Régulation PID Méthode de Black-Nichols

Transcription

Régulation PID
Régulation PID
Méthode de Black-Nichols
F. Rotella, I. Zambettakis
AU3-GEII
1
Régulation PID
Méthode de réglage de Black-Nichols
Exemple
Principes
Objectif
Synthétiser le meilleur régulateur possible qui améliore en boucle fermée :
la stabilité ;
la rapidité ;
la précision ;
le rejet des perturbations,
de façon robuste.
2
Régulation PID
Exemple
Principes
Objectif
Synthétiser le meilleur régulateur possible qui améliore en boucle fermée :
la stabilité ;
la rapidité ;
la précision ;
le rejet des perturbations,
de façon robuste.
Caractéristiques de la méthode de Black-Nichols
Méthode fréquentielle et graphique de réglage ;
Structure du régulateur :
éléments P, PI, APH et RPH en cascade ;
cas particulier : le PIDF-cascade.
3
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
Régulation à retour unitaire
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
4
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
Opérateurs de transferts
5
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
F (p)
: système (actionneur+partie opérative+capteur) linéarisé
autour d'un point de fonctionnement ;
6
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
F (p)
R(p)
: régulateur (dont on cherche à régler les paramètres) ;
7
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
F (p)
R(p)
FBO (p) = R(p)F (p)
: de la boucle ouverte ;
8
Régulation PID
Exemple
Cadre d'utilisation
- +− - R(p)
régulateur
6
- F (p)
-
processus
F (p)
R(p)
FBO (p) = R(p)F (p)
de la boucle fermée :
: de la boucle ouverte ;
FBF (p) =
R(p)F (p)
.
1 + R(p)F (p)
9
Régulation PID
Exemple
Étapes de la synthèse du régulateur
1
Tracé du lieu de Black de la boucle ouverte (LB (BO)) :
|FBO (jω)|dB = 20 log |FBO (jω)| = f (arg(FBO (jω))),
pour
ω
de 0 à
+∞.
10
Régulation PID
Exemple
1
pour
ω
de 0 à
+∞.
Rappel : peut souvent être obtenu expérimentalement.
11
Régulation PID
Exemple
1
pour
2
ω
de 0 à
+∞.
Utilisation de l'abaque de Black-Nichols.
12
Régulation PID
Exemple
1
pour
2
ω
de 0 à
+∞.
Dénition
Abaque qui fournit la correspondance, pour chaque fréquence, entre le
comportement fréquentiel de la boucle ouverte et celui de la boucle
fermée.
13
Régulation PID
Exemple
1
pour
2
ω
de 0 à
+∞.
Dénition
Abaque qui fournit la correspondance, pour chaque fréquence, entre le
comportement fréquentiel de la boucle ouverte et celui de la boucle
fermée.
Utilisation
Permet de construire le lieu fréquentiel (donc obtenir les performances
fréquentielles) en boucle fermée à partir de celui en boucle ouverte.
14
Régulation PID
Exemple
Informations lues sur le LB(BO)
Concernant le système en boucle fermée, sans utiliser l'abaque de
Black-Nichols, on peut calculer à partir du
LB (BO)
:
15
Régulation PID
Exemple
LB (BO)
:
la stabilité : les valeurs du gain proportionnel la garantissant ainsi
que la robustesse obtenue ;
16
Régulation PID
Exemple
LB (BO)
:
la précision : tout ce qui concerne les erreurs permanentes ;
17
Régulation PID
Exemple
LB (BO)
:
le gain statique ;
18
Régulation PID
Exemple
LB (BO)
:
le gain statique ;
les marges de stabilité :
mg : de gain ;
mϕ : de phase,
donc
mR ,
de retard.
19
Régulation PID
Exemple
LB (BO)
:
le gain statique ;
les marges de stabilité :
mg : de gain ;
mϕ : de phase,
donc
mR ,
de retard.
Marge de module
Sera plus dicile à lire dans le plan de Black-Nichols que sur le lieu de
Nyquist.
20
Régulation PID
Exemple
La stabilité en boucle fermée
Point critique
Plan complexe
−1
Plan de Black-Nichols
⇐⇒
(0dB, −180deg + 2kπ)
21
Régulation PID
Exemple
Point critique
Plan complexe
−1
⇐⇒
(0dB, −180deg + 2kπ)
Critère simplié de Nyquist
Si
FBO (p)
est asymptotiquement
stable,
FBF (p)
le sera également
si et seulement si le point
(0dB, −180deg + 2kπ)
est laissé
à droite lorsque l'on parcourt le
lieu de Black de
sens des
ω
FBO (p)
dans le
croissants.
