire la relation entre la vitesse de la catapulte après lancé (v C), la vitesse de la patate
(vP), la masse de la patate (mP) et la masse de la catapulte (mC).
Comme la quantité de mouvement se conserve, qté de mvt initiale = qté de mvt après lancé :
⃗0=mc v⃗c +m p v⃗p → v⃗c = −m p v⃗P
mc
e- Retrouve-t-on les observations faites lors de l'expérience avec le principe de conservation de
l'énergie ?
On retrouve bien le fait que :
→ le vecteur vitesse de la voiture est opposé à celui de la patate : les deux partent à l'opposé
→ si m p =2 mC alors la vitesse de la catapulte est le double de celle de la patate.
2- Application du principe de conservation de la quantité de mouvement :
Parée au décollage ...(d'après Bac Amérique du Nord 2013)
Le 23 mars 2012, un lanceur Ariane 5 a décollé du port spatial de l'Europe à Kourou (Guyane),
emportant à son bord le véhicule de transfert automatique (ATV) qui permet de ravitailler la
station spatiale internationale (ISS).
Au moment du décollage, la masse de la fusée est égale à 7,8x10 2 tonnes, dont environ 3,5
tonnes de cargaison : ergols, oxygène, air, eau potable, équipements scientifiques, vivres et
vêtements pour l'équipage à bord de l'ATV.
On se propose d'étudier le décollage de la fusée.
Pour ce faire, on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. A la date t=0s, le
système est immobile. A t=1s, la fusée a éjecté une masse de gaz notée m g, à la vitesse v⃗g .
Sa masse est alors notée mf et sa vitesse v⃗f .
Données :
Intensité de la pesanteur à Kourou : g=9,78N.kg-1
Débit d'éjection des gaz au décollage : D = 2,9.103kg.s-1
Vitesse d'éjection des gaz au décollage : vg = 4,0km.s-1
2.1- Modèle simplifié du décollage :
Dans ce modèle simplifié, on suppose que le système {fusée+gaz} est isolé.
a- En comparant la quantité de mouvement du système considéré aux dates t=0s et t=1s,
montrer que :
−m g
v⃗f =
v⃗
mf g
Quelle est la conséquence de l'éjection de ces gaz sur le mouvement de la fusée ?
A t=0s :
A t=1s :
⃗p =⃗0
⃗p =m g v⃗g +m f v⃗f
Conservation de la quantité de mouvement :
d'où :
v⃗f =
⃗0=mg v⃗g +m f v⃗f
−m g
v⃗
mf g
8
Les gaz sont éjectés vers le bas, verticalement. Comme le vecteur vitesse de la fusée est
opposé à celui des gaz, la fusée s'élève verticalement vers le haut.
b- Après avoir montré numériquement que la variation de la masse de la fusée est négligeable
au bout d'une seconde après le décollage, calculer la valeur de la vitesse de la fusée à cet
instant.
La variation de la masse de gaz en 1s correspond à la masse de gaz éjectée durant ce laps de
temps →
il s'échappe 2,9.103kg en une seconde d'après la valeur du débit.
Δ m=2,9.10 3 kg
pour montrer que c'est négligeable on calcule le rapport :
m 2,9.103
Δ =
=3,71 .10−3 soit une variation de masse de 0,3%, ce qui est bien négligeable.
5
mi 7,8.10
Calcul de la valeur de la vitesse après 1s :
mg
2,9 .103
vf=
v g=
×4,0.10 3=14,8 m.s−1=15 m.s−1
5
mf
7,8.10
2.2- Etude plus réaliste du décollage :
a- En réalité la vitesse vf est très inférieure à celle calculée à la question 2.1.b. Quelle force
n'aurait-on pas dû négliger ?
Le système n'est en réalite pas isolé, il subit le poids qui le ralentit fortement.
On considère désormais le système {fusée}. Il est soumis à son poids
⃗ =−D v⃗g où D est la masse de gaz éjecté par seconde.
F
b- Montre que le produit (D.vg) est homogène à une force.
⃗ définie par
F
D → kg.s-1 ; vg → m.s-1 le produit des deux donne bien kg.m.s -2 donc des N (voir 2nd loi de
Newton)
c- Vérifier par une application numérique que la fusée peut effectivement décoller.
