L`Algorithme de génération des premiers ( AGP) par Jacques

L’Algorithme de génération des premiers ( AGP)
par Jacques Bienvenu
On présente ici un nouvel algorithme dont le but n’est pas comme le crible
d’Eratosthène de trouver les nombres premiers, mais qui permet de mieux comprendre la
manière dont ils se forment. On l'appellera Algorithme de Génération des Premiers ou AGP.
La longueur des nombres
La suite des nombres entiers est générée de manière additive par le nombre 1 Dans cette
suite la succession des nombres premiers semble apparaître au hasard. Comme la définition d’un
nombre premier est relative à la multiplication, l’idée principale, ici, est de présenter les nombres
entiers non plus comme générés additivement par le nombre 1, mais générés multiplicativement par
les nombres premiers et en les classant selon le nombre de premiers qui figurent dans la
décomposition d’un entier. On définit d’abord la longueur d’un entier : c’est le nombre de
premiers qui entrent dans la décomposition d’un entier n en produit de nombres premiers.
Exemples : 12 = 2x2x3 a pour longueur 3. Ainsi : la longueur de 12 est 3. De même la longueur de
5 est 1. Avec cette définition les nombres premiers deviennent les nombres entiers de longueur 1.
D’autre part, on propose de placer les entiers dans des intervalles bornés par des puissances
r
r+1
de 2 consécutives. Donc de la forme Ir = [2 ; 2 [ en remarquant ceci : 2 est le plus petit nombre
premier. Donc 2r est le plus petit entier de longueur r. Tout nombre entier de l’intervalle Ir est plus
petit que 2r+1 qui est le plus petit entier de longueur r+1. On en déduit que dans les intervalles Ir les
entiers ont au plus la longueur r. Nous admettrons provisoirement que les longueurs des entiers de Ir
prennent toutes les valeurs de 1 à r. Cela permet de ranger les entiers selon leur longueur dans
chaque intervalle.
On peut faire les remarques suivantes : les intervalles Ir sont tous disjoints et forment une
partition de N. D’autre part le nombre d’éléments de Ir double quand on passe de r à r+1. Notre
algorithme consiste à écrire les nombres entiers selon cette partition.
Le train sifflera p fois
Reportons nous au tableau de l’AGP (page suivante) et observons l’intervalle I4 : chaque
longueur de I4 est engendré par des nombres premiers bien précis. La longueur 4 par 2 et 3 ; la
longueur 3 par 2 ;3 ;5 ;7, la longueur 2 par 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13. Les flèches rouges montrent qu’il en est
de même pour les longueurs 5 ; 4 ; 3 de I5 et pour les longueurs 2 et 3 de I3. On pourrait présenter
de manière imagée l’algorithme ainsi : chaque intervalle Ir est un train. La locomotive ce sont les
nouveaux nombres premiers, les wagons sont formés à l’aide des anciens. Le wagon de queue du
train I4 est formé par les premiers de l’intervalle I1 à savoir 2 et 3. De plus le wagon de queue
comportera toujours deux éléments quelque soit l’intervalle (dans I1000 les nombres de longueur
mille sont au nombre de 2). L’avant dernier wagon de I4 (les nombres de longueur 3) est formé des
premiers qui se trouvent dans I1 et I2. Le nombre d’entiers de ce wagon est cinq et il est stabilisé.
C'est-à-dire que le nombre d’entiers de l’avant dernier wagon (les entiers de longueur 4) du train
suivant I5 est aussi égale à cinq comme on peut l’observer sur le tableau. Plus les trains sont longs
plus ils y a de wagons comportant un nombre stabilisé d’entiers. Ainsi on montre que dans I100 les
trente six derniers wagons ont un nombre d’entiers stabilisé.
1
L’AGP
Longueurs
1
Io=[20 ; 21[
1
I1= [21 ; 22 [
2
3
2
3
4
I2= [ 22 ; 23 [
5
7
2x3
2x2
I3= [ 23 ; 24 [
11
13
2x5
2x7
3x5
3x3
I4= [ 24 ; 25 [
17
19
23
29
31
2x11
2x13
3x7
5x5
2x3x3
2x2x5
2x3x5
2x2x7
3x3x3
2x2x2x2
2x2x2x3
I5 =[ 25 ; 26[
37
41
43
47
53
59
61
2x31
2x29
2x23
2x19
2x17
3x19
3x17
3 x13
3x11
5x11
5x7
7x7
2x2x11
2x2x13
2x2x7
3x3x5
3x3x7
2x5x5
2x2x2x5
2x2x2x7
2x2x3x3
2x2x3x5
2x3x3x3
5
2x2x2
2x2x3
{2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13}
2x2x2x2x2
2x2x2x2x3
(2;3)
stabilisé à 2 entiers
{2 ;3 ;5 ;7}
stabilisé à 5 entiers
En guise de bilan
A la différence du crible d'Eratosthène, l'AGP utilise le théorème fondamental de la
décomposition unique des entiers en produit de premiers. Il réalise une partition de N, ce qui fait
qu’il offre des perspectives dans le domaine du dénombrement. Ainsi les stabilisations précédentes
pourraient trouver là leur intérêt. Surtout l’AGP propose de considérer non pas le nombre premier
seul, mais la collection qui se trouve dans chaque intervalle Ir. Il permet d’observer une construction
2
qui montre d’avantage l’ordre que le chaos et il montre bien contrairement au crible d'Eratosthène
que les nombres premiers ne se forment pas au hasard.
