Correction des exercices sur l`effet Doppler Exercice 21 p.79 Pour

Correction des exercices sur l’effet Doppler
Exercice 21 p.79
Pour les curieux : justification de la formule donnée.
L
t=0
L1
t1
λ
V.(t’-t)
L2
VS.(t’-t)
t2
tR1
tR2
Soit t = 0 l’instant d’émission du premier front d’onde. La voiture est alors à la distance L, appelons-le
premier bip. La durée séparant l’émission des deux bips est TE .
Le premier bip arrive à la voiture et se réfléchit donc de façon instantanée à l’instant t : La voiture est alors à
une distance L1 = L – V. t
Le second bip arrive à la voiture et se réfléchit à l’instant t’ : la voiture est alors à une distance L2 = L – V. t’
La durée mise par le premier bip pour retourner au récepteur est ∆t1. On a : L1 = VS. ∆t1 . L’instant où le
premier bip est reçu est donc : tR1 = t + ∆t1
La durée mise par le second bip pour retourner au récepteur à partir du moment où il est émis est ∆t2.
On a : L2 = VS. ∆t2. L’instant où le second bip est reçu est donc : tR2 = t’ + ∆t1
La durée séparant l’émission de la réception est donc : TR = tR2 - tR1
Donc : TR = t’+∆t2 – (t+ ∆t1) = t  t 
L 2 L1

VS VS
soit : TR  t  t 
L  V.t  L  V.t 
VS

V
Donc : TR   1   (t  t)
VS 

Il faut exprimer t’ – t en fonction des données.
Pendant la durée t’ – t , la voiture a parcouru une distance dV = V.(t’-t) et le second bip parcourt dS = VS (t’-t).
La somme de ces deux distance est égale à la distance séparant la voiture du second bip à l’instant t, soit une
longueur d’onde λ = VS.TE par définition.
Donc : V.(t’-t) + VS (t’-t) = VS.TE
soit : t  t 
VS
.TE
V  VS






V
V
V  1
Donc : TR   1   S .TE  soit : TR   1   
VS  V  VS 
VS   1  V



VS

V

1

VS
1
Par conséquent, comme f  , il vient : fR  
T
1 V

VS



 fE





 TE



V

1 V
S
d’où : fE  
V
1

VS



 fR




 1
On effectue un développement limité au premier ordre en série de Taylor : 
1 V

VS



V
 1
VS



2


V 
V
V
Donc : fE   1   1   fR soit : fE   1   fR
VS 
VS 
VS 


En développant de nouveau au premier ordre en série de Taylor, il vient :
 2V 
fE   1   fR
VS 

On retrouve l’expression proposée. La formule est bien homogène et la fréquence de réception est
supérieure à la fréquence d’émission comme prévu.
Réponse aux questions :
1.a. Le cinémomètre compare la fréquence des ondes électromagnétiques incidentes à celle des ondes
réfléchies. Dans le cas de l’expérience de Buys-Ballot, les musiciens à quai reçoivent l’onde sonore émise par
les musiciens du train. Il y donc deux différences : il n’y a pas de réflexion des ondes émises.
Il y donc deux différences :
- les ondes utilisées par le cinémomètre sont des ondes électromagnétiques, alors qu’en 1845
c’étaient des ondes sonores,
- Il y a réflexion des ondes dans le cas du cinémomètre.
1.b. Les ondes se réfléchissent sur les obstacles.
1.c. Le sens indiqué du mouvement sur le schéma est : vers le cinémomètre. Donc, la voiture s’approche du
cinémomètre lorsque la mesure est faite.
1.d. On sait que, lorsque la source se rapproche du récepteur, la fréquence de l’onde pour le récepteur est
supérieure à celle de l’émission à la source. Donc, fE < fR.
2. D’après la question précédente, fE < fR.
Par lecture graphique sur le document : fE = 40,000 kHz et fR = 40,280 kHz.
On constate de plus que l’amplitude du signal bleu est inférieure à celle du signal rouge, ce qui confirme que
le signal bleu est bien le signal réfléchi et atténué par son parcours dans l’air.
3.a. fE < fR, ce qui permet d’éliminer (D).
Dimensionnellement, la partie gauche de l’expression (A) est homogène à une fréquence, alors que la partie
droite de l’expression (A) n’est pas homogène à une fréquence, mais à une fréquence multipliée par une
vitesse : celle relation est donc à éliminer.
Il en va de même pour la (B) : la partie gauche est homogène à une vitesse, tandis que la partie droite est
homogène à une fréquence multipliée par une vitesse.
Il reste donc l’expression (C) dont les deux parties sont homogènes à une fréquence.
3.b. Le nombre 2 vient du fait que la vitesse de la voiture influe deux fois : une fois à l’aller des ondes et une
fois au retour (voir démonstration en introduction).
 2V 
V 
f 
3.c. fE   1   fR donc : V  S  1  E 
VS 
2
fR 