22
Régulation PID
Exemple
Point critique
Plan complexe
−1
⇐⇒
(0dB, −180deg + 2kπ)
|FBO |dB
Critère simplié de Nyquist
Si
FBO (p)
stable,
FBF (p)
le sera également
si et seulement si le point
(0dB, −180deg + 2kπ)
est laissé
(0dB , −π)
•
à droite lorsque l'on parcourt le
lieu de Black de
sens des
ω
FBO (p)
arg(FBO )
dans le
croissants.
23
Régulation PID
Exemple
Robustesse en stabilité
Marge de gain
Dans le plan de Black-Nichols :
Dans le plan de Nyquist :
I
−1
•
−α
R
(ω−π )
1
mg = 20 log10 ( ).
α
24
Régulation PID
Exemple
Marge de gain
|FBO |dB
I
−1
•
−α
R
(ω−π )
(0dB , −π)
•
arg(FBO )
1
mg = 20 log10 ( ).
α
25
Régulation PID
Exemple
Marge de gain
|FBO |dB
I
−1
•
−α
R
(ω−π )
(0dB , −π)
•
arg(FBO )
mg
1
mg = 20 log10 ( ).
α
26
Régulation PID
Exemple
Marge de gain
|FBO |dB
I
−1
•
−α
R
(ω−π )
(0dB , −π)
•
arg(FBO )
mg
(ω−π )
1
mg = 20 log10 ( ).
α
27
Régulation PID
Exemple
Marges de phase et de retard
I
−1
•
R
mϕ
1
(ω|1| )
Marge de retard
mR =
mϕ
.
ω|1|
28
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
I
−1
•
R
mϕ
(0dB , −π)
•
1
(ω|1| )
arg(FBO )
Marge de retard
mR =
mϕ
.
ω|1|
29
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
I
−1
•
R
mϕ
mϕ
(0dB , −π)
•
1
(ω|1| )
arg(FBO )
Marge de retard
mR =
mϕ
.
ω|1|
30
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
I
−1
•
R
mϕ
mϕ
(0dB , −π)
•
1
(ω|1| )
(ω|1| )
arg(FBO )
Marge de retard
mR =
mϕ
.
ω|1|
31
Régulation PID
Exemple
Robustesse
Marge de module
La marge de module se calcule par
mM = minω≥0 (1 + FBO (jω))
:
−1
•
mM
I
R
FBO (jω)
32
Régulation PID
Exemple
Robustesse
Marge de module
:
Dans le plan de Black-Nichols
Il faut tracer le lieu de Black de :
1
−1
•
mM
+ FBO (p)
I
R
FBO (jω)
33
Régulation PID
Exemple
Robustesse
Marge de module
:
1
−1
•
mM
+ FBO (p)
I
|1 + FBO |dB
R
FBO (jω)
arg(1 + FBO )
34
Régulation PID
Exemple
Robustesse
Marge de module
:
1
−1
•
mM
+ FBO (p)
I
|1 + FBO |dB
R
FBO (jω)
mM
arg(1 + FBO )
35
Régulation PID
Exemple
Robustesse
Marge de module
:
1
−1
•
mM
+ FBO (p)
I
|1 + FBO |dB
R
u
FBO (jω)
mM
us
pl
!
st
fa
le
ci
à
l
ire
r
su
le
lie
de
ui
yq
N
arg(1 + FBO )
36
Régulation PID
Exemple
Estimation de la précision en boucle fermée
Rappel
L'ordre de la précision en régime permanent est fourni par le nombre
d'intégrateurs de la boucle ouverte.
37
Régulation PID
Exemple
Rappel
Lecture sur le lieu de Black
Pour :
FBO (p) =
avec
1
pm
N(p)
,
D(p)
N(0)D(0) 6= 0.
38
Régulation PID
Exemple
Rappel
Pour :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0.
Le nombre
m
1
pm
N(p)
,
D(p)
est fourni par la valeur asymptotique
de l'argument du lieu de Black lorsque
arg FBO (0)
ω→0
:
π
= −m .
2
39
Régulation PID
Exemple
Rappel
Pour :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0.
Le nombre
m
1
pm
est fourni par la valeur asymptotique
de l'argument du lieu de Black lorsque
arg FBO (0)
Remarque :
m
N(p)
,
D(p)
ω→0
:
π
= −m .
2
qualie également le rejet de perturbations.
40
Régulation PID
Exemple
Valeurs asymptotiques de l'erreur
Avec
K=
N(0)
D(0)
:
PP
P
m
pour
Pconsigne
PP t > 0
PP
PP
P
0
1
1
1
+K
1
0
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
t
∞
1
K
0
.
.
.
t2
2
···
···
···
∞
···
1
..
.
..