Pour que la fusée décolle il faut que la force de poussée soit supérieure au poids :
⃗
P=m f ⃗g → P=7,8.10 5×9,78=7,6 .106 N
⃗ =−D v⃗g → F =2,9 .103×4,0 .10 3=1,2.10 7 N
F
La fusée peut décoller.
Collision : Astéroïde vs Météorite
Dans le référentiel héliocentrique, un astéroïde, de masse m 1=1,0.103kg, est situé suffisamment
loin de tout corps céleste pour que leur interaction gravitationnelle soit négligeable. Il est heurté
par une météorite de 0,20kg, de vitesse 1,5km.s -1, colinéaire à sa vitesse initiale.
a- Parmi les systèmes
{astéroïde+météorite}
suivants,
lesquels
sont
isolés ?
{astéroïde},
{météorite},
→ astéroïde + météorite
b- En négligeant la masse de la météorite devant celle de l'astéroïde, exprimer la quantité de
mouvement du système, avant et après la collision.
9
Avant la collision : ⃗p =m1 v⃗0+m2 v⃗2
Après collision : ⃗p =(m1+m2 ) v⃗f On néglige m2 par rapport à m1 →
⃗p =m1 v⃗f
c- En déduire la variation de vitesse de l'astéroïde
variation de vitesse : Δ ⃗v = v⃗f – v⃗0
Conservation de la quantité de mouvement :
m1 v⃗f −m1 v⃗0=m2 v⃗2
m1( v⃗f − v⃗0 )=m2 v⃗2
m
Δ ⃗v = 2 v⃗2
m1
Application numérique :
Δ ⃗v =
m 1 v⃗f =m 1 v⃗0+m 2 v⃗2
0,20
×1,5 .103=0,3m.s−1
3
1,0 .10
II- Travail (du travail et encore du travail … ) :
1- Notion de travail :
Nous avons appris que le produit de la force et du temps pendant lequel elle agit est égal à la
variation de la quantité de mouvement (deuxième loi de Newton). Maintenant nous allons voir
que le produit de la force et de la distance sur laquelle elle agit mesure la variation de
l'énergie.
Quand cette idée a été formulée par Gaspard Coriolis en 1829, il l'a appelée travail. Ce mot est
encore employé, bien que les expressions variation mécanique de l'énergie ou le transfert
mécanique de l'énergie seraient plus adaptées.
Le travail est la variation de l'énergie d'un système, due à l'application d'une force, agissant sur
une distance.
⃗ en un point A et un point B : W AB ( F
⃗ ) et son unité est le
On note le travail de la force F
Joule (J).
Dans le cas d'une force constante, pour déterminer le travail, on réalise le produit scalaire de la
force par le vecteur déplacement :
⃗ )= F
⃗ .⃗
W AB ( F
AB
2- Travail d'une force constante :
Etablir l'expression du travail (et sa valeur numérique quand c'est possible) pour les situations
suivantes :
Les déménageurs bretons
Le tire-fesse
(on note d, la distance parcourue par le
skieur)
a- Travail de la tige ?
⃗
⃗ )=T
⃗ . AB=T.d.cos
W AB ( T
β
b- Travail du poids ?
⃗ P d cos(α+90)= P d sin (α)
⃗ )= ⃗
W AB ( P
P . AB=
F=20N , déplacement de 2,0m
c- Travail de la réaction du sol ?
Angle 90° → cos = 0 W AB ( ⃗
R)=0
WAB= F.AB=20 . 2,0=40 J
10
d- Travail des forces de frottements sous
les skis ?
W AB ( ⃗f )= f d cos(180)=− f d
Tableau récapitulatif :
Situation
Valeur de l'angle
0°<α<90 °
α=90°
90°<α<180 °
Signe du travail
positif
Nulle
Négatif
Le travail est dit …
moteur
Ne travaille pas
Résistif
3- Travail du poids :
On choisit pour l'ensemble de l'étude un repère orthonormé Oxyz. L'axe z est l'axe vertical
dirigé vers le haut.