A.N : V 
340  40,000 
1
 1,18 m.s-1


2 
40,280 
Ce qui est cohérant avec la vitesse d’un jouet.
4. D’après le graphique, comme la vitesse est constante, la position x du jouet est lié au temps t par la
relation : x = Vvidéo.t + x0
0,24  0,02
Or, le graphique permet de déterminer le coefficient directeur qui est égal à Vvidéo : Vvidéo 
 1,1
3,11  2,91
m.s-1
4.b. Les valeurs obtenues sont très voisines car l’écart relatif vaut :
1,18  1,1
 100  6,7 %
1,18
Cela valide la modélisation du principe de mesure du radar automatique.
Exercice 26 p.81
Pour les curieux : justification du phénomène
Considérons un musicien E (comme émetteur) dans un wagon du train, d’abord
immobile. Pour le musicien du train qui joue un la3 à 440 Hz, cela signifie qu’il y a
une surpression de l’air 440 fois par seconde au voisinage de son tympan. Entre
deux instants séparés par une durée égale à une période, une zone donnée de
l’air, qu’on peut assimiler à un point, subit une surpression. SI on considère
l’ensemble de l’air, alors deux points seront en surpression au même instant s’ils
sont séparés par la distance que parcourt l’onde sonore en une période, c’est-àdire par une longueur d’onde λE  cS .TE
La figure 1 représente l’aspect de l’air au voisinage d’un musicien du train, à un
instant donné. Chaque cercle représente les points où il y a une surpression.
Figure 1
Lorsque le wagon du train se déplace à vitesse constante VE par rapport au quai, les ondes se déplacent
toujours à la célérité cS dans l’air qui se déplace lui-même avec le wagon : la situation est inchangée pour
le musicien dans le wagon, qui perçoit donc toujours un la3 à 440 Hz.
On retrouve ainsi le principe de relativité du mouvement : il n’y a aucun moyen de distinguer un référentiel
immobile d’un référentiel en mouvement rectiligne uniforme, car les situations y sont identiques.
Considérons maintenant un personnage R (comme récepteur) immobile sur le quai.
Lorsque le train se rapproche de lui à vitesse constante, les ondes sonores se déplacent à la célérité c S par
rapport au quai, puisque l’air au voisinage de R est immobile par rapport au quai et donc par rapport à ce
personnage. Pendant une durée égale à une période, le train a avancé de la distance d E = VE.TE, et l’onde a
avancé à la célérité c dans toutes les directions à partir de la source. A l’instant t’= t+TE, une nouvelle
surpression est émise à la source, et la surpression précédemment émise a parcouru une distance dS =
cS.TE.
La distance entre deux points consécutifs où il y a surpression est donc d = d S – dE = cS.TE - VE.TE . (figure 2)
Par conséquent, la longueur d’onde de l’onde sonore perçue par le personnage immobile est donc :
λR  λE  VE .TE
c
f
Par conséquent, la fréquence perçue par le personnage sur le quai est différente de la fréquence émise :
cS cS VE
 
fR fE fE
Or, la fréquence est liée à la longueur d’onde par la relation : λ 
Cette fréquence perçue par le personnage immobile sur le quai dépend de la vitesse VE de la source (le
wagon du train) selon la relation :
cS
fR 
 fE
cS  VE
La fréquence de l’onde sonore perçue par l’observateur est donc supérieure à la fréquence de vibration
de la source : le son perçu est plus aigu quand l’émetteur se rapproche de l’observateur.
Ce qui donne la relation entre la vitesse de déplacement du train et la vitesse du son dans l’air :

