4ème

Ch11 : Calculs de puissances
4ème
Objectifs
• Comprendre les notations an et a−n et savoir les utiliser sur des
exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des
a2
−3 où a
égalités telles que : a2 × a3 = a5 ; (ab)2 = a2 b2 ; a
5 = a
1
et b sont des nombres relatifs non nuls.
• Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10m × 10n =
10m+n ; 101n = 10−n ; (10m )n = 10m×n où m et n sont des entiers
relatifs.
Notation an avec a un nombre entier relatif
Définition (an )
Définition (10n)
Pour écrire a × a × a × · · · × a, on note « an ».
|
{z
}
n facteurs
Pour écrire 10 × 10 × 10 × · · · × 10, on note « 10n ».
{z
}
|
n facteurs
Exemple : 32 = 3 × 3 = 9,
(−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125.
2
Exemple : 102 = 10 × 10 = 100,
106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 000 000.
Multiplication
Théorème
Théorème
Quels que soient les nombres entiers m et n, on a
Quels que soient les nombres entiers m et n, on a
am × an = am+n .
10m × 10n = 10m+n .
Exemple : 23 × 24 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27
| {z } |
{z
}
23
3
Exemple : 103 × 102 = 1 000 × 100 = 100 000 = 105 .
24
Puissance 0
Théorème
Théorème
Par convention, on pose
0
Par convention, on pose
a = 1.
100 = 1.
Démonstration : La règle de multiplication pour les nombres strictement positifs, étendue au nombre 0 implique que
an × a0 = an+0 = an .
Ainsi, a0 vaut obligatoirement 1 car an × 1 = an .
4
Puissance négative
Théorème
Théorème
On note
a−n =
1
.
an
On note
10−n =
1
.
10n
Démonstration : La règle de multiplication pour les nombres strictement positifs, étendue aux nombre négatifs implique
an × a−n = an+(−n) = an−n = a0 = 1.
Donc, a−n est l’inverse de an .
1
1
Exemple : 2−3 = 3 = = 0, 125.
2
8
1
1
10−3 = 3 =
= 0, 001.
10
1 000
1
Ch11 : Calculs de puissances
5
4ème
Division
Théorème
Théorème
Quels que soient les entiers relatifs m et n,
Quels que soient les entiers relatifs m et n,
10m
= 10m−n .
10n
am
= am−n .
an
Exemple :
6
1
1
22
= 22−5 = 2−3 = 3 = = 0, 125.
25
2
8
Exemple :
105
= 105−2 = 103 = 1 000.
102
Puissance de puissance
Théorème
Théorème (Pour les puissances de 10)
a, m et n étant des entiers relatifs, on
m n
(a ) = a
Exemple :
32
3
m×n
Soient m et n deux entiers relatifs, on a
n
(10m ) = 10m×n .
.
= 32×3 = 36 .
Exemple :
Démonstration : on choisit m et n positifs puis on décompose.
n
(10m ) = 10m × 10m × · · · × 10m
|
{z
}
n facteurs
m facteurs
m facteurs
}|
{
z
}|
{
z
= 10 × 10 × · · · × 10 × · · · × 10 × 10 × · · · × 10
|
{z
}
n × m facteurs
= 10 × 10 × · · · × 10
|
{z
}
m × n facteurs
n
(10m ) = 10m×n .
Le résultat est prouvé pour m et n positifs.
2
10−2
3
= 10−2×3 = 10−6 .