Équation de Van der Walls

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Équation de Van der Walls
La pression exercée par un gaz réel est inférieure à celle exercée par un gaz parfait. Dans
l’hypothèse de van der Walls, cet écart est proportionnel au carré du nombre de molécules par unité
de masse soit : pGP = pGR + a/v². Aux fortes pressions, le volume résiduel n’est pas nul. Le volume
susceptible d’évoluer comme un gaz parfait est (v – b). On obtient dans ces conditions la forme
suivante de l’équation caractéristique (équation de Van der Walls) :
a 
R

 p + 2 (v − b ) = T = r.T (1)
M
v 

r = R/M dépend de la nature du gaz. (M = masse molaire, R = 8,32 joules pour un gaz parfait)
Forme réduite de l’équation de Van der Walls
Au point critique, les relations suivantes sont satisfaites :
a 

 p + 2 (v − b ) − r.T = 0
v 

 ∂ 2p 
 ∂p 

=0
  = 0;
2

∂
v
 
 ∂v 
rTc
a
− 2 (a )
pc =
vc − b vc
On en déduit :
∂p
rT
2a
=−
+
∂v
(v − b )2 v 3
∂ 2p
∂v 2
=
2rT
(v − b )3
−
6a
v4
⇒
v 3c
2a
=
rTc (v c − b )2
( b)
⇒
3a
v4
=
rTc (v c − b )3
(c)
De (b) et (c), on déduit vc . Le report dans (b) donne Tc et de (a), on tire pc.
8a
a
v c = 3b; Tc =
; pc =
27 br
27 b 2
v
8 pc vc
b = c ; a = 3p c v c2 ; r =
Les relations inverses sont :
3
3 Tc
L’introduction de ces valeurs dans l’équation (1) donne :




 p
3  v 1  8 T


+
− =
 p c  v  2  v c 3  3 Tc
  


 vc  

En posant Y = p/pc, X = v/vc et Z = T/Tc, on obtient :
3 
1 8

 Y + 2  X −  = Z
3 3
X 

C’est l’équation réduite de Van der Walls
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