Repère et coordonnées

2nde. Cours - Géométrie plane repérée
Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l’axe
vertical des latitudes et l’axe horizontal des longitudes. La position d’un bateau par exemple est définie par
ses coordonnées sur la cartes, c’est-à -dire la longitude et la latitude.
Lorsque l’on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l’aide des axes verticaux et
horizontaux du plan. Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan.
1
Repère et coordonnées
Définition 1 :
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés, dans un ordre précis : O, I, J.
On note ce repère (O,I,J), et :
– le point O est l’ origine du repère ;
– la droite (OI) est l’ axe des abscisses et le point I donne l’unité de cet axe ;
– la droite (OJ) est l’ axe des ordonnées et le point J donne l’unité de cet axe.
Remarques.
J
J
J
I
O
O
Repère quelconque
I
Repère orthogonal
O
I
Repère orthonormé
– L’axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n’est pas une obligation
– Si le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O,I,J) est dit orthogonal. Les axes du repères sont
perpendiculaires.
– Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O, le repère (O; I; J) est dit orthonormé. Les axes du
repère sont perpendiculaires et ont la même unité.
Définition 2 :
On considère un repère (O,I,J) du plan et un point M quelconque.
– En traçant la parallèle à (OJ) passant par M , on obtient sur l’axe (OI) l’ abscisse xM du point M .
– En traçant la parallèle à (OI) passant par M , on obtient sur l’axe (OJ) l’ ordonnée yM de M .
– Le couple de réels (xM ; yM ) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O,I,J).
Exemple.
M
J
O
I
A
Le point M a pour coordonnées (. . . ; . . . ) et le point A a pour coordonnées (. . . ; . . . )
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2nde. Cours - Géométrie plane repérée
1 1 Distance dans un repère orthonormé.
Exemple.
1. Calculer les distance AB, AC et BC
en prenant comme unité le côté d’un carreau du
quadrillage.
C
2. On choisit un repère orthonormé (A,I,J)
d’origine A tel que B(4 ; −2).
A
(a) Placer le repère (A,I,J) sur la figure.
2
(b) Comparer AB et x2B + yB
.
(c) Vérifier que l’on a une relation analogue
avec le point C.
B
3. Conjecturer une relation entre la distance BC
et les coordonnées des points B et C.
Propriété 1 :
On considère un repère orthonormé (O,I,J) du plan et les points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ).
La distance entre les points A et B est :
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
l’unité de longueur étant celle commune aux deux axes.
Preuve. On suppose que xB > xA et yB > yA . Les autres cas se traitent de même.
On note C le point tel que xC = xB et yC = yA .
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d’après le théorème de Pythagore : AB 2 = AC 2 + BC 2 , ie :
AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
p
Comme AB est positif on a AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
♣
Attention !
cette formule n’est valable que si le repère est orthonormé !
Exemple. A(−2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3)
y
B
J
A
C
O
AB =
p
x
I
(2,5 − (−2))2 + (3 − 0,5)2 =
p
4,52 + 2,52 =
√
26,5 ' 5,1
25
2nde. Cours - Géométrie plane repérée
1 2 Milieu d’un segment
Au vidéo-projecteur, sur GeoGebra, créer 4 curseurs a, b, c et d prenant des valeurs entières comprises
entre −5 et 5. Créer les points A(a ; b), B(c ; d) puis le milieu du segment [AB].
1. En utilisant les curseurs et en observant les coordonnées des points A, B et C dans la fenêtre « algèbre »,
compléter le tableau de valeurs suivant :
A
B
C
(4 ; 2)
(2 ; 0)
(−3 ; 1)
(−5 ; −1)
(0 ; 5)
(1 ; −3)
(1 ; −3)
(3 ; −1)
(3 ; 0)
(−4 ; 2)
(−5 ; 4)
(0 ; 0)
(2 ; −2)
(−2 ; 2)
(1 ; 1)
(−3 ; 5)
2. Conjecturer des relations entre les coordonnées du milieu du segment et celles de ses extrémités.
3.
Définition 3 :
Si x et y sont deux nombres réels, la moyenne arithmétique de x et y est le réel
x+y
.
2
Énoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres.