.
K
..
.
41
Régulation PID
Exemple
Abaque de Black-Nichols
Abaque qui fournit la correspondance
fréquentielle :
42
Régulation PID
Exemple
entre la BO et la BF,
fréquentielle :
43
Régulation PID
Exemple
fréquentielle :
pour une même
fréquence.
44
Régulation PID
Exemple
fréquentielle :
pour une même
fréquence.
Constituée de 2 réseaux :
d'isogains :
|FBF (jω)|dB = M ;
d'isophases :
arg(FBF (jω))
= N.
45
Régulation PID
Exemple
Utilisation
Pour
ω
xée, l'abaque donne la correspondance :
Boucle ouverte
(coordonnées rectangulaires)
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))















⇐⇒







(
Boucle fermée
coordonnées
curvilignes
)
|FBF (jω)|dB
arg(FBF (jω))
46
Régulation PID
Exemple
Utilisation
Pour
ω
Boucle ouverte
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))















⇐⇒







(
Boucle fermée
coordonnées
curvilignes
)
|FBF (jω)|dB
arg(FBF (jω))
(0dB , −π)
•
47
Régulation PID
Exemple
Utilisation
Pour
ω
Boucle ouverte
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))
(0dB , −π)
•















⇐⇒







(
Boucle fermée
coordonnées
curvilignes
)
|FBF (jω)|dB
arg(FBF (jω))
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))
48
Régulation PID
Exemple
Utilisation
Pour
ω
Boucle ouverte
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))















⇐⇒







(
Boucle fermée
coordonnées
curvilignes
)
|FBF (jω)|dB
arg(FBF (jω))
arg(F
BF (
jω
(0dB , −π)
•
))
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))
49
Régulation PID
Exemple
Utilisation
Pour
ω
Boucle ouverte
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))








⇐⇒














(
Boucle fermée
coordonnées
curvilignes
)
|FBF (jω)|dB
arg(FBF (jω))
arg(F
BF (
jω
(0dB , −π)
•
))
|FBO (jω)|dB
arg(FBO (jω))
|FB
F (j ω
)|d
B
50
Régulation PID
Exemple
Caractéristique fréquentielle en boucle fermée
Utilisation
En superposant l'abaque de Black au tracé du lieu de Black en boucle
ouverte, permet :
sans mesures supplémentaires ;
d'obtenir la caractéristique fréquentielle du système bouclé.
51
Régulation PID
Exemple
Caractéristique fréquentielle en boucle fermée
Utilisation
En superposant l'abaque de Black au tracé du lieu de Black en boucle
ouverte, permet :
sans mesures supplémentaires ;
d'obtenir la caractéristique fréquentielle du système bouclé.
Caractéristiques importantes
Pour le système fermé par retour unitaire :
le gain statique ;
la résonance ;
la coupure.
52
Régulation PID
Exemple
Gain statique en boucle fermée FBF (0)
Soit :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0,
et
FBF (p) =
1 N(p)
,
p m D(p)
N(p)
N(p) + p m D(p)
stable.
Deux cas
53
Régulation PID
Exemple
Soit :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0,
et
FBF (p) =
1 N(p)
,
p m D(p)
N(p)
N(p) + p m D(p)
stable.
Deux cas
1
m 6= 0 : FBF (0) = 1.
54
Régulation PID
Exemple
Soit :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0,
et
FBF (p) =
1 N(p)
,
p m D(p)
N(p)
N(p) + p m D(p)
stable.
Deux cas
1
m 6= 0 : FBF (0) = 1.
2
m=0
:
55
Régulation PID
Exemple
Soit :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0,
et
FBF (p) =
1 N(p)
,
p m D(p)
N(p)
N(p) + p m D(p)
stable.
Deux cas
1
m 6= 0 : FBF (0) = 1.
2
m=0
:
par calcul :
N(0)
K =
D(0)
K
|FBF (0)|dB = 20 log
;
1+ K
FBF (0) =
N(0)
,
N(0) + D(0)
soit avec
:
56
Régulation PID
Exemple
Soit :
FBO (p) =
avec
N(0)D(0) 6= 0,
et
FBF (p) =
1 N(p)
,
p m D(p)
N(p)
N(p) + p m D(p)
stable.
Deux cas
1
m 6= 0 : FBF (0) = 1.