Situation A : Considérons un sauteur en parachute, on s'intéresse à son mouvement avant
ouverture du parachute et lorsque les frottements sont négligeables.
a- Donner l'expression du travail du poids lorsque le sauteur passe d'une altitude z A à une
altitude zB.
W AB ( ⃗
P)=m g AB=m g (z A− z B )
Situation B : On considère maintenant un skieur, de masse m, qui se déplace en ligne droite
d'une point A à un point B sur une piste inclinée de α=40° par rapport à la verticale.
b- Donner l'expression du travail du poids lorsque le skieur passe de A à B en fonction de m, g,
zA et zB.
⃗ P.AB.cos α
⃗ )= ⃗
W AB ( P
P . AB=
Avec un petit dessin :
AB cos α=H = z A – z B
⃗ )=mg ( z A− z B )
d'où W AB ( P
Situation C : Imaginons que le skieur effectue un slalom. On décompose le déplacement selon
les axes x, y , z.
c- Que pouvez-vous dire :
→ du travail du poids selon x ?
→ du travail du poids selon y ?
→ du travail du poids selon z ?
En déduire l'expression du travail du poids du skieur dans cette situation.
On décompose le mouvement selon les 3 axes. Les déplacements selon x et y sont
perpendiculaires au poids, il ne travaille donc pas selon ces 2 axes. Par conséquent le poids ne
⃗ )=mg ( z A− z B )
travaille que selon z, on retrouve l'expression : W AB ( P
Généralisation :
11
Le travail du poids entre un point A et un point B s'exprime :
W AB ( ⃗
P)=mg ( z A −z B )
Le travail du poids ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de l'altitude du point de
départ et de celle du point d'arrivé : on dit que c'est une force conservative.
4- Travail de la force électrique :
Soit deux armatures planes, l'une positive, l'autre négative,
distantes de d, soumises à une tension U PN. Ces armatures
U
⃗
E= PN .
créent un champ électrostatique uniforme
d
Considérons un électron entre ses deux plaques, il se
déplace du point N au point P.
Situation A : le déplacement de l'électron est colinéaire au
champ électrostatique.
→ Compléter le schéma de la situation sur lequel vous
représenterez la force électrostatique exercée sur l'électron.
⃗ =q E
⃗ =−e E
⃗
F
→ Donner l'expression du travail de la force électrostatique en
fonction des données du problème.
⃗ =q d
W AB ( ⃗
F )=q ⃗
E . NP
Situation A
U PN
=q U PN =−e U PN
d
Situation B : le déplacement de l'électron est incliné de 30° par
rapport au champ électrostatique.
→ même question que pour A
la force reste la même :
⃗ )=q ⃗
⃗ =q E NP cos α=q E d
W AB ( F
E . NP
(car
Situation B
NP cos α=d )
Généralisation :
Le travail de la force électrostatique subie par une particule de charge q entre un point A et un
point B est donnée par l'expression :
W AB ( ⃗
F )=qU AB
C'est également une force …conservative
5- Travail de la force de frottements :
Situation A : Un skieur descend une piste de ski en ligne droite.
Situation B : Un skieur descend une piste de ski en faisant un slalom.
a- Pour chaque situation : Réaliser un schéma, sur lequel apparaîtra la force de frottements au
niveau des ski. Donner l'expression du travail de la force de frottements.
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⃗
W AB ( ⃗f )= ⃗f . AB=−
f AB
b- Que pouvez-vous dire du signe de ce travail ? Toujours négatif car f s'oppose au
déplacement.
c- Que pouvez-vous dire de la vitesse du skieur dans la situation B par rapport à la situation A ?
vitesse + faible
d- La force de frottements est-elle une force conservative ? Non elle travaille plus situation B
Pour s'entraîner : ex 7-10 p 198
D'après sa définition, un travail correspond donc à un transfert d'énergie, mais que devient-elle
cette énergie ?
III- Comment s'effectuent les transferts énergétiques ?
1- L'énergie :
« Il est important de réaliser que, dans a physique d'aujourd'hui, nous n'avons aucune
connaissance de ce que l'énergie est. » R.P. Feynman, Prix Nobel de Physique 1965
L'énergie est une propriété de toute matière et elle est observée indirectement par des
variations de vitesse, de masse, de position et ainsi de suite.
