elements de symetrie exercices corriges

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
ELEMENTS DE SYMETRIE
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
Dans chacun des cas suivants, justifier que la fonction f considérée est bien définie sur D f , puis démontrer que la courbe
C f représentant la fonction f dans un repère orthonormé admet l’élément de symétrie indiqué
1) f ( x) =
2) f ( x) =
x −1
x +1
x 2 − 4x + 3
3) f ( x) = 2 x − 3 −
4) f ( x) =
3
x+2
1 3
5
x − x 2 − 3x +
3
3
5) f ( x ) = cos 4 x − 2 cos 2 x
D f = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[
Centre de symétrie : Ω ( −1;1)
D f = ]−∞;1] ∪ [3; +∞[
Axe de symétrie : ∆ ( x = 2 )
D f = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; +∞[
Centre de symétrie : Ω ( −2; −7 )
Df = \
Centre de symétrie : Ω (1; −2 ) )
Df = \
π

Axe de symétrie : ∆  x = 
2

Exercice n°2.
On considère la fonction f définie par f ( x) =
x 2 − 7 x + 10
et on note C sa courbe représentative dans un repère
2 (1 − x )
G G
orthonormé (O, i , j ) d'unité 2 cm.
1) Déterminer l’ensemble de définition de f
 5
2) Démontrer que le point Ω 1;  est centre de symétrie de la courbe C
 2
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ELEMENTS DE SYMETRIE
CORRECTION
Exercice n°1
1) La division par x + 1 implique x + 1 ≠ 0 donc D f = \ \ {−1} = ]−∞; −1[ ∪ ]−1; +∞[
De plus, pour tout h ≠ 0 ,
−1 + h − 1 −1 − h − 1
+
f (−1 + h) + f (−1 − h) −1 + h + 1 −1 − h + 1
=
2
2
−2 + h −2 − h −2
2
+
+1+ +1
2
−h = h
h
= h
= =1
2
2
2
f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h)
Ainsi
= yΩ , ce qui prouve que le point Ω ( −1;1) est centre de symétrie de la courbe C f
2
2) f est définie pour toutes les valeurs de x telles que x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 . Si on note P ( x ) = x 2 − 4 x + 3 , le calcul de
∆ = ( −4 ) − 4 × 1 × 3 = 4 = 22 nous permet de conclure à l’existence de deux racines réelles distinctes x1 =
2
− ( −4 ) + 4
− ( −4 ) − 4
2 ×1
=1
= 3 , donc, grâce à la factorisation P ( x ) = ( x − 1)( x − 3) , à l’étude de signes de P ( x ) , qui rend
2 ×1
compte que P ( x ) = x 2 − 4 x + 3 ≥ 0 lorsque x ∈ ]−∞;1] ∪ [3; +∞[ . Ainsi D f = ]−∞;1] ∪ [3; +∞[ .
et x2 =
De plus, pour tout h ≥ 1 , d’une part f (2 + h) = (2 + h) 2 − 4(2 + h) + 3 = 4 + 4h + h 2 − 8 − 4h + 3 = h 2 − 1 , et d’autre
part f (2 − h) = (2 − h) 2 − 4(2 − h) + 3 = 4 − 4h + h 2 − 8 + 4h + 3 = h 2 − 1 . Puisque f (2 + h) = f (2 − h) , on conclut que
la courbe C f admet la droite ∆ d’équation x = 2 pour axe de symétrie
3) La division par x+2 implique x + 2 ≠ 0 donc D f = \ \ {−2} = ]−∞; −2[ ∪ ]−2; +∞[
Pour tout h ≠ 0 , on calcule
3
3
+ 2 ( −2 − h ) − 3 −
2 ( −2 + h ) − 3 −
f (−2 + h) + f (−2 − h)
−2 + h + 2
−2 − h + 2
=
2
2
.
3
3
−4 + 2h − 3 − − 4 − 2h − 3 −
− h = − 14 = −7
h
=
2
2
f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h)
Ainsi
= yΩ , ce qui prouve que le point Ω ( −2; −7 ) est centre de symétrie de la courbe C f
2
4) f est définie sur \ en tant que fonction polynôme, et pour tout h,
1
5 1
5
3
2
3
2
1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) + + (1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) +
f (1 + h) + f (1 − h) 3 (
3 3
3.
=
2
2
On calcule séparément :
1
5
3
2
(1 + h ) − (1 + h ) − 3 (1 + h ) +
3
3
1
5
= (1 + 3h + 3h 2 + h3 ) − 3 (1 + 2h + h 2 ) − 3 − 3h +
3
3
1 3
= h − 4h − 2
3
et
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1
5
3
2
(1 − h ) − (1 − h ) − 3 (1 − h ) +
3
3
1
5
= (1 − 3h + 3h 2 − h3 ) − (1 − 2h + h 2 ) − 3 + 3h +
3
3
1 3
= − h + 4h − 2
3
1 3
 1

h − 4h − 2 +  − h3 + 4h − 2 
f (1 + h) + f (1 − h) 3
3

 = −4 = −2 .
=
Ainsi, on simplifie
2
2
2
f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h)
= yΩ , ce qui prouve que le point Ω (1; −2 ) est centre de symétrie de la courbe C f
Ainsi
2
5) f est définie sur \ en tant que somme de fonctions trigonométriques.
Pour tout h, on calcule séparément :
π

π

π

f  + h  = cos 4  + h  − 2 cos 2  + h 
2

2

2

= ( − sin ( h ) ) − 2 ( − sin ( h ) ) = sin 4 ( h ) − 2sin 2 ( h )
4
2
π

π

π

− h  = cos 4  − h  − 2 cos 2  − h  = sin 4 ( h ) − 2sin 2 ( h )
2

2

2

π
π

π

Puisque f  + h  = f  − h  , on en déduit que la droite ∆ d’équation x = est axe de symétrie de C f
2
2

2

et f 
Exercice n°2
1) La division par 1-x implique 1 − x ≠ 0 donc D f = \ \ {1} = ]−∞;1[ ∪ ]1; +∞[
2) On calcule, pour tout h ≠ 0 ,
(1 + h )
− 7 (1 + h ) + 10 (1 − h ) − 7 (1 − h ) + 10
+
2 (1 − (1 + h ) )
2 (1 − (1 − h ) )
2
f (1 + h) + f (1 − h)
=
2
2 h × ( h 2 − 5h + 4 ) − 2 h ( h 2 + 5 h + 4 )
=
−4h 2
2
2
2
h 2 − 5h + 4 h 2 + 5h + 4
+
−2h
2h
=
2
−20h 2
2
f ( xΩ + h) + f ( xΩ − h)
5
= −4h = ; c’est-à-dire
= yΩ .
2
2
2
 5
Ceci prouve que le point Ω 1;  est centre de symétrie de la courbe C f
 2
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