2
m=0
:
par calcul :
N(0)
K =
D(0)
K
|FBF (0)|dB = 20 log
;
1+ K
FBF (0) =
N(0)
,
N(0) + D(0)
par lecture de l'isogain
FBF (0)dB
soit avec
:
qui passe par le lieu de Black pour
ω = 0.
57
Régulation PID
Exemple
Résonance
Phénomène de résonance
Cela correspond au maximum de gain en boucle fermée.
58
Régulation PID
Exemple
Résonance
Gain de résonance
Gr ,
valeur du gain maximum
(maxω |FBF (jω)|dB )
:
59
Régulation PID
Exemple
Résonance
Gain de résonance
Gr ,
:
donné par la valeur de l'isogain tangent au lieu de Black de
FBO (p) ;
60
Régulation PID
Exemple
Résonance
Gain de résonance
Gr ,
:
pulsation de résonance,
ωr ,
FBO (p) ;
donnée par le point de tangence :
Gr = |FBF (jωr )|dB ;
61
Régulation PID
Exemple
Résonance
Gain de résonance
Gr ,
:
ωr ,
FBO (p) ;
facteur de qualité :
Q = |FBF (jωr )|dB − |FBF (0)|dB .
62
Régulation PID
Exemple
Résonance
Gain de résonance
Gr ,
:
ωr ,
FBO (p) ;
facteur de qualité :
Q = |FBF (jωr )|dB − |FBF (0)|dB .
Remarque
Comme pour un second ordre
Q%
lorsque
ζ&
, le facteur de qualité ne
doit pas être trop grand an de limiter les oscillations en réponse
indicielle.
63
Régulation PID
Exemple
Coupure en boucle fermée
Convention
Le phénomène de coupure correspond à une chute de gain d'au moins 3
dB par rapport au gain statique.
64
Régulation PID
Exemple
Convention
Pulsation de coupure,
ωc
Donnée par l'intersection du lieu de Black de la boucle ouverte et de
l'isogain de coupure :
|FBF (jωc )|dB = |FBF (0)|dB − 3
dB.
65
Régulation PID
Exemple
Convention
ωc
dB.
En pratique
Cette limite indique les signaux transmis par le système sans
déformation :
66
Régulation PID
Exemple
Convention
ωc
dB.
En pratique
déformation :
pour
ω < ωc ,
sin(ωt) est transmis ;
67
Régulation PID
Exemple
Convention
ωc
dB.
En pratique
déformation :
pour
ω < ωc ,
pour
ω > ωc ,
sin(ωt) non transmis,
68
Régulation PID
Exemple
Convention
ωc
dB.
En pratique
déformation :
pour
ω < ωc ,
pour
ω > ωc ,
sin(ωt) non transmis,
Bonne précision et bon suivi de consigne : pulsation de coupure maximale.
69
Régulation PID
Exemple
Régulation correcte
Objectif (minimal) de la régulation
Pour un régulateur dont la structure est xée, on en cherche les
paramètres permettant d'assurer les contraintes :
mg ≥ 10
dB ;
mϕ ≥ 45 deg ;
Q ≤ 2.3
dB,
tout en maximisant la pulsation de coupure.
70
Régulation PID
Exemple
mg ≥ 10
dB ;
mϕ ≥ 45 deg ;
Q ≤ 2.3
dB,
Remarque
Ces contraintes (usuelles) peuvent être modiées :
71
Régulation PID
Exemple
mg ≥ 10
dB ;
mϕ ≥ 45 deg ;
Q ≤ 2.3
dB,
Remarque
si le modèle transfert est un modèle précis du système : les
contraintes 10 dB et 45 deg peuvent être diminuées ;
72
Régulation PID
Exemple
mg ≥ 10
dB ;
mϕ ≥ 45 deg ;
Q ≤ 2.3
dB,
Remarque
pour dimuer les oscillations, diminuer la contrainte 2.3 dB ;
73
Régulation PID
Exemple
mg ≥ 10
dB ;
mϕ ≥ 45 deg ;
Q ≤ 2.3
dB,
Remarque
pour dimuer les oscillations, diminuer la contrainte 2.3 dB ;
pour augmenter le degré de stabilité, on peut chercher à maximiser
mM .
74
Régulation PID
Exemple
Illustration graphique des critères
|FBO |dB
(0dB , −π)
•
arg(FBO )
75
Régulation PID
Exemple
isogain de résonance :
|FBF (0)|dB + 2.3
|FBO |dB
dB
(0dB , −π)
•
arg(FBO )
76
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
(0dB , −π)
•
−135
deg
arg(FBO )
77
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
(0dB , −π)
•
−135
−10
deg
arg(FBO )
dB
78
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
(0dB , −π)
•
−135
−10
dB
deg
arg(FBO )
isogain de coupure :
|FBF (0)|dB − 3
dB
79
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
à corriger !