Propriété 2 :
On considère dans le plan muni d’un repère (O,I,J) les
points A(xA ; yA ) et
B(xB ; yB ).
xA + xB yA + yB
Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées
;
2
2
Preuve. On se place dans un repère orthonormé du plan.
1er cas : xA = xB ou yA = yB .
Prenons par exemple yA = yB avec xB > xA .
M est le milieu de [AB] donc M ∈ [AB]
et M A = M B. On a donc clairement yM = yA (=
yB ) et donc M A = xM −xA et M B = xB −xM . En
résolvant M A = M B on obtient 2xM = xA + xB
d’où le résultat.
yA = yB
A
M
B
J
O
I xA
xB
2e cas : xA 6= xB et yA 6= yB .
Soit C le point du plan de coordonnées (xB ; yA ).
Le repère étant orthonormé, le triangle ABC
est rectangle en C. On note respectivement P
et Q les milieux de [AC] et
[CB]. En appli
xA + xB
er
; yA et
quant le 1 cas on obtient P
2
yB + yA
Q xB ;
.
2
En utilisant deux fois la propriété de la droite des
milieux, on obtient que (M P ) est parallèle à (BC)
et que (M Q) est parallèle à (AC) et donc les coordonnées de M sont (xP ; yQ ).
B
yB
M
yA
J
A
O
I xA
P
Q
C
xB
♣
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2nde. Cours - Géométrie plane repérée
Exemples.
A(−1,5 ; 1,5) et B(3 ; 1,5)
y
A(−2 ; 0,5) et B(2,5 ; 3)
y
B
A
M
M
B
J
J
A
O
I
M (0,75 ; 1,5)
x
C
O
I
x
M (0,25 ; 1,75)
1 3 Quelques algorithmes . . .
Exemple. L’algorithme 5 permet de déterminer si un point M est sur la médiatrice d’un segment [AB]
lorsqu’on connaît les coordonnées de ces trois points dans un repère orthonormé.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Entrées : Demander les coordonnées (xA ; yA ) de A;
Demander les coordonnées (xB ; yB ) de B;
Demander les coordonnées (x ; y) de M ;
début
Calculer c1 = (x − xA )2 + (y − yA )2 ;
Calculer c2 = (x − xB )2 + (y − yB )2 ;
si c1 = c2 alors
Afficher « Oui, M appartient à la médiatrice de [AB] »
fin
sinon
Afficher « Non, M n’est pas sur la médiatrice de [AB] »
fin
fin
Algorithme 5: Un point appartient-il à la médiatrice d’un segment ?
Exemple. Écrire l’algorithme permettant de déterminer la nature d’un triangle connaissant les coordonnées
des trois sommets dans un repère orthonormé.
27
2nde. exercices - Géométrie plane repérée
2
Exercices et problèmes
2 1 Repérage - Longueurs et orthogonalité
1 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A(3 ; 2) et B(−1 ; 6). Montrer que ABI est un triangle
rectangle. Qu’en est-il du triangle ABJ ? Justifier.
2 Dans un repère orthonormé (O,I,J) on donne A(−2 ; 2), B(1 ; 1), C(−2 ; −2) et Ω(−1 ; 0)
(Ω est une lettre majuscule de l’alphabet grec qui se lit « omega »).
Montrer que Ω est le centre du cercle circonscrit à ABC.
On se place dans un repère orthonormal (O,I,J).
Déterminer la nature du triangle ABC dans les cas suivants :
√ √ √
1. A 1 ; 2 , B 0 ; 2 + 2 et C −3 ; 2 − 2 ;
√
√ 2. A (3 ; 4), B (−3 ; −2) et C 3 3 ; 1 − 3 3 ;
1
7
2
; −8 et C
; −6 .
3. A − ; −5 , B
3
3
3
3
4
On considère les points A(4 ; 3), B(−1 ; 4) et C(3 ; −2).
