Grec - SMAI

Limite de diffusion de l’équation de Boltzmann
pour un mélange gazeux
Bérénice Grec
24 mai 2011 – SMAI 2011
En collaboration avec L. Boudin, F. Salvarani
1. Modèles de diffusion
2. Modélisation cinétique
3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Plan de l’exposé
1
Modèles de diffusion pour les mélanges gazeux
2
Modélisation cinétique
3
Limite de diffusion
4
Propriétés du modèle limite
:
Bérénice Grec
Limite de diffusion de l’éq. de Boltzmann pour un mélange gazeux
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1. Modèles de diffusion
2. Modélisation cinétique
3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Equations de Maxwell-Stefan
I
Mélange de plusieurs espèces (deux ou plus) dans Ω ⊂ R3 ouvert borné
I
Espèce i : concentration ci , fraction molaire ξi , flux molaire Ni
I
Système fermé et régime purement diffusif ⇒ diffusion équimolaire :
X
X
Ni = 0 et ctot :=
ci constante
i
i
I
Système fermé ⇒ Ni |∂Ω = 0
I
Conservation de la masse ∂t ξi + ∇x · Ni = 0
I
Loi de Maxwell-Stefan
−∇x ξi =
I
1 X ξj Ni − ξi Nj
,
ctot
Dij
À comparer avec la loi de Fick
−Di ∇x ξi = Ni ,
j6=i
Dij coeff. de diffusion binaires
:
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Di coeff. de diffusion effectifs
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3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Dérivation en 1D
R. Krishna, J.A. Wesselingh. Chem. Eng. Sci. 52, 1997
I
Hypothèse de gaz parfaits : pi = RTci
I
Équilibre entre forces de pression et de friction
I
I
I
RT
∂x ci
ci
RT
ξj (ui − uj )
Force de friction molaire de l’espèce j sur i :
Dij
Relation d’équilibre
X 1
1
− ∂x ci =
ξj (ui − uj )
ci
Dij
Force de pression molaire de l’espèce i : −
j6=i
I
Régime purement diffusif
I
:
Lien flux / vitesse molaire : Ni = ci ui
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2. Modélisation cinétique
3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Plan de l’exposé
1
Modèles de diffusion pour les mélanges gazeux
2
Modélisation cinétique
3
Limite de diffusion
4
Propriétés du modèle limite
:
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Modélisation cinétique
I
Mélange gazeux sans réaction chimique
I
Interactions mécaniques uniquement
I
Fonction de densité de nombre normalisée fi (t, x , v ), t ≥ 0, x , v ∈ Rd .
I
Concentrations et fractions molaires égales : ctot = 1
R
Fraction molaire ξi (t, x ) = v ∈Rd fi (t, x , v ) dv
I
I
Collisions microscopiques : (mi , v ), (mj , v∗ ) 7→ (mi , v 0 ), (mj , v∗0 ),
obtenues par conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie
1
(mi v + mj v∗ + mj |v − v∗ | ω)
mi + mj
1
v∗0 =
(mi v + mj v∗ − mi |v − v∗ | ω)
mi + mj
v0 =
avec mi : masse d’une molécule de l’espèce i et ω ∈ Sd−1 .