(0dB , −π)
•
−135
(ωc )
−10
dB
deg
arg(FBO )
|FBF (0)|dB − 3
dB
80
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
à améliorer !
(0dB , −π)
•
−135
−10
dB
deg
arg(FBO )
|FBF (0)|dB − 3
dB
(ωc )
81
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
optimal !
(0dB , −π)
•
−135
−10
(ωc )
dB
deg
arg(FBO )
|FBF (0)|dB − 3
dB
82
Régulation PID
Exemple
|FBO |dB
|FBF (0)|dB + 2.3
dB
(0dB , −π)
•
−135
−10
dB
deg
arg(FBO )
|FBF (0)|dB − 3
dB
Réglage d'un régulateur
Le lieu de Black de
R(p)F (p)
ne doit pas couper les zones en rouge.
83
Régulation PID
Exemple
Structure des régulateurs
Par la propriété du lieu de Black :
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
84
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
on construit le régulateur complet :
85
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
en associant en cascade des régulateurs élémentaires ;
86
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
en les réglant les uns après les autres.
87
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
Régulateurs élémentaires réalisables
88
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
proportionnel (P) :
R(p) = K ;
89
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
proportionnel (P) :
R(p) = K ;
proportionnel et intégral (PI) :
R(p) =
1
+ Ti p
Ti p
;
90
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
proportionnel (P) :
R(p) = K ;
+ Ti p
;
Ti p
1 + aτ p
R(p) =
, a > 1;
1 + τp
avance de phase (APH) :
R(p) =
1
91
Régulation PID
Exemple
LB{R(p)F (p)} = LB{R(p)} + LB{F (p)},
proportionnel (P) :
R(p) = K ;
+ Ti p
;
Ti p
1 + aτ p
avance de phase (APH) : R(p) =
, a > 1;
1 + τp
1 + τp
retard de phase (RPH) : R(p) =
, b > 1.
1 + bτ p
R(p) =
1
92
Régulation PID
Exemple
Construction d'un PID
Structure d'un avance de phase
R(p) =
1
(a − 1)τ p
+ aτ p
=1+
,
+ τp
1 + τp
1
soit une action (P+DF).
93
Régulation PID
Exemple
R(p) =
1
(a − 1)τ p
+ aτ p
=1+
,
+ τp
1 + τp
1
Association des trois eets
Avec (P)*(PI)*(APH), on obtient un PID de la forme cascade :
R(p) = K
1
+ Ti p
Ti p
+ aτ p
1 + τp
1
, a > 1,
réglable par la méthode de Black-Nichols.
94
Régulation PID
Exemple
R(p) =
1
(a − 1)τ p
+ aτ p
=1+
,
+ τp
1 + τp
1
Association des trois eets
Avec (P)*(PI)*(APH), on obtient un PID de la forme cascade :
R(p) = K
1
+ Ti p
Ti p
+ aτ p
1 + τp
1
, a > 1,
réglable par la méthode de Black-Nichols.
Remarque
Si on associe ces 3 eets en parallèle, on perd l'avantage de pouvoir
utiliser cette méthode de réglage.
95
Régulation PID
Exemple
Eet P
Régulateur proportionnel :
R(p) = K .
96
Régulation PID
Exemple
Eet P
R(p) = K .
Inuence sur le lieu de Black
Translation verticale de
20 log10 (K ).
97
Régulation PID
Exemple
Eet P
R(p) = K .
20 log10 (K ).
Eet sur l'asservissement
Augmente la précision statique.
98
Régulation PID
Exemple
Eet P
20
lieu de Black de K p F(p)
20 log10 (Kp )
10
R(p) = K .
0
20 log10 (K ).
gain (dB)
−10
−20
lieu de Black de F(p)
−30
−40
−50
−60
−70
−180
−135
−90
−45
0
phase (deg)
99
Régulation PID
Exemple
Eet P
20
lieu de Black de K p F(p)
20 log10 (Kp )
10
R(p) = K .
0
20 log10 (K ).
gain (dB)
−10
−20
lieu de Black de F(p)
−30
−40
−50
−60
−70
−180
−135
−90
−45
0
phase (deg)
Réglage
en dernier ;
la valeur optimale est celle qui permet de tangenter les critères.
100
Régulation PID
Exemple
Régulateur PI
R(p) =
1
+ Ti p
.
Ti p
60
50
gain (dB)
40
30
20
10
phase (deg)
0
−45
−90
−2
10
−1
10
0
1
10
10
pulsation (rad/s)
(tracé pour
2
10
.
Ti = 1)
101
Régulation PID
Exemple
Régulateur PI
R(p) =
1
+ Ti p
.