Nous achetons de l'énergie électrique, produite par l'énergie nucléaire dans les centrale. Nous
utilisons de l'énergie chimique de la nourriture pour vivre et des carburants pour nous déplacer.
Les ressorts emmagasinent de l'énergie élastique, les gouttes de pluie tombent parce qu'elles
ont une énergie potentielle de pesanteur, sans oublier que vous ne vous précipitez pas devant
un camion car il risque de vous écraser avec son énergie cinétique...
2- Les énergies à connaître :
● L'énergie potentielle de pesanteur :
La variation d'énergie potentiel Ep associée à la force conservative ⃗
P subie par un système
se déplaçant d'un point A à un point B est égale à l'opposé du travail de la force ⃗
P :
⃗
Δ E p =E p ( B)− E p ( A)=−W AB ( P)
→ A partir de cette définition et de l'expression du travail du poids établir l'expression de
l'énergie potentiel de pesanteur.
⃗ )=mg z B −mg z A
Δ E p =E p ( B)−E p ( A)=−W AB ( P
par identification il vient :
E P ( B)=mg z B
et
E P ( A)=mgz A
● L'énergie potentielle électrique : La définition est similaire à celle de l'énergie potentielle de
pesanteur. On introduit le potentiel électrique : UAB=VA-VB.
→ Déterminer l'expression de l'énergie potentiel électrique.
⃗ )=−q U AB=qV B – qV A
Même principe : Δ E e =E e (B) – E e ( A)=−W AB ( F
par identification : E e ( B)=q v B
Tableau récapitulatif :
Energie potentielle de
Energie potentielle
Energie cinétique
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Energie mécanique
pesanteur
électrique
d'un système
E e ( A)=q v A
E P ( A)=mgz A
1
E C= m v2
2
E m =E p+ E e+ E c
en pratique on a pas
électrique :
E m =E p+ E C
3- La conservation de l'énergie mécanique :
« Comme nous ne pouvons pas donner une définition générale de l'énergie, le principe de
conservation de l'énergie veut dire simplement qu'il y a quelque chose qui reste constant.
Quelles que soient les nouvelles notions que des expériences futures peuvent nous donner,
nous savons d'avance qu'il y aura toujours quelque chose qui reste constant et que nous
pourrons appeler énergie . » Henri Poincaré (1854-1912)
L'énergie mécanique est la somme de ses énergies potentielle et cinétique :
Em=Ep+Ec
En l'absence de frottements ou lorsqu'ils restent négligeables, les variations d'énergie
potentielle compensent les variations d'énergie cinétique : il y a conservation de l'énergie
mécanique du système.
Applications :
Jet d'eau de Genève :
Le célèbre jet d'eau de Genève à une vitesse d'éjection de 200km/h. Quelle
est la hauteur du jet d'eau si on néglige les frottements?
Conversion de la vitesse en m/s : v = 55,6m.s-1
Bilan des énergies à l'instant initial (l'eau sort du robinet) et final (l'eau est au
sommet) :
Energie
Ep
Ec
Em = E p + E c
Instant initial
Instant final
1
E c= m v 2
2
0
E p =m g z max
0
1
E mi = m v 2
2
E mf =m g z max
L'énergie mécanique se conserve car on néglige les frottements : E mi = Emf d'où
v 2 55,62
1
m v 2=mgz max soit z max= =
=157,7 m (en réalité il monte à 140m … )
2
2g 2.9,8
L'exploit de Félix Baumgartner
Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner a réalisé l'exploit de passer
le mur du saut en sautant d'une nacelle à une altitude H=39 000m.
On néglige les différents frottements.
a- Déterminer la vitesse du sauteur lorsqu'il se trouve à une altitude
h=20 000m.
b- La vitesse maximale atteinte en réalité est de 1341 km/h.
Comment expliquer cette différence ?
14
Energie
Ep
Instant initial (à
zi=39000m)
E pi =mgz i
Instant final (à zf =
20000m)
E pf =m g z f
Conservation de l'Em :
1
m g z f + m v 2=m g z i d'où
2
Ec
Em = E p + E c
0
E mi =mgz i
1
E ci = m v 2
2
1
E mf =m g z f + m v 2
2
v=√2 g ( z 0− z f )=610m.s −1
En réalité il a atteint 1341km/H, soit 372,5 m/s → la différence s'expliquer par les frottements.