1. Calculer les coordonnées de milieu K de [BC].
2. Calculer KA et KB.
3. Quelle est la nature de ABC ?
Déterminer la nature du quadrilatère ABCD dans les cas suivants :
√ √
1. A (−1 ; −1), B (2 ; 1), C 3 ; 1 + 2 3 et D 0 ; 2 3 − 1 ;
5
2. A (−6 ; 1), B (3 ; −5), C (9 ; 4) et D (0 ; 10) ;
√
√
√
3. A (1 ; 2), B 1 + 2 ; 3 , C 1 + 2 2 ; 1 et D 1 + 2 ; 0 .
6
On appelle C le cercle de centre Ω(−1 ; 2) et de rayon r =
√
10.
1. Parmi les points suivants, déterminer ceux qui appartiennent à C :
A(4 ; −1), B(−1 ; −4), C(2 ; 1), D(0 ; −5) et E(−2 ; −3).
2. Démontrer que Ω est le milieu de [CD].
\ arrondie à 0,1° près.
3. Calculer une valeur de l’angle ECD,
7
On considère les points A(−5 ; 9), B(−6 ; 1), C(6 ; 7) et H(−2 ; 3).
1. Démontrer que AHB et AHC sont rectangles.
2. Que peut-on en déduire pour H ?
3. Calculer l’aire de ABC.
8
On considère les points A(−5 ; −1), B(11 ; −3), C(−1 ; 5) et D(7 ; 5).
1. Démontrer que ABC et ABD sont rectangles.
2. On appelle E le point d’intersection de (BC) et (AD) et F celui de (AC) et (BD). Démontrer que
(AB) et (EF ) sont perpendiculaires.
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2nde. exercices - Géométrie plane repérée
9 On considère les points A(2 ; −1), B(8 ; 2) et C(−4 ; 5). On appelle d1 la médiatrice de [AB] et d2
la médiatrice de [AC].
1. Le point E(7 ; −6) appartient-il à d1 ? et le point F (4 ; 4) ?
2. Soit M un point de coordonnées (x ; y). On suppose que M ∈ d1 .
(a) Écrire une égalité vérifiée par x et y.
(b) Simplifier cette égalité.
3. Reprendre la question précédente avec M ∈ d2 . Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ABC.
10 Soit ABCD un carré. On appelle E le point tel que ADBE soit un parallélogramme et F le symétrique
de A par rapport à C.
1. Faire une figure.
2. On choisit comme unité de longueur le côté du carré et on se place dans le repère (A,B,D).
(a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure.
(b) Démontrer que le triangle EDF est isocèle rectangle.
11 Soit ABCD un carré de côté 5. Soit a un réel de l’intervalle [0 ; 5]. On appelle P le point de [AB] tel
que AP = a, R le point de [AD] tel que DR = a et Q le point tel que AP QR soit un rectangle.
On veut démontrer que les droites (P R) et (CQ) sont perpendiculaires.
1. Faire une figure
2. On se place dans le repère orthonormal d’origine A, d’axe des abscisses (AB) et d’axe des ordonnées
(AD).
(a) Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure.
(b) Soit S le point tel que CQP S soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de S.
(c) Démontrer que P RS est un triangle rectangle.
(d) Conclure.
12 Que fait l’algorithme ci-dessous ? Compléter les pointillés.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Variables
xA est un réel ; yA est un réel;
xB est un réel ; yB est un réel;
xC est un réel ; yC est un réel;
c est un réel ; h est un réel;
début
Lire : xA ; Lire : yA ; Lire : xB ; Lire : yB ;
Lire : xC ; Lire : yC ;
c ← (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (xC − xA )2 + (yC − yA )2 ;
h ← (xC − xB )2 + (yC − yB )2 ;
si h = c alors
Afficher : . . . . . . ;
sinon
Afficher : . . . . . . ;
fin
fin
Algorithme 6: Dans un repère orthonormé
13 Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et vérifie si, dans un repère orthonormal, le triangle formé est isocèle.
29
2nde. exercices - Géométrie plane repérée
2 2 Repérage - Coordonnées et milieux
14 Dans un repère, on donne A(2 ; −4), B(−4 ; 5) et I(−1 ;
Montrer que A est le symétrique de B par rapport à I.
15 On considère la figure ci-contre :
1
2 ).
D
A
Déterminer les coordonnées de tous les points de
la figure
1. dans le repère (C,B,D) ;
F
E
G
I
2. dans le repère (E,H,I) ;
H
3. dans le repère (H,I,G).