Encadré technique : théorèmes issus de l'AGP
Nous nous contenterons de donner ici deux résultats : un théorème préliminaire que nous
démontrerons et un théorème, central de cette étude, le théorème de stabilisation, que nous
admettrons. Soit l’intervalle Ir = [ 2r ; 2r+1 [. On désigne par L r,m les entiers de Ir de longueur m.
L’entier m varie donc de 1 à r (un entier strictement positif). On notera Pr = Lr,1 les nombres
premiers de Ir. Card (Lr,m) désigne le nombre de premiers dans L r,m.
Théorème préliminaire
A) Les nombres premiers q qui sont dans la décomposition des entiers de Lr,m sont tels que : q < 2
r-m +2
B) Si q < 2 r-m +2, il existe au moins un entier de Lr,m, avec 2 ≤ m ≤ r, qui contient q comme
facteur.
A) En effet : si q ≥ 2 r-m +2. Alors 2m-1q ≥ 2 r+1. Or 2m-1q est le plus petit entier de longueur m qui
contient q. Donc il n’y a aucun entier de Lr,m contenant q. On a donc nécessairement q < 2 r-m +2
B) Pour démontrer B nous avons besoin d’un résultat préalable. Le postulat de Bertrand dit que pour
tout entier n > 1 on peut toujours trouver un nombre premier compris entre n et 2n. Ce postulat est
toujours vrai si on remplace n entier, par x réel et x Error! Objects cannot be created from editing
field codes. 2. Cela découle des inégalités suivantes : Soit x réel, x Error! Objects cannot be
created from editing field codes. 2 et E(x) la partie entière de x. On a E(x) > 1 et d’après Bertrand
il existe un nombre premier p Tel que E(x) < p < 2 E(x) qui entraîne E(x) +1 ≤ p < 2E(x).
Comme E(x) ≤ x < E(x)+1. On déduit x < E(x) +1 ≤ p < 2 E(x) ≤ 2x ce qui prouve notre
assertion. Soit q < 2 r-m +2. Si 2 r-m +1 ≤ q < 2 r-m +2 alors 2 r ≤ 2 m -1 q < 2 r+1, donc pour
2 ≤ m ≤ r il existe bien au moins un entier de Lr,m qui contient q comme facteur (dans ce cas tous
les premiers de Pr-m+1). Si q < 2 r-m +1 alors 2r-m+1/q >1 et 2 r-m +2/q > 2. Donc il existe un
nombre premier p entre 2 r-m +2/q et 2 r-m +3 /q.
On en déduit pour 2 ≤ m ≤ r que 2 m-2 pq est dans
Ir et ce nombre est bien un entier de longueur m qui contient q comme facteur. En d’autres termes
les entiers de longueur 2 ≤ m ≤ r d’un intervalle Ir sont engendrés par tous les nombres premiers
inférieurs ou égaux à ceux de l’intervalle Ir-m+1. On dira que des nombres premiers engendrent une
collection H de nombres entiers si tous ces premiers se trouvent dans la décomposition des entiers de
H et s’il n’y en a pas d’autres.
ln 2
. On peut donc
Théorème (de stabilisation): card (Lr,m)= card (Lr+n,m+n) pour m ≥ (r+1)
ln 3
observer que pour r> 4, plus du tiers des longueurs d’un intervalle
Ir ont un cardinal qui se
stabilise et qui se retrouvent donc dans les intervalles suivants. A titre indicatif pour I100 les 36
dernières longueurs sont stabilisées. On peut calculer les longueurs qui sont stables. Ainsi par
exemple pour tout r>7. On peut aisément trouver Lr,r=2, Lr,r-1= 5 ; Lr,r-2 =8 etc.
Bibliographie :
Jean-Paul Delahaye. Merveilleux nombres premiers. Voyage au cœur de l'arithmétique.
Éditions Belin/Pour la science, Paris, 2000,
Gilles Godefroy, L’aventure des nombres, Editions Odile Jacob, 1997.
Edouard Lucas, Théorie des nombres, Gauthier-Villars,1891, réédition Jacques Gabay,1991,
P.382. (Consultable sur le site Gallica de la BNF.)
3