4- Non conservation de l'énergie mécanique :
Lorsqu'un système est soumis à des forces non conservatives qui travaillent, son énergie
mécanique ne se conserve pas. Dans ce cas la variation de l'énergie mécanique est égale au
travail des forces non conservatives.
Les forces non conservatives que nous rencontrerons en TS sont les forces de frottements, on
dit que ce sont des forces dissipatives, car elles dissipent l'énergie mécaniques.
a- Henri Poincaré se serait-il trompé ? Expliquer pourquoi la dissipation de l'énergie mécanique
par les frottements n'est pas en contradiction avec la citation de Poincaré.
L'énergie du système diminue, l'énergie est transformée en énergie thermique. Certes le
système perd de l'énergie, mais l'énergie de l'Univers reste conservée. Poincaré ne s'est pas
trompé.
b- Déterminer le signe de la variation de l'énergie mécanique. Le signe est-il en accord avec
l'évolution de l'énergie mécanique lorsqu'il y a des frottements ?
le travail des forces de frottements est négatif, donc la variation d'énergie
Δ E m =W ( ⃗f )
mécanique du système est négative, cela rejoint l'idée que Em diminue.
Application : Lob au tennis
Lors d'un lob au tennis, un joueur tape dans le balle de masse m=55g, à une hauteur h=1,0m
du sol, en lui donnant une vitesse de valeur v 0=12m.s-1 et inclinée d'un angle α=45° par rapport
à l'horizontale.
La coordonnée horizontale de la vitesse de la balle est constante au cours du mouvement et
vaut v 0x =v 0 cos α par rapport à l'horizontale.
La force de frottements de l'air et la poussée d'Archimède sont négligées dans un premier
temps.
a- L'énergie mécanique est-elle constante au cours du mouvement.
Dans une premier temps on néglige les frottements, donc le système est soumis uniquement à
des forces conservatives, Em est conservé. On va pouvoir appliqué le principe de la
conservation de l'Em (Youpi!)
b- Déterminer l'altitude maximale atteinte par la balle (en ce point, la coordonnée verticale du
vecteur ⃗v est nulle.)
On note
v 0z =v 0 sin α
la composante verticale de la vitesse à l'instant initial et vz la
15
composante à un instant quelconque.
Bilan énergétique selon l'axe z vertical :
Energie
Instant initial : la balle
quitte la raquette
v 0z =v 0 sin α
z i =h=1,0 m
Instant final : balle au
sommet (à zfs= ? et
v0s=0m/s)
Ep
Ec
Em = E p + E c
E pi =mgz i
1
E ci = m v 2z0
2
1
E mi =mgz i + m v 2z0
2
E ps =m g z s
E cf =0
E ms =m g z s
Conservation de l'Em :
1
1
1
mgz i + m v 2z0=m g z s d'où z s = z i + v 2z0 = z i + (v 0 sin α)2
2
2g
2g
Application numérique : zf=4,7m
c- Déterminer la vitesse v de la balle quand elle touche le sol.
On fait le bilan entre le moment où la balle est au sommet et quand elle touche le sol :
Energie
Ep
Ec
Em = E p + E c
Instant initial : balle au
sommet
v=0 m.s−1
z s =4,7 m
E ps =mgz s
E cs =0
E ms =mgz s
Instant final : balle au
sol (à zsol = 0m et
vzsol= ?m/s)
E psol =0
1
E cf = m v 2zsol
2
1
E mf = m v 2zsol
2
Conservation de l'Em :
1
m v 2zsol =mg z s soit :
2
v zsol =√2 g z s Application numérique : vzsol =9,6m
donc la vitesse au sol est : pythagore 12,8
d- En réalité, cette vitesse vaut v=10m.s -1. Quelle force est responsable de cette différence ?
Calculer alors le travail de cette force lors du lob.
Travail forces de frottements = variation de l'énergie mécanique :
−1
1
−1
W ( ⃗f )=Δ E m=
m v 2zsol + m v 2=
m(vz 2sol – v 2)
2
2
2
16