f 
VE  cS .  1  E 
fR 

Figure 2
VE
cS
t
dS
dE λE
t +TE
t +2.TE
Pour tous : réponses aux questions.
1. Il s’agit de l’effet Doppler : le déplacement de la source par rapport à l’observateur décale la
fréquence de l’onde perçue par l’observateur par rapport à celle de l’onde émise par la source.
2. D’après le document, la note perçue est un la dièse. Or, un la dièse a une hauteur de 446 Hz. L’onde
sonore perçue a donc une fréquence fR = 466 Hz.

f 
3. D’après la relation : VE  VS .  1  E  , on a :
fR 

 440 
-1
-1
A.N : VE  340.  1 
 = 19,0 m.s soit environ 68 km.h ce qui est compatible avec la vitesse
 466 
d’un train en 1845.
Exercice 27 p.81
1. L’onde sonore se déplace dans l’air, supposé immobile (pas de vent), à la célérité V d’après l’énoncé :
la célérité d’une onde dépend du milieu de propagation, mais non de la source.
d
A va donc percevoir le signal avec un retard τ  par rapport à la source. Or, l’instant pris comme
V
origine des dates est celui de l’émission de l’onde sonore par E.
d
Donc l’instant de réception par A est : t1 
V
2.a. Durant une durée égale à une période de l’onde sonore émise, l’émetteur parcourt une distance
dE = VE.TE
2.b. A t=0, E est à une distance d de A. Plus tard, à t = TE, l’émetteur a parcouru une distance dE : il est
donc plus proche de A, et la distance entre E et A vaut : d’ = d-dE soit :
d’ = d- VE.TE
2.c. A t=TE, l’émetteur E est à la distance d’ = d- VE.TE de l’observateur A. Le retard qui sépare l’émission
d  VE .TE
de l’onde à la source et la réception vaut donc τ  t2  TE 
V
d  VE .TE
D’où : t2 
 TE
V
Remarque : l’énoncé parle d’une « nouvelle émission de l’onde » : il serait plus juste de dire que
l’air au voisinage de l’émetteur, c’est-à-dire à la source, se retrouve de nouveau en situation de
surpression. Si l’émetteur est en fait un haut-parleur, cela signifie qu’à la date t = TE la membrane
du haut-parleur se retrouve dans le même état vibratoire qu’à l’instant initial t = 0.
3. L’observateur reçoit à la date t1 le premier signal, et à la date t2 le second. La durée séparant deux
d  VE .TE
d
 TE  d’après les relations précédentes.
signaux consécutifs est donc TA  t2  t1 
V
V
V .T
V 

Soit : TA   E E  TE donc : TA   1  E .TE
V
V

La durée TA est en fait la période de l’onde sonore perçue par A.
4.a.On sait que la fréquence est liée à la période par la relation : f 
1
T
V  1
fE
1 
V 

Donc la relation TA   1  E .TE est équivalente à :   1  E  . soit : fA 
VE 
fA 
V  fE
V


1  
V

V
f
Donc : fA 
 V  VE  E
La fréquence de l’onde sonore perçue par A est plus grande que la fréquence d’émission : le son est
perçu plus aigu quand l’émetteur se rapproche de l’observateur.