:
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2. Modélisation cinétique
3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Noyaux de collision
I
Noyaux mono-espèces
Z
Z
Qim (f , f )(v ) =
Bi (v , v∗ , ω) [f (v 0 )f (v∗0 ) − f (v )f (v∗ )] dv∗ dω
v∗ ∈Rd ω∈Sd−1
Hyp. de microréversibilité sur les sections efficaces :
Bi (v , v∗ , ω) = Bi (v∗ , v , ω) = Bi (v 0 , v∗0 , ω)
I
Noyaux bi-espèces i =
6 j
Z
Z
Qijb (f , g)(v ) =
Bij (v , v∗ , ω) [f (v 0 )g(v∗0 ) − f (v )g(v∗ )] dv∗ dω
v∗ ∈Rd ω∈Sd−1
Hyp. de microréversibilité : Bij (v , v∗ , ω) = Bji (v∗ , v , ω) = Bij (v 0 , v∗0 , ω)
:
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Forme faible des noyaux de collision
I
Z
Noyaux mono-espèces
Qim (f , f )(v ) ψ(v ) dv =
ZZZ
f (v )f (v∗ ) [ψ 0 + ψ∗0 − ψ − ψ∗ ] Bi dω dv dv∗
v ,v∗ ,ω
v ∈Rd
I
1
2
Noyaux bi-espèces
Z
ZZZ
b
Qij (f , g)(v ) ψ(v ) dv =
f (v )g(v∗ ) [ψ 0 − ψ] Bij dω dv dv∗
v ,v∗ ,ω
v ∈Rd
et
Z
Qijb (f
Z
, g)(v ) ψi (v ) dv +
v ∈Rd
Qjib (f , g)(v ) ψj (v ) dv
v ∈Rd
ZZZ
=
f (v )g(v∗ ) [ψi (v 0 ) + ψj (v∗0 ) − ψi (v ) − ψj (v∗ )] Bij dω dv dv∗
v ,v∗ ,ω
:
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3. Limite de diffusion
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Propriétés conservatives des noyaux de collision
I
Noyaux mono-espèces

1
Qim (f , f )(v )  mi v  dv = 0
1
2
2 mi |v |

Z
v ∈Rd
I
Noyaux bi-espèces
Z
v ∈Rd
Qijb (f , g)(v ) dv = 0
et
Z
v ∈Rd
:
Qijb (f
, g)(v )
mi v
1
2
m
2 i |v |
Z
Qjib (g, f
dv +
v ∈Rd
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)(v )
mj v
1
2
m
2 j |v |
dv = 0
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4. Maxwell-Stefan
Théorème H
Hypothèse : Bi , Bij > 0
Théorème
1
Pour tout fi ≥ 0 tel que les expressions suivantes ont un sens, on a
X Z X
fi (v )
Qim (fi , fi )(v ) +
Qijb (fi , fj )(v ) log
dv ≤ 0
mi d
i
j6=i
v ∈Rd
2
On a équivalence entre
(i) Qim (fi , fi
) = 0 et Qijb (fi , fj ) = 0
(ii)
P
Z
Qim (fi , fi )(v )
+
i
X
Qijb (fi , fj )(v )
log
j6=i
v ∈Rd
fi (v )
mi d
dv = 0
(iii) Il existe ξi ≥ 0, T > 0 et u ∈ Rd tels que, pour tout i,
fi (t, x , v ) = ξi (t, x )
:
mi
2 π kT (t, x )
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d/2
exp −
mi
|v − u(t, x )|2
2kT (t, x )
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.
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3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Plan de l’exposé
1
Modèles de diffusion pour les mélanges gazeux
2
Modélisation cinétique
3
Limite de diffusion
4
Propriétés du modèle limite
:
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3. Limite de diffusion
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Limite de diffusion
I
Sections efficaces Bij ∈ L1
I
Molécules maxwelliennes : Bij (v , v∗ , ω) = Bij (ω), ∀ω ∈ Sd−1
I
Paramètre d’adimensionnement : libre parcours moyen ε (∼ Kn ou Ma)
I
Équation de Boltzmann posée dans (0, +∞)t × Ωx × Rdv



X
1
ε ∂t fi ε + v · ∇x fi ε = Qim (fi ε , fi ε ) + 
Qijb (fi ε , fjε )
ε
j6=i
I
Réflexions spéculaires sur ∂Ω :
fi ε (t, x , v ) = fi ε (t, x , v − 2(v · νx )νx )
I
Conditions initiales (cadre purement diffusif) :
ε
fi (0, x , v ) =
:
ξiin (x )