Ti p
60
50
40
gain (dB)
Action
aucune en HF,
− π2
20
10
aux BF.
0
phase (deg)
déphase de
30
−45
−90
−2
10
−1
10
0
1
10
10
pulsation (rad/s)
(tracé pour
2
10
.
Ti = 1)
102
Régulation PID
Exemple
Régulateur PI
R(p) =
1
+ Ti p
.
Ti p
60
50
40
gain (dB)
Action
aucune en HF,
− π2
20
10
aux BF.
Intérêt pour l'asservissement
0
phase (deg)
déphase de
30
−45
Annule l'erreur permanente
εk (∞), si k + 1 intégrateurs
dans FBO = RF .
Inutile s'il y en a assez dans
F (p) !
−90
−2
10
−1
10
0
1
10
10
pulsation (rad/s)
(tracé pour
2
10
.
Ti = 1)
103
Régulation PID
Exemple
Eet d'un PI
Eet sur le lieu de Black
40
Lieu de Black de PI(p)F(p)
aucun en HF,
déphase de
− π2
20
aux BF.
gain (dB)
0
−20
Lieu de Black de F(p)
−40
−60
−80
−180
−135
−90
−45
0
phase (deg)
104
Régulation PID
Exemple
Eet d'un PI
40
Lieu de Black de PI(p)F(p)
aucun en HF,
déphase de
20
− π2
aux BF.
Réglage de
Ti
Ti
assez grand pour ne pas
déstabiliser
FBF ,
régle heuristique
gain (dB)
0
−20
−40
−60
d'initialisation :
Ti ωr (BF) 1,
en maximisant
−80
−180
−135
−90
−45
0
phase (deg)
ωc (BF).
105
Régulation PID
Exemple
Régulateur APH
30
+ aτ p
R(p) =
, a > 1.
1 + τp
a = 30
1
25
gain (dB)
20
a = 10
15
a=5
10
a=3
a=2
5
a = 1.4
0
90
phase (deg)
a = 30
60
a = 10
a=2
a=5
a=3
30
a = 1.4
0
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
pulsation (rad/sec)
(tracé pour
τ = 1)
106
Régulation PID
Exemple
Régulateur APH
30
+ aτ p
R(p) =
, a > 1.
1 + τp
a = 30
1
25
gain (dB)
20
a = 10
15
a=5
10
Action
a=3
a=2
5
a = 1.4
0
90
dérivée ltrée,
a,
maximale en
1
ω= √ .
τ a
phase (deg)
a = 30
intensité
60
a = 10
a=2
a=5
a=3
30
a = 1.4
0
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
pulsation (rad/sec)
(tracé pour
τ = 1)
107
Régulation PID
Exemple
Régulateur APH
30
+ aτ p
R(p) =
, a > 1.
1 + τp
a = 30
1
25
gain (dB)
20
a = 10
15
a=5
10
Action
a=3
a=2
5
a = 1.4
0
90
dérivée ltrée,
a,
maximale en
1
ω= √ .
τ a
phase (deg)
a = 30
intensité
60
a = 10
a=2
a=5
a=3
30
a = 1.4
0
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
pulsation (rad/sec)
Intérêt pour l'asservissement
stabilise (à précision égale),
(tracé pour
τ = 1)
augmente la rapidité.
108
Régulation PID
Exemple
Eet d'un APH
60
Lieu de Black de APH(p) F(p)
40
aucun en BF,
20
creux dû à l'avance de phase,
0
augmentation du gain aux HF (à
−20
éviter !).
−40
−60
en HF : +20 log10 (a)
−80
−100
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
109
Régulation PID
Exemple
Eet d'un APH
60
40
aucun en BF,
20
0
−20
éviter !).
−40
−60
−100
−270
Réglage
en HF : +20 log10 (a)
−80
−225
−180
−135
−90
−45
0
a = 10,
en général,
creux autour de
1
aωr
<τ <
1
ωr
initialisation :
ωr (BF)
:
,
√
en maximisant
aτ ωr (BF) ' 1,
ωc (BF).
110
Régulation PID
Exemple
Eet d'un APH
60
40
aucun en BF,
20
0
−20
éviter !).
−40
−60
−100
−270
Réglage
en HF : +20 log10 (a)
−80
−225
−180
−135
−90
−45
0
a = 10,
en général,
creux autour de
Inapplicable
si la phase décroit rapidement
autour de
ωc .
1
aωr
<τ <
1
ωr
initialisation :
ωr (BF)
:
,
√
en maximisant
aτ ωr (BF) ' 1,
ωc (BF).
111
Régulation PID
Eet d'un régulateur RPH R(p) =
Action
1 + τp
b > 1.