C
J
B
16 On se place dans un repère (O,I,J). On considère les points A(2; −1), B(−1 ; 3), C(1 ; 3) et D(−1 ; 4).
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure
(a) dans le repère (B,C,D) ;
(b) dans le repère (B,D,C).
3. Placer le point K de coordonnées (2 ; 1) dans le repère (O,I,J). Déterminer les coordonnées de tous
les points de la figure dans le repère (I,K,J).
17 Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le symétrique de A par rapport à B, F le point tel que
BDEF soit un parallélogramme et G le centre de gravité de AEC.
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure
(a) dans le repère (A,B,D) ;
(b) dans le repère (C,D,B).
18 Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points suivants :
1 1
1. E de coordonnées
;
dans (A,B,D) ;
2 2
2. F de coordonnées (1 ; 1) dans (A,B,C) ;
3. G de coordonnées (2 ; −1) dans (B,A,C) ;
1
4. H de coordonnées − ; 1 dans (D,C,B).
2
Dans les exercices suivants, on se place dans un repère (O,I,J).
19 Calculer les coordonnées du milieu K de [AB] dans les cas suivants :
1. A(2
; 3) etB(−1 ;4) ;
1
5
3. A
; −3 et B − ; 3 ;
2
2
30
2. A(2
; −3) et
B(2 ;−7) ; 3
2
2
4. A
; −
et B − ; 0 .
4
5
3
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2nde. exercices - Géométrie plane repérée
20 Déterminer si ABCD est un parallélogramme dans les cas suivants :
1. A(−1 ; −2), B(3 ; 0), C(0 ; 1) et D(−4 ; −1) ;
2. A(2 ; 5), B(−1 ; 4), C(−2 ; −3) et D(−5 ; −3) ;
21 On considère les points A(3 ; 4), B(−1 ; 1), C(−5 ; −2), D(1 ; −6) et E(2 ; −1).
1. Faire une figure.
2. Démontrer que (BE) et (CD) sont parallèles.
22 On considère les points A(4 ; −2), B(2 ; 4), C(−1 ; 5) et D(−2 ; 0). On veut démontrer que ABCD
est un trapèze.
1. Faire une figure.
2. Soit E le milieu de [AD]. Démontrer que ABCE est un parallélogramme.
3. Conclure quant à la nature de ABCD.
23 On considère les points A(2 ; −3) et B(−1 ; 1). Soit C le symétrique de A par rapport à B.
1. Préciser les positions relatives de A, B et C.
2. On pose C(xC ; yC ). Déterminer deux équations vérifiées par xC et yC .
3. Calculer les coordonnées de C.
24 On considère les points A(−1 ; 3), B(2 ; −2) et C(4 ; −1).
1. Déterminer les coordonnées du milieu de [AC].
2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
25 On considère les points A(−4 ; −3), B(2 ; −1) et C(0 ; 3).
1. Faire une figure.
2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
3. Soit E le milieu de [CD]. Déterminer les coordonnées de E.
4. Soit F le symétrique de A par rapport à E. Déterminer les coordonnées de F .
5. Démontrer que ADF C est un parallélogramme.
6. Démontrer que C est le milieu de [BF ].
26 Soit ABCD un parallélogramme et I le milieu de [CD]. On appelle E le symétrique de I par rapport
à C, G le symétrique de I par rapport à B et F le point tel que BICF soit un parallélogramme.
1. Faire une figure.
2. En se plaçant dans le repère (A,B,D), démontrer que F est le milieu de [EG].
31
Exercices du livre Déclic 2de
Coordonnées dans le plan
1
Savoir faire
Exercices 20 et 21 page 230 ;
QCM page 229 et exercices 15 à 17 page 230
5 Lire « Savoir faire » et « Points méthode »
pages 221 et 223
Utiliser des coordonnées pour le calcul de distances
2
Exercices 22 à 26 page 231 et 35 page 232
Utiliser les coordonnées du milieu d’un segment
3
Exercices 37 à 38 page 232 et 43 page 233
Étudier les configurations du plan
4
Exercices 44 à 45 page 233
32