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mi d/2
mi |v |2
exp −
2 π kT in
2kT in
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3. Limite de diffusion
4. Maxwell-Stefan
Passage à la limite
I
I
I
ξiε (t, x ) =
Z
v ∈Rd
fi ε (t, x , v ) dv −−−→ ξi (t, x )
ε→0
Z
1
ε
Ni (t, x ) =
v f ε (t, x , v ) dv −−−→ Ni (t, x )
ε→0
ε v ∈Rd i
Hypothèse de travail en limite diffusive : Ni < +∞
Convergence vers l’équilibre mécanique fi ε → fi :
P
fi est solution de Qim (fi , fi ) + Qijb (fi , fj ) = 0, donc (théorème H)
j6=i
fi (t, x , v ) = ξi (t, x )
I
I
:
mi
2 π kT (t, x )
d/2 exp −
mi
|v − u(t, x )|2
2kT (t, x )
Comme εNiε → 0, u(t, x ) ≡ 0
Hypothèse de gaz parfaits :P
pression uniforme et ctot = i ξi = 1 =⇒ T (t, x ) ≡ C ste
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Conservation de la masse
Intégration de l’équation de Boltzmann en v ∈ Rd :
Z
Z
∂
1
ε
ε
fi (v ) dv + ∇x ·
v fi (v ) dv = 0,
∂t
ε
Rd
Rd
où les opérateurs de collision Qim (fi , fi ) et Qijm (fi , fj ) disparaissent par invariance.
En prenant la limite ε → 0, on obtient l’équation de continuité :
∂t ξi + ∇x · Ni = 0.
:
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Conservation de la quantité de mouvement
On multiplie l’équation de Boltzmann par v` , 1 ≤ ` ≤ d, et on intègre en v ∈ Rd :
∂
ε
∂t
Z
Rd
Z
ε
v` fi (v ) dv + ∇x ·
ε
v` fi (v ) v dv
Z
1X
=
v` Qijb (fi ε , fjε )(v ) dv := Θε` ,
ε
d
R
Rd
j6=i
où l’opérateur de collision mono-espèce disparaît par invariance.
Règles de collision + formulation faible de Qijb =⇒
Z Z Z
1 X mj
ε
Θ` =
Bij (ω)fi ε (v )fjε (v∗ ) (v∗` − v` ) dω dv∗ dv
ε
mi + mj
2d
d−1
R
S
j6=i
ZZ Z
+
Bij (ω)fi ε (v )fjε (v∗ ) |v − v∗ |ω` dω dv∗ dv
R2d
On simplifie : Θε` =
:
P
j6=i
Sd−1
mj
kBij kL1 (ξiε Njε − ξjε Niε ).
mi + mj
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Passage à la limite
I
ε→0
Z
∇x ·
v` fi (v ) v dv
Rd
I
=
X
j6=i
mj
kBij kL1 ξi (Nj )` − ξj (Ni )`
mi + mj
Terme du membre de gauche ∇x · (. . . )
=
Z
d
m d/2
X
2
∂ξi
kT ∂ξi
i
v` vk
e −mi |v | /2kT dv =
∂xk Rd
2πkT
mi ∂x`
k=1
Loi de Maxwell-Stefan (ctot = 1)
−∇x ξi =
X ξj Ni − ξi Nj
,
Dij
j6=i
:
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avec Dij−1 =
mi mj kBij kL1
.
(mi + mj )kT
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4. Maxwell-Stefan
Plan de l’exposé
1
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2
Modélisation cinétique
3
Limite de diffusion
4
Propriétés du modèle limite
:
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Un phénomène de diffusion remontante I
Expérience de Duncan et Toor, 1962
Mélange de trois gaz parfaits
I
Dans le bulbe 1 :
49.9% de CO2 et 50.1% de N2
I
50.1% N2
49.9% CO2
49.9% N2
capillaire
bulbe 1
:
Dans le bulbe 2 :
50.1% de H2 et 49.9% de N2
50.1% H2
bulbe 2
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Un phénomène de diffusion remontante II
:
I
Applications aux mélanges gazeux à trois composants ou plus :
par exemple l’air dans le cadre de la respiration
I
Importance de la diffusion remontante pour modéliser la situation respiratoire
lors de traitements par l’hélium
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