2,5 pts - maths peyramale

1S
DEVOIR SURVEILLE no 5
Exercice 1 (2,5 pts)
1. u12 = u2 + 10r
50 = 20 + 10r
10r = 50 − 20 = 30
r=3
Calculons d’abord u20 .
u20 = u2 + 18r = 20 + 18 × 3 = 74
S = u2 + u3 + . . . + u20 = 19
!
!
20 + 74
u2 + u20
= 19
= 893.
2
2
2. Calculons d’abord v5 .
v5 = v0 × q5 = 1 × 25 = 32
S′ = v5 + v6 + . . . + v20 = v5 ×
1 − q16
1 − 216
= 32 ×
= 2097120.
1−q
1−2
Exercice 2 (5,5 pts)
La suite u est définie par u0 = 7 et pour tout entier naturel n, un+1 =
1.
a. u1 =
u2 =
2un + 6
.
5
2u0 + 6 2 × 7 + 6
=
=4
5
5
2u1 + 6 2 × 4 + 6 14
=
= .
5
5
5
b. u1 − u0 = 4 − 7 = −3 et u2 − u1 =
14
−6
−4=
.
5
5
Comme u2 − u1 , u1 − u0 alors la suite u n’est pas arithmétique.
u1 4
=
u0 7
14
u2
7
= 5 =
u1
4
10
Comme
u2 u1
,
alors la suite u n’est pas géométrique.
u1 u0
2. On considère la suite v telle que pour tout entier naturel n, vn = un − 2.
vn+1 un+1 − 2
a.
=
=
vn
un − 2
2un + 6
2un + 6 − 10 2un − 4
−2
un✘
−✘
2)
1
2
5
5
5 = 2(✘
=
=
×
= .
✘
✘
un − 2
un − 2
un − 2
5
un − 2 5
✘
La suite v est géométrique de raison
2
et de premier terme v0 = u0 − 2 = 7 − 2 = 5.
5
!n
2
b. vn = vo
= 5×
5
!n
2
+2
c. un = vn + 2 = 5 ×
5
× qn
Exercice 3 (3,5 pts)
Le radium 266 est un corps radioactif dont 0,04 % des atomes se désintègrent chaque année.
correction
1. Chaque année le nombre d’atomes baisse de 0,04 %.
Le coefficient multiplicateur est 1 −
0, 04
= 0, 9996.
100
En janvier 2011, le nombre de moles est de : 10 × 0, 9996 = 9, 996.
En janvier 2012, le nombre de moles est de : 9, 996 × 0, 9996 ≈ 9, 992.
2. Soit un le nombre de moles de radium 266 que contient l’objet en janvier 2010 + n.
a. Il s’agit d’une suite géométrique de raison 0, 9996 et de premier terme u0 = 10.
b. un = u0 × qn = 10 × 0, 9996n .
c. u5 = 10 × 0, 99965 ≈ 9, 98.
3. On cherche n tel que un < 5.
Avec la calculatrice, on trouve en étant patient et persévérant : u1732 ≈ 5, 001 et u1733 ≈ 4, 999.
La période du radium 266 est de 1733 ans.
Exercice 4 (2,5 pts)
Pour chacune des questions de ce QCM, une ou plusieurs propositions sont exactes. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0, 5 point . Une réponse inexacte enlève 0, 5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun
point.
1. Soit la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un − n − 2.
A. u5 = 2u4 − 7
B. u5 = 2u4 − 6
C. u2 = −7
D. u3 = −10
Réponses : B et D
2. Soit (un ) la suite définie par un = 3n2 − n + 1.
A. un+1 = 3n2 + 5n + 5
B. un+1 = 3n2 − 2n + 4
C. un+1 = 3n2 + 5n + 3
D. un+1 = 9n2 + 11n + 9
Réponse : C
3. Soit (un ) la suite géométrique de raison -2 telle que u4 = −10.
A. u1 = 80
B. u1 = 5/4
C. u1 = −5/4
D. u1 = −4
Réponse : B
4. Soit (un ) la suite définie sur N par u0 = 5 et un+1 = 4un − 3.
A. la suite est définie de B. la suite est arithmé- C. un+2 = 16un + 9
façon explicite
tique
Réponse : D
D. un+2 = 16un − 15
Exercice 5 (5 pts)
Une urne contient 2 billes vertes et 8 billes rouges, toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste pour un joueur à effectuer 2 tirages successifs avec remise d’une bille de l’urne. A la fin d’une partie,
si le joueur a tiré 2 billes vertes, il gagne un lecteur MP3. S’il a tiré une bille verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne
gagne rien.
1. La probabilité de tirer une bille verte est :
2 1
= .
10 5
La probabilité de tirer une bille rouge est :
8 4
= .
10 5
V
1/5
V
4/5
1/5
R
V
4/5
1/5
R
4/5
R
Pour gagner un lecteur MP3, il faut tirer une bille verte puis encore une bille verte.
La probabilité est : p =
1 1 1
× =
= 0, 04.
5 5 25
2. 2 chemins correspondent à l’événement « gagner un ours en peluche ».
1 4
La probabilité de gagner un ours en peluche est : p = 2 × × = 0, 32.
5 5
3. Vingt personnes jouent chacune une partie. On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de personnes qui
gagnent un lecteur MP3.
a. Pour chaque partie, il n’y a que 2 issues possibles : gagner un lecteur MP3 (succès de probabilité 0,04) ou non
(échec de probabilité 0,96).
On répète cette expérience 20 fois dans les mêmes conditions.
La variable aléatoire X qui indique le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres n = 20 et
p = 0, 04.
b. P(X = 2) =
!
20
× 0, 042 × (1 − 0, 04)18 = 190 × 0, 042 × 0, 9618 ≈ 0, 146.
2
La probabilité pour que 2 personnes gagnent un lecteur MP3 est de 0,146.
c. L’événement contraire est : aucune personne ne gagne un lecteur MP3.
p = 1 − 0, 9620 ≈ 0, 558.
La probabilité pour qu’au moins une personne gagne un lecteur MP3 est de 0,558.
Exercice 6 (1 pt)
Calculer en expliquant la somme des 2010 premiers entiers naturels.
Il s’agit de la somme des termes d’une suite aritmétique de raison 1 et de premier 0.
Le dernier terme de cette somme est 2009 (attention).
!
0 + 2009
= 2019045.
S = 0 + 1 + 2 + . . . + 2009 = 2010 ×
2