1 + bτ p
100
inverse de l'APH,
b,
maximale en
50
1
ω= √ .
τ b
0
gain (dB)
intensité
Exemple
−50
Lieu de Black de RPH(p) F(p)
−100
en HF : − 20 log 10 (b)
−150
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
112
Régulation PID
Action
1 + τp
b > 1.
1 + bτ p
100
inverse de l'APH,
b,
maximale en
50
1
ω= √ .
τ b
0
gain (dB)
intensité
Exemple
−50
Conséquences pour l'asservissement
−100
atténue les HF, diminue un peu la
rapidité.
en HF : − 20 log 10 (b)
−150
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
113
Régulation PID
Action
1 + τp
b > 1.
1 + bτ p
100
inverse de l'APH,
b,
50
maximale en
1
ω= √ .
τ b
0
gain (dB)
intensité
Exemple
−50
−100
en HF : − 20 log 10 (b)
−150
−270
rapidité.
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
réglage : éviter le déphasage
action aux HF :
τ>
1
ωR (BF)
.
114
Régulation PID
Action
1 + τp
b > 1.
1 + bτ p
100
inverse de l'APH,
b,
50
maximale en
1
ω= √ .
τ b
0
gain (dB)
intensité
Exemple
−50
−100
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
réglage : éviter le déphasage
action aux HF :
en HF : − 20 log 10 (b)
−150
−270
rapidité.
τ>
1
ωR (BF)
Inapplicable
.
si mϕ est saturée à des
ω
trop basses.
115
Régulation PID
Exemple
Synthèse du régulateur
Les diérentes étapes
116
Régulation PID
Exemple
1
Tracer le lieu de Black de
F (p)
et les contraintes du cahier des
charges sur l'abaque. Relever les caractéristiques du système en BO
et en BF.
117
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
6 0dB , mettre d'abord un PI,
R(p), une modication de Q .
pour éviter, à chaque
nouveau
118
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
Implanter un APH qui assure la robustesse souhaitée.
119
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
4
Régler le gain
K
de façon à tangenter les critères. Relever les
nouvelles caractéristiques de
FBF .
120
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
4
Régler le gain
K
5
FBF .
Régler alors nement le PI.
121
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
4
Régler le gain
K
FBF .
5
6
Ajouter éventuellement un RPH pour améliorer encore les
performances.
122
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
4
Régler le gain
K
FBF .
5
6
performances.
7
Modier éventuellement le PI et l'APH car le 1er réglage n'est plus
optimum après ajout du RPH.
123
Régulation PID
Exemple
1
F (p)
et en BF.
2
Si
|FBO (0)| =
nouveau
3
4
Régler le gain
K
FBF .
5
6
performances.
7
Modier éventuellement le PI et l'APH car le 1er réglage n'est plus
optimum après ajout du RPH.
8
Régler alors de nouveau le gain
K
de façon à tangenter les critères.
Relever les nouvelles caractéristiques de
FBF .
124
Régulation PID
Exemple
Remarques de conclusion sur la méthode de Black-Nichols
1
Méthode globale de réglage : on agit sur toutes les pulsations.
125
Régulation PID
Exemple
1
2
Démarche de réglage essentiellement par essais-erreurs, mais :
126
Régulation PID
Exemple
1
2
graphique et visuelle ;
127
Régulation PID
Exemple
1
2
l'utilisation d'un logiciel de tracé de lieu fréquentiel est impérative.
128
Régulation PID
Exemple
1
2
3
PI, APH et RPH : bien réglés, les défauts respectifs se compensent :
129
Régulation PID
Exemple
1
2
3
le déphasage du PI est atténué par l'APH ;
130
Régulation PID
Exemple
1
2
3
le déphasage du PI est atténué par l'APH ;
l'augmentation de gain dûe à l'APH est compensée par le RPH.
131
Régulation PID
Exemple
Exemple
Soit le système de transfert
F (p) =
1
p(p + 1)(p + 10)
dont on veut
améliorer les performances à l'aide d'un régulateur PID.
Structure du régulateur
K×
1
+ Ti p
×
Ti p
1
+ aτ p
.
+ τp
1
132
Régulation PID
Exemple
Exemple
Soit le système de transfert
F (p) =
1
p(p + 1)(p + 10)
dont on veut
améliorer les performances à l'aide d'un régulateur PID.
Structure du régulateur
K×
1
+ Ti p
×
Ti p
1
+ aτ p
.
+ τp
1
Critères à satisfaire
Maximiser la pulsation de coupure avec :
mg ≥ 10
dB,
mϕ ≥ 45 deg,
Q ≥ 2.3
dB.