f 
4.b. Par conséquent : VE  V.  1  E 
fA 

Exercice 28 p.81
1. L’onde sonore se déplace dans l’air, supposé immobile comme précédemment(ex.27), à la célérité V
d’après l’énoncé. La célérité d’une onde dépend du milieu de propagation, mais non de la source.
d
B va donc percevoir le signal avec un retard τ  par rapport à la source. Or, l’instant pris comme
V
origine des dates est celui de l’émission de l’onde sonore par E.
d
Donc l’instant de réception par B est : t1 
V
2.a. Durant une durée égale à une période de l’onde sonore émise, l’émetteur parcourt une distance
dE = VE.TE
2.b. A t=0, E est à une distance d de B. Plus tard, à t = TE, l’émetteur a parcouru une distance dE : il est
donc plus éloigné de B, et la distance entre E et B vaut : d’ = d + dE soit :
d’ = d + VE.TE
2.c. A t = TE, l’émetteur E est à la distance d’ = d + VE.TE de l’observateur B. Le retard qui sépare l’émission
d  VE .TE
de l’onde à la source et la réception vaut donc τ  t2  TE 
V
d  VE .TE
D’où : t2 
 TE
V
Même remarque que pour l’exercice 27: l’énoncé parle d’une « nouvelle émission de l’onde » : il
serait plus juste de dire que l’air au voisinage de l’émetteur, c’est-à-dire à la source, se retrouve de
nouveau en situation de surpression. Si l’émetteur est en fait un haut-parleur, cela signifie qu’à la
date t = TE la membrane du haut-parleur se retrouve dans le même état vibratoire qu’à t = 0.
3. L’observateur reçoit à la date t1 le premier signal, et à la date t2 le second. La durée séparant deux
d  VE .TE
d
 TE  d’après les relations précédentes.
signaux consécutifs est donc TB  t2  t1 
V
V
V .T
V 

Soit : TB  E E  TE donc : TB   1  E  .TE
V
V

La durée TB est en fait la période de l’onde sonore perçue par B.
4.a.On sait que la fréquence est liée à la période par la relation : f 
1
T
V  1
fE
1 
V 

Donc la relation TB   1  E  .TE est équivalente à :   1  E . soit : fB 
VE 
fB 
V  fE
V


1  
V

V
f
Donc : fB 
 V  VE  E
La fréquence de l’onde sonore perçue par B est plus petite que la fréquence d’émission : le son perçu
est plus grave que le son émis.
f

4.b. Par conséquent :  V  VE .fB  V.fE soit : VE .fB  V  fE  fB  donc : VE  V.  E  1 
 fB

Exercice 29 p 82
L’énoncé rappelle que :
- dans le cas où l’émetteur E s’éloigne du récepteur R, on a
f E  VE 
 1 

fR 
V 
f E  VE 
 1 

fR 
V 
1) Dans le cas du mouvement des galaxies, fE est la fréquence des ondes électromagnétiques (on se fixera
sur les radiations visibles ou proches du visible pour cet énoncé) émises par les galaxies et fR la fréquence des
ondes reçues (sur Terre), V est la célérité de ces ondes électromagnétiques durant le trajet (donc dans le
vide) et VE la vitesse des galaxies par rapport à la Terre.
- dans le cas où l’émetteur E s’approche du récepteur R, on a
2)
VE
 0 car une vitesse est toujours positive, donc :
V
f
- Si l’émetteur s’éloigne du récepteur, E  1
fR
-
Si l’émetteur s’approche du récepteur,
fE
1
fR
3) Si la fréquence des ondes lumineuses émises par une galaxie est supérieure à la fréquence des ondes
f
reçues depuis la Terre (soit si E  1 ) donc si le spectre reçu est « décalé vers le rouge », alors la galaxie
fR
s’éloigne. Inversement, si
fE
 1 , le spectre reçu est « décalé vers le bleu », signe que la galaxie se
fR
rapproche.
4) Toutes les galaxies lointaines s’éloignent les unes des autres, et d’autant plus rapidement qu’elles sont
éloignées (on laissera de côté les galaxies de notre amas, l’amas de la Vierge). Plus une galaxie est lointaine
et plus son spectre reçu sur Terre est décalé vers le rouge. Cette observation valide la conception de
l’expansion de l’Univers, et donc par conséquent celle du Big-bang.
Remarque : plus précisément, l’effet Doppler mis en jeu dans ce cas fait appel à la théorie de la relativité
générale. L’expansion de l’univers est la dilatation de l’espace lui-même, ce qui est différent d’un objet en
mouvement dans un espace fixe. L’image est plutôt celle de taches de peintures à la surface d’un ballon, qui
s’éloignent les unes des autres quand le ballon, qui représente l’espace, se dilate.