133
Régulation PID
Exemple
Lieu de Black de F (p)
60
40
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
20
1 dB
3 dB
6 dB
gain (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
134
Régulation PID
Exemple
Analyse
Après bouclage par retour unitaire :Marge de gain :
mg = 0.7
dB,
soit une faible robustesse en stabilité.
135
Régulation PID
Exemple
Analyse
mg = 0.7
dB,
Réglage d'un régulateur proportionnel
Pour garantir la stabilité :
0
< k < 1.1.
136
Régulation PID
Exemple
Analyse
mg = 0.7
dB,
Réglage d'un régulateur proportionnel
Pour garantir la stabilité :
0
< k < 1.1.
Pour amélirorer la précision et la stabilité, on va utiliser :
un PI ;
un APH.
137
Régulation PID
Exemple
Action du PI
PI (p) =
1
+ 100p
.
100p
100
50
0 dB
1 dB
3 dB
6 dB
0.5 dB
0.25 dB
gain (dB)
0
−50
−100
−150
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
138
Régulation PID
Exemple
Analyse de l'eet du PI
la stabilité s'est dégradée :
si
si
Ti
Ti
diminue on déstabilise ;
augmente on restabilise ;
139
Régulation PID
Exemple
si
si
Ti
Ti
la précision en boucle fermée s'est améliorée :
on est passé d'un ordre 1 à un ordre 2 pour la précision ;
idem pour le rejet de perturbations.
140
Régulation PID
Exemple
si
si
Ti
Ti
Remarque
On ne règle pas le PI à cette étape, il n'est juste là que pour
l'augmentation de la précision.
141
Régulation PID
Exemple
si
si
Ti
Ti
Remarque
On ne règle pas le PI à cette étape, il n'est juste là que pour
l'augmentation de la précision.
Remarque
Lorsque le transfert
F (p)
ne possède pas d'intégrateur pur, la mise en
place d'un PI préliminaire est nécessaire. Dans le cas contraire, on peut
commencer directement par le réglage d'un APH.
Pourquoi ?
142
Régulation PID
Exemple
Action du PI+APH
PI (p) =
1
+ 100p
100p
et
APH(p) =
+ 10p
.
1+p
1
100
50
0 dB
1 dB
3 dB
6 dB
0.5 dB
0.25 dB
gain (dB)
0
−50
−100
−150
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
143
Régulation PID
Exemple
Analyse de l'eet APH
Marge de gain :
mg = 5.87
dB,
144
Régulation PID
Exemple
Marge de gain :
mg = 5.87
dB,
la stabilité est améliorée ;
145
Régulation PID
Exemple
Marge de gain :
mg = 5.87
dB,
mais les critères ne sont pas satisfaits.
146
Régulation PID
Exemple
Marge de gain :
mg = 5.87
dB,
mais les critères ne sont pas satisfaits.
Conclusion
Il y a trop d'eet PI.
147
Régulation PID
Exemple
Exemple
Avec
Ti = 10,
et
τ = 0.5,
on obtient :
100
50
0 dB
1 dB
3 dB
6 dB
0.5 dB
0.25 dB
gain (dB)
0
−50
−100
−150
−270
−225
−180
−135
−90
phase (deg)
soit
mg = 12.3
dB.
148
Régulation PID
Exemple
Exemple
Si on fait un zoom :
15
10
3 dB
6 dB
gain (dB)
5
0
−5
−10
−15
−180
−150
phase (deg)
149
Régulation PID
Exemple
Exemple
Si on fait un zoom :
15
10
3 dB
6 dB
gain (dB)
5
0
−5
−10
−15
−180
−150
phase (deg)
Peu satisfaisant : l'eet P ne permettra pas de satisfaire aux critères.
150
Régulation PID
Exemple
Exemple
Avec
Ti = 20, τ = 0.7,
on obtient :
15
3 dB
10
6 dB
gain BO (dB)
5
0
−5
−10
−15
−180
−150
phase BO (deg)
151
Régulation PID
Exemple
Exemple
Avec
Ti = 20, τ = 0.7,
on obtient :
15
3 dB
10
6 dB
gain BO (dB)
5
0
−5
−10
−15
−180
−150
phase BO (deg)
Par un dernier réglage de
K
on peut vérier les critères.
152
Régulation PID
Exemple
Exemple
Réglage plus n du régulateur PID :
K = 0.4, Ti = 20, τ = 0.7.
15
10
3 dB
6 dB
gain (dB)
5
0
−5
−10
−15
−180
−150
phase (deg)
153
Régulation PID
Exemple
Exemple
Réponse indicielle en boucle fermée :
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
temps (s)
154

Régulation PID Méthode de Black-